Tình huống thực tiễn: Trong kỳ thi tốt nghiệp Trung học phổ thông năm 2021 đợt 1 có 344.752 thí sinh dự thi cả ba môn Toán, Vật lí, Hoá học. Giả sử điểm thi của các thí sinh này được cho trong bảng số liệu sau:

Các trường đại học, cao đẳng tuyển sinh theo tổ hợp A00 quan tâm đến tổng điểm ba môn của các thí sinh này. Biểu diễn dãy số liệu về tổng điểm ba môn của các thí sinh này thế nào để các trường thấy được bức tranh tổng thể về kết quả thi?

Với mẫu số liệu rất lớn như vậy, nếu lập bảng tần số thông thường sẽ rất khó hình dung. Ta cần sử dụng mẫu số liệu ghép nhóm!

1. Giới thiệu về mẫu số liệu ghép nhóm

1.1. Tại sao cần ghép nhóm?

Xét mẫu số liệu về tổng điểm (T) của 344.752 thí sinh:

• Mẫu số liệu có 344.752 giá trị (rất lớn!)
• Tổng điểm có thể nhận nhiều giá trị khác nhau từ 0 đến 30
• Nếu lập bảng tần số thông thường → rất khó hình dung bức tranh tổng thể

Giải pháp: Ghép các giá trị vào các nhóm và lập bảng tần số cho các nhóm.

Bảng này cho ta thấy ngay bức tranh tổng thể về kết quả thi!

1.2. Định nghĩa

Định nghĩa: Mẫu số liệu ghép nhóm là mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số của các nhóm số liệu.

Mỗi nhóm số liệu là tập hợp gồm các giá trị của số liệu được ghép nhóm theo một tiêu chí xác định.

Dạng nhóm số liệu thường gặp: $[a; b)$

Trong đó:

• $a$ là đầu mút trái (giá trị $a$ thuộc nhóm)
• $b$ là đầu mút phải (giá trị $b$ không thuộc nhóm)

Chú ý: Trong một số trường hợp, nhóm số liệu cuối cùng có thể lấy đầu mút bên phải, ví dụ: $[a; b]$.

1.3. Khi nào dùng mẫu số liệu ghép nhóm?

1.4. Cách đọc và giải thích mẫu số liệu ghép nhóm

Ví dụ 1: Mẫu số liệu sau cho biết phân bố theo độ tuổi của dân số Việt Nam năm 2019.

(Theo Báo cáo số liệu tổng điều tra dân số năm 2019)

a) Mẫu số liệu đã cho có là mẫu số liệu ghép nhóm hay không?

b) Nêu các nhóm và tần số tương ứng. Dân số Việt Nam năm 2019 là bao nhiêu?

Giải:

a) Nhận biết mẫu số liệu ghép nhóm:

Mẫu số liệu đã cho là mẫu số liệu ghép nhóm vì:

• Dữ liệu được chia thành các nhóm theo độ tuổi
• Mỗi nhóm có tần số tương ứng (số người)

b) Xác định các nhóm và tần số:

Giải thích:

• Có 23.371.882 người dưới 15 tuổi
• Có 65.420.451 người từ 15 đến dưới 65 tuổi
• Có 7.416.651 người từ 65 tuổi trở lên

Tính dân số Việt Nam năm 2019:

$$\text{Dân số} = 23.371.882 + 65.420.451 + 7.416.651 = 96.208.984 \text{ (người)}$$

Ví dụ 2: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian (phút) đi từ nhà đến nơi làm việc của các nhân viên một công ty như sau:

Đọc và giải thích mẫu số liệu này.

Giải:

Bước 1: Xác định các nhóm và tần số

Bước 2: Giải thích mẫu số liệu

• Có 6 nhân viên đi làm mất từ 15 đến dưới 20 phút
• Có 14 nhân viên đi làm mất từ 20 đến dưới 25 phút
• Có 25 nhân viên đi làm mất từ 25 đến dưới 30 phút
• Có 37 nhân viên đi làm mất từ 30 đến dưới 35 phút (nhóm có tần số cao nhất)
• Có 21 nhân viên đi làm mất từ 35 đến dưới 40 phút
• Có 13 nhân viên đi làm mất từ 40 đến dưới 45 phút
• Có 9 nhân viên đi làm mất từ 45 đến dưới 50 phút

Bước 3: Tính tổng số nhân viên

$$n = 6 + 14 + 25 + 37 + 21 + 13 + 9 = 125 \text{ (nhân viên)}$$

Nhận xét: Đa số nhân viên (37 người) đi làm mất từ 30 đến dưới 35 phút.

2. Ghép nhóm mẫu số liệu

2.1. Các khái niệm cơ bản

Độ dài của nhóm $[a; b)$: $$\text{Độ dài} = b – a$$

Khoảng biến thiên: $$R = x_{max} – x_{min}$$

(Hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu)

2.2. Các bước ghép nhóm mẫu số liệu

2.3. Nguyên tắc khi chia nhóm

2.4. Công thức xác định độ dài nhóm

Nếu muốn chia mẫu số liệu thành $k$ nhóm có độ dài bằng nhau:

$$\text{Độ dài mỗi nhóm} \geq \dfrac{x_{max} – x_{min}}{k}$$

Mẹo chọn đầu mút:

• Chọn đầu mút trái của nhóm đầu tiên nhỏ hơn hoặc bằng $x_{min}$
• Chọn đầu mút phải của nhóm cuối cùng lớn hơn hoặc bằng $x_{max}$
• Có thể chọn các đầu mút là số thập phân (như 127,5) để tránh trùng với giá trị trong mẫu

Ví dụ 3: Chỉ số BMI (đo bằng $w/h^2$, trong đó $w$ là cân nặng đơn vị là kilôgam, $h$ là chiều cao đơn vị là mét) của các học sinh trong một tổ được cho như sau:

$$19,2 \quad 21,1 \quad 16,8 \quad 23,5 \quad 20,6 \quad 25,2 \quad 18,7 \quad 19,1$$

Một người có chỉ số BMI nhỏ hơn 18,5 được xem là thiếu cân; từ 18,5 đến dưới 23 là có cân nặng lí tưởng so với chiều cao; từ 23 trở lên là thừa cân. Hãy lập mẫu số liệu ghép nhóm cho mẫu số liệu trên để biểu diễn tình trạng cân nặng so với chiều cao của các học sinh trong tổ.

Giải:

Bước 1: Xác định các nhóm theo tiêu chí BMI

Theo tiêu chí đã cho, ta chia thành 3 nhóm:

Bước 2: Phân loại từng giá trị vào nhóm tương ứng

Bước 3: Đếm tần số và lập bảng

Kết luận: Trong 8 học sinh của tổ, có 1 học sinh thiếu cân, 5 học sinh có cân nặng lí tưởng và 2 học sinh thừa cân.

Ví dụ 4: Bảng thống kê sau cho biết thời gian chạy (phút) của 30 vận động viên (VĐV) trong một giải chạy Marathon.

Hãy chuyển mẫu số liệu trên sang mẫu số liệu ghép nhóm gồm sáu nhóm có độ dài bằng nhau và bằng 3.

Giải:

Bước 1: Xác định khoảng biến thiên

• Giá trị nhỏ nhất: $x_{min} = 129$
• Giá trị lớn nhất: $x_{max} = 145$
• Khoảng biến thiên: $R = 145 – 129 = 16$

Bước 2: Xác định các nhóm

• Số nhóm: $k = 6$
• Độ dài mỗi nhóm: $h = 3$
• Tổng độ dài: $6 \times 3 = 18 > 16$ ✓ (thỏa mãn điều kiện)

Để thuận tiện, ta chọn:

• Đầu mút trái của nhóm đầu tiên: $127,5$ (nhỏ hơn $x_{min} = 129$)
• Đầu mút phải của nhóm cuối cùng: $127,5 + 6 \times 3 = 145,5$ (lớn hơn $x_{max} = 145$)

Các nhóm là:

• $[127,5; 130,5)$
• $[130,5; 133,5)$
• $[133,5; 136,5)$
• $[136,5; 139,5)$
• $[139,5; 142,5)$
• $[142,5; 145,5)$

Bước 3: Đếm số giá trị thuộc mỗi nhóm

Bước 4: Lập bảng mẫu số liệu ghép nhóm

Kiểm tra: Tổng số VĐV = $3 + 1 + 4 + 3 + 7 + 12 = 30$ ✓

3. Phương pháp giải các dạng toán

Dạng 1: Nhận biết và đọc mẫu số liệu ghép nhóm

Phương pháp:

Dấu hiệu nhận biết: Dữ liệu được chia thành các khoảng (nhóm) dạng $[a; b)$ hoặc mô tả bằng lời (như “dưới 15 tuổi”, “từ 15 đến dưới 65 tuổi”…)

Ví dụ 5: Trong các mẫu số liệu sau, mẫu nào là mẫu số liệu ghép nhóm? Đọc và giải thích mẫu số liệu ghép nhóm đó.

a) Số tiền mà sinh viên chi cho thanh toán cước điện thoại trong tháng:

b) Thống kê nhiệt độ tại một địa điểm trong 40 ngày:

Giải:

a) Nhận biết:

Đây là mẫu số liệu ghép nhóm vì dữ liệu được chia thành các nhóm dạng $[a; b)$.

Đọc và giải thích:

• Có 5 sinh viên chi từ 0 đến dưới 50 nghìn đồng cho cước điện thoại
• Có 12 sinh viên chi từ 50 đến dưới 100 nghìn đồng
• Có 23 sinh viên chi từ 100 đến dưới 150 nghìn đồng (nhóm đông nhất)
• Có 17 sinh viên chi từ 150 đến dưới 200 nghìn đồng
• Có 3 sinh viên chi từ 200 đến dưới 250 nghìn đồng

Tổng số sinh viên: $5 + 12 + 23 + 17 + 3 = 60$ sinh viên

Nhận xét: Đa số sinh viên (23 người) chi từ 100 đến dưới 150 nghìn đồng cho cước điện thoại mỗi tháng.

b) Nhận biết:

Đây là mẫu số liệu ghép nhóm vì dữ liệu được chia thành các nhóm nhiệt độ.

Đọc và giải thích:

• Có 7 ngày có nhiệt độ từ 19°C đến dưới 22°C
• Có 15 ngày có nhiệt độ từ 22°C đến dưới 25°C (nhóm nhiều nhất)
• Có 12 ngày có nhiệt độ từ 25°C đến dưới 28°C
• Có 6 ngày có nhiệt độ từ 28°C đến dưới 31°C

Kiểm tra: Tổng số ngày = $7 + 15 + 12 + 6 = 40$ ngày ✓

Nhận xét: Trong 40 ngày quan sát, đa số các ngày (15 ngày) có nhiệt độ từ 22°C đến dưới 25°C.

Dạng 2: Chuyển mẫu số liệu sang dạng ghép nhóm (độ dài nhóm cho trước)

Phương pháp:

Ví dụ 6: Số sản phẩm mỗi công nhân làm được trong một ngày được cho như sau:

$$18 \quad 25 \quad 39 \quad 12 \quad 54 \quad 27 \quad 46 \quad 25 \quad 19 \quad 8 \quad 36 \quad 22$$ $$20 \quad 19 \quad 17 \quad 44 \quad 5 \quad 18 \quad 23 \quad 28 \quad 25 \quad 34 \quad 46 \quad 27 \quad 16$$

Hãy chuyển mẫu số liệu sang dạng ghép nhóm với sáu nhóm có độ dài bằng nhau.

Giải:

Bước 1: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất

Sắp xếp dữ liệu theo thứ tự tăng dần:

$$5, 8, 12, 16, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 22, 23, 25, 25, 25, 27, 27, 28, 34, 36, 39, 44, 46, 46, 54$$

• Giá trị nhỏ nhất: $x_{min} = 5$
• Giá trị lớn nhất: $x_{max} = 54$
• Cỡ mẫu: $n = 25$ công nhân

Bước 2: Tính khoảng biến thiên

$$R = x_{max} – x_{min} = 54 – 5 = 49$$

Bước 3: Xác định độ dài mỗi nhóm

• Số nhóm: $k = 6$
• Độ dài mỗi nhóm tối thiểu: $\dfrac{R}{k} = \dfrac{49}{6} \approx 8,17$

Chọn độ dài mỗi nhóm: $h = 9$ (làm tròn lên để dễ tính)

Bước 4: Kiểm tra tổng độ dài

Tổng độ dài = $6 \times 9 = 54 \geq 49$ ✓

Bước 5: Chọn đầu mút và liệt kê các nhóm

Chọn đầu mút trái của nhóm đầu tiên là $4,5$ (nhỏ hơn $x_{min} = 5$).

Các nhóm là:

• $[4,5; 13,5)$: chứa các giá trị từ 4,5 đến dưới 13,5
• $[13,5; 22,5)$: chứa các giá trị từ 13,5 đến dưới 22,5
• $[22,5; 31,5)$: chứa các giá trị từ 22,5 đến dưới 31,5
• $[31,5; 40,5)$: chứa các giá trị từ 31,5 đến dưới 40,5
• $[40,5; 49,5)$: chứa các giá trị từ 40,5 đến dưới 49,5
• $[49,5; 58,5)$: chứa các giá trị từ 49,5 đến dưới 58,5

Bước 6: Đếm số giá trị thuộc mỗi nhóm

Bước 7: Lập bảng mẫu số liệu ghép nhóm

Bước 8: Kiểm tra

Tổng tần số = $3 + 8 + 7 + 3 + 3 + 1 = 25$ = Cỡ mẫu ✓

Ví dụ 7: Thời gian ra sân (giờ) của một số cựu cầu thủ ở giải ngoại hạng Anh qua các thời kỳ được cho như sau:

$$653 \quad 632 \quad 609 \quad 572 \quad 565 \quad 535 \quad 516 \quad 514$$ $$508 \quad 505 \quad 504 \quad 504 \quad 503 \quad 499 \quad 496 \quad 492$$

Hãy chuyển mẫu số liệu trên sang dạng ghép nhóm với bảy nhóm có độ dài bằng nhau.

Giải:

Bước 1: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất

• Giá trị nhỏ nhất: $x_{min} = 492$
• Giá trị lớn nhất: $x_{max} = 653$
• Cỡ mẫu: $n = 16$ cầu thủ

Bước 2: Tính khoảng biến thiên

$$R = x_{max} – x_{min} = 653 – 492 = 161$$

Bước 3: Xác định độ dài mỗi nhóm

• Số nhóm: $k = 7$
• Độ dài mỗi nhóm tối thiểu: $\dfrac{R}{k} = \dfrac{161}{7} = 23$

Chọn độ dài mỗi nhóm: $h = 24$ (làm tròn lên)

Bước 4: Kiểm tra tổng độ dài

Tổng độ dài = $7 \times 24 = 168 \geq 161$ ✓

Bước 5: Chọn đầu mút và liệt kê các nhóm

Chọn đầu mút trái của nhóm đầu tiên là $489$ (nhỏ hơn $x_{min} = 492$).

Các nhóm là:

• $[489; 513)$
• $[513; 537)$
• $[537; 561)$
• $[561; 585)$
• $[585; 609)$
• $[609; 633)$
• $[633; 657)$

Bước 6: Đếm số giá trị thuộc mỗi nhóm

Lưu ý: Giá trị 609 thuộc nhóm $[585; 609)$ vì đầu mút phải không thuộc nhóm?

Kiểm tra lại: $609 \in [585; 609)$? Không, vì 609 = đầu mút phải.

Vậy $609 \in [609; 633)$.

Sửa lại:

Bước 7: Lập bảng mẫu số liệu ghép nhóm

Kiểm tra: Tổng = $8 + 3 + 0 + 2 + 0 + 2 + 1 = 16$ ✓

Dạng 3: Chuyển mẫu số liệu sang dạng ghép nhóm (theo tiêu chí cho trước)

Phương pháp:

Ví dụ 8: Cân nặng (kg) của 35 người trưởng thành tại một khu dân cư được cho như sau:

$$43 \quad 51 \quad 47 \quad 62 \quad 48 \quad 40 \quad 50 \quad 62 \quad 53 \quad 56 \quad 40 \quad 48$$ $$56 \quad 53 \quad 50 \quad 42 \quad 55 \quad 52 \quad 48 \quad 46 \quad 45 \quad 54 \quad 52 \quad 50$$ $$47 \quad 44 \quad 54 \quad 55 \quad 60 \quad 63 \quad 58 \quad 55 \quad 60 \quad 58 \quad 53$$

Chuyển mẫu số liệu trên thành dạng ghép nhóm, các nhóm có độ dài bằng nhau, trong đó có nhóm [40; 45).

Giải:

Bước 1: Phân tích yêu cầu

• Đề cho biết có nhóm $[40; 45)$ → Độ dài mỗi nhóm là $45 – 40 = 5$
• Cỡ mẫu: $n = 35$

Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất

Sắp xếp dữ liệu:

$$40, 40, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 47, 48, 48, 48, 50, 50, 50, 51, 52, 52,$$ $$53, 53, 53, 54, 54, 55, 55, 55, 56, 56, 58, 58, 60, 60, 62, 62, 63$$

• Giá trị nhỏ nhất: $x_{min} = 40$
• Giá trị lớn nhất: $x_{max} = 63$
• Khoảng biến thiên: $R = 63 – 40 = 23$

Bước 3: Xác định các nhóm

Với độ dài mỗi nhóm $h = 5$ và nhóm đầu tiên là $[40; 45)$:

• $[40; 45)$
• $[45; 50)$
• $[50; 55)$
• $[55; 60)$
• $[60; 65)$

Tổng độ dài = $5 \times 5 = 25 \geq 23$ ✓

Bước 4: Đếm số giá trị thuộc mỗi nhóm

Bước 5: Lập bảng mẫu số liệu ghép nhóm

Kiểm tra: Tổng = $5 + 7 + 11 + 7 + 5 = 35$ ✓

Dạng 4: Bài toán ước lượng tỉ lệ từ mẫu

Phương pháp:

Ví dụ 9: Một công ty may quần áo đồng phục học sinh cho biết cỡ áo theo chiều cao của học sinh được tính như sau:

Công ty muốn ước lượng tỉ lệ các cỡ áo khi may cho học sinh lớp 11 đã đo chiều cao của 36 học sinh nam khối 11 của một trường và thu được mẫu số liệu sau (đơn vị là cm):

$$160 \quad 161 \quad 161 \quad 162 \quad 162 \quad 162 \quad 163 \quad 163 \quad 163 \quad 164 \quad 164 \quad 164$$ $$164 \quad 165 \quad 165 \quad 165 \quad 165 \quad 165 \quad 166 \quad 166 \quad 166 \quad 166 \quad 167 \quad 167$$ $$168 \quad 168 \quad 168 \quad 168 \quad 169 \quad 169 \quad 170 \quad 171 \quad 171 \quad 172 \quad 172 \quad 174$$

a) Lập bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu với các nhóm đã cho ở bảng trên.

b) Công ty may 500 áo đồng phục cho học sinh lớp 11 thì nên may số lượng áo theo mỗi cỡ là bao nhiêu chiếc?

Giải:

a) Lập bảng tần số ghép nhóm:

Bước 1: Phân loại từng giá trị vào nhóm tương ứng

Bước 2: Lập bảng tần số ghép nhóm

Kiểm tra: Tổng = $0 + 22 + 8 + 6 + 0 = 36$ ✓

b) Ước lượng số lượng áo mỗi cỡ:

Bước 1: Tính tần số tương đối (tỉ lệ) của mỗi cỡ áo

Bước 2: Ước lượng số áo mỗi cỡ cho 500 áo

Kiểm tra: Tổng = $0 + 306 + 111 + 83 + 0 = 500$ ✓

Kết luận: Công ty nên may:

• Cỡ S: 0 chiếc
• Cỡ M: 306 chiếc
• Cỡ L: 111 chiếc
• Cỡ XL: 83 chiếc
• Cỡ XXL: 0 chiếc

Tổng hợp mẹo nhớ

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh