Lớp 10 · Toán
Bài 16
Hàm Số Bậc Hai
Định nghĩa · Đồ thị parabol · Đỉnh & trục đối xứng · Đồng biến, nghịch biến · Min/Max
1
Khái niệm hàm số bậc hai
▼
Trong nhiều bài toán thực tế (diện tích mảnh đất, quỹ đạo ném vật, hình dáng cổng parabol,...), đại lượng cần tính có dạng bậc hai theo biến số. Đó là lý do ta cần khái niệm hàm số bậc hai.
Định nghĩa
Hàm số bậc hai là hàm số cho bởi công thức:
$y = ax^2 + bx + c$
trong đó $x$ là biến số; $a$, $b$, $c$ là các hằng số và $a \ne 0$.
Tập xác định
$D = \mathbb{R}$
(Hàm bậc hai luôn xác định với mọi $x$ thực)
⚠️Điều kiện cốt lõi: Phải có $a \ne 0$. Nếu $a = 0$, biểu thức trở thành $y = bx + c$ — chỉ là hàm bậc nhất.
Trường hợp đặc biệt
Hàm $y = ax^2$ ($a \ne 0$) đã học ở lớp 9 là trường hợp đặc biệt của hàm bậc hai với $b = c = 0$.
Ví dụ — Nhận biết hàm số bậc hai
Trong các hàm số sau, hàm nào là bậc hai?
①$y = 2x^2 - 3x + 5$ → bậc hai (với $a = 2$, $b = -3$, $c = 5$). ✓
②$y = -x^2 + 4$ → bậc hai (với $a = -1$, $b = 0$, $c = 4$). ✓
③$y = 5x + 2$ → KHÔNG bậc hai (không có $x^2$, $a = 0$). ✗
④$y = (x - 1)(2 - 3x) = -3x^2 + 5x - 2$ → bậc hai (sau khi khai triển). ✓
💡Mẹo nhận biết: Khi gặp tích, bình phương,... ta khai triển trước rồi đối chiếu với dạng $ax^2 + bx + c$ để xác định $a$, $b$, $c$.
2
Đồ thị parabol — Đỉnh, trục đối xứng, bề lõm
▼
Ở lớp 9, ta đã biết đồ thị $y = ax^2$ là parabol có đỉnh tại gốc toạ độ. Bây giờ ta tìm hiểu đồ thị của hàm bậc hai tổng quát $y = ax^2 + bx + c$.
Đồ thị
Đồ thị hàm số $y = ax^2 + bx + c$ ($a \ne 0$) là một đường parabol. Đặt:
$\Delta = b^2 - 4ac$ (biệt thức)
Ba yếu tố quan trọng của parabol
① Toạ độ đỉnh
$I\left(-\dfrac{b}{2a};\ -\dfrac{\Delta}{4a}\right)$
② Trục đối xứng
$x = -\dfrac{b}{2a}$
(đường thẳng đứng đi qua đỉnh $I$)
③ Bề lõm — phụ thuộc dấu của $a$
$a > 0$
∪ (chữ U)
Bề lõm quay LÊN TRÊN.
Đỉnh $I$ là điểm thấp nhất.
Đỉnh $I$ là điểm thấp nhất.
$y_{\min} = -\dfrac{\Delta}{4a}$
$a < 0$
∩ (ngược chữ U)
Bề lõm quay XUỐNG DƯỚI.
Đỉnh $I$ là điểm cao nhất.
Đỉnh $I$ là điểm cao nhất.
$y_{\max} = -\dfrac{\Delta}{4a}$
Hình 1: So sánh dạng parabol khi $a > 0$ (chữ U) và $a < 0$ (∩)
💡Mẹo nhớ tung độ đỉnh: Sau khi tính được $x_I = -\dfrac{b}{2a}$, có thể tính $y_I$ bằng cách thay $x_I$ vào công thức $y = ax^2 + bx + c$ (thay vì dùng công thức $-\dfrac{\Delta}{4a}$ phức tạp). Cả hai cách cho cùng kết quả.
3
Các bước vẽ parabol $y = ax^2 + bx + c$
▼
Quy trình 4 bước
Bước 1 — Toạ độ đỉnh $I$
Tính $\Delta = b^2 - 4ac$, sau đó:
$I\left(-\dfrac{b}{2a};\ -\dfrac{\Delta}{4a}\right)$
$I\left(-\dfrac{b}{2a};\ -\dfrac{\Delta}{4a}\right)$
Bước 2 — Trục đối xứng
Đường thẳng đứng $x = -\dfrac{b}{2a}$ (đi qua đỉnh $I$).
Bước 3 — Giao điểm với các trục
• Giao với $Oy$: cho $x = 0$ → $y = c$, được điểm $(0;\ c)$.
• Giao với $Ox$: giải phương trình $ax^2 + bx + c = 0$.
– $\Delta > 0$: cắt $Ox$ tại 2 điểm phân biệt.
– $\Delta = 0$: tiếp xúc $Ox$ tại 1 điểm (chính là đỉnh $I$).
– $\Delta < 0$: KHÔNG cắt $Ox$.
• Giao với $Ox$: giải phương trình $ax^2 + bx + c = 0$.
– $\Delta > 0$: cắt $Ox$ tại 2 điểm phân biệt.
– $\Delta = 0$: tiếp xúc $Ox$ tại 1 điểm (chính là đỉnh $I$).
– $\Delta < 0$: KHÔNG cắt $Ox$.
Bước 4 — Vẽ parabol
Vẽ đường cong qua các điểm đặc biệt, đối xứng qua trục đối xứng. Bề lõm theo dấu $a$.
⚠️Mẹo: Để vẽ chính xác hơn, có thể lấy thêm điểm đối xứng với giao điểm $(0;\ c)$ qua trục đối xứng — đó là điểm $\left(-\dfrac{b}{a};\ c\right)$.
Ví dụ — Vẽ parabol $y = -2x^2 - 2x + 4$
①Hệ số: $a = -2 < 0$, $b = -2$, $c = 4$ → bề lõm quay xuống dưới.
②Tính $\Delta$: $\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 4 = 4 + 32 = 36$.
③Đỉnh: $x_I = -\dfrac{-2}{2 \cdot (-2)} = -\dfrac{1}{2}$, $y_I = -\dfrac{36}{4 \cdot (-2)} = \dfrac{9}{2}$.
Vậy $I\left(-\dfrac{1}{2};\ \dfrac{9}{2}\right)$.
④Trục đối xứng: $x = -\dfrac{1}{2}$.
⑤Giao $Oy$: cho $x = 0$ → $y = 4$, được $A(0;\ 4)$.
⑥Giao $Ox$: $-2x^2 - 2x + 4 = 0 \Leftrightarrow x^2 + x - 2 = 0$.
$(x - 1)(x + 2) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = -2$. Hai điểm $(1;0)$ và $(-2;0)$.
⑦Điểm đối xứng với $A(0; 4)$ qua trục $x = -\dfrac{1}{2}$: $B(-1; 4)$.
Hình 2: Parabol $y = -2x^2 - 2x + 4$ — đỉnh $I\left(-\dfrac{1}{2}; \dfrac{9}{2}\right)$, bề lõm quay xuống
4
Đồng biến, nghịch biến — Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
▼
Hàm số bậc hai đổi chiều biến thiên tại đỉnh (tại $x = -\dfrac{b}{2a}$). Trước đỉnh và sau đỉnh, tính chất ngược nhau.
Bảng tóm tắt
| Tính chất | $a > 0$ (∪) | $a < 0$ (∩) |
|---|---|---|
| Nghịch biến |
$\left(-\infty;\ -\dfrac{b}{2a}\right)$ | $\left(-\dfrac{b}{2a};\ +\infty\right)$ |
| Đồng biến |
$\left(-\dfrac{b}{2a};\ +\infty\right)$ | $\left(-\infty;\ -\dfrac{b}{2a}\right)$ |
| Cực trị |
$y_{\min} = -\dfrac{\Delta}{4a}$ (tại $x = -\dfrac{b}{2a}$) |
$y_{\max} = -\dfrac{\Delta}{4a}$ (tại $x = -\dfrac{b}{2a}$) |
💡Mẹo nhớ:
• $a > 0$ (∪): hàm số "xuống rồi lên" — nghịch biến trước đỉnh, đồng biến sau đỉnh.
• $a < 0$ (∩): hàm số "lên rồi xuống" — đồng biến trước đỉnh, nghịch biến sau đỉnh.
• $a > 0$ (∪): hàm số "xuống rồi lên" — nghịch biến trước đỉnh, đồng biến sau đỉnh.
• $a < 0$ (∩): hàm số "lên rồi xuống" — đồng biến trước đỉnh, nghịch biến sau đỉnh.
Ví dụ — Xét $y = -2x^2 - 2x + 4$ (từ Card 3)
→Vì $a = -2 < 0$ (∩) → đồng biến trước đỉnh, nghịch biến sau đỉnh.
→Đỉnh tại $x = -\dfrac{1}{2}$.
⟹Đồng biến trên $\left(-\infty;\ -\dfrac{1}{2}\right)$, nghịch biến trên $\left(-\dfrac{1}{2};\ +\infty\right)$.
⟹Giá trị LỚN NHẤT: $y_{\max} = \dfrac{9}{2}$ tại $x = -\dfrac{1}{2}$.
Xác định dấu $a$ và $\Delta$ từ vị trí parabol
| Vị trí parabol so với $Ox$ | Dấu $a$ | Dấu $\Delta$ |
|---|---|---|
| Cắt $Ox$ tại 2 điểm phân biệt | tuỳ | $\Delta > 0$ |
| Tiếp xúc $Ox$ (1 điểm) | tuỳ | $\Delta = 0$ |
| Không cắt $Ox$ | tuỳ | $\Delta < 0$ |
| Nằm hoàn toàn TRÊN $Ox$ | $a > 0$ | $\Delta < 0$ |
| Nằm hoàn toàn DƯỚI $Ox$ | $a < 0$ | $\Delta < 0$ |
5
Phương pháp giải các dạng toán
▼
Dạng 1 — Vẽ parabol và xét đồng biến/nghịch biến
1
Xác định $a$, $b$, $c$ và tính $\Delta = b^2 - 4ac$.
2
Tìm đỉnh $I\left(-\dfrac{b}{2a};\ -\dfrac{\Delta}{4a}\right)$ và trục đối xứng.
3
Tìm giao với $Oy$ ($x = 0$, $y = c$) và $Ox$ (giải $ax^2 + bx + c = 0$).
4
Vẽ parabol theo dấu $a$. Áp dụng bảng tóm tắt để xét đồng biến/nghịch biến.
Dạng 2 — Xác định parabol khi biết điều kiện
1
Viết dạng tổng quát: $y = ax^2 + bx + c$ (hoặc dạng đỉnh $y = a(x - h)^2 + k$ nếu biết đỉnh).
2
Thay toạ độ điểm đã cho vào để có phương trình.
3
Sử dụng các điều kiện bổ sung: trục đối xứng $x = -\dfrac{b}{2a}$, đỉnh $I\left(-\dfrac{b}{2a};\ -\dfrac{\Delta}{4a}\right)$.
4
Lập và giải hệ phương trình để tìm $a$, $b$, $c$.
💡Khi biết đỉnh $I(h; k)$: dùng dạng đỉnh $y = a(x - h)^2 + k$ — chỉ cần thay 1 điểm khác vào là tìm được $a$. Dạng này nhanh hơn rất nhiều so với hệ 3 ẩn.
Dạng 3 — Xác định dấu $a$ và $\Delta$ qua đồ thị
1
Quan sát bề lõm: lên → $a > 0$; xuống → $a < 0$.
2
Quan sát vị trí so với $Ox$: cắt 2 điểm → $\Delta > 0$; tiếp xúc → $\Delta = 0$; không cắt → $\Delta < 0$.
Dạng 4 — Bài toán thực tế (min/max)
1
Đặt biến $x$ và viết hàm $y = f(x)$ là hàm bậc hai (cùng điều kiện của $x$).
2
Áp dụng công thức min/max:
• $a > 0$: $y_{\min} = -\dfrac{\Delta}{4a}$ tại $x = -\dfrac{b}{2a}$.
• $a < 0$: $y_{\max} = -\dfrac{\Delta}{4a}$ tại $x = -\dfrac{b}{2a}$.
• $a > 0$: $y_{\min} = -\dfrac{\Delta}{4a}$ tại $x = -\dfrac{b}{2a}$.
• $a < 0$: $y_{\max} = -\dfrac{\Delta}{4a}$ tại $x = -\dfrac{b}{2a}$.
3
Kiểm tra $x = -\dfrac{b}{2a}$ có thuộc miền điều kiện hay không. Nếu không, cần xét thêm hai đầu mút.
⚠️Sai lầm thường gặp:
• Quên kiểm tra $a \ne 0$ khi nhận biết hàm bậc hai.
• Nhầm bề lõm: tưởng $a > 0$ thì quay xuống.
• Nhầm chiều đồng biến/nghịch biến giữa $a > 0$ và $a < 0$.
• Tính sai dấu trong công thức đỉnh ($-\dfrac{b}{2a}$, $-\dfrac{\Delta}{4a}$).
• Quên kiểm tra điều kiện của $x$ trong bài toán thực tế.
• Quên kiểm tra $a \ne 0$ khi nhận biết hàm bậc hai.
• Nhầm bề lõm: tưởng $a > 0$ thì quay xuống.
• Nhầm chiều đồng biến/nghịch biến giữa $a > 0$ và $a < 0$.
• Tính sai dấu trong công thức đỉnh ($-\dfrac{b}{2a}$, $-\dfrac{\Delta}{4a}$).
• Quên kiểm tra điều kiện của $x$ trong bài toán thực tế.
6
Tổng kết
▼
✓Tóm tắt Bài 16:
• Hàm bậc hai: $y = ax^2 + bx + c$ ($a \ne 0$), TXĐ $= \mathbb{R}$.
• Biệt thức: $\Delta = b^2 - 4ac$.
• Đồ thị: parabol có đỉnh $I\left(-\dfrac{b}{2a};\ -\dfrac{\Delta}{4a}\right)$, trục đối xứng $x = -\dfrac{b}{2a}$.
• $a > 0$ (∪): bề lõm lên, đỉnh là điểm thấp nhất, $y_{\min} = -\dfrac{\Delta}{4a}$. Nghịch biến trước đỉnh, đồng biến sau đỉnh.
• $a < 0$ (∩): bề lõm xuống, đỉnh là điểm cao nhất, $y_{\max} = -\dfrac{\Delta}{4a}$. Đồng biến trước đỉnh, nghịch biến sau đỉnh.
• Dạng đỉnh: $y = a(x - h)^2 + k$ với $I(h; k)$ là đỉnh — rất tiện khi đã biết đỉnh.
• Vị trí so với $Ox$: $\Delta > 0$ cắt 2 điểm; $\Delta = 0$ tiếp xúc; $\Delta < 0$ không cắt.
📚
Xem thêm bài viết chi tiết• Hàm bậc hai: $y = ax^2 + bx + c$ ($a \ne 0$), TXĐ $= \mathbb{R}$.
• Biệt thức: $\Delta = b^2 - 4ac$.
• Đồ thị: parabol có đỉnh $I\left(-\dfrac{b}{2a};\ -\dfrac{\Delta}{4a}\right)$, trục đối xứng $x = -\dfrac{b}{2a}$.
• $a > 0$ (∪): bề lõm lên, đỉnh là điểm thấp nhất, $y_{\min} = -\dfrac{\Delta}{4a}$. Nghịch biến trước đỉnh, đồng biến sau đỉnh.
• $a < 0$ (∩): bề lõm xuống, đỉnh là điểm cao nhất, $y_{\max} = -\dfrac{\Delta}{4a}$. Đồng biến trước đỉnh, nghịch biến sau đỉnh.
• Dạng đỉnh: $y = a(x - h)^2 + k$ với $I(h; k)$ là đỉnh — rất tiện khi đã biết đỉnh.
• Vị trí so với $Ox$: $\Delta > 0$ cắt 2 điểm; $\Delta = 0$ tiếp xúc; $\Delta < 0$ không cắt.
Hàm số bậc hai — lý thuyết, các dạng bài tập →
1
—
Điểm: 0/25
📊
Luyện tập về Hàm số bậc hai!
25 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh