1. Hai mặt phẳng song song

1.1. Định nghĩa

Định nghĩa: Hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.

Ký hiệu: $(\alpha) \parallel (\beta)$ hoặc $(\beta) \parallel (\alpha)$

1.2. Nhận xét quan trọng

Nhận xét: Nếu hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ song song với nhau và đường thẳng $d$ nằm trong $(\alpha)$ thì $d$ và $(\beta)$ không có điểm chung, tức là $d$ song song với $(\beta)$.

Nói cách khác: Nếu một đường thẳng nằm trong một trong hai mặt phẳng song song thì đường thẳng đó song song với mặt phẳng còn lại.

$$(\alpha) \parallel (\beta), \quad d \subset (\alpha) \quad \Rightarrow \quad d \parallel (\beta)$$

Ứng dụng: Tính chất này giúp ta suy ra nhiều đường thẳng song song với một mặt phẳng khi biết hai mặt phẳng song song.

2. Điều kiện và tính chất của hai mặt phẳng song song

2.1. Điều kiện để hai mặt phẳng song song

Định lí (Điều kiện song song):

Nếu mặt phẳng $(\alpha)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này cùng song song với mặt phẳng $(\beta)$ thì $(\alpha)$ và $(\beta)$ song song với nhau.

Viết gọn:

$$\begin{cases} a \cap b = \{M\} \\ a, b \subset (\alpha) \\ a \parallel (\beta) \\ b \parallel (\beta) \end{cases} \Rightarrow (\alpha) \parallel (\beta)$$

Lưu ý quan trọng:

Điều kiện “hai đường thẳng cắt nhau” là bắt buộc!

Nếu hai đường thẳng song song với nhau (không cắt nhau) thì chưa thể kết luận hai mặt phẳng song song.

Ví dụ phản chứng: Trong hình lăng trụ tam giác $ABC.A’B’C’$:

• $AA’ \parallel (BCC’B’)$ và $BB’ \parallel (BCC’B’)$
• $AA’ \parallel BB’$ (không cắt nhau)
• Nhưng mặt phẳng $(ABB’A’)$ không song song với $(BCC’B’)$ mà cắt nhau theo giao tuyến $BB’$

Ví dụ 1: Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng. Chứng minh rằng mặt phẳng $(BCE)$ song song với mặt phẳng $(ADF)$.

Giải:

Bước 1: Chứng minh $BC \parallel (ADF)$

• Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nên $BC \parallel AD$
• $AD \subset (ADF)$
• $BC \not\subset (ADF)$ (vì $B \notin (ADF)$)

Theo điều kiện đường thẳng song song với mặt phẳng: $BC \parallel (ADF)$

Bước 2: Chứng minh $BE \parallel (ADF)$

• Tứ giác $ABEF$ là hình bình hành nên $BE \parallel AF$
• $AF \subset (ADF)$
• $BE \not\subset (ADF)$ (vì $B \notin (ADF)$)

Theo điều kiện đường thẳng song song với mặt phẳng: $BE \parallel (ADF)$

Bước 3: Kết luận

• Mặt phẳng $(BCE)$ chứa hai đường thẳng $BC$ và $BE$
• $BC$ và $BE$ cắt nhau tại $B$
• $BC \parallel (ADF)$ và $BE \parallel (ADF)$

Theo định lí điều kiện song song: $(BCE) \parallel (ADF)$

2.2. Tính chất 1: Tồn tại và duy nhất mặt phẳng song song

Tính chất 1: Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.

Ý nghĩa: Nếu đặt một tấm bìa cứng lên một góc của mặt bàn nằm ngang sao cho mặt bìa song song với mặt đất, thì mặt bìa không trùng với mặt bàn (vì qua điểm góc bàn chỉ có một mặt phẳng song song với mặt đất).

2.3. Tính chất 2: Tính bắc cầu

Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì hai mặt phẳng đó song song với nhau.

$$(\alpha) \parallel (\gamma) \text{ và } (\beta) \parallel (\gamma) \quad \Rightarrow \quad (\alpha) \parallel (\beta)$$

Hệ quả quan trọng:

Nếu hai mặt phẳng cùng đi qua một điểm và cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì hai mặt phẳng đó trùng nhau.

Ứng dụng: Chứng minh các điểm đồng phẳng.

Ví dụ 2: Cho hình chóp $S.ABCD$. Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SA$, $SB$, $SC$, $SD$. Chứng minh rằng hai mặt phẳng $(MNP)$ và $(NPQ)$ cùng song song với mặt phẳng $(ABCD)$, từ đó suy ra bốn điểm $M$, $N$, $P$, $Q$ đồng phẳng.

Giải:

Phần 1: Chứng minh $(MNP) \parallel (ABCD)$

Bước 1: Chứng minh $MN \parallel (ABCD)$

• $M$ là trung điểm của $SA$, $N$ là trung điểm của $SB$
• Trong tam giác $SAB$, $MN$ là đường trung bình
• Do đó $MN \parallel AB$
• $AB \subset (ABCD)$ và $MN \not\subset (ABCD)$
• Vậy $MN \parallel (ABCD)$

Bước 2: Chứng minh $NP \parallel (ABCD)$

• $N$ là trung điểm của $SB$, $P$ là trung điểm của $SC$
• Trong tam giác $SBC$, $NP$ là đường trung bình
• Do đó $NP \parallel BC$
• $BC \subset (ABCD)$ và $NP \not\subset (ABCD)$
• Vậy $NP \parallel (ABCD)$

Bước 3: Kết luận $(MNP) \parallel (ABCD)$

• $(MNP)$ chứa hai đường thẳng $MN$ và $NP$ cắt nhau tại $N$
• $MN \parallel (ABCD)$ và $NP \parallel (ABCD)$
• Theo định lí điều kiện song song: $(MNP) \parallel (ABCD)$

Phần 2: Chứng minh $(NPQ) \parallel (ABCD)$

Lập luận tương tự:

• $NP \parallel BC$ → $NP \parallel (ABCD)$
• $PQ \parallel CD$ (đường trung bình tam giác $SCD$) → $PQ \parallel (ABCD)$
• $(NPQ)$ chứa $NP \cap PQ = {P}$ cùng song song với $(ABCD)$
• Vậy $(NPQ) \parallel (ABCD)$

Phần 3: Chứng minh $M$, $N$, $P$, $Q$ đồng phẳng

• $(MNP) \parallel (ABCD)$
• $(NPQ) \parallel (ABCD)$
• $(MNP)$ và $(NPQ)$ cùng đi qua điểm $N$ (hoặc điểm $P$)
• Theo hệ quả: hai mặt phẳng cùng qua một điểm và cùng song song với mp thứ ba thì trùng nhau

→ $(MNP) \equiv (NPQ)$

Vậy bốn điểm $M$, $N$, $P$, $Q$ đồng phẳng.

2.4. Tính chất 3: Giao tuyến của mặt phẳng thứ ba với hai mặt phẳng song song

Tính chất 3: Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.

Viết gọn:

$$(\alpha) \parallel (\beta), \quad (\gamma) \cap (\alpha) = a, \quad (\gamma) \cap (\beta) = b \quad \Rightarrow \quad a \parallel b$$

Ứng dụng: Khi biết hai mặt phẳng song song, ta có thể xác định giao tuyến bằng cách vẽ đường thẳng song song với giao tuyến đã biết.

Ví dụ 3: Trong Ví dụ 2, gọi $E$, $F$ lần lượt là các điểm thuộc các cạnh $AB$, $CD$. Xác định giao tuyến của mặt phẳng $(MEF)$ và mặt phẳng $(MNPQ)$.

Giải:

Bước 1: Nhận xét về hai mặt phẳng $(MNPQ)$ và $(ABCD)$

Từ Ví dụ 2, ta đã chứng minh được $(MNPQ) \parallel (ABCD)$.

Bước 2: Xác định giao tuyến của $(MEF)$ với $(ABCD)$

• $E \in AB \subset (ABCD)$ → $E \in (ABCD)$
• $F \in CD \subset (ABCD)$ → $F \in (ABCD)$
• Vậy giao tuyến của $(MEF)$ với $(ABCD)$ là đường thẳng $EF$

Bước 3: Áp dụng tính chất 3

• $(MNPQ) \parallel (ABCD)$
• $(MEF)$ cắt $(ABCD)$ theo giao tuyến $EF$
• Theo tính chất 3: $(MEF)$ cắt $(MNPQ)$ theo giao tuyến song song với $EF$

Bước 4: Xác định giao tuyến

• Giao tuyến của $(MEF)$ và $(MNPQ)$ phải song song với $EF$
• Giao tuyến phải đi qua điểm chung của $(MEF)$ và $(MNPQ)$
• $M \in (MEF)$ và $M \in (MNPQ)$
• Trong mặt phẳng $(MEF)$, qua $M$ vẽ đường thẳng song song với $EF$, cắt $PQ$ tại $G$

Vậy đường thẳng $MG$ là giao tuyến của $(MEF)$ và $(MNPQ)$.

3. Định lí Thalès trong không gian

Định lí Thalès trong không gian:

Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến phân biệt bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Phát biểu chi tiết:

Cho ba mặt phẳng $(P)$, $(Q)$, $(R)$ đôi một song song. Hai đường thẳng phân biệt $d$ và $d’$ cắt ba mặt phẳng:

• $d$ cắt $(P)$, $(Q)$, $(R)$ lần lượt tại $A$, $B$, $C$
• $d’$ cắt $(P)$, $(Q)$, $(R)$ lần lượt tại $A’$, $B’$, $C’$

Khi đó:

$$\frac{AB}{A’B’} = \frac{BC}{B’C’} = \frac{AC}{A’C’}$$

💡 Nhắc lại: Định lí Thalès trong hình học phẳng phát biểu rằng: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo ra các đoạn thẳng tỉ lệ.

Ví dụ 4: Cho hình tứ diện $SABC$. Trên cạnh $SA$ lấy các điểm $A_1$, $A_2$ sao cho $A_2A_1 = 2A_1A$. Gọi $(P)$ và $(Q)$ là hai mặt phẳng song song với $(ABC)$ và lần lượt đi qua $A_1$, $A_2$.

Mặt phẳng $(P)$ cắt các cạnh $SB$, $SC$ lần lượt tại $B_1$, $C_1$.

Mặt phẳng $(Q)$ cắt các cạnh $SB$, $SC$ lần lượt tại $B_2$, $C_2$.

Chứng minh $B_2B_1 = 2B_1B$ và $C_2C_1 = 2C_1C$.

Giải:

Bước 1: Xác định ba mặt phẳng đôi một song song

• $(P) \parallel (ABC)$ (giả thiết)
• $(Q) \parallel (ABC)$ (giả thiết)
• Theo tính chất bắc cầu: $(P) \parallel (Q)$

Vậy ba mặt phẳng $(P)$, $(Q)$, $(ABC)$ đôi một song song.

Bước 2: Áp dụng định lí Thalès cho hai cát tuyến $SA$ và $SB$

Hai đường thẳng $SA$ và $SB$ cắt ba mặt phẳng $(P)$, $(Q)$, $(ABC)$:

• $SA$ cắt tại $A_1$, $A_2$, $A$
• $SB$ cắt tại $B_1$, $B_2$, $B$

Theo định lí Thalès:

$$\frac{A_2A_1}{A_1A} = \frac{B_2B_1}{B_1B}$$

Mà $A_2A_1 = 2A_1A$ nên:

$$\frac{B_2B_1}{B_1B} = 2$$

Vậy $B_2B_1 = 2B_1B$.

Bước 3: Áp dụng định lí Thalès cho hai cát tuyến $SA$ và $SC$

Tương tự, hai đường thẳng $SA$ và $SC$ cắt ba mặt phẳng:

• $SA$ cắt tại $A_1$, $A_2$, $A$
• $SC$ cắt tại $C_1$, $C_2$, $C$

Theo định lí Thalès:

$$\frac{A_2A_1}{A_1A} = \frac{C_2C_1}{C_1C}$$

Mà $A_2A_1 = 2A_1A$ nên:

$$\frac{C_2C_1}{C_1C} = 2$$

Vậy $C_2C_1 = 2C_1C$.

4. Hình lăng trụ và hình hộp

4.1. Hình lăng trụ

Định nghĩa

Cho hai mặt phẳng song song $(\alpha)$ và $(\alpha’)$. Trên $(\alpha)$ cho đa giác lồi $A_1A_2…A_n$. Qua các đỉnh $A_1$, $A_2$, …, $A_n$ vẽ các đường thẳng đôi một song song và cắt mặt phẳng $(\alpha’)$ tại $A’_1$, $A’_2$, …, $A’_n$.

Hình gồm hai đa giác $A_1A_2…A_n$, $A’_1A’_2…A’_n$ và các tứ giác $A_1A’_1A’_2A_2$, $A_2A’_2A’_3A_3$, …, $A_nA’_nA’_1A_1$ được gọi là hình lăng trụ.

Ký hiệu: $A_1A_2…A_n.A’_1A’_2…A’_n$

Các yếu tố của hình lăng trụ

Tên gọi hình lăng trụ

Tên của hình lăng trụ được gọi dựa theo tên của đa giác đáy:

Tính chất của hình lăng trụ

Tính chất 1: Các mặt bên của hình lăng trụ là hình bình hành.

Tính chất 2: Các cạnh bên của hình lăng trụ đôi một song song và có độ dài bằng nhau.

Tính chất 3: Hai mặt đáy nằm trong hai mặt phẳng song song.

Giải thích tính chất 1:

Xét mặt bên $A_1A’_1A’_2A_2$:

• $A_1A’_1 \parallel A_2A’_2$ (các cạnh bên đôi một song song theo định nghĩa)
• $A_1A_2 \parallel A’_1A’_2$ (vì $(A_1A_2…A_n) \parallel (A’_1A’_2…A’_n)$ và tính chất giao tuyến)

Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.

Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A’B’C’$. Một mặt phẳng song song với mặt đáy của hình lăng trụ cắt các cạnh bên của hình lăng trụ lần lượt tại $A”$, $B”$, $C”$. Chứng minh rằng $ABC.A”B”C”$ là hình lăng trụ.

Giải:

Bước 1: Chứng minh các cạnh bên đôi một song song

• Các cạnh bên của hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$ là $AA’$, $BB’$, $CC’$
• Theo tính chất hình lăng trụ: $AA’ \parallel BB’ \parallel CC’$
• $A” \in AA’$, $B” \in BB’$, $C” \in CC’$
• Do đó $AA” \parallel BB” \parallel CC”$

Bước 2: Chứng minh hai mặt đáy song song

• Mặt phẳng $(ABC)$ là mặt đáy của lăng trụ ban đầu
• Mặt phẳng $(A”B”C”)$ song song với mặt đáy (giả thiết)
• Vậy $(ABC) \parallel (A”B”C”)$

Bước 3: Kết luận

Hình $ABC.A”B”C”$ thỏa mãn:

• Hai đáy $ABC$ và $A”B”C”$ nằm trong hai mặt phẳng song song
• Các cạnh bên $AA”$, $BB”$, $CC”$ đôi một song song

Vậy $ABC.A”B”C”$ là hình lăng trụ.

4.2. Hình hộp

Định nghĩa

Định nghĩa: Hình lăng trụ tứ giác $ABCD.A’B’C’D’$ có hai đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp.

Các yếu tố của hình hộp

Chú ý:

• Hai đỉnh đối diện là hai đỉnh không cùng thuộc bất kỳ mặt nào của hình hộp
• Hai mặt đối diện là hai mặt không có điểm chung

Tính chất của hình hộp

Tính chất 1: Các đường chéo của hình hộp cùng đi qua trung điểm của mỗi đường.

Tính chất 2: Các mặt đối diện của hình hộp song song với nhau và có thể coi là hai đáy của hình hộp.

Hệ quả: Giao điểm của bốn đường chéo được gọi là tâm của hình hộp.

Ví dụ 6: Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Chứng minh rằng các đường chéo $AC’$, $BD’$, $CA’$ và $DB’$ của hình hộp cùng đi qua trung điểm của mỗi đường.

Giải:

Bước 1: Chứng minh $AC’$ và $DB’$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

• Đáy $ABCD$ là hình bình hành nên $AD \parallel BC$ và $AD = BC$
• Mặt bên $BCC’B’$ là hình bình hành nên $BC \parallel B’C’$ và $BC = B’C’$
• Từ đó: $AD \parallel B’C’$ và $AD = B’C’$
• Vậy tứ giác $ADC’B’$ là hình bình hành
• Hai đường chéo $AC’$ và $DB’$ của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Bước 2: Chứng minh $AC’$ và $BD’$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Tương tự, ta có:

• $AB \parallel DC$ và $AB = DC$ (đáy $ABCD$ là hình bình hành)
• $DC \parallel D’C’$ và $DC = D’C’$ (mặt bên $DCC’D’$ là hình bình hành)
• Từ đó: $AB \parallel D’C’$ và $AB = D’C’$
• Vậy tứ giác $ABC’D’$ là hình bình hành
• Hai đường chéo $AC’$ và $BD’$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Bước 3: Chứng minh $AC’$ và $CA’$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Tương tự:

• $AA’ \parallel CC’$ và $AA’ = CC’$ (cạnh bên của hình hộp)
• Tứ giác $ACC’A’$ là hình bình hành
• Hai đường chéo $AC’$ và $CA’$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Bước 4: Kết luận

• $AC’$ và $DB’$ cắt nhau tại trung điểm của $AC’$
• $AC’$ và $BD’$ cắt nhau tại trung điểm của $AC’$
• $AC’$ và $CA’$ cắt nhau tại trung điểm của $AC’$

Vậy bốn đường chéo $AC’$, $BD’$, $CA’$, $DB’$ cùng đi qua trung điểm của mỗi đường.

Phân dạng bài tập và phương pháp giải

DẠNG 1. CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Phương pháp

Cách 1: Áp dụng định lí điều kiện song song

Tìm trong $(\alpha)$ hai đường thẳng cắt nhau, mỗi đường đều song song với $(\beta)$:

$$\begin{cases} a \cap b = \{I\} \\ a, b \subset (\alpha) \\ a \parallel (\beta), \; b \parallel (\beta) \end{cases} \Rightarrow (\alpha) \parallel (\beta)$$

Nhận xét: Thực chất của việc chứng minh 2 mặt phẳng song song là tìm 2 đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng này song song với 2 đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng kia:

$$\begin{cases} a \subset (\alpha), \; b \subset (\alpha) \\ a \not\subset (\beta), \; b \not\subset (\beta) \\ a \cap b = I \\ c \subset (\beta), \; d \subset (\beta) \\ a \parallel c, \; b \parallel d \end{cases} \Rightarrow (\alpha) \parallel (\beta)$$

Cách 2: Dùng tính bắc cầu — chứng minh 2 mp đó cùng song song với một mp khác:

$$\begin{cases} (\alpha) \parallel (\gamma) \\ (\beta) \parallel (\gamma) \\ (\alpha) \neq (\beta) \end{cases} \Rightarrow (\alpha) \parallel (\beta)$$

Ghi nhớ: Muốn chứng minh đường thẳng $a \parallel (\beta)$, ta tìm trong $(\beta)$ một đường thẳng $c$ sao cho $a \parallel c$ (và $a \not\subset (\beta)$). Thường dùng đường trung bình, cạnh đối hình bình hành, hoặc cạnh bên của lăng trụ/hình hộp.

Ví dụ minh họa 1

Bài toán: Trong không gian, cho bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ không đồng phẳng. Qua điểm $A$ vẽ hai đường thẳng $m$, $n$ lần lượt song song với hai đường thẳng $BC$, $BD$. Chứng minh rằng $mp(m, n)$ song song với mặt phẳng $(BCD)$.

Lời giải:

Bước 1: Chứng minh $m \parallel (BCD)$.

• $m \parallel BC$ (cách dựng).
• $BC \subset (BCD)$.
• $m \not\subset (BCD)$ vì nếu $m \subset (BCD)$ thì $A \in (BCD)$ → 4 điểm $A$, $B$, $C$, $D$ đồng phẳng, trái với giả thiết.

→ $m \parallel (BCD)$.

Bước 2: Chứng minh $n \parallel (BCD)$.

Lập luận tương tự: $n \parallel BD$, $BD \subset (BCD)$, $n \not\subset (BCD)$ → $n \parallel (BCD)$.

Bước 3: Kết luận.

$mp(m, n)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $m$ và $n$ (cắt nhau tại $A$) cùng song song với mặt phẳng $(BCD)$.

Theo định lí điều kiện song song:

$$\boxed{mp(m, n) \parallel (BCD)}$$

Ví dụ minh họa 2 (Bài toán thực tiễn)

Bài toán: Một chiếc bàn có phần chân là hai khung sắt hình chữ nhật có thể xoay quanh một trục. Khi mặt bàn được đặt lên phần chân bàn thì mặt bàn luôn song song với mặt đất. Hãy giải thích tại sao.

Lời giải:

Đặt tên các đường thẳng:

• $a$, $b$ là hai cạnh trên của hai khung sắt (tiếp xúc với mặt bàn).
• $c$, $d$ là hai cạnh dưới của hai khung sắt (tiếp xúc với mặt đất).

Bước 1: Vì các khung sắt có dạng hình chữ nhật nên các cạnh đối diện song song với nhau:

$$a \parallel c \quad \text{và} \quad b \parallel d$$

Bước 2: Vì $c$, $d$ nằm trên mặt đất nên:

• $a \parallel c$, $c$ nằm trong mặt đất, $a$ không nằm trong mặt đất → $a \parallel$ mặt đất.
• $b \parallel d$, $d$ nằm trong mặt đất, $b$ không nằm trong mặt đất → $b \parallel$ mặt đất.

Bước 3: Mặt phẳng bàn chứa hai đường thẳng cắt nhau $a$ và $b$ cùng song song với mặt đất.

→ Mặt bàn song song với mặt đất.

Điều này cho phép bàn vẫn đứng vững và mặt bàn vẫn nằm ngang dù hai khung sắt có thể xoay quanh trục.

Ví dụ minh họa 3

Bài toán: Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Chứng minh rằng hai mặt phẳng $(ADD’A’)$ và $(BCC’B’)$ song song với nhau.

Lời giải:

Hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có hai đáy $ABCD$ và $A’B’C’D’$ là các hình bình hành.

Bước 1: Chứng minh $AD \parallel (BCC’B’)$.

• $AD \parallel BC$ (do $ABCD$ là hình bình hành).
• $BC \subset (BCC’B’)$.
• $AD \not\subset (BCC’B’)$ (vì $A \notin (BCC’B’)$).

→ $AD \parallel (BCC’B’)$.

Bước 2: Chứng minh $AA’ \parallel (BCC’B’)$.

• $AA’ \parallel BB’$ (các cạnh bên của hình hộp đôi một song song).
• $BB’ \subset (BCC’B’)$.
• $AA’ \not\subset (BCC’B’)$.

→ $AA’ \parallel (BCC’B’)$.

Bước 3: Kết luận.

Mặt phẳng $(ADD’A’)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $AD$ và $AA’$ (cắt nhau tại $A$), cùng song song với mặt phẳng $(BCC’B’)$.

Theo định lí điều kiện song song:

$$\boxed{(ADD’A’) \parallel (BCC’B’)}$$

DẠNG 2. XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA MẶT PHẲNG VỚI HÌNH CHÓP KHI BIẾT MẶT PHẲNG ĐÓ SONG SONG VỚI MỘT MẶT PHẲNG CHO TRƯỚC

Phương pháp

Để xác định thiết diện trong trường hợp này, ta sử dụng các tính chất sau:

Khi $(\alpha) \parallel (\beta)$ thì $(\alpha)$ sẽ song song với tất cả các đường thẳng trong $(\beta)$, và ta chuyển về dạng thiết diện song song với đường thẳng.

Tính chất sử dụng:

$$\begin{cases} (\alpha) \parallel (\beta) \\ (\beta) \cap (\gamma) = d \\ M \in (\alpha) \cap (\gamma) \end{cases} \Rightarrow (\alpha) \cap (\gamma) = d’ \parallel d, \; M \in d’$$

Quy trình tìm thiết diện:

Ví dụ minh họa 1

Bài toán: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành và $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $CD$.

a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $MN$ và song song với mặt phẳng $(SAD)$.

b) Thiết diện vừa tìm được là hình gì?

Lời giải:

a) Xác định thiết diện

Bước 1: Tìm giao tuyến của $(\alpha)$ với $(SAB)$.

$$\begin{cases} M \in (SAB) \cap (\alpha) \\ (\alpha) \parallel (SAD) \\ (SAB) \cap (SAD) = SA \end{cases} \Rightarrow (SAB) \cap (\alpha) = MK \parallel SA, \; K \in SB$$

Bước 2: Tìm giao tuyến của $(\alpha)$ với $(SCD)$.

Tương tự:

$$\begin{cases} N \in (SCD) \cap (\alpha) \\ (\alpha) \parallel (SAD) \\ (SCD) \cap (SAD) = SD \end{cases} \Rightarrow (SCD) \cap (\alpha) = NH \parallel SD, \; H \in SC$$

Bước 3: Xác định giao tuyến của $(\alpha)$ với $(SBC)$.

$K \in SB \subset (SBC)$ và $H \in SC \subset (SBC)$, đồng thời $K, H \in (\alpha)$.

→ $HK = (\alpha) \cap (SBC)$.

Kết luận: Thiết diện cần tìm là tứ giác $MNHK$.

b) Nhận dạng hình dạng thiết diện

Xét ba mặt phẳng $(ABCD)$, $(SBC)$ và $(\alpha)$ đôi một cắt nhau theo các giao tuyến:

• $(ABCD) \cap (\alpha) = MN$
• $(SBC) \cap (\alpha) = HK$
• $(ABCD) \cap (SBC) = BC$

Mà $MN \parallel BC$ (vì $M$, $N$ là trung điểm $AB$, $CD$ trong hình bình hành $ABCD$ nên $MN \parallel AB \parallel CD$, và $BC$ cũng… — khoan, cần lập luận chặt hơn).

Lập luận chặt: Theo định lí ba giao tuyến, ba giao tuyến $MN$, $HK$, $BC$ đôi một song song hoặc đồng quy. Vì $MN \parallel BC$ (do $M$, $N$ là trung điểm hai cạnh đối của hình bình hành nên $MN \parallel AD \parallel BC$) nên $MN \parallel HK$.

Vậy thiết diện $MNHK$ là hình thang (có $MN \parallel HK$).

Ví dụ minh họa 2 (Bài toán nâng cao)

Bài toán: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ có $AC = a$, $BD = b$. Tam giác $SBD$ là tam giác đều. Một mặt phẳng $(\alpha)$ di động song song với mặt phẳng $(SBD)$ và đi qua điểm $I$ trên đoạn $AC$ với $AI = x$ $(0 < x < a)$.

a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi $(\alpha)$.

b) Tính diện tích thiết diện theo $a$, $b$ và $x$.

Lời giải:

Vì $O$ là tâm hình bình hành nên $AO = OC = \dfrac{a}{2}$. Ta xét hai trường hợp tùy vị trí của $I$.

Trường hợp 1: $I \in OA$ (nghĩa là $0 < x < \dfrac{a}{2}$)

a) Xác định thiết diện

Giao tuyến của $(\alpha)$ với $(ABD)$:

$$\begin{cases} I \in (\alpha) \cap (ABD) \\ (\alpha) \parallel (SBD) \\ (ABD) \cap (SBD) = BD \end{cases} \Rightarrow (\alpha) \cap (ABD) = MN \parallel BD, \; I \in MN$$

với $M \in AB$, $N \in AD$.

Tương tự:

$$\begin{cases} N \in (\alpha) \cap (SAD) \\ (\alpha) \parallel (SBD) \\ (SAD) \cap (SBD) = SD \end{cases} \Rightarrow (SAD) \cap (\alpha) = NP \parallel SD, \; P \in SA$$

$$\begin{cases} (\alpha) \parallel (SBD) \\ (SAB) \cap (SBD) = SB \\ (SAB) \cap (\alpha) = MP \end{cases} \Rightarrow MP \parallel SB$$

Kết luận: Thiết diện là tam giác $MNP$.

Hai tam giác $MNP$ và $BDS$ có các cặp cạnh tương ứng song song ($MN \parallel BD$, $NP \parallel SD$, $MP \parallel SB$) nên chúng đồng dạng. Mà $\triangle BDS$ đều nên tam giác $MNP$ cũng đều.

b) Tính diện tích $S_{MNP}$

Vì $\triangle SBD$ đều cạnh $b$ nên:

$$S_{\triangle SBD} = \dfrac{b^2\sqrt{3}}{4}$$

Trong tam giác $ABD$, do $MN \parallel BD$ và $I$ trên đoạn $AO$:

$$\dfrac{MN}{BD} = \dfrac{AI}{AO} = \dfrac{x}{a/2} = \dfrac{2x}{a}$$

Vì $\triangle MNP \sim \triangle BDS$ với tỉ số $k = \dfrac{MN}{BD} = \dfrac{2x}{a}$:

$$\dfrac{S_{MNP}}{S_{SBD}} = \left(\dfrac{2x}{a}\right)^2 = \dfrac{4x^2}{a^2}$$

$$\Rightarrow S_{MNP} = \dfrac{4x^2}{a^2} \cdot \dfrac{b^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{b^2 x^2 \sqrt{3}}{a^2}$$

Trường hợp 2: $I \in OC$ (nghĩa là $\dfrac{a}{2} < x < a$)

Lập luận tương tự Trường hợp 1, thiết diện là tam giác đều $HKL$ (với $H \in CB$, $L \in CD$, $K \in SC$) và:

$$\dfrac{HL}{BD} = \dfrac{CI}{CO} = \dfrac{a – x}{a/2} = \dfrac{2(a – x)}{a}$$

$$S_{HKL} = \left(\dfrac{2(a-x)}{a}\right)^2 \cdot \dfrac{b^2 \sqrt{3}}{4} = \dfrac{b^2 (a – x)^2 \sqrt{3}}{a^2}$$

Kết luận chung

$$\boxed{S_{td} = \begin{cases} \dfrac{b^2 x^2 \sqrt{3}}{a^2} & \text{nếu } I \in OA \\[8pt] \dfrac{b^2 (a – x)^2 \sqrt{3}}{a^2} & \text{nếu } I \in OC \end{cases}}$$

DẠNG 3. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ TA-LÉT

Định lí Ta-lét trong không gian

Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai đường thẳng những đoạn thẳng tỉ lệ.

$$\begin{cases} (\alpha) \parallel (\beta) \parallel (\gamma) \\ d_1 \cap (\alpha) = A_1, \; d_1 \cap (\beta) = B_1, \; d_1 \cap (\gamma) = C_1 \\ d_2 \cap (\alpha) = A_2, \; d_2 \cap (\beta) = B_2, \; d_2 \cap (\gamma) = C_2 \end{cases} \Rightarrow \dfrac{A_1 B_1}{B_1 C_1} = \dfrac{A_2 B_2}{B_2 C_2}$$

Định lí đảo của định lí Ta-lét trong không gian

Cho hai đường thẳng $d_1$, $d_2$ chéo nhau và các điểm $A_1, B_1, C_1 \in d_1$ và $A_2, B_2, C_2 \in d_2$ sao cho:

$$\dfrac{A_1 B_1}{B_1 C_1} = \dfrac{A_2 B_2}{B_2 C_2}$$

Khi đó các đường thẳng $A_1 A_2$, $B_1 B_2$, $C_1 C_2$ cùng song song với một mặt phẳng. Hơn nữa, mặt phẳng này không duy nhất.

Ví dụ minh họa 1

Bài toán: Cho hình chóp $S.ABCD$. Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$ lần lượt là các điểm thuộc các cạnh $SA$, $SB$, $SC$, $SD$ sao cho:

$$\dfrac{MA}{MS} = \dfrac{NB}{NS} = \dfrac{PC}{PS} = \dfrac{QD}{QS} = \dfrac{1}{2}$$

Chứng minh rằng bốn điểm $M$, $N$, $P$, $Q$ đồng phẳng.

Lời giải:

Bước 1: Tính tỉ số $\dfrac{SM}{SA}$.

Từ $\dfrac{MA}{MS} = \dfrac{1}{2}$, suy ra $SA = MA + MS = \dfrac{MS}{2} + MS = \dfrac{3MS}{2}$, do đó:

$$\dfrac{SM}{SA} = \dfrac{2}{3}$$

Tương tự: $\dfrac{SN}{SB} = \dfrac{SP}{SC} = \dfrac{SQ}{SD} = \dfrac{2}{3}$.

Bước 2: Chứng minh $(MNP) \parallel (ABCD)$.

Xét tam giác $SAB$: $$\dfrac{SM}{SA} = \dfrac{SN}{SB} = \dfrac{2}{3}$$

Theo định lí Ta-lét (đảo) trong mặt phẳng: $MN \parallel AB$.

• $AB \subset (ABCD)$, $MN \not\subset (ABCD)$.

→ $MN \parallel (ABCD)$.

Tương tự, trong tam giác $SBC$: $NP \parallel BC$ → $NP \parallel (ABCD)$.

Mặt phẳng $(MNP)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $MN$ và $NP$, cùng song song với $(ABCD)$ → $(MNP) \parallel (ABCD)$.

Bước 3: Chứng minh $(MPQ) \parallel (ABCD)$.

Lập luận tương tự (xét các tam giác $SAC$, $SCD$…): $(MPQ) \parallel (ABCD)$.

Bước 4: Kết luận.

Hai mặt phẳng $(MNP)$ và $(MPQ)$:

• Cùng đi qua điểm $M$.
• Cùng song song với $(ABCD)$.

Theo hệ quả của tính bắc cầu: hai mặt phẳng cùng qua một điểm và cùng song song với mp thứ ba thì trùng nhau.

$$\Rightarrow (MNP) \equiv (MPQ)$$

Vậy bốn điểm $M$, $N$, $P$, $Q$ đồng phẳng. $\blacksquare$

Ví dụ minh họa 2

Bài toán: Cho hình chóp cụt tam giác $ABC.A’B’C’$ trong đó $ABC$ là đáy lớn. Gọi $S$ là điểm đồng quy của các đường thẳng $AA’$, $BB’$, $CC’$. Chứng minh rằng:

$$\dfrac{SA’}{SA} = \dfrac{SB’}{SB} = \dfrac{SC’}{SC}$$

Lời giải:

Hình chóp cụt $ABC.A’B’C’$ có các mặt bên là các hình thang với các cặp cạnh song song:

$$A’B’ \parallel AB, \quad B’C’ \parallel BC, \quad A’C’ \parallel AC$$

Bước 1: Xét tam giác $SAB$.

Vì $A’B’ \parallel AB$ và $A’$ thuộc $SA$, $B’$ thuộc $SB$, áp dụng định lí Ta-lét trong mặt phẳng $(SAB)$:

$$\dfrac{SA’}{SA} = \dfrac{SB’}{SB} \qquad (1)$$

Bước 2: Xét tam giác $SAC$.

Vì $A’C’ \parallel AC$ và $A’$ thuộc $SA$, $C’$ thuộc $SC$, áp dụng định lí Ta-lét trong mặt phẳng $(SAC)$:

$$\dfrac{SA’}{SA} = \dfrac{SC’}{SC} \qquad (2)$$

Bước 3: Kết luận.

Từ $(1)$ và $(2)$:

$$\boxed{\dfrac{SA’}{SA} = \dfrac{SB’}{SB} = \dfrac{SC’}{SC}} \quad \blacksquare$$

Nhận xét: Ví dụ này tuy thuộc Dạng 3 nhưng lời giải chỉ dùng định lí Ta-lét trong mặt phẳng áp dụng cho từng tam giác của mặt bên. Kỹ thuật này rất phổ biến: tách bài toán không gian thành các bài toán phẳng trên từng mặt.

Bốn định lí “xương sống” của bài

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh