Lớp 10 · Toán
Bài 19
Phương Trình Đường Thẳng
Vectơ pháp tuyến · Vectơ chỉ phương · PTTQ · PTTS · Phương trình đoạn chắn
1
Vectơ pháp tuyến và Phương trình tổng quát
▼
a) Vectơ pháp tuyến
Định nghĩa
Vectơ $\vec{n} \neq \vec{0}$ được gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của đường thẳng $\Delta$ nếu giá của nó vuông góc với $\Delta$.
Hình 1: Vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ có giá vuông góc với đường thẳng $\Delta$
Tính chất quan trọng
→Nếu $\vec{n}$ là VTPT của $\Delta$ thì $k\vec{n}$ ($k \neq 0$) cũng là VTPT của $\Delta$ — một đường thẳng có vô số VTPT.
→Đường thẳng được xác định duy nhất nếu biết: 1 điểm đi qua + 1 vectơ pháp tuyến.
b) Phương trình tổng quát
Định lí
Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(x_0;\ y_0)$ và có VTPT $\vec{n}(a;\ b)$. Khi đó điểm $M(x;\ y) \in \Delta$ khi và chỉ khi:
$a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0 \quad (1)$
Khai triển và đặt $c = -ax_0 - by_0$, ta được:
$ax + by + c = 0$
(với $a, b$ không đồng thời bằng $0$) — gọi là phương trình tổng quát (PTTQ) của $\Delta$.
💡Đọc nhanh VTPT từ PTTQ: Trong $ax + by + c = 0$, hai hệ số đứng trước $x$ và $y$ chính là hai toạ độ của VTPT $\vec{n}(a;\ b)$.
Cách lập PTTQ — 3 bước
Bước 1
Tìm 1 điểm
$A(x_0;\ y_0)$
Tìm 1 điểm
$A(x_0;\ y_0)$
→
Bước 2
Tìm VTPT
$\vec{n}(a;\ b)$
Tìm VTPT
$\vec{n}(a;\ b)$
→
Bước 3
Áp dụng
công thức $(1)$
Áp dụng
công thức $(1)$
Ví dụ 1 — Lập PTTQ khi biết điểm và VTPT
Lập phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(2;\ 1)$ và có VTPT $\vec{n}(3;\ 4)$.
→Áp dụng $(1)$: $3(x - 2) + 4(y - 1) = 0$
→Khai triển: $3x - 6 + 4y - 4 = 0$
⟹PTTQ: $\mathbf{3x + 4y - 10 = 0}$
⚠️Mối liên hệ với hàm số $y = ax + b$:
Đồ thị hàm số bậc nhất $y = ax + b$ chính là một đường thẳng. Đưa về dạng tổng quát:
$y = ax + b \Leftrightarrow ax - y + b = 0$
VTPT là $\vec{n}(a;\ -1)$.
Đồ thị hàm số bậc nhất $y = ax + b$ chính là một đường thẳng. Đưa về dạng tổng quát:
$y = ax + b \Leftrightarrow ax - y + b = 0$
VTPT là $\vec{n}(a;\ -1)$.
2
Vectơ chỉ phương và Phương trình tham số
▼
a) Vectơ chỉ phương
Định nghĩa
Vectơ $\vec{u} \neq \vec{0}$ được gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng $\Delta$ nếu giá của nó song song hoặc trùng với $\Delta$.
Hình 2: Vectơ chỉ phương $\vec{u}$ có giá song song (hoặc trùng) với $\Delta$
Tính chất
→Nếu $\vec{u}$ là VTCP thì $k\vec{u}$ ($k \neq 0$) cũng là VTCP — một đường thẳng có vô số VTCP.
→Đường thẳng xác định duy nhất nếu biết: 1 điểm + 1 VTCP.
→Nếu $\Delta$ đi qua hai điểm $A$, $B$ thì $\overrightarrow{AB}$ là một VTCP của $\Delta$.
Ví dụ 2 — Tìm VTCP của đường thẳng đi qua 2 điểm
Cho $A(3;\ 2)$, $B(1;\ -4)$. Tìm hai vectơ chỉ phương khác nhau của đường thẳng $AB$.
→$\overrightarrow{AB} = (1 - 3;\ -4 - 2) = (-2;\ -6)$ — đây là một VTCP.
→Lấy $\vec{u} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} = (1;\ 3)$ cũng là VTCP (rút gọn để dễ tính).
⟹Hai VTCP: $\overrightarrow{AB}(-2;\ -6)$ và $\vec{u}(1;\ 3)$.
b) Phương trình tham số
Định lí
Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(x_0;\ y_0)$ và có VTCP $\vec{u}(a;\ b)$. Điểm $M(x;\ y) \in \Delta$ khi và chỉ khi tồn tại số thực $t$ sao cho $\overrightarrow{AM} = t\vec{u}$, hay:
$\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases} \quad (2)$
Hệ $(2)$ gọi là phương trình tham số (PTTS) của $\Delta$ — với $t$ là tham số.
💡Đọc nhanh VTCP và điểm từ PTTS:
• Hệ số của $t$: là toạ độ VTCP $\vec{u}(a;\ b)$.
• Hằng số (không có $t$): là toạ độ điểm $A(x_0;\ y_0)$ trên đường — hoặc cho $t = 0$.
• Hệ số của $t$: là toạ độ VTCP $\vec{u}(a;\ b)$.
• Hằng số (không có $t$): là toạ độ điểm $A(x_0;\ y_0)$ trên đường — hoặc cho $t = 0$.
Ví dụ 3 — Lập PTTS khi biết điểm và VTCP
Lập PTTS của đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(2;\ -3)$ và có VTCP $\vec{u}(4;\ -1)$.
→Áp dụng công thức $(2)$ với $x_0 = 2$, $y_0 = -3$, $a = 4$, $b = -1$:
⟹PTTS: $\mathbf{\begin{cases} x = 2 + 4t \\ y = -3 - t \end{cases}}$
Ví dụ 4 — Lập PTTS đi qua hai điểm
Lập PTTS của đường thẳng đi qua $A(2;\ 3)$ và $B(1;\ 5)$.
→VTCP: $\overrightarrow{AB} = (1 - 2;\ 5 - 3) = (-1;\ 2)$
→Đường thẳng đi qua $A(2;\ 3)$ với VTCP $(-1;\ 2)$:
⟹PTTS: $\mathbf{\begin{cases} x = 2 - t \\ y = 3 + 2t \end{cases}}$
3
Mối liên hệ VTPT ↔ VTCP và chuyển đổi giữa hai dạng phương trình
▼
a) Mối liên hệ giữa VTPT và VTCP
Quan hệ
VTPT và VTCP của cùng một đường thẳng vuông góc với nhau. Cụ thể, nếu $\vec{n}(a;\ b)$ là VTPT thì:
$\vec{u}(-b;\ a)$ hoặc $\vec{u}(b;\ -a)$
là một VTCP của đường thẳng đó (và ngược lại).
⚠️Mẹo nhớ "đổi chỗ — đổi dấu":
Để chuyển từ $\vec{n}(a;\ b)$ sang $\vec{u}$: đổi chỗ hai toạ độ rồi đổi dấu một trong hai.
Ví dụ: $\vec{n}(2;\ 3)$ → $\vec{u}(-3;\ 2)$ hoặc $(3;\ -2)$.
Để chuyển từ $\vec{n}(a;\ b)$ sang $\vec{u}$: đổi chỗ hai toạ độ rồi đổi dấu một trong hai.
Ví dụ: $\vec{n}(2;\ 3)$ → $\vec{u}(-3;\ 2)$ hoặc $(3;\ -2)$.
| Cho VTPT $\vec{n}$ | Suy ra VTCP $\vec{u}$ |
|---|---|
| $\vec{n}(2;\ 3)$ | $\vec{u}(-3;\ 2)$ hoặc $(3;\ -2)$ |
| $\vec{n}(1;\ -2)$ | $\vec{u}(2;\ 1)$ hoặc $(-2;\ -1)$ |
| $\vec{n}(a;\ -1)$ | $\vec{u}(1;\ a)$ hoặc $(-1;\ -a)$ |
b) Chuyển đổi giữa PTTQ và PTTS
PTTQ → PTTS
Bước 1Đọc VTPT $\vec{n}(a;\ b)$ từ PTTQ
Bước 2Suy ra VTCP $\vec{u}(-b;\ a)$
Bước 3Tìm 1 điểm thuộc đường (cho $x$ hoặc $y$ một giá trị)
Bước 4Lập PTTS
PTTS → PTTQ
Bước 1Đọc VTCP $\vec{u}(a;\ b)$ từ PTTS (hệ số của $t$)
Bước 2Suy ra VTPT $\vec{n}(b;\ -a)$
Bước 3Lấy điểm $A(x_0;\ y_0)$ (cho $t = 0$)
Bước 4Lập PTTQ theo công thức $(1)$
Ví dụ 5 — Chuyển PTTS sang PTTQ
Cho $\Delta_1: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3 + 5t \end{cases}$. Lập PTTQ của $\Delta_1$.
①VTCP $\vec{u}(2;\ 5)$ (hệ số của $t$).
②Suy ra VTPT $\vec{n}(5;\ -2)$ (đổi chỗ và đổi dấu một thành phần).
③Cho $t = 0$: điểm $A(1;\ 3) \in \Delta_1$.
④PTTQ: $5(x - 1) - 2(y - 3) = 0 \Leftrightarrow 5x - 2y + 1 = 0$
⟹$\mathbf{5x - 2y + 1 = 0}$
Ví dụ 6 — Chuyển PTTQ sang PTTS
Cho $\Delta_2: 2x + 3y - 5 = 0$. Lập PTTS của $\Delta_2$.
①VTPT $\vec{n}(2;\ 3)$ (đọc từ hệ số $x$, $y$).
②Suy ra VTCP $\vec{u}(3;\ -2)$.
③Tìm điểm: cho $x = 1 \Rightarrow 2 + 3y - 5 = 0 \Rightarrow y = 1$. Điểm $A(1;\ 1) \in \Delta_2$.
④PTTS: $\mathbf{\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 1 - 2t \end{cases}}$
4
Đường thẳng đặc biệt và đường thẳng trong tam giác
▼
a) Đường thẳng song song với trục toạ độ
| Đường thẳng | PTTQ | VTPT — VTCP |
|---|---|---|
| Trục $Ox$ | $y = 0$ | $\vec{n}(0;\ 1)$, $\vec{u}(1;\ 0)$ |
| Trục $Oy$ | $x = 0$ | $\vec{n}(1;\ 0)$, $\vec{u}(0;\ 1)$ |
| Song song $Ox$, qua $(x_0;\ m)$ | $y = m$ | $\vec{n}(0;\ 1)$, $\vec{u}(1;\ 0)$ |
| Song song $Oy$, qua $(m;\ y_0)$ | $x = m$ | $\vec{n}(1;\ 0)$, $\vec{u}(0;\ 1)$ |
b) Đường cao trong tam giác
Phương pháp
Đường cao $AH$ kẻ từ đỉnh $A$ xuống cạnh $BC$:
• $AH \perp BC$ → VTPT của $AH$ là $\overrightarrow{BC}$.
• Lập PTTQ qua $A$ với VTPT $\overrightarrow{BC}$.
• $AH \perp BC$ → VTPT của $AH$ là $\overrightarrow{BC}$.
• Lập PTTQ qua $A$ với VTPT $\overrightarrow{BC}$.
Ví dụ 7 — Đường cao của tam giác
Cho tam giác $ABC$ có $A(2;\ 3)$, $B(4;\ 0)$, $C(-1;\ -2)$. Lập PTTQ của đường cao kẻ từ $A$.
→$\overrightarrow{BC} = (-1 - 4;\ -2 - 0) = (-5;\ -2)$
→Đường cao $AH$ có VTPT $\vec{n} = \overrightarrow{BC} = (-5;\ -2)$, đi qua $A(2;\ 3)$.
→PTTQ: $-5(x - 2) - 2(y - 3) = 0$
→$-5x + 10 - 2y + 6 = 0 \Leftrightarrow 5x + 2y - 16 = 0$
⟹$\mathbf{5x + 2y - 16 = 0}$
c) Đường trung tuyến trong tam giác
Phương pháp
Đường trung tuyến $BM$ kẻ từ đỉnh $B$ xuống trung điểm $M$ của cạnh $AC$:
• Tìm trung điểm $M\left(\dfrac{x_A + x_C}{2};\ \dfrac{y_A + y_C}{2}\right)$.
• $\overrightarrow{BM}$ là VTCP của đường trung tuyến.
• Lập PTTS (hoặc PTTQ) qua $B$ với VTCP $\overrightarrow{BM}$.
• Tìm trung điểm $M\left(\dfrac{x_A + x_C}{2};\ \dfrac{y_A + y_C}{2}\right)$.
• $\overrightarrow{BM}$ là VTCP của đường trung tuyến.
• Lập PTTS (hoặc PTTQ) qua $B$ với VTCP $\overrightarrow{BM}$.
Ví dụ 8 — Đường trung tuyến
Vẫn với tam giác trên: $A(2;\ 3)$, $B(4;\ 0)$, $C(-1;\ -2)$. Lập PTTS của đường trung tuyến kẻ từ $B$.
→Trung điểm $M$ của $AC$: $M\left(\dfrac{2 + (-1)}{2};\ \dfrac{3 + (-2)}{2}\right) = M\left(\dfrac{1}{2};\ \dfrac{1}{2}\right)$
→$\overrightarrow{BM} = \left(\dfrac{1}{2} - 4;\ \dfrac{1}{2} - 0\right) = \left(-\dfrac{7}{2};\ \dfrac{1}{2}\right)$
→Lấy VTCP $\vec{u} = 2\overrightarrow{BM} = (-7;\ 1)$ (rút gọn).
→Trung tuyến qua $B(4;\ 0)$ với VTCP $(-7;\ 1)$:
⟹PTTS: $\mathbf{\begin{cases} x = 4 - 7t \\ y = t \end{cases}}$
⚠️Đường trung trực: Đường trung trực của đoạn $AB$ là đường thẳng đi qua trung điểm $M$ của $AB$ và vuông góc với $AB$ → có VTPT là $\overrightarrow{AB}$.
5
Phương trình đoạn chắn và Bài toán thực tế
▼
a) Phương trình đoạn chắn
Định lí
Đường thẳng đi qua hai điểm $A(p;\ 0)$ và $B(0;\ q)$ (với $pq \neq 0$) có phương trình:
$\dfrac{x}{p} + \dfrac{y}{q} = 1$
Phương trình này gọi là phương trình đoạn chắn ($p$ chắn trục $Ox$, $q$ chắn trục $Oy$).
Hình 3: Đường thẳng cắt $Ox$ tại $A(p;\ 0)$ và cắt $Oy$ tại $B(0;\ q)$
Ví dụ 9 — Chứng minh phương trình đoạn chắn
Chứng minh đường thẳng qua $A(p;\ 0)$ và $B(0;\ q)$ ($pq \ne 0$) có phương trình $\dfrac{x}{p} + \dfrac{y}{q} = 1$.
①VTCP: $\overrightarrow{AB} = (0 - p;\ q - 0) = (-p;\ q)$
②Suy ra VTPT: $\vec{n}(q;\ p)$.
③Đường thẳng đi qua $A(p;\ 0)$ với VTPT $(q;\ p)$:
→$q(x - p) + p(y - 0) = 0$
→$qx + py = pq$
④Chia hai vế cho $pq \ne 0$:
⟹$\mathbf{\dfrac{x}{p} + \dfrac{y}{q} = 1}$ (đpcm)
💡Mẹo dùng đoạn chắn: Nếu biết đường thẳng cắt 2 trục toạ độ tại $(p;\ 0)$ và $(0;\ q)$, viết ngay phương trình đoạn chắn rồi quy đồng — nhanh hơn lập VTPT/VTCP.
Ví dụ: cắt $Ox$ tại $(3;\ 0)$ và $Oy$ tại $(0;\ 2)$ → $\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow 2x + 3y = 6$.
Ví dụ: cắt $Ox$ tại $(3;\ 0)$ và $Oy$ tại $(0;\ 2)$ → $\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow 2x + 3y = 6$.
b) Bài toán thực tế — Ứng dụng PTTS
Mô hình chuyển động đều
Một vật chuyển động đều từ điểm $A(x_0;\ y_0)$ theo vectơ vận tốc $\vec{v}(a;\ b)$. Sau thời gian $t$, vật ở vị trí $(x;\ y)$:
$\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases}$
Ví dụ 10 — Chuyển động của tàu
Một tàu thuỷ xuất phát từ cảng $A(50;\ 30)$ đến cảng $B(10;\ 60)$. Tại thời điểm $t$ giờ, tàu ở vị trí $(x;\ y)$:
$\begin{cases} x = 50 - 4t \\ y = 30 + 3t \end{cases}$
Hỏi: Sau bao lâu tàu đến cảng $B$?
→Tàu đến $B$ khi $x = 10$ và $y = 60$.
→Từ $x = 10$: $50 - 4t = 10 \Rightarrow 4t = 40 \Rightarrow t = 10$ (giờ).
→Kiểm tra với $y$: $y = 30 + 3 \cdot 10 = 60$ ✓
⟹Tàu đến $B$ sau $\mathbf{10}$ giờ.
6
Tổng kết
▼
Bảng so sánh PTTQ và PTTS
Phương trình tổng quát
$ax + by + c = 0$
($a, b$ không đồng thời $0$)
($a, b$ không đồng thời $0$)
Cần biết1 điểm + VTPT $\vec{n}(a;\ b)$
Đọc VTPTHệ số của $x$, $y$ trong PT
Suy ra VTCP$\vec{u}(-b;\ a)$ hoặc $(b;\ -a)$
Phương trình tham số
$\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases}$
Cần biết1 điểm + VTCP $\vec{u}(a;\ b)$
Đọc VTCPHệ số của tham số $t$
Suy ra VTPT$\vec{n}(b;\ -a)$ hoặc $(-b;\ a)$
✓Tóm tắt Bài 19:
• PTTQ: $ax + by + c = 0$, VTPT $\vec{n}(a;\ b)$.
• PTTS: $x = x_0 + at,\ y = y_0 + bt$, VTCP $\vec{u}(a;\ b)$.
• Mối liên hệ: $\vec{n}(a;\ b)$ ↔ $\vec{u}(-b;\ a)$ — đổi chỗ, đổi dấu một thành phần.
• Đường cao từ $A$ → VTPT là $\overrightarrow{BC}$.
• Trung tuyến từ $B$ → VTCP là $\overrightarrow{BM}$ ($M$ trung điểm $AC$).
• Đoạn chắn: qua $(p;\ 0)$ và $(0;\ q)$ → $\dfrac{x}{p} + \dfrac{y}{q} = 1$.
📚
Xem thêm bài viết chi tiết• PTTQ: $ax + by + c = 0$, VTPT $\vec{n}(a;\ b)$.
• PTTS: $x = x_0 + at,\ y = y_0 + bt$, VTCP $\vec{u}(a;\ b)$.
• Mối liên hệ: $\vec{n}(a;\ b)$ ↔ $\vec{u}(-b;\ a)$ — đổi chỗ, đổi dấu một thành phần.
• Đường cao từ $A$ → VTPT là $\overrightarrow{BC}$.
• Trung tuyến từ $B$ → VTCP là $\overrightarrow{BM}$ ($M$ trung điểm $AC$).
• Đoạn chắn: qua $(p;\ 0)$ và $(0;\ q)$ → $\dfrac{x}{p} + \dfrac{y}{q} = 1$.
Phương trình đường thẳng — lý thuyết, các dạng bài tập →
1
—
Điểm: 0/25
📐
Luyện tập Phương trình đường thẳng!
25 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh