Tình huống thực tiễn: Khi xây tường gạch, người thợ thường bắt đầu với việc xây các viên gạch dẫn, sau đó căng dây nhợ dọc theo cạnh của các viên gạch dẫn đó để làm chuẩn rồi mới xây các viên gạch tiếp theo.

Việc sử dụng dây căng như vậy có tác dụng gì? Toán học mô tả vị trí giữa dây căng, các mép gạch với mặt đất như thế nào? Bài học này sẽ giúp chúng ta trả lời những câu hỏi đó.

1. Đường thẳng song song với mặt phẳng

1.1. Các vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(\alpha)$. Có ba vị trí tương đối giữa chúng:

1.2. Định nghĩa đường thẳng song song với mặt phẳng

Định nghĩa: Cho đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(\alpha)$. Nếu $d$ và $(\alpha)$ không có điểm chung thì ta nói $d$ song song với $(\alpha)$ hay $(\alpha)$ song song với $d$.

Ký hiệu: $d \parallel (\alpha)$ hoặc $(\alpha) \parallel d$

1.3. Nhận xét quan trọng

Nhận xét 1: Đường thẳng và mặt phẳng chỉ có 3 vị trí tương đối (khác với hai đường thẳng trong không gian có 4 vị trí).

Nhận xét 2: Nếu đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $(\alpha)$ thì $d$ không có điểm nào chung với $(\alpha)$, nghĩa là $d$ không cắt $(\alpha)$ và $d$ không nằm trong $(\alpha)$.

Nhận xét 3: Nếu $d$ và $(\alpha)$ có điểm chung thì hoặc $d$ cắt $(\alpha)$ (1 điểm chung), hoặc $d \subset (\alpha)$ (vô số điểm chung).

Ví dụ 1: Cho hình tứ diện $ABCD$. Trong các mặt phẳng chứa các mặt của hình tứ diện, hãy cho biết:

a) Đường thẳng $AB$ cắt các mặt phẳng nào?

b) Đường thẳng $AB$ nằm trong các mặt phẳng nào?

Giải:

a) Đường thẳng $AB$ cắt các mặt phẳng nào?

Các mặt phẳng chứa các mặt của tứ diện gồm: $(ABC)$, $(ABD)$, $(ACD)$, $(BCD)$.

Xét từng mặt phẳng:

• $(ABC)$: chứa cạnh $AB$ → $AB \subset (ABC)$ → không cắt
• $(ABD)$: chứa cạnh $AB$ → $AB \subset (ABD)$ → không cắt
• $(ACD)$: chứa đỉnh $A$ nhưng không chứa $B$ → $AB$ cắt $(ACD)$ tại $A$
• $(BCD)$: chứa đỉnh $B$ nhưng không chứa $A$ → $AB$ cắt $(BCD)$ tại $B$

Vậy đường thẳng $AB$ cắt các mặt phẳng $(ACD)$ và $(BCD)$.

b) Đường thẳng $AB$ nằm trong các mặt phẳng nào?

Đường thẳng $AB$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$ khi $AB$ có ít nhất 2 điểm thuộc $(\alpha)$.

• $(ABC)$: chứa cả $A$ và $B$ → $AB \subset (ABC)$ ✓
• $(ABD)$: chứa cả $A$ và $B$ → $AB \subset (ABD)$ ✓
• $(ACD)$: chỉ chứa $A$, không chứa $B$ → $AB \not\subset (ACD)$
• $(BCD)$: chỉ chứa $B$, không chứa $A$ → $AB \not\subset (BCD)$

Vậy đường thẳng $AB$ nằm trong các mặt phẳng $(ABC)$ và $(ABD)$.

2. Điều kiện và tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng

2.1. Điều kiện để đường thẳng song song với mặt phẳng

Định lí (Điều kiện song song):

Nếu đường thẳng $a$ không nằm trong mặt phẳng $(P)$ và $a$ song song với một đường thẳng $b$ nằm trong $(P)$ thì $a$ song song với $(P)$.

Viết gọn:

$$\begin{cases} a \not\subset (P) \\ a \parallel b \\ b \subset (P) \end{cases} \Rightarrow a \parallel (P)$$

Lưu ý quan trọng:

Điều kiện “$a$ không nằm trong $(P)$” là bắt buộc!

Nếu thiếu điều kiện này, khi $a \subset (P)$ và $a \parallel b$ với $b \subset (P)$, ta chỉ có thể kết luận $a$ nằm trong $(P)$, không phải $a$ song song với $(P)$.

Mẹo chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng:

Cách hay dùng nhất: Sử dụng đường trung bình của tam giác hoặc hình thang.

Ví dụ 2: Cho ba đường thẳng $a$, $b$, $c$ đôi một song song với nhau và không cùng nằm trong một mặt phẳng. Chứng minh rằng đường thẳng $a$ song song với $mp(b, c)$.

Giải:

Bước 1: Chứng minh $a$ không nằm trong $mp(b, c)$

• Theo giả thiết, ba đường thẳng $a$, $b$, $c$ không cùng nằm trong một mặt phẳng
• Mà $mp(b, c)$ là mặt phẳng chứa $b$ và $c$
• Do đó đường thẳng $a$ không nằm trong $mp(b, c)$

Bước 2: Tìm đường thẳng trong $mp(b, c)$ song song với $a$

• Theo giả thiết: $a \parallel b$
• Đường thẳng $b$ nằm trong $mp(b, c)$

Bước 3: Áp dụng điều kiện song song

• $a \not\subset mp(b, c)$ (Bước 1)
• $a \parallel b$ (giả thiết)
• $b \subset mp(b, c)$

Theo định lí điều kiện song song:

Vậy đường thẳng $a$ song song với $mp(b, c)$.

Ví dụ 3: Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$. Chứng minh rằng có một mặt phẳng chứa $a$ và song song với $b$.

Giải:

Bước 1: Dựng mặt phẳng $(P)$ chứa $a$

• Lấy điểm $M$ bất kỳ thuộc đường thẳng $a$
• Qua $M$, kẻ đường thẳng $b’$ song song với $b$
• Đặt $(P) = mp(a, b’)$ (mặt phẳng chứa $a$ và $b’$)

Bước 2: Chứng minh $b$ không nằm trong $(P)$

• Vì $a$ và $b$ chéo nhau nên $a$ và $b$ không đồng phẳng
• $(P)$ chứa $a$
• Nếu $b \subset (P)$ thì $a$ và $b$ cùng thuộc $(P)$, tức là đồng phẳng
• Điều này mâu thuẫn với $a$ và $b$ chéo nhau
• Do đó $b$ không nằm trong $(P)$

Bước 3: Chứng minh $b \parallel (P)$

• $b \not\subset (P)$ (Bước 2)
• $b \parallel b’$ (cách dựng)
• $b’ \subset (P)$ (cách dựng)

Theo định lí điều kiện song song: $b \parallel (P)$

Kết luận: $(P) = mp(a, b’)$ là mặt phẳng chứa $a$ và song song với $b$.

Hệ quả: Cho trước hai đường thẳng chéo nhau, có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

2.2. Tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng

Định lí (Tính chất):

Cho đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(P)$. Nếu mặt phẳng $(Q)$ chứa $a$ và cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$ thì $b$ song song với $a$.

Viết gọn:

$$\begin{cases} a \parallel (P) \\ a \subset (Q) \\ (Q) \cap (P) = b \end{cases} \Rightarrow b \parallel a$$

Ý nghĩa của tính chất:

Khi biết $a \parallel (P)$, nếu ta dựng một mặt phẳng $(Q)$ chứa $a$ và cắt $(P)$, thì giao tuyến thu được sẽ song song với $a$.

Ứng dụng: Tính chất này rất hữu ích khi:

• Xác định giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của hình
• Chứng minh các đường thẳng song song

Ví dụ 4: Cho tứ diện $ABCD$, điểm $E$ nằm giữa hai điểm $A$ và $C$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng qua $E$ và song song với hai đường thẳng $AB$, $CD$. Xác định các giao tuyến của $(P)$ với các mặt của tứ diện. Hình tạo bởi các giao tuyến là hình gì?

Giải:

Bước 1: Xác định giao tuyến của $(P)$ với mặt phẳng $(ABC)$

• Mặt phẳng $(ABC)$ chứa đường thẳng $AB$
• $(P) \parallel AB$ (giả thiết)
• $(P)$ cắt $(ABC)$ (vì $E \in AC \subset (ABC)$ và $E \in (P)$)

Theo tính chất: Giao tuyến của $(P)$ và $(ABC)$ song song với $AB$.

• Giao tuyến đi qua $E$ (vì $E$ thuộc cả $(P)$ và $(ABC)$)
• Vẽ $EF \parallel AB$ với $F \in BC$

→ $EF$ là giao tuyến của $(P)$ và $(ABC)$.

Bước 2: Xác định giao tuyến của $(P)$ với mặt phẳng $(ACD)$

• Mặt phẳng $(ACD)$ chứa đường thẳng $CD$
• $(P) \parallel CD$ (giả thiết)

Theo tính chất: Giao tuyến của $(P)$ và $(ACD)$ song song với $CD$.

• Giao tuyến đi qua $E$ (vì $E \in AC \subset (ACD)$)
• Vẽ $EH \parallel CD$ với $H \in AD$

→ $EH$ là giao tuyến của $(P)$ và $(ACD)$.

Bước 3: Xác định giao tuyến của $(P)$ với mặt phẳng $(BCD)$

• Mặt phẳng $(BCD)$ chứa đường thẳng $CD$
• $(P) \parallel CD$ (giả thiết)

Theo tính chất: Giao tuyến của $(P)$ và $(BCD)$ song song với $CD$.

• Giao tuyến đi qua $F$ (vì $F \in BC \subset (BCD)$ và $F \in (P)$)
• Vẽ $FG \parallel CD$ với $G \in BD$

→ $FG$ là giao tuyến của $(P)$ và $(BCD)$.

Bước 4: Xác định giao tuyến của $(P)$ với mặt phẳng $(ABD)$

• Mặt phẳng $(ABD)$ chứa đường thẳng $AB$
• $(P) \parallel AB$ (giả thiết)

Theo tính chất: Giao tuyến của $(P)$ và $(ABD)$ song song với $AB$.

• Giao tuyến đi qua $H$ (vì $H \in AD \subset (ABD)$) và $G$ (vì $G \in BD \subset (ABD)$)

→ $GH$ là giao tuyến của $(P)$ và $(ABD)$.

Bước 5: Xác định hình tạo bởi các giao tuyến

Tứ giác $EFGH$ có:

• $EF \parallel AB$ và $GH \parallel AB$ → $EF \parallel GH$
• $EH \parallel CD$ và $FG \parallel CD$ → $EH \parallel FG$

Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song.

Vậy tứ giác $EFGH$ là hình bình hành.

Phân dạng bài tập và phương pháp giải

DẠNG 1. BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG

Phương pháp

Sử dụng định lí điều kiện song song: Nếu đường thẳng $d$ không nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$ và $d$ song song với một đường thẳng $\Delta$ nằm trong $(\alpha)$ thì $d$ song song với $(\alpha)$.

$$\begin{cases} d \not\subset (\alpha) \\ d \parallel \Delta \\ \Delta \subset (\alpha) \end{cases} \Rightarrow d \parallel (\alpha)$$

Các bước chứng minh $d \parallel (\alpha)$:

Các cách tìm $\Delta$ thường dùng:

• Sử dụng đường trung bình của tam giác
• Sử dụng cạnh đối của hình bình hành
• Sử dụng tính bắc cầu: $d \parallel d’$ và $d’ \parallel \Delta$ → $d \parallel \Delta$

Ví dụ minh họa 1

Bài toán: Trong không gian, cho hai đường thẳng phân biệt $a$, $b$ và mặt phẳng $(P)$. Những mệnh đề nào sau đây là đúng?

a) Nếu $a$ và $(P)$ có điểm chung thì $a$ không song song với $(P)$.

b) Nếu $a$ và $(P)$ có điểm chung thì $a$ và $(P)$ cắt nhau.

c) Nếu $a$ song song với $b$ và $b$ nằm trong $(P)$ thì $a$ song song với $(P)$.

d) Nếu $a$ và $b$ song song với $(P)$ thì $a$ song song với $b$.

Lời giải:

Ghi nhớ các cạm bẫy:

• Mệnh đề b) thiếu khả năng $a \subset (P)$.
• Mệnh đề c) thiếu điều kiện $a$ không nằm trong $(P)$ — đây là điều kiện bắt buộc của định lí.

Ví dụ minh họa 2

Bài toán: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang ($AB \parallel CD$). Hai đường thẳng $SD$ và $AB$ có chéo nhau hay không? Chỉ ra mặt phẳng chứa đường thẳng $SD$ và song song với $AB$.

Lời giải:

Phần 1: Chứng minh $SD$ và $AB$ chéo nhau

Giả sử $SD$ và $AB$ không chéo nhau → $SD$ và $AB$ đồng phẳng → bốn điểm $S$, $A$, $B$, $D$ đồng phẳng.

Điều này trái với giả thiết $S.ABCD$ là hình chóp (đỉnh $S$ không thuộc mặt phẳng đáy).

Vậy hai đường thẳng $SD$ và $AB$ chéo nhau.

Phần 2: Tìm mặt phẳng chứa $SD$ và song song với $AB$

Xét mặt phẳng $(SCD)$:

• $AB$ không nằm trong mặt phẳng $(SCD)$ (vì $A, B \notin (SCD)$).
• $AB \parallel CD$ (giả thiết).
• $CD \subset (SCD)$.

Theo định lí điều kiện song song:

$$\begin{cases} AB \not\subset (SCD) \\ AB \parallel CD \\ CD \subset (SCD) \end{cases} \Rightarrow AB \parallel (SCD)$$

Mặt khác, $SD \subset (SCD)$.

Kết luận: Mặt phẳng $(SCD)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $SD$ và song song với $AB$.

DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA 2 MẶT PHẲNG

Phương pháp

Để tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng, ngoài phương pháp “Tìm 2 điểm chung của 2 mặt phẳng”, ta sử dụng định lí về giao tuyến như sau:

Ứng dụng mở rộng: Khi mặt phẳng $(P)$ song song với đường thẳng $d$ và $(P)$ cắt mặt phẳng $(Q)$ chứa $d$ theo giao tuyến $\Delta$, thì $\Delta \parallel d$.

$$\begin{cases} d \parallel (P) \\ d \subset (Q) \\ (P) \cap (Q) = \Delta \end{cases} \Rightarrow \Delta \parallel d$$

Ví dụ minh họa 1

Bài toán: Cho tứ diện $ABCD$, điểm $E$ nằm giữa hai điểm $A$ và $C$. Gọi $(Q)$ là mặt phẳng qua $E$ và song song với hai đường thẳng $AB$, $AD$. Xác định giao tuyến của $(Q)$ với các mặt của tứ diện.

Lời giải:

Bước 1: Giao tuyến của $(Q)$ với mặt phẳng $(ABC)$.

• Mặt phẳng $(ABC)$ chứa đường thẳng $AB$.
• $(Q) \parallel AB$ (giả thiết).
• $E \in AC \subset (ABC)$ và $E \in (Q)$ → $E$ là điểm chung của $(Q)$ và $(ABC)$.

Theo định lí giao tuyến: giao tuyến của $(Q)$ và $(ABC)$ đi qua $E$ và song song với $AB$.

Vẽ $EF \parallel AB$ với $F \in BC$. Khi đó:

$$(Q) \cap (ABC) = EF \quad (EF \parallel AB)$$

Bước 2: Giao tuyến của $(Q)$ với mặt phẳng $(ACD)$.

• Mặt phẳng $(ACD)$ chứa đường thẳng $AD$.
• $(Q) \parallel AD$ (giả thiết).
• $E \in AC \subset (ACD)$ và $E \in (Q)$ → $E$ là điểm chung.

Theo định lí giao tuyến: giao tuyến của $(Q)$ và $(ACD)$ đi qua $E$ và song song với $AD$.

Vẽ $EN \parallel AD$ với $N \in CD$. Khi đó:

$$(Q) \cap (ACD) = EN \quad (EN \parallel AD)$$

Bước 3: Giao tuyến của $(Q)$ với mặt phẳng $(BCD)$.

• $F \in BC \subset (BCD)$ và $F \in (Q)$.
• $N \in CD \subset (BCD)$ và $N \in (Q)$.

→ $F$ và $N$ là hai điểm chung của $(Q)$ và $(BCD)$.

$$(Q) \cap (BCD) = FN$$

Kết luận: Thiết diện (giao của $(Q)$ với các mặt tứ diện) là tam giác $EFN$, trong đó:

• $EF \parallel AB$, $F \in BC$
• $EN \parallel AD$, $N \in CD$
• $FN$ nằm trong mặt $(BCD)$

Ví dụ minh họa 2

Bài toán: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$.

Lời giải:

Ta có:

$$\begin{cases} AB \subset (SAB) \\ CD \subset (SCD) \\ AB \parallel CD \quad (\text{vì } ABCD \text{ là hình bình hành}) \\ S \in (SAB) \cap (SCD) \end{cases}$$

→ Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ chứa hai đường thẳng song song $AB$ và $CD$, đồng thời có điểm chung $S$.

Áp dụng định lí giao tuyến:

$$(SAB) \cap (SCD) = d$$

trong đó $d$ là đường thẳng đi qua $S$ và $d \parallel AB \parallel CD$.

$$\boxed{(SAB) \cap (SCD) = d \ni S, ; d \parallel AB \parallel CD}$$

DẠNG 3. THIẾT DIỆN ĐI QUA MỘT ĐIỂM VÀ SONG SONG VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Định nghĩa thiết diện

Thiết diện (mặt cắt) là một đa giác phẳng thu được khi cắt một khối chóp bằng một mặt phẳng. Các cạnh của đa giác thu được là các đoạn giao tuyến của mặt phẳng với mặt bên hoặc mặt đáy của hình chóp.

Phương pháp tìm thiết diện

Tìm thiết diện của một hình chóp với một mặt phẳng $(P)$:

Chú ý:

• Thiết diện của một khối chóp là một đa giác bao quanh viền ngoài khối chóp, không có đường thẳng nào đâm xuyên bên trong khối chóp đó.
• Có thể tìm thiết diện bằng phương pháp dựng giao điểm.

Kỹ thuật then chốt cho dạng này: Khi $(P)$ đi qua điểm $M$ và song song với đường thẳng $\ell$, thì giao tuyến của $(P)$ với mỗi mặt chứa $\ell$ sẽ là đường thẳng song song với $\ell$ (theo định lí giao tuyến).

Ví dụ minh họa 1

Bài toán: Cho tứ diện $ABCD$, điểm $M$ thuộc $AC$. Xác định thiết diện của tứ diện $ABCD$ cắt bởi mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ song song với $AB$ và $AD$.

Lời giải:

Bước 1: Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt $(ABC)$.

• $M \in AC \subset (ABC)$ và $M \in (\alpha)$.
• $(\alpha) \parallel AB$ mà $AB \subset (ABC)$.

Theo định lí giao tuyến: giao tuyến của $(\alpha)$ với $(ABC)$ là đường thẳng qua $M$, song song với $AB$, cắt $BC$ tại $P$.

$$(\alpha) \cap (ABC) = MP \quad (MP \parallel AB, ; P \in BC)$$

Bước 2: Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt $(ADC)$.

• $M \in AC \subset (ADC)$ và $M \in (\alpha)$.
• $(\alpha) \parallel AD$ mà $AD \subset (ADC)$.

Theo định lí giao tuyến: giao tuyến của $(\alpha)$ với $(ADC)$ là đường thẳng qua $M$, song song với $AD$, cắt $DC$ tại $N$.

$$(\alpha) \cap (ADC) = MN \quad (MN \parallel AD, ; N \in DC)$$

Bước 3: Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt $(BCD)$.

• $P \in BC \subset (BCD)$ và $P \in (\alpha)$.
• $N \in DC \subset (BCD)$ và $N \in (\alpha)$.

→ $P$ và $N$ là hai điểm chung của $(\alpha)$ và $(BCD)$.

$$(\alpha) \cap (BCD) = NP$$

Kết luận: Thiết diện cần tìm là tam giác $MNP$.

Ví dụ minh họa 2

Bài toán: Cho tứ diện $ABCD$. Giả sử $M$ thuộc đoạn thẳng $BC$. Xác định thiết diện của tứ diện $ABCD$ cắt bởi mặt phẳng $(\alpha)$ qua $M$ song song với $AB$ và $CD$.

Lời giải:

Bước 1: Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt $(ABC)$.

• $M \in BC \subset (ABC)$ và $M \in (\alpha)$.
• $(\alpha) \parallel AB$ mà $AB \subset (ABC)$.

Theo định lí giao tuyến: giao tuyến của $(\alpha)$ với $(ABC)$ là đường thẳng qua $M$, song song với $AB$, cắt $AC$ tại $Q$.

$$(\alpha) \cap (ABC) = MQ \quad (MQ \parallel AB, ; Q \in AC)$$

Bước 2: Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt $(BCD)$.

• $M \in BC \subset (BCD)$ và $M \in (\alpha)$.
• $(\alpha) \parallel CD$ mà $CD \subset (BCD)$.

Theo định lí giao tuyến: giao tuyến của $(\alpha)$ với $(BCD)$ là đường thẳng qua $M$, song song với $CD$, cắt $BD$ tại $N$.

$$(\alpha) \cap (BCD) = MN \quad (MN \parallel CD, ; N \in BD)$$

Bước 3: Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt $(ABD)$.

• $N \in BD \subset (ABD)$ và $N \in (\alpha)$.
• $(\alpha) \parallel AB$ mà $AB \subset (ABD)$.

Theo định lí giao tuyến: giao tuyến của $(\alpha)$ với $(ABD)$ là đường thẳng qua $N$, song song với $AB$, cắt $AD$ tại $P$.

$$(\alpha) \cap (ABD) = NP \quad (NP \parallel AB, ; P \in AD)$$

Bước 4: Giao tuyến của $(\alpha)$ với mặt $(ACD)$.

• $Q \in AC \subset (ACD)$ và $Q \in (\alpha)$.
• $P \in AD \subset (ACD)$ và $P \in (\alpha)$.

→ $Q$ và $P$ là hai điểm chung.

$$(\alpha) \cap (ACD) = PQ$$

Bước 5: Nhận xét về hình dạng thiết diện.

Ta có:

• $MN \parallel CD$ và $PQ \parallel CD$ (vì $PQ$ nằm trong $(ACD)$, đi qua hai điểm trên $AC$ và $AD$, cùng song song với $CD$ do định lí Ta-lét)

→ $MN \parallel PQ \parallel CD$

• $MQ \parallel AB$ và $NP \parallel AB$ → $MQ \parallel NP \parallel AB$

Tứ giác $MNPQ$ có:

$$\begin{cases} MN \parallel PQ \\ MQ \parallel NP \end{cases}$$

Vậy thiết diện là hình bình hành $MNPQ$.

Hai định lí “xương sống” của bài

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh