Lớp 10 · Toán
Bài 20
Vị Trí Tương Đối Giữa Hai Đường Thẳng. Góc Và Khoảng Cách
Vị trí tương đối · Góc giữa 2 đường thẳng · Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
1
Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng — Xét qua hệ phương trình
▼
Trên mặt phẳng toạ độ, hai đường thẳng bất kì có thể cắt nhau, song song hoặc trùng nhau. Để xét vị trí tương đối, ta dùng hệ phương trình hoặc vectơ chỉ phương / pháp tuyến.
Định lí
Cho hai đường thẳng $\Delta_1: a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$ và $\Delta_2: a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$.
Toạ độ giao điểm (nếu có) của $\Delta_1$ và $\Delta_2$ là nghiệm của hệ:
Toạ độ giao điểm (nếu có) của $\Delta_1$ và $\Delta_2$ là nghiệm của hệ:
$\begin{cases} a_1 x + b_1 y + c_1 = 0 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 = 0 \end{cases} \quad (*)$
Hình 1: Ba trường hợp vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Ba trường hợp tương ứng với nghiệm của hệ $(*)$:
| Hệ $(*)$ | Vị trí tương đối |
|---|---|
| Có nghiệm duy nhất $(x_0;\ y_0)$ | $\Delta_1$ cắt $\Delta_2$ tại $M(x_0;\ y_0)$ |
| Vô nghiệm | $\Delta_1$ song song với $\Delta_2$ |
| Vô số nghiệm | $\Delta_1$ trùng với $\Delta_2$ |
Ví dụ 1 — Xét vị trí tương đối qua hệ phương trình
Xét vị trí tương đối của $m_1: x - 2y + 1 = 0$ và $m_2: 3x + y - 2 = 0$.
→Lập hệ: $\begin{cases} x - 2y + 1 = 0 \\ 3x + y - 2 = 0 \end{cases}$
→Từ PT (1): $x = 2y - 1$. Thay vào PT (2):
→$3(2y - 1) + y - 2 = 0 \Leftrightarrow 7y = 5 \Leftrightarrow y = \dfrac{5}{7}$
→$x = 2 \cdot \dfrac{5}{7} - 1 = \dfrac{3}{7}$
⟹Hệ có nghiệm duy nhất → $m_1$ cắt $m_2$ tại $\left(\dfrac{3}{7};\ \dfrac{5}{7}\right)$.
2
Vị trí tương đối — Xét qua vectơ pháp tuyến / chỉ phương
▼
Định lí
Gọi $\vec{u}_1, \vec{u}_2$ là VTCP và $\vec{n}_1, \vec{n}_2$ là VTPT của $\Delta_1, \Delta_2$. Khi đó:
• $\Delta_1, \Delta_2$ song song hoặc trùng nhau ⟺ $\vec{n}_1, \vec{n}_2$ cùng phương (hoặc $\vec{u}_1, \vec{u}_2$ cùng phương).
• $\Delta_1, \Delta_2$ cắt nhau ⟺ $\vec{n}_1, \vec{n}_2$ không cùng phương.
• $\Delta_1, \Delta_2$ song song hoặc trùng nhau ⟺ $\vec{n}_1, \vec{n}_2$ cùng phương (hoặc $\vec{u}_1, \vec{u}_2$ cùng phương).
• $\Delta_1, \Delta_2$ cắt nhau ⟺ $\vec{n}_1, \vec{n}_2$ không cùng phương.
⚠️Phân biệt song song và trùng:
Khi $\vec{n}_1, \vec{n}_2$ cùng phương, ta cần kiểm tra một điểm:
• Nếu một điểm thuộc $\Delta_1$ không thuộc $\Delta_2$ → hai đường song song.
• Nếu một điểm thuộc $\Delta_1$ thuộc cả $\Delta_2$ → hai đường trùng nhau.
Khi $\vec{n}_1, \vec{n}_2$ cùng phương, ta cần kiểm tra một điểm:
• Nếu một điểm thuộc $\Delta_1$ không thuộc $\Delta_2$ → hai đường song song.
• Nếu một điểm thuộc $\Delta_1$ thuộc cả $\Delta_2$ → hai đường trùng nhau.
Cách kiểm tra hai vectơ cùng phương
Hai vectơ cùng phương
$\vec{n}_1(a_1;\ b_1) \parallel \vec{n}_2(a_2;\ b_2) \Leftrightarrow a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0$
Hoặc kiểm tra tỉ lệ: $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2}$ (khi $a_2, b_2 \ne 0$).
Ví dụ 2 — Hai đường trùng nhau (SGK 7.7a, đổi số)
Xét vị trí tương đối của $\Delta_1: 3\sqrt{2}\,x + \sqrt{2}\,y - \sqrt{3} = 0$ và $\Delta_2: 6x + 2y - \sqrt{6} = 0$.
→Nhân hai vế PT của $\Delta_1$ với $\sqrt{2}$:
→$\sqrt{2}(3\sqrt{2}\,x + \sqrt{2}\,y - \sqrt{3}) = 6x + 2y - \sqrt{6} = 0$ → trùng với $\Delta_2$.
⟹$\Delta_1$ và $\Delta_2$ trùng nhau.
Ví dụ 3 — Hai đường song song (SGK 7.7b, đổi số)
Xét vị trí tương đối của $d_1: x - \sqrt{3}\,y + 2 = 0$ và $d_2: \sqrt{3}\,x - 3y + 2 = 0$.
→VTPT: $\vec{n}_1(1;\ -\sqrt{3})$, $\vec{n}_2(\sqrt{3};\ -3)$.
→Kiểm tra cùng phương: $1 \cdot (-3) - \sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}) = -3 + 3 = 0$ ✓ → cùng phương.
→Lấy điểm $A(\sqrt{3};\ \dfrac{5}{3}) \in d_1$ (cho $x = \sqrt{3}$). Hoặc thử $A(0;\ \dfrac{2}{\sqrt{3}})$ tương tự.
→Đơn giản hơn: nhân $d_1$ với $\sqrt{3}$: $\sqrt{3}\,x - 3y + 2\sqrt{3} = 0$ — khác $d_2: \sqrt{3}\,x - 3y + 2 = 0$ vì $2\sqrt{3} \ne 2$.
⟹$d_1$ và $d_2$ song song.
3
Góc giữa hai đường thẳng
▼
a) Khái niệm
Định nghĩa
• Khi hai đường thẳng cắt nhau, chúng tạo thành 4 góc. Số đo của góc không tù trong 4 góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng.
• Hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau được quy ước có góc bằng $0°$.
• Hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau được quy ước có góc bằng $0°$.
Hình 2: Hai đường thẳng cắt nhau tạo 4 góc — góc giữa là góc không tù
💡Lưu ý: Góc giữa hai đường thẳng luôn $0° \le \varphi \le 90°$.
b) Công thức tính góc
Công thức tính góc
$\cos\varphi = \dfrac{|a_1 a_2 + b_1 b_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2}}$
Trong đó $\vec{n}_1(a_1;\ b_1)$, $\vec{n}_2(a_2;\ b_2)$ là VTPT của hai đường thẳng.
⚠️Trị tuyệt đối ở tử số là bắt buộc: Vì góc giữa hai đường $\le 90°$ nên $\cos\varphi \ge 0$. Do đó tử số phải có dấu giá trị tuyệt đối.
c) Trường hợp đặc biệt — Hai đường vuông góc
Điều kiện vuông góc
$\Delta_1 \perp \Delta_2 \Leftrightarrow \vec{n}_1 \perp \vec{n}_2 \Leftrightarrow a_1 a_2 + b_1 b_2 = 0$
Ví dụ 4 — Tính góc giữa hai đường thẳng (SGK 7.8a)
Tính góc giữa $\Delta_1: \sqrt{3}\,x + y - 4 = 0$ và $\Delta_2: x + \sqrt{3}\,y + 3 = 0$.
①VTPT: $\vec{n}_1(\sqrt{3};\ 1)$, $\vec{n}_2(1;\ \sqrt{3})$.
②Áp dụng công thức:
→$\cos\varphi = \dfrac{|\sqrt{3} \cdot 1 + 1 \cdot \sqrt{3}|}{\sqrt{3 + 1} \cdot \sqrt{1 + 3}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{2 \cdot 2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
⟹$\varphi = \mathbf{30°}$.
Ví dụ 5 — Đường thẳng cho dạng tham số (SGK 7.8b)
Tính góc giữa $d_1: \begin{cases} x = -1 + 2t \\ y = 3 + 4t \end{cases}$ và $d_2: \begin{cases} x = 3 + s \\ y = 1 - 3s \end{cases}$
①VTCP: $\vec{u}_1(2;\ 4)$, $\vec{u}_2(1;\ -3)$.
②$\cos\varphi = \dfrac{|2 \cdot 1 + 4 \cdot (-3)|}{\sqrt{4 + 16} \cdot \sqrt{1 + 9}} = \dfrac{|-10|}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{10}}$
→$= \dfrac{10}{\sqrt{200}} = \dfrac{10}{10\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
⟹$\varphi = \mathbf{45°}$.
💡Lưu ý: Khi đường thẳng cho ở dạng tham số, có thể dùng công thức với VTCP trực tiếp:
$\cos\varphi = \dfrac{|\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2|}{|\vec{u}_1| \cdot |\vec{u}_2|}$ — kết quả như nhau (vì VTPT vuông góc với VTCP cùng đường).
$\cos\varphi = \dfrac{|\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2|}{|\vec{u}_1| \cdot |\vec{u}_2|}$ — kết quả như nhau (vì VTPT vuông góc với VTCP cùng đường).
4
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
▼
Định lí
Cho điểm $M(x_0;\ y_0)$ và đường thẳng $\Delta: ax + by + c = 0$. Khoảng cách từ $M$ đến $\Delta$, kí hiệu $d(M,\ \Delta)$, được tính bởi:
Công thức khoảng cách
$d(M,\ \Delta) = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
Hình 3: Khoảng cách $d(M,\ \Delta) = MH$ với $MH \perp \Delta$ tại $H$
⚠️Hai lưu ý quan trọng:
① Phải đưa phương trình về dạng tổng quát $ax + by + c = 0$ trước khi áp dụng.
② Tử số phải có dấu trị tuyệt đối — vì khoảng cách luôn $\ge 0$.
① Phải đưa phương trình về dạng tổng quát $ax + by + c = 0$ trước khi áp dụng.
② Tử số phải có dấu trị tuyệt đối — vì khoảng cách luôn $\ge 0$.
Cách tính — 3 bước
Bước 1
Đưa $\Delta$ về
$ax+by+c=0$
Đưa $\Delta$ về
$ax+by+c=0$
→
Bước 2
Thay $M(x_0;\ y_0)$
vào tử số
Thay $M(x_0;\ y_0)$
vào tử số
→
Bước 3
Áp dụng
công thức
Áp dụng
công thức
Ví dụ 6 — Tính khoảng cách (SGK)
Tính khoảng cách từ $M(2;\ 4)$ đến đường thẳng $\Delta: 3x + 4y - 12 = 0$.
→Áp dụng công thức với $a = 3$, $b = 4$, $c = -12$, $(x_0;\ y_0) = (2;\ 4)$:
→$d(M,\ \Delta) = \dfrac{|3 \cdot 2 + 4 \cdot 4 - 12|}{\sqrt{9 + 16}} = \dfrac{|10|}{5} = 2$
⟹Khoảng cách từ $M$ đến $\Delta$ bằng $\mathbf{2}$.
Ví dụ 7 — Khoảng cách (SGK 7.9a)
Tính khoảng cách từ $A(0;\ -2)$ đến $\Delta: x + y - 4 = 0$.
→$a = 1$, $b = 1$, $c = -4$. Thay $A(0;\ -2)$:
→$d(A,\ \Delta) = \dfrac{|0 + (-2) - 4|}{\sqrt{1 + 1}} = \dfrac{|-6|}{\sqrt{2}} = \dfrac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$
⟹$d(A,\ \Delta) = \mathbf{3\sqrt{2}}$.
5
Phương trình đường thẳng song song và vuông góc — Hệ số góc
▼
a) Viết phương trình đường thẳng song song hoặc vuông góc với đường cho trước
Đường // với $\Delta$
Cùng VTPT với $\Delta$
Bước 1Đọc VTPT $\vec{n}$ của $\Delta$
Bước 2Đường mới có cùng VTPT $\vec{n}$
Bước 3Lập PTTQ qua điểm $M$ cho trước
Đường ⊥ với $\Delta$
VTCP đường mới = VTPT của $\Delta$
Bước 1Đọc VTPT $\vec{n}$ của $\Delta$
Bước 2VTCP đường mới = $\vec{n}$ → suy VTPT mới
Bước 3Lập PTTQ qua điểm $N$ cho trước
Ví dụ 8 — Đường thẳng song song (SGK 7.9b)
Viết PT đường thẳng $a$ qua $M(-1;\ 0)$ và song song với $\Delta: x + y - 4 = 0$.
→$\Delta$ có VTPT $\vec{n}(1;\ 1)$. Đường $a$ song song với $\Delta$ → có cùng VTPT $(1;\ 1)$.
→$a$ qua $M(-1;\ 0)$ với VTPT $(1;\ 1)$:
→$1(x + 1) + 1(y - 0) = 0 \Leftrightarrow x + y + 1 = 0$
⟹$a: \mathbf{x + y + 1 = 0}$
Ví dụ 9 — Đường thẳng vuông góc (SGK 7.9c)
Viết PT đường thẳng $b$ qua $N(0;\ 3)$ và vuông góc với $\Delta: x + y - 4 = 0$.
→$\Delta$ có VTPT $(1;\ 1)$. Đường $b \perp \Delta$ → VTCP của $b$ là $(1;\ 1)$.
→Suy ra VTPT của $b$: $\vec{n}_b(1;\ -1)$.
→$b$ qua $N(0;\ 3)$: $1(x - 0) - 1(y - 3) = 0$
⟹$b: \mathbf{x - y + 3 = 0}$
b) Điều kiện vuông góc qua hệ số góc
Định lí
Cho hai đường thẳng $d: y = ax + b$ ($a \ne 0$) và $d': y = a'x + b'$ ($a' \ne 0$). Khi đó:
$d \perp d' \Leftrightarrow a \cdot a' = -1$
⚠️Lưu ý: Công thức $a \cdot a' = -1$ chỉ áp dụng khi cả hai đường viết được dưới dạng $y = ax + b$ (tức là không song song trục $Oy$).
Ví dụ: $x = 3$ và $y = 5$ vẫn vuông góc nhưng không có hệ số góc — không áp dụng được công thức này.
Ví dụ: $x = 3$ và $y = 5$ vẫn vuông góc nhưng không có hệ số góc — không áp dụng được công thức này.
Ví dụ 10 — Diện tích tam giác (SGK 7.10, tóm tắt)
Cho tam giác $ABC$ với $A(1;\ 0)$, $B(3;\ 2)$, $C(-2;\ -1)$. Tính diện tích tam giác.
①$\overrightarrow{BC} = (-5;\ -3) \Rightarrow BC = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}$
②VTPT của $BC$: $\vec{n}(3;\ -5)$. PT $BC$ qua $B(3;\ 2)$:
$3(x - 3) - 5(y - 2) = 0 \Leftrightarrow 3x - 5y + 1 = 0$
$3(x - 3) - 5(y - 2) = 0 \Leftrightarrow 3x - 5y + 1 = 0$
③Đường cao $AH = d(A,\ BC) = \dfrac{|3 \cdot 1 - 5 \cdot 0 + 1|}{\sqrt{34}} = \dfrac{4}{\sqrt{34}}$
④$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AH \cdot BC = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{\sqrt{34}} \cdot \sqrt{34} = 2$
⟹$S_{ABC} = \mathbf{2}$ (đvdt).
6
Tổng kết
▼
Bảng tóm tắt 3 chủ đề chính
| Chủ đề | Công thức / Cách làm |
|---|---|
| Vị trí tương đối (Hệ PT) | Hệ có nghiệm DUY NHẤT → cắt nhau Hệ VÔ nghiệm → song song Hệ VÔ SỐ nghiệm → trùng nhau |
| Vị trí tương đối (VTPT) | $\vec{n}_1, \vec{n}_2$ KHÔNG cùng phương → cắt $\vec{n}_1, \vec{n}_2$ CÙNG phương → song song hoặc trùng (kiểm tra điểm) |
| Góc giữa 2 đường thẳng | $\cos\varphi = \dfrac{|a_1 a_2 + b_1 b_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2}}$ Vuông góc: $a_1 a_2 + b_1 b_2 = 0$ |
| Khoảng cách điểm — đường | $d(M,\ \Delta) = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ |
| Hệ số góc (vuông góc) | $y = ax + b$ ⊥ $y = a'x + b'$ ⟺ $a \cdot a' = -1$ |
✓Mẹo nhớ nhanh:
• Vị trí: Chia tỉ lệ hệ số $\dfrac{a_1}{a_2}$ và $\dfrac{b_1}{b_2}$ — bằng nhau là cùng phương.
• Góc: Tử số có $|...|$, mẫu số là tích hai độ dài VTPT.
• Khoảng cách: Tử số có $|...|$, mẫu là $\sqrt{a^2 + b^2}$.
• Vuông góc: $a_1 a_2 + b_1 b_2 = 0$ (hoặc $a \cdot a' = -1$ với hệ số góc).
📚
Xem thêm bài viết chi tiết• Vị trí: Chia tỉ lệ hệ số $\dfrac{a_1}{a_2}$ và $\dfrac{b_1}{b_2}$ — bằng nhau là cùng phương.
• Góc: Tử số có $|...|$, mẫu số là tích hai độ dài VTPT.
• Khoảng cách: Tử số có $|...|$, mẫu là $\sqrt{a^2 + b^2}$.
• Vuông góc: $a_1 a_2 + b_1 b_2 = 0$ (hoặc $a \cdot a' = -1$ với hệ số góc).
Vị trí tương đối, góc và khoảng cách — lý thuyết, các dạng bài tập →
1
—
Điểm: 0/25
📐
Luyện tập Vị trí tương đối — Góc — Khoảng cách!
25 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh