Câu hỏi mở đầu trang 45

Đề bài: Các định luật Boyle và Charles chỉ xác định mối liên hệ giữa hai cặp thông số “áp suất – thể tích” và “thể tích – nhiệt độ” của một khối lượng khí xác định. Vậy, làm thế nào để xác định được mối liên hệ của cả ba thông số trạng thái của một khối lượng khí xác định?

Lời giải:

Để xác định mối liên hệ của cả ba thông số ($p, V, T$), người ta kết hợp hai định luật Boyle và Charles. Bằng cách cho khí chuyển từ trạng thái ban đầu (1) qua một trạng thái trung gian (dùng một quá trình đẳng nhiệt), rồi từ trạng thái trung gian sang trạng thái cuối (2) (dùng một quá trình đẳng áp), ta suy ra được phương trình liên hệ cả ba thông số:

$$\dfrac{p V}{T} = \text{hằng số} \quad \text{hay} \quad \dfrac{p_1 V_1}{T_1} = \dfrac{p_2 V_2}{T_2}$$

Đây chính là phương trình trạng thái của khí lí tưởng.

I. Phương trình trạng thái của khí lí tưởng

1. Phương trình trạng thái của một lượng khí xác định

Hoạt động trang 45

Đề bài: Hãy dựa vào các định luật Boyle, Charles và Hình 11.1 về quá trình chuyển trạng thái của một khối lượng khí xác định để lập phương trình dưới đây về mối liên hệ giữa ba thông số trạng thái:

$$\dfrac{p_1 V_1}{T_1} = \dfrac{p_2 V_2}{T_2} \Rightarrow \dfrac{p V}{T} = \text{hằng số}$$

Lời giải:

Dựa vào Hình 11.1, ta chuyển khí từ trạng thái (1) qua trạng thái trung gian (1′) rồi tới trạng thái (2):

• Trạng thái (1): $p_1, V_1, T_1$
• Trạng thái (1′): $p_2, V_1′, T_1$
• Trạng thái (2): $p_2, V_2, T_2$

• Bước 1: Từ (1) sang (1′) là quá trình đẳng nhiệt ($T_1$ không đổi). Áp dụng định luật Boyle:

$$p_1 V_1 = p_2 V_1′ \Rightarrow V_1′ = \dfrac{p_1 V_1}{p_2} \quad (*)$$

• Bước 2: Từ (1′) sang (2) là quá trình đẳng áp ($p_2$ không đổi). Áp dụng định luật Charles:

$$\dfrac{V_1′}{T_1} = \dfrac{V_2}{T_2} \Rightarrow V_1′ = \dfrac{V_2 , T_1}{T_2} \quad (**)$$

• Bước 3: Từ (*) và (), ta có:**

$$\dfrac{p_1 V_1}{p_2} = \dfrac{V_2 , T_1}{T_2}$$

$$\Rightarrow \dfrac{p_1 V_1}{T_1} = \dfrac{p_2 V_2}{T_2}$$

Vậy: $\dfrac{p V}{T} = \text{hằng số}$. (đpcm)

Câu hỏi trang 45

Đề bài:

1. Hãy lập phương trình $\dfrac{p_1 V_1}{T_1} = \dfrac{p_2 V_2}{T_2}$ bằng một cách biến đổi trạng thái khác cách trong Hình 11.1 để chứng tỏ: Quá trình chuyển trạng thái không phụ thuộc cách chuyển trạng thái mà chỉ phụ thuộc trạng thái đầu và trạng thái cuối.
2. Tại sao không gọi phương trình (11.1) là phương trình trạng thái của chất khí mà lại gọi là phương trình trạng thái của khí lí tưởng?

Lời giải:

1. Chọn cách biến đổi đẳng áp trước, đẳng nhiệt sau:

• Trạng thái (1): $p_1, V_1, T_1$
• Trạng thái trung gian (1”): $p_1, V_1”, T_2$
• Trạng thái (2): $p_2, V_2, T_2$

• Bước 1: Từ (1) sang (1”) là quá trình đẳng áp ($p_1$ không đổi). Áp dụng định luật Charles:

$$\dfrac{V_1}{T_1} = \dfrac{V_1”}{T_2} \Rightarrow V_1” = \dfrac{V_1 , T_2}{T_1}$$

• Bước 2: Từ (1”) sang (2) là quá trình đẳng nhiệt ($T_2$ không đổi). Áp dụng định luật Boyle:

$$p_1 V_1” = p_2 V_2 \Rightarrow V_1” = \dfrac{p_2 V_2}{p_1}$$

• Bước 3: Cân bằng hai biểu thức của $V_1”$:

$$\dfrac{V_1 , T_2}{T_1} = \dfrac{p_2 V_2}{p_1} \Rightarrow \dfrac{p_1 V_1}{T_1} = \dfrac{p_2 V_2}{T_2}$$

→ Kết quả giống hệt với cách biến đổi ban đầu. Điều này chứng tỏ quá trình chuyển trạng thái chỉ phụ thuộc vào trạng thái đầu và trạng thái cuối, không phụ thuộc vào cách chuyển.

2. Không gọi là “phương trình trạng thái của chất khí” mà gọi là “phương trình trạng thái của khí lí tưởng” vì:

• Phương trình (11.1) được rút ra từ định luật Boyle và Charles.
• Nhưng hai định luật này chỉ đúng chính xác đối với khí lí tưởng — khí tuân theo hai định luật đó ở mọi điều kiện.
• Đối với khí thực, hai định luật chỉ đúng ở điều kiện thông thường (áp suất không quá $10^6$ Pa, nhiệt độ không dưới 200 K). Ở áp suất rất cao hoặc nhiệt độ rất thấp thì khí thực không tuân theo hai định luật này.

→ Do đó phương trình (11.1) chỉ đúng cho khí lí tưởng, nên gọi là phương trình trạng thái của khí lí tưởng.

Hoạt động trang 45

Đề bài:

1. Hãy biểu diễn bằng đồ thị trong hệ toạ độ ($p – V$) các quá trình chuyển trạng thái vẽ ở Hình 11.1.
2. Từ phương trình trạng thái của khí lí tưởng suy ra hệ thức liên hệ giữa áp suất và nhiệt độ tuyệt đối trong quá trình đẳng tích.

Lời giải:

1. Trong hệ toạ độ ($p – V$), các quá trình chuyển trạng thái vẽ ở Hình 11.1 được biểu diễn như sau:

• Đoạn (1) → (1′): quá trình đẳng nhiệt ($T_1$ không đổi) → đường biểu diễn là một nhánh hypebol. Điểm (1) có toạ độ $(V_1; p_1)$, điểm (1′) có toạ độ $(V_1′; p_2)$ với $p_2 > p_1$ và $V_1′ < V_1$ (khi áp suất tăng thì thể tích giảm).
• Đoạn (1′) → (2): quá trình đẳng áp ($p_2$ không đổi) → đường biểu diễn là đoạn thẳng nằm ngang song song với trục $V$. Điểm (2) có toạ độ $(V_2; p_2)$ với $V_2 > V_1’$ (khi nhiệt độ tăng đẳng áp thì thể tích tăng).

2. Trong quá trình đẳng tích, thể tích không đổi: $V_1 = V_2 = V$. Áp dụng phương trình trạng thái:

$$\dfrac{p_1 V}{T_1} = \dfrac{p_2 V}{T_2}$$

Rút gọn $V$ ở hai vế:

$$\dfrac{p_1}{T_1} = \dfrac{p_2}{T_2} \Rightarrow \dfrac{p}{T} = \text{hằng số}$$

→ Trong quá trình đẳng tích, áp suất tỉ lệ thuận với nhiệt độ tuyệt đối của khí.

II. Vận dụng

Hoạt động trang 47

Bài 1 – Bóng thám không

Đề bài: Người ta muốn chế tạo một bóng thám không có thể tăng bán kính lên tới 1 m khi bay ở tầng khí quyển có áp suất $0{,}3 \cdot 10^5$ Pa và nhiệt độ 200 K. Hỏi bán kính của bóng khi vừa bơm xong phải bằng bao nhiêu? Biết bóng được bơm ở áp suất $1{,}02 \cdot 10^5$ Pa và nhiệt độ 300 K.

Lời giải:

Tóm tắt:

• Trạng thái 1 (khi vừa bơm): $p_1 = 1{,}02 \cdot 10^5$ Pa; $T_1 = 300$ K; $r_1 = ?$
• Trạng thái 2 (khi bay cao): $p_2 = 0{,}3 \cdot 10^5$ Pa; $T_2 = 200$ K; $r_2 = 1$ m

Bóng có dạng hình cầu, thể tích $V = \dfrac{4}{3} \pi r^3$.

• Bước 1: Áp dụng phương trình trạng thái.

$$\dfrac{p_1 V_1}{T_1} = \dfrac{p_2 V_2}{T_2} \Rightarrow \dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{p_2 , T_1}{p_1 , T_2}$$

• Bước 2: Lập tỉ số bán kính.

Vì $\dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{r_1^3}{r_2^3}$, ta có:

$$\dfrac{r_1^3}{r_2^3} = \dfrac{p_2 , T_1}{p_1 , T_2} = \dfrac{0{,}3 \cdot 10^5 \cdot 300}{1{,}02 \cdot 10^5 \cdot 200} = \dfrac{90}{204} \approx 0{,}441$$

• Bước 3: Tính $r_1$.

$$r_1^3 = 0{,}441 \cdot r_2^3 = 0{,}441 \cdot 1^3 = 0{,}441 ; \text{m}^3$$

$$\Rightarrow r_1 = \sqrt[3]{0{,}441} \approx 0{,}76 ; \text{m}$$

Kết luận: Bán kính của bóng khi vừa bơm xong khoảng $r_1 \approx 0{,}76$ m.

Bài 2 – Túi khí ô tô

Đề bài: Trong túi khí thường chứa chất $\text{NaN}_3$. Khi xe va chạm mạnh, chất này phân huỷ tạo thành Na và khí $\text{N}_2$ làm phồng túi khí.

a) Viết phương trình phân huỷ $\text{NaN}_3$.

b) Tính lượng chất khí $\text{N}_2$ được giải phóng khi xảy ra phản ứng phân huỷ $\text{NaN}_3$, biết trong túi chứa 100 g $\text{NaN}_3$ và thể tích mol là 24,0 lít/mol.

c) Biết thể tích túi khí khi phồng lên có độ lớn tới 48 lít. Bỏ qua thể tích khí có trong túi trước khi phồng lên và thể tích của Na được tạo thành. Tính áp suất của khí $\text{N}_2$ trong túi khí khi đã phồng lên, biết nhiệt độ là 30 °C.

Lời giải:

a) Phương trình phân huỷ NaN₃:

$$2\text{NaN}_3 \rightarrow 2\text{Na} + 3\text{N}_2$$

b) Tính lượng khí N₂ giải phóng:

• Khối lượng mol của $\text{NaN}_3$: $M = 23 + 3 \cdot 14 = 65$ g/mol.
• Số mol $\text{NaN}_3$ có trong túi:

$$n_{\text{NaN}_3} = \dfrac{100}{65} \approx 1{,}54 ; \text{mol}$$

• Theo phương trình phản ứng: cứ 2 mol $\text{NaN}_3$ phân huỷ tạo ra 3 mol $\text{N}_2$, nên:

$$n_{\text{N}_2} = \dfrac{3}{2} \cdot n_{\text{NaN}_3} = \dfrac{3}{2} \cdot 1{,}54 \approx 2{,}31 \; \text{mol}$$

• Thể tích khí $\text{N}_2$ (với thể tích mol 24,0 lít/mol):

$$V_{\text{N}_2} = n_{\text{N}_2} \cdot 24{,}0 = 2{,}31 \cdot 24{,}0 \approx 55{,}4 \; \text{lít}$$

c) Tính áp suất khí N₂ trong túi khí khi đã phồng lên:

Tóm tắt: $n = 2{,}31$ mol; $V = 48$ lít $= 48 \cdot 10^{-3}$ m³; $T = 30 + 273 = 303$ K; $R = 8{,}31$ J/mol·K.

Áp dụng phương trình Clapeyron:

$$pV = nRT \Rightarrow p = \dfrac{nRT}{V}$$

$$p = \dfrac{2{,}31 \cdot 8{,}31 \cdot 303}{48 \cdot 10^{-3}} \approx \dfrac{5815}{0{,}048} \approx 1{,}21 \cdot 10^5 ; \text{Pa}$$

Kết luận: Áp suất khí $\text{N}_2$ trong túi khí khi phồng lên khoảng $1{,}21 \cdot 10^5$ Pa.

Em có thể

Giải thích được một số hiện tượng, thiết bị có liên quan đến phương trình trạng thái của khí lí tưởng

Lời giải:

Phương trình trạng thái $\dfrac{pV}{T} = \text{const}$ và phương trình Clapeyron $pV = nRT$ được ứng dụng để tính toán, chế tạo và giải thích nhiều thiết bị, hiện tượng thực tế:

1. Bình oxygen trong y tế:

Bình chứa oxygen ở áp suất cao (thường vài trăm bar). Nhờ phương trình trạng thái, có thể tính:

• Lượng oxygen (số mol $n$) chứa trong bình khi biết $p, V, T$.
• Thời gian sử dụng dựa trên lưu lượng thở của bệnh nhân.
• Áp suất còn lại trong bình sau một khoảng thời gian.

2. Túi khí ô tô:

Khi xe va chạm, hoá chất trong túi phân huỷ tạo ra một lượng khí rất lớn (đã tính ở Bài 2 phần trên) ở áp suất cao trong thời gian rất ngắn → làm phồng túi khí để bảo vệ người lái.

3. Bóng thám không:

Bóng chứa khí nhẹ (heli, hydrogen). Khi bay lên cao, áp suất và nhiệt độ khí quyển giảm → phương trình trạng thái cho phép tính bán kính bóng ở từng độ cao, tránh cho bóng nổ khi bán kính vượt giới hạn chịu đựng của vỏ.

4. Máy nén khí, máy điều hoà:

Phương trình trạng thái giúp xác định thông số khí trong các giai đoạn nén, giãn nở → thiết kế công suất máy phù hợp.

5. Tính lượng khí sinh ra trong phản ứng hoá học:

Với các phản ứng tạo khí (ví dụ: $\text{CaCO}_3 \xrightarrow{t^\circ} \text{CaO} + \text{CO}_2$; $\text{Zn} + 2\text{HCl} \rightarrow \text{ZnCl}_2 + \text{H}_2$), phương trình Clapeyron $pV = nRT$ giúp tính được thể tích, áp suất khí sinh ra ở nhiệt độ và điều kiện đo cho trước — rất hữu ích trong các bài toán liên môn Hoá – Vật lí.

Thầy Phạm Trần Quốc Anh

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Vật Lý THPT

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Vật lý, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ STEM, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 9+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lê Quí Đôn