Lớp 10 · Toán
Bài 24
Hoán Vị, Chỉnh Hợp Và Tổ Hợp
Hoán vị $P_n$ · Chỉnh hợp $A_n^k$ · Tổ hợp $C_n^k$
1
Hoán vị $P_n$
▼
Định nghĩa
Một hoán vị của một tập hợp có $n$ phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự $n$ phần tử đó (với $n \geq 1$).
Công thức
Số các hoán vị của tập hợp có $n$ phần tử, kí hiệu là $P_n$, được tính bằng công thức:
$P_n = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2 \cdot 1 = n!$
💡Kí hiệu giai thừa: $n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2 \cdot 1$ (đọc là "$n$ giai thừa"). Quy ước: $0! = 1$ và $1! = 1$.
Bảng giá trị $n!$ thường gặp:
| $n$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $n!$ | $1$ | $2$ | $6$ | $24$ | $120$ | $720$ | $5\,040$ |
Ví dụ 1 — Lập số có chữ số khác nhau
Từ các chữ số $6, 7, 8, 9$ có thể lập được bao nhiêu số có $4$ chữ số khác nhau?
→Mỗi cách sắp xếp $4$ chữ số đã cho tạo thành một số có $4$ chữ số khác nhau ⟶ là một hoán vị của $4$ chữ số.
→Áp dụng công thức: $P_4 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$.
⟹Số các số: $\mathbf{24}$ (số).
Ví dụ 2 — Sắp xếp người vào hàng
Có $5$ học sinh xếp thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp?
→Mỗi cách xếp $5$ học sinh thành hàng là một hoán vị của $5$ phần tử.
⟹Số cách xếp: $P_5 = 5! = \mathbf{120}$ (cách).
⚠️Dấu hiệu nhận biết hoán vị: Đề bài yêu cầu sắp xếp, xếp thứ tự, hoặc xếp thành hàng tất cả $n$ phần tử của tập hợp.
2
Chỉnh hợp $A_n^k$
▼
Định nghĩa
Một chỉnh hợp chập $k$ của $n$ là một cách sắp xếp có thứ tự $k$ phần tử lấy từ một tập hợp có $n$ phần tử (với $1 \leq k \leq n$).
Công thức
Số các chỉnh hợp chập $k$ của $n$, kí hiệu $A_n^k$, được tính bằng:
$A_n^k = n \cdot (n-1) \cdots (n-k+1) = \dfrac{n!}{(n-k)!}$
Cách nhớ: nhân $k$ thừa số liên tiếp giảm dần, bắt đầu từ $n$.
💡Mối liên hệ với hoán vị: Khi $k = n$, ta có $A_n^n = \dfrac{n!}{0!} = n! = P_n$. Nói cách khác, hoán vị là chỉnh hợp chập $n$ của $n$.
Ví dụ 3 — Tính $A_n^k$
•$A_5^2 = 5 \cdot 4 = \mathbf{20}$ ($2$ thừa số liên tiếp giảm dần từ $5$).
•$A_6^3 = 6 \cdot 5 \cdot 4 = \mathbf{120}$ ($3$ thừa số).
•$A_7^4 = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = \mathbf{840}$ ($4$ thừa số).
Ví dụ 4 — Chọn người có thứ tự
Một lớp có $30$ học sinh. Giáo viên cần chọn lần lượt $4$ học sinh để trồng $4$ cây khác nhau tại lễ phát động Tết trồng cây. Hỏi giáo viên có bao nhiêu cách chọn?
→Vì $4$ cây khác nhau ⟶ thứ tự chọn người là quan trọng (người thứ nhất trồng cây 1, người thứ hai trồng cây 2,...).
→Mỗi cách chọn lần lượt là một chỉnh hợp chập $4$ của $30$.
⟹Số cách chọn: $A_{30}^4 = 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 = \mathbf{657\,720}$ (cách).
⚠️Dấu hiệu nhận biết chỉnh hợp:
• Chọn $k$ phần tử trong $n$ phần tử ($k < n$) VÀ các phần tử được chọn có vai trò khác nhau (xếp vào các vị trí khác nhau, đảm nhận các nhiệm vụ khác nhau).
• Lập số có $k$ chữ số khác nhau (mỗi vị trí hàng nghìn, trăm, chục, đơn vị là khác nhau).
• Chọn $k$ phần tử trong $n$ phần tử ($k < n$) VÀ các phần tử được chọn có vai trò khác nhau (xếp vào các vị trí khác nhau, đảm nhận các nhiệm vụ khác nhau).
• Lập số có $k$ chữ số khác nhau (mỗi vị trí hàng nghìn, trăm, chục, đơn vị là khác nhau).
3
Tổ hợp $C_n^k$
▼
Định nghĩa
Một tổ hợp chập $k$ của $n$ là một cách chọn $k$ phần tử từ một tập hợp có $n$ phần tử (với $0 \leq k \leq n$), không quan tâm thứ tự.
Công thức
Số các tổ hợp chập $k$ của $n$, kí hiệu $C_n^k$, được tính bằng:
$C_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)! \cdot k!} = \dfrac{A_n^k}{k!}$
💡So sánh chỉnh hợp & tổ hợp: Cả hai đều "chọn $k$ phần tử trong $n$", chỉ khác:
• Chỉnh hợp: chọn có thứ tự (xếp vào $k$ vị trí khác nhau).
• Tổ hợp: chọn không thứ tự (chỉ là một nhóm $k$ phần tử).
Quan hệ: $C_n^k = \dfrac{A_n^k}{k!}$ (chia cho $k!$ vì mỗi nhóm $k$ phần tử có thể sắp $k!$ cách).
• Chỉnh hợp: chọn có thứ tự (xếp vào $k$ vị trí khác nhau).
• Tổ hợp: chọn không thứ tự (chỉ là một nhóm $k$ phần tử).
Quan hệ: $C_n^k = \dfrac{A_n^k}{k!}$ (chia cho $k!$ vì mỗi nhóm $k$ phần tử có thể sắp $k!$ cách).
Ví dụ 5 — Tính $C_n^k$
•$C_5^2 = \dfrac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = \mathbf{10}$.
•$C_7^4 = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \dfrac{840}{24} = \mathbf{35}$.
•$C_{10}^3 = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \mathbf{120}$.
Ví dụ 6 — Chọn nhóm không thứ tự
Có $7$ bạn học sinh muốn chơi cờ cá ngựa, mỗi ván chỉ có $4$ người chơi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn $4$ bạn chơi cờ cá ngựa?
→Chọn $4$ bạn để chơi cùng nhau ⟶ không phân biệt thứ tự (chỉ cần biết ai được chọn).
→Đây là tổ hợp chập $4$ của $7$.
⟹Số cách chọn: $C_7^4 = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \mathbf{35}$ (cách).
⚠️Dấu hiệu nhận biết tổ hợp: Đề bài có các từ khoá như "chọn", "lấy ra", "thành lập đội/nhóm", "tập hợp" — và các phần tử được chọn có vai trò như nhau, không phân biệt thứ tự.
4
Phân biệt Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp
▼
Đây là phần quan trọng nhất. Phải nhận đúng dạng thì mới chọn đúng công thức.
| Hoán vị $P_n$ | Chỉnh hợp $A_n^k$ | Tổ hợp $C_n^k$ | |
|---|---|---|---|
| Ý nghĩa | Sắp xếp tất cả $n$ phần tử | Chọn $k$ trong $n$, có thứ tự | Chọn $k$ trong $n$, không thứ tự |
| Công thức | $n!$ | $\dfrac{n!}{(n-k)!}$ | $\dfrac{n!}{(n-k)! \cdot k!}$ |
| Điều kiện | $n \geq 1$ | $1 \leq k \leq n$ | $0 \leq k \leq n$ |
| Thứ tự? | Có | Có | Không |
| Ví dụ | Xếp $5$ người thành hàng | Chọn lớp trưởng, lớp phó từ $20$ HS | Chọn $5$ HS đi cắm trại |
Sơ đồ ra quyết định để chọn công thức:
❓ Câu 1: Bài toán có sắp xếp tất cả $n$ phần tử không?
CÓ → Hoán vị $P_n$
→ KHÔNG: chuyển câu 2
❓ Câu 2: Khi chọn $k$ phần tử, thứ tự có quan trọng không?
CÓ → Chỉnh hợp $A_n^k$
KHÔNG → Tổ hợp $C_n^k$
Ví dụ 7 — So sánh $3$ tình huống
Một lớp có $5$ học sinh giỏi.
①Xếp cả $5$ học sinh thành hàng để chụp ảnh kỉ niệm.
→Sắp xếp tất cả $5$ phần tử ⟶ hoán vị: $P_5 = 5! = \mathbf{120}$ cách.
②Chọn $3$ trong $5$ học sinh đó làm lớp trưởng, lớp phó, thư ký ($3$ vị trí khác nhau).
→Chọn có thứ tự ⟶ chỉnh hợp: $A_5^3 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = \mathbf{60}$ cách.
③Chọn $3$ trong $5$ học sinh đó tham gia đội văn nghệ (vai trò như nhau).
→Chọn không thứ tự ⟶ tổ hợp: $C_5^3 = \dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \mathbf{10}$ cách.
5
Bài toán đếm tổng hợp
▼
Trong bài toán đếm thực tế, ta thường kết hợp hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp với quy tắc nhân (giữa các công đoạn) và quy tắc cộng (giữa các trường hợp).
Ví dụ 8 — Cùng bài toán, khác yêu cầu
Anh Hưng dự định từ Hà Nội đi tham quan $5$ địa điểm: Đền Hùng, Ninh Bình, Hạ Long, Đường Lâm và Bát Tràng.
a)Xếp lịch trình đi tham quan tất cả $5$ địa điểm:
→Đi tất cả ⟶ hoán vị: $P_5 = 5! = \mathbf{120}$ (lịch trình).
b)Chỉ có $3$ ngày, đi $3$ địa điểm:
→Chọn $3$ trong $5$ địa điểm có thứ tự (ngày 1 đi đâu khác ngày 2) ⟶ chỉnh hợp:
→$A_5^3 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = \mathbf{60}$ (lịch trình).
Ví dụ 9 — Kết hợp tổ hợp với quy tắc nhân
Một câu lạc bộ cờ vua có $10$ bạn nam và $7$ bạn nữ. Cần chọn $4$ bạn đi thi đấu cờ vua sao cho có $2$ nam và $2$ nữ. Có bao nhiêu cách?
Chọn $2$ nam
$C_{10}^2$ cách
$C_{10}^2$ cách
×
Chọn $2$ nữ
$C_7^2$ cách
$C_7^2$ cách
①Chọn $2$ nam từ $10$ nam (không thứ tự): $C_{10}^2 = \dfrac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$.
②Chọn $2$ nữ từ $7$ nữ: $C_7^2 = \dfrac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$.
⟹Áp dụng quy tắc nhân: $45 \cdot 21 = \mathbf{945}$ (cách).
Ví dụ 10 — Lập số có chữ số khác nhau (chỉnh hợp)
Từ các chữ số $0, 1, 2, 3, 4$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có $3$ chữ số khác nhau?
→Số có dạng $\overline{abc}$ với $a \neq 0$ và $a, b, c$ đôi một khác nhau, lấy từ $\{0,1,2,3,4\}$.
①Chọn $a$ trước (vì bị ràng buộc $a \neq 0$): $a \in \{1,2,3,4\}$ ⟶ có $4$ cách.
②Sau khi chọn $a$, còn $4$ chữ số. Chọn $b, c$ có thứ tự từ $4$ chữ số còn lại ⟶ chỉnh hợp:
→$A_4^2 = 4 \cdot 3 = 12$ (cách).
⟹Áp dụng quy tắc nhân: $4 \cdot 12 = \mathbf{48}$ (số).
Ví dụ 11 — Lập số khác nhau và chia hết cho $5$ (chia trường hợp)
Có bao nhiêu số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho $5$?
→Số có dạng $\overline{abcd}$, $a \neq 0$, các chữ số khác nhau, $d \in \{0; 5\}$.
①TH 1: $d = 0$. Còn lại chọn có thứ tự $3$ chữ số $a, b, c$ từ $9$ chữ số $\{1, 2, \ldots, 9\}$.
→Số TH 1 = $A_9^3 = 9 \cdot 8 \cdot 7 = 504$.
②TH 2: $d = 5$.
→$a \in \{1, \ldots, 9\}$ và $a \neq 5$ ⟶ $8$ cách.
→Còn lại $8$ chữ số (bỏ $a$ và $5$). Chọn có thứ tự $b, c$ ⟶ $A_8^2 = 8 \cdot 7 = 56$.
→Số TH 2 = $8 \cdot 56 = 448$.
⟹Tổng (cộng $2$ TH rời nhau): $504 + 448 = \mathbf{952}$ (số).
6
Mở rộng — Bài toán xếp chỗ đối diện (hai dãy ghế)
▼
Dạng "xếp nam – nữ ngồi đối diện nhau ở hai dãy ghế" chỉ dùng hoán vị và quy tắc nhân (đã học), nhưng cần một cách mô hình hoá riêng mà các ví dụ ở Card 5 chưa minh hoạ.
Mô hình — tách theo "cột đối diện"
Hai dãy ghế, mỗi dãy $k$ ghế cùng số → có $k$ cột đối diện; mỗi cột cần đúng $1$ nam và $1$ nữ. Ta tách thành 3 công đoạn độc lập rồi nhân:
① Ở mỗi cột, chọn dãy nào dành cho nam (dãy còn lại cho nữ): $2$ cách → lặp $k$ cột → $2^k$ cách.
② Xếp $k$ bạn nam (phân biệt) vào $k$ chỗ của nam: $k!$ cách.
③ Xếp $k$ bạn nữ vào $k$ chỗ của nữ: $k!$ cách.
② Xếp $k$ bạn nam (phân biệt) vào $k$ chỗ của nam: $k!$ cách.
③ Xếp $k$ bạn nữ vào $k$ chỗ của nữ: $k!$ cách.
Số cách $= 2^k \cdot k! \cdot k!$
Chọn dãy cho nam
(mỗi cột)
$2^k$ cách
(mỗi cột)
$2^k$ cách
×
Xếp $k$ nam
$k!$ cách
$k!$ cách
×
Xếp $k$ nữ
$k!$ cách
$k!$ cách
💡Vì sao là $2^k$? Mỗi cột là một lựa chọn nhị phân độc lập (nam ở dãy trên hay dãy dưới). Quy tắc nhân áp dụng $k$ lần cho $k$ cột: $\underbrace{2 \cdot 2 \cdots 2}_{k \text{ thừa số}} = 2^k$.
Ví dụ — Trường hợp cơ bản ($k = 2$)
Xếp $2$ nam và $2$ nữ vào $2$ dãy ghế, mỗi dãy $2$ ghế (số $1, 2$), sao cho mỗi nam ngồi đối diện một nữ. Có bao nhiêu cách?
①Chọn dãy cho nam ở mỗi cột: $2^2 = 4$ cách.
②Xếp $2$ nam vào $2$ chỗ nam: $2! = 2$ cách.
③Xếp $2$ nữ vào $2$ chỗ nữ: $2! = 2$ cách.
⟹Quy tắc nhân: $4 \cdot 2 \cdot 2 = \mathbf{16}$ (cách).
Biến thể — có một cặp bị ràng buộc
Khi một cặp cụ thể (ví dụ bạn nam An – bạn nữ Vy) buộc ngồi đối diện nhau ở một số vị trí cho trước, ta xếp cặp cố định TRƯỚC:
① Cặp cố định: $(\text{số vị trí được phép}) \times 2$ (An ở dãy trên hay dưới).
② Phần còn lại $(k-1)$ nam, $(k-1)$ nữ → áp dụng mô hình cơ bản: $2^{\,k-1} \cdot (k-1)! \cdot (k-1)!$.
③ Nhân tất cả lại (quy tắc nhân).
② Phần còn lại $(k-1)$ nam, $(k-1)$ nữ → áp dụng mô hình cơ bản: $2^{\,k-1} \cdot (k-1)! \cdot (k-1)!$.
③ Nhân tất cả lại (quy tắc nhân).
⚠️Thứ tự làm: Luôn xử lý phần tử/cặp bị ràng buộc trước (giống mẹo "chọn vị trí $a \neq 0$ trước" ở Ví dụ 10), rồi mới áp mô hình cho phần còn lại — tránh đếm thừa hoặc thiếu.
✓Ghi nhớ: Xếp đối diện hai dãy = tách $3$ công đoạn rồi nhân: (chọn dãy cho nam mỗi cột: $2^k$) × (xếp nam: $k!$) × (xếp nữ: $k!$). Có cặp bị ràng buộc → xếp cặp đó trước, phần còn lại quay về mô hình cơ bản với $k-1$.
7
Sai lầm thường gặp & Tổng kết
▼
Sai lầm thường gặp khi giải:
| STT | Sai lầm | Đính chính |
|---|---|---|
| 1 | Nhầm lẫn chỉnh hợp và tổ hợp. | Chỉnh hợp: chọn có thứ tự (lớp trưởng – lớp phó khác lớp phó – lớp trưởng). Tổ hợp: chọn không thứ tự (chọn nhóm, chọn đội). |
| 2 | Dùng hoán vị khi chỉ chọn một phần các phần tử. | Hoán vị chỉ dùng khi sắp xếp TẤT CẢ $n$ phần tử. Nếu chọn $k < n$ phần tử ⟶ phải dùng chỉnh hợp hoặc tổ hợp. |
| 3 | Quên điều kiện $a \neq 0$ khi lập số. | Chữ số đầu (hàng cao nhất) luôn $\neq 0$. Cần chọn vị trí bị ràng buộc trước. |
| 4 | Không chia trường hợp khi có nhiều ràng buộc đan xen. | Ví dụ: chia hết cho $5$ + chữ số khác nhau ⟶ phải xét riêng $d = 0$ và $d = 5$ (vì khi $d = 0$, ràng buộc $a \neq 0$ dễ thỏa hơn). |
| 5 | Quên áp dụng quy tắc nhân giữa các công đoạn. | Khi bài toán có nhiều công đoạn (chọn $2$ nam và $2$ nữ), phải nhân số cách của các công đoạn. |
Mối liên hệ giữa $P, A, C$:
$C_n^k = \dfrac{A_n^k}{k!} \qquad \text{và} \qquad P_n = A_n^n = n!$
✓Tóm tắt Bài 24:
• Hoán vị: $P_n = n!$ (sắp xếp tất cả $n$ phần tử).
• Chỉnh hợp: $A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}$ (chọn $k$ trong $n$, có thứ tự).
• Tổ hợp: $C_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)! \cdot k!}$ (chọn $k$ trong $n$, không thứ tự).
• Quy ước: $0! = 1$.
• Bài toán đếm tổng hợp ⟶ kết hợp với quy tắc cộng và quy tắc nhân; chia trường hợp khi cần.
📚
Xem thêm bài viết chi tiết• Hoán vị: $P_n = n!$ (sắp xếp tất cả $n$ phần tử).
• Chỉnh hợp: $A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}$ (chọn $k$ trong $n$, có thứ tự).
• Tổ hợp: $C_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)! \cdot k!}$ (chọn $k$ trong $n$, không thứ tự).
• Quy ước: $0! = 1$.
• Bài toán đếm tổng hợp ⟶ kết hợp với quy tắc cộng và quy tắc nhân; chia trường hợp khi cần.
Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp — lý thuyết & các dạng bài tập Toán 10 →
1
—
Điểm: 0/25
🎯
Luyện tập Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp!
25 câu · 6 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh