Lũy thừa với số mũ nguyên

Trước khi tìm hiểu về lũy thừa với số mũ thực, chúng ta cần nắm vững kiến thức về lũy thừa với số mũ nguyên – nền tảng quan trọng cho toàn bộ chương.

1.1. Định nghĩa

Cho $n$ là một số nguyên dương. Ta định nghĩa:

Với $a$ là số thực tùy ý:

$$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ thừa số}}$$

Với $a$ là số thực khác 0:

$$a^0 = 1$$

$$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$$

Trong biểu thức $a^m$, ta gọi $a$ là cơ số, $m$ là số mũ.

Chú ý quan trọng: $0^0$ và $0^{-n}$ (với $n \in \mathbb{N}^*$) không có nghĩa.

1.2. Các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên

Với $a \neq 0$, $b \neq 0$ và $m$, $n$ là các số nguyên, ta có:

Chú ý (So sánh hai lũy thừa cùng cơ số):

• Nếu $a > 1$ thì $a^m > a^n$ khi và chỉ khi $m > n$
• Nếu $0 < a < 1$ thì $a^m > a^n$ khi và chỉ khi $m < n$

Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức:

$$A = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-8} \cdot 8^{-2} + (0,2)^{-4} \cdot 25^{-2}$$

Giải:

$$A = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-8} \cdot 8^{-2} + (0,2)^{-4} \cdot 25^{-2}$$

$$= 2^8 \cdot \dfrac{1}{8^2} + \dfrac{1}{(0,2)^4} \cdot \dfrac{1}{25^2}$$

$$= 2^8 \cdot \dfrac{1}{(2^3)^2} + \dfrac{1}{(0,2)^4 \cdot (5^2)^2}$$

$$= 2^8 \cdot \dfrac{1}{2^6} + \dfrac{1}{(0,2)^4 \cdot 5^4}$$

$$= 2^{8-6} + \dfrac{1}{(0,2 \cdot 5)^4}$$

$$= 2^2 + \dfrac{1}{1^4} = 4 + 1 = 5$$

Ví dụ 2 (Ký hiệu khoa học): Một số dương $x$ được viết dưới dạng ký hiệu khoa học nếu $x = a \cdot 10^m$, trong đó $1 \leq a < 10$ và $m$ là một số nguyên.

Viết các số sau dưới dạng ký hiệu khoa học:

a) Khối lượng Trái Đất: 5 980 000 000 000 000 000 000 000 kg

b) Khối lượng hạt proton: 0,000 000 000 000 000 000 000 000 001 672 62 kg

Giải:

a) $5,980,000,000,000,000,000,000,000 = 5,98 \times 10^{24}$ kg

b) $0,000,000,000,000,000,000,000,000,001,672,62 = 1,67262 \times 10^{-27}$ kg

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

2.1. Căn bậc n

Định nghĩa

Cho số thực $a$ và số nguyên dương $n$. Số $b$ được gọi là căn bậc $n$ của số $a$ nếu $b^n = a$.

Phân loại theo tính chẵn lẻ của n

Khi $n$ là số lẻ:

• Mỗi số thực $a$ có duy nhất một căn bậc $n$, ký hiệu là $\sqrt[n]{a}$
• Căn bậc 1 của số $a$ chính là $a$

Khi $n$ là số chẵn:

• Mỗi số thực dương $a$ có đúng hai căn bậc $n$ là hai số đối nhau:
  • Giá trị dương ký hiệu là $\sqrt[n]{a}$ (gọi là căn số học bậc $n$ của $a$)
  • Giá trị âm ký hiệu là $-\sqrt[n]{a}$
• $\sqrt[n]{0} = 0$
• Số âm không có căn bậc chẵn

Ví dụ 3: Tính:

a) $\sqrt[3]{-64}$

b) $\sqrt[4]{\dfrac{1}{16}}$

Giải:

a) $\sqrt[3]{-64} = \sqrt[3]{(-4)^3} = -4$

b) $\sqrt[4]{\dfrac{1}{16}} = \sqrt[4]{\left(\dfrac{1}{2}\right)^4} = \dfrac{1}{2}$

2.2. Tính chất của căn bậc n

Giả sử $n$, $k$ là các số nguyên dương, $m$ là số nguyên. Khi đó (giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):

Ví dụ 4: Tính:

a) $\sqrt[5]{4} \cdot \sqrt[5]{-8}$

b) $\sqrt[3]{-3\sqrt{3}}$

Giải:

a) $\sqrt[5]{4} \cdot \sqrt[5]{-8} = \sqrt[5]{4 \cdot (-8)} = \sqrt[5]{-32} = \sqrt[5]{(-2)^5} = -2$

b) Ta có $3\sqrt{3} = 3 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{1 + \frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{3})^3$

Do đó: $\sqrt[3]{-3\sqrt{3}} = \sqrt[3]{-(\sqrt{3})^3} = \sqrt[3]{(-\sqrt{3})^3} = -\sqrt{3}$

2.3. Định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực $a$ dương và số hữu tỉ $r = \dfrac{m}{n}$, trong đó $m$ là một số nguyên và $n$ là số nguyên dương.

Lũy thừa của $a$ với số mũ $r$, ký hiệu là $a^r$, xác định bởi:

$$\boxed{a^r = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}}$$

Lưu ý quan trọng: $\left(\sqrt[n]{a}\right)^n = a$

Tại sao cần điều kiện $a > 0$? Vì nếu $a < 0$ và $n$ chẵn thì $\sqrt[n]{a}$ không có nghĩa.

Chú ý: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ (của một số thực dương) có đầy đủ các tính chất như lũy thừa với số mũ nguyên.

Ví dụ 5: Tính:

a) $16^{\frac{3}{2}}$

b) $8^{-\frac{2}{3}}$

Giải:

a) $16^{\frac{3}{2}} = \sqrt{16^3} = \sqrt{(4^2)^3} = \sqrt{(4^3)^2} = 4^3 = 64$

Cách khác: $16^{\frac{3}{2}} = \left(16^{\frac{1}{2}}\right)^3 = (\sqrt{16})^3 = 4^3 = 64$

b) $8^{-\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^{-2}} = \sqrt[3]{(2^3)^{-2}} = \sqrt[3]{(2^{-2})^3} = 2^{-2} = \dfrac{1}{4}$

Cách khác: $8^{-\frac{2}{3}} = \dfrac{1}{8^{\frac{2}{3}}} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{8^2}} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{64}} = \dfrac{1}{4}$

Lũy thừa với số mũ thực

3.1. Khái niệm

Ta biết rằng $\sqrt{2}$ là một số vô tỉ và $\sqrt{2} = 1,4142135624…$

Gọi $(r_n)$ là dãy số hữu tỉ dùng để xấp xỉ số $\sqrt{2}$:

• $r_1 = 1$
• $r_2 = 1,4$
• $r_3 = 1,41$
• $r_4 = 1,4142$
• …

Ta có $\lim_{n \to +\infty} r_n = \sqrt{2}$

Khi đó, dãy số $3^{r_1}, 3^{r_2}, 3^{r_3}, …$ tiến dần đến một giá trị xác định, đó chính là $3^{\sqrt{2}}$.

Định nghĩa: Cho $a$ là số thực dương và $\alpha$ là một số vô tỉ. Xét dãy số hữu tỉ $(r_n)$ mà $\lim_{n \to +\infty} r_n = \alpha$.

Khi đó, dãy số $(a^{r_n})$ có giới hạn xác định và không phụ thuộc vào dãy số hữu tỉ $(r_n)$ đã chọn. Giới hạn đó gọi là lũy thừa của $a$ với số mũ $\alpha$, ký hiệu là $a^\alpha$.

$$\boxed{a^\alpha = \lim_{n \to +\infty} a^{r_n}}$$

Chú ý: Lũy thừa với số mũ thực (của một số dương) có đầy đủ các tính chất như lũy thừa với số mũ nguyên đã nêu ở phần 1.

Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức:

$$A = \dfrac{a^{\sqrt{5}-1} \cdot a^{3-\sqrt{5}}}{\left(a^{\sqrt{3}+1}\right)^{\sqrt{3}-1}} \quad (a > 0)$$

Giải:

Áp dụng tính chất $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ cho tử số:

$$a^{\sqrt{5}-1} \cdot a^{3-\sqrt{5}} = a^{(\sqrt{5}-1) + (3-\sqrt{5})} = a^{\sqrt{5} – 1 + 3 – \sqrt{5}} = a^2$$

Áp dụng tính chất $(a^m)^n = a^{mn}$ cho mẫu số:

$$\left(a^{\sqrt{3}+1}\right)^{\sqrt{3}-1} = a^{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = a^{(\sqrt{3})^2 – 1^2} = a^{3-1} = a^2$$

Vậy: $A = \dfrac{a^2}{a^2} = 1$

Ví dụ 7: Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh các số $8^{\sqrt{3}}$ và $4^{2\sqrt{3}}$.

Giải:

Bước 1: Đưa về cùng cơ số.

Ta có: $8 = 2^3$ nên $8^{\sqrt{3}} = (2^3)^{\sqrt{3}} = 2^{3\sqrt{3}}$

Ta có: $4 = 2^2$ nên $4^{2\sqrt{3}} = (2^2)^{2\sqrt{3}} = 2^{4\sqrt{3}}$

Bước 2: So sánh số mũ.

So sánh $3\sqrt{3}$ và $4\sqrt{3}$:

Vì $3 < 4$ nên $3\sqrt{3} < 4\sqrt{3}$

Bước 3: Kết luận.

Vì cơ số $2 > 1$ và $3\sqrt{3} < 4\sqrt{3}$ nên $2^{3\sqrt{3}} < 2^{4\sqrt{3}}$

Vậy $8^{\sqrt{3}} < 4^{2\sqrt{3}}$

3.2. Tính lũy thừa với số mũ thực bằng máy tính cầm tay

Có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính căn bậc $n$ và lũy thừa với số mũ thực.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tính giá trị biểu thức lũy thừa

Phương pháp:

1. Chuyển số mũ âm thành dương: $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ và $\left(\dfrac{1}{a}\right)^{-n} = a^n$
2. Chuyển lũy thừa với số mũ hữu tỉ sang dạng căn: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$
3. Phân tích cơ số thành lũy thừa của số nguyên tố hoặc số quen thuộc
4. Áp dụng tính chất để tính toán

Nhận dạng: Đề bài yêu cầu tính giá trị cụ thể của biểu thức chứa lũy thừa.

Mẹo chuyển đổi số mũ thập phân:

• $a^{0,5} = a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$
• $a^{0,25} = a^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{a}$
• $a^{0,75} = a^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{a^3}$
• $a^{1,5} = a^{\frac{3}{2}} = \sqrt{a^3} = a\sqrt{a}$

Ví dụ 1: Tính:

a) $\left(\dfrac{1}{5}\right)^{-2}$

b) $4^{\frac{3}{2}}$

c) $\left(\dfrac{1}{8}\right)^{-\frac{2}{3}}$

d) $\left(\dfrac{1}{16}\right)^{-0,75}$

Giải chi tiết:

a) $\left(\dfrac{1}{5}\right)^{-2}$

Bước 1: Áp dụng công thức $\left(\dfrac{1}{a}\right)^{-n} = a^n$

$$\left(\dfrac{1}{5}\right)^{-2} = 5^2$$

Bước 2: Tính kết quả.

$$= 25$$

b) $4^{\frac{3}{2}}$

Bước 1: Chuyển về dạng căn.

$$4^{\frac{3}{2}} = \sqrt{4^3}$$

Bước 2: Tính $4^3$.

$$4^3 = 64$$

Bước 3: Tính căn bậc hai.

$$\sqrt{64} = 8$$

Cách khác: $4^{\frac{3}{2}} = \left(4^{\frac{1}{2}}\right)^3 = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$

c) $\left(\dfrac{1}{8}\right)^{-\frac{2}{3}}$

Bước 1: Xử lý số mũ âm.

$$\left(\dfrac{1}{8}\right)^{-\frac{2}{3}} = 8^{\frac{2}{3}}$$

Bước 2: Chuyển về dạng căn.

$$8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2}$$

Bước 3: Tính $8^2$ và căn bậc ba.

$$8^2 = 64$$

$$\sqrt[3]{64} = \sqrt[3]{4^3} = 4$$

d) $\left(\dfrac{1}{16}\right)^{-0,75}$

Bước 1: Chuyển $0,75$ thành phân số.

$$0,75 = \dfrac{3}{4}$$

Bước 2: Xử lý số mũ âm.

$$\left(\dfrac{1}{16}\right)^{-\frac{3}{4}} = 16^{\frac{3}{4}}$$

Bước 3: Chuyển về dạng căn.

$$16^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{16^3}$$

Bước 4: Phân tích $16 = 2^4$.

$$\sqrt[4]{16^3} = \sqrt[4]{(2^4)^3} = \sqrt[4]{2^{12}} = 2^{\frac{12}{4}} = 2^3 = 8$$

Ví dụ 2: Thực hiện phép tính:

a) $27^{\frac{2}{3}} + 81^{-0,75} – 25^{0,5}$

b) $4^{2-3\sqrt{7}} \cdot 8^{2\sqrt{7}}$

Giải chi tiết:

a) $27^{\frac{2}{3}} + 81^{-0,75} – 25^{0,5}$

Bước 1: Tính từng số hạng.

Tính $27^{\frac{2}{3}}$:

$27 = 3^3$ nên $27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 3^2 = 9$

Tính $81^{-0,75}$:

$81 = 3^4$ và $0,75 = \dfrac{3}{4}$

$81^{-\frac{3}{4}} = (3^4)^{-\frac{3}{4}} = 3^{4 \cdot (-\frac{3}{4})} = 3^{-3} = \dfrac{1}{27}$

Tính $25^{0,5}$:

$25^{0,5} = 25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5$

Bước 2: Tính tổng.

$$27^{\frac{2}{3}} + 81^{-0,75} – 25^{0,5} = 9 + \dfrac{1}{27} – 5 = 4 + \dfrac{1}{27} = \dfrac{108 + 1}{27} = \dfrac{109}{27}$$

b) $4^{2-3\sqrt{7}} \cdot 8^{2\sqrt{7}}$

Bước 1: Đưa về cùng cơ số 2.

$4 = 2^2$ nên $4^{2-3\sqrt{7}} = (2^2)^{2-3\sqrt{7}} = 2^{2(2-3\sqrt{7})} = 2^{4-6\sqrt{7}}$

$8 = 2^3$ nên $8^{2\sqrt{7}} = (2^3)^{2\sqrt{7}} = 2^{3 \cdot 2\sqrt{7}} = 2^{6\sqrt{7}}$

Bước 2: Nhân hai lũy thừa cùng cơ số.

$$4^{2-3\sqrt{7}} \cdot 8^{2\sqrt{7}} = 2^{4-6\sqrt{7}} \cdot 2^{6\sqrt{7}}$$

$$= 2^{(4-6\sqrt{7}) + 6\sqrt{7}} = 2^{4-6\sqrt{7}+6\sqrt{7}} = 2^4 = 16$$

Dạng 2: Rút gọn biểu thức chứa lũy thừa

Phương pháp:

1. Quy đồng số mũ về cùng dạng (phân số hoặc căn)
2. Áp dụng các tính chất:
   • $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
   • $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
   • $(a^m)^n = a^{mn}$
3. Rút gọn và đưa về dạng đơn giản nhất

Nhận dạng: Biểu thức chứa nhiều lũy thừa của cùng một biến hoặc nhiều biến.

Mẹo chuyển căn sang lũy thừa:

• $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$
• $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$
• $\sqrt[4]{x} = x^{\frac{1}{4}}$
• $\sqrt[6]{x} = x^{\frac{1}{6}}$

Ví dụ 3: Rút gọn các biểu thức sau (với $x, y \neq 0$):

a) $A = \dfrac{x^5 y^{-2}}{x^3 y}$

b) $B = \dfrac{x^2 y^{-3}}{(x^{-1}y^4)^3}$

Giải chi tiết:

a) $A = \dfrac{x^5 y^{-2}}{x^3 y}$

Bước 1: Tách riêng phần chứa $x$ và phần chứa $y$.

$$A = \dfrac{x^5}{x^3} \cdot \dfrac{y^{-2}}{y}$$

Bước 2: Áp dụng công thức $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$$A = x^{5-3} \cdot y^{-2-1} = x^2 \cdot y^{-3}$$

Bước 3: Viết gọn kết quả.

$$A = x^2 y^{-3} = \dfrac{x^2}{y^3}$$

b) $B = \dfrac{x^2 y^{-3}}{(x^{-1}y^4)^3}$

Bước 1: Tính mẫu số bằng công thức $(ab)^n = a^n b^n$.

$$(x^{-1}y^4)^3 = (x^{-1})^3 \cdot (y^4)^3 = x^{-3} \cdot y^{12}$$

Bước 2: Thay vào biểu thức.

$$B = \dfrac{x^2 y^{-3}}{x^{-3} y^{12}}$$

Bước 3: Tách riêng và áp dụng công thức chia.

$$B = \dfrac{x^2}{x^{-3}} \cdot \dfrac{y^{-3}}{y^{12}} = x^{2-(-3)} \cdot y^{-3-12} = x^5 \cdot y^{-15}$$

Bước 4: Viết gọn kết quả.

$$B = x^5 y^{-15} = \dfrac{x^5}{y^{15}}$$

Ví dụ 4: Cho $x, y$ là các số thực dương. Rút gọn biểu thức:

$$A = \dfrac{x^{\frac{1}{3}}\sqrt{y} + y^{\frac{1}{3}}\sqrt{x}}{\sqrt[6]{x} + \sqrt[6]{y}}$$

Giải chi tiết:

Bước 1: Chuyển các căn về dạng lũy thừa.

$$\sqrt{y} = y^{\frac{1}{2}}, \quad \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}, \quad \sqrt[6]{x} = x^{\frac{1}{6}}, \quad \sqrt[6]{y} = y^{\frac{1}{6}}$$

Bước 2: Viết lại biểu thức.

$$A = \dfrac{x^{\frac{1}{3}} \cdot y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{6}} + y^{\frac{1}{6}}}$$

Bước 3: Phân tích tử số bằng cách đặt nhân tử chung.

Nhận xét: $\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6}$ và $\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6}$

Tử số: $x^{\frac{2}{6}} y^{\frac{3}{6}} + y^{\frac{2}{6}} x^{\frac{3}{6}} = x^{\frac{1}{6}} \cdot x^{\frac{1}{6}} \cdot y^{\frac{1}{6}} \cdot y^{\frac{2}{6}} + y^{\frac{1}{6}} \cdot y^{\frac{1}{6}} \cdot x^{\frac{1}{6}} \cdot x^{\frac{2}{6}}$

Đặt $u = x^{\frac{1}{6}}$, $v = y^{\frac{1}{6}}$:

Tử số $= u^2 v^3 + v^2 u^3 = u^2 v^2 (v + u) = u^2 v^2 (u + v)$

Mẫu số $= u + v$

Bước 4: Rút gọn.

$$A = \dfrac{u^2 v^2 (u + v)}{u + v} = u^2 v^2 = \left(x^{\frac{1}{6}}\right)^2 \cdot \left(y^{\frac{1}{6}}\right)^2 = x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}$$

Bước 5: Viết kết quả ở dạng căn (nếu cần).

$$A = x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}} = (xy)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{xy}$$

Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức (với $a > 0$):

$$A = \dfrac{\left(a^{\sqrt{2}-1}\right)^{1-\sqrt{2}}}{a^{\sqrt{5}-1} \cdot a^{3-\sqrt{5}}}$$

Giải chi tiết:

Bước 1: Tính tử số bằng công thức $(a^m)^n = a^{mn}$.

$$\left(a^{\sqrt{2}-1}\right)^{1-\sqrt{2}} = a^{(\sqrt{2}-1)(1-\sqrt{2})}$$

Tính số mũ: $(\sqrt{2}-1)(1-\sqrt{2}) = \sqrt{2} – (\sqrt{2})^2 – 1 + \sqrt{2} = \sqrt{2} – 2 – 1 + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} – 3$

Vậy tử số $= a^{2\sqrt{2}-3}$

Bước 2: Tính mẫu số bằng công thức $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$$a^{\sqrt{5}-1} \cdot a^{3-\sqrt{5}} = a^{(\sqrt{5}-1) + (3-\sqrt{5})} = a^{\sqrt{5} – 1 + 3 – \sqrt{5}} = a^2$$

Bước 3: Chia hai lũy thừa cùng cơ số.

$$A = \dfrac{a^{2\sqrt{2}-3}}{a^2} = a^{(2\sqrt{2}-3) – 2} = a^{2\sqrt{2}-5}$$

Dạng 3: So sánh các lũy thừa (không dùng máy tính)

Phương pháp:

Cách 1: Đưa về cùng cơ số

• Viết các lũy thừa về dạng $a^m$ và $a^n$
• So sánh số mũ $m$ với $n$
• Kết luận dựa vào cơ số $a$

Cách 2: Đưa về cùng số mũ

• Viết các lũy thừa về dạng $a^k$ và $b^k$
• So sánh cơ số $a$ với $b$

Quy tắc so sánh:

• Cơ số $a > 1$: số mũ lớn hơn → giá trị lớn hơn
• Cơ số $0 < a < 1$: số mũ lớn hơn → giá trị nhỏ hơn

Nhận dạng: Đề bài yêu cầu so sánh hai hoặc nhiều lũy thừa mà không dùng máy tính.

Mẹo phân tích cơ số:

• $4 = 2^2$, $8 = 2^3$, $16 = 2^4$, $32 = 2^5$
• $9 = 3^2$, $27 = 3^3$, $81 = 3^4$
• $25 = 5^2$, $125 = 5^3$

Ví dụ 6: Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh $5^{6\sqrt{3}}$ và $5^{3\sqrt{6}}$.

Giải chi tiết:

Bước 1: Nhận xét hai lũy thừa đã cùng cơ số $5 > 1$.

Bước 2: So sánh hai số mũ $6\sqrt{3}$ và $3\sqrt{6}$.

Bình phương hai số mũ (vì cả hai đều dương):

$(6\sqrt{3})^2 = 36 \cdot 3 = 108$

$(3\sqrt{6})^2 = 9 \cdot 6 = 54$

Vì $108 > 54$ nên $6\sqrt{3} > 3\sqrt{6}$

Bước 3: Kết luận.

Vì cơ số $5 > 1$ và $6\sqrt{3} > 3\sqrt{6}$ nên:

$$5^{6\sqrt{3}} > 5^{3\sqrt{6}}$$

Ví dụ 7: So sánh $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{4}{3}}$ và $\sqrt{2} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$.

Giải chi tiết:

Bước 1: Đưa các biểu thức về cùng cơ số 2.

Biểu thức 1:

$$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{4}{3}} = \left(2^{-1}\right)^{\frac{4}{3}} = 2^{-\frac{4}{3}}$$

Biểu thức 2:

$$\sqrt{2} \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{3}}$$

Tính số mũ: $\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{4}{6} = \dfrac{7}{6}$

Vậy biểu thức 2 $= 2^{\frac{7}{6}}$

Bước 2: So sánh hai số mũ.

So sánh $-\dfrac{4}{3}$ và $\dfrac{7}{6}$:

$-\dfrac{4}{3} = -\dfrac{8}{6}$

Vì $-\dfrac{8}{6} < \dfrac{7}{6}$

Bước 3: Kết luận.

Vì cơ số $2 > 1$ và $-\dfrac{4}{3} < \dfrac{7}{6}$ nên:

$$2^{-\frac{4}{3}} < 2^{\frac{7}{6}}$$

Vậy $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{4}{3}} < \sqrt{2} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

Dạng 4: Chứng minh đẳng thức chứa căn

Phương pháp:

1. Biến đổi biểu thức trong căn về dạng bình phương hoàn chỉnh
2. Sử dụng công thức: $\sqrt{A^2} = |A|$
3. Xét dấu để bỏ giá trị tuyệt đối

Nhận dạng: Biểu thức có dạng $\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}}$.

Mẹo nhận dạng hằng đẳng thức:

• $\sqrt{a + 2\sqrt{b}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}$ với $x + y = a$ và $xy = b$ (với $x \geq y$)
• $\sqrt{a – 2\sqrt{b}} = \sqrt{x} – \sqrt{y}$ với $x + y = a$ và $xy = b$ (với $x > y$)

Ví dụ 8: Chứng minh rằng: $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} – \sqrt{4 – 2\sqrt{3}} = 2$

Giải chi tiết:

Bước 1: Biến đổi $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$.

Ta cần tìm $x, y$ sao cho $x + y = 4$ và $xy = 3$.

Giải hệ: $x = 3$, $y = 1$ (vì $3 + 1 = 4$ và $3 \cdot 1 = 3$)

$$4 + 2\sqrt{3} = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{3} + 1)^2$$

Do đó: $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} = |\sqrt{3} + 1| = \sqrt{3} + 1$ (vì $\sqrt{3} + 1 > 0$)

Bước 2: Biến đổi $\sqrt{4 – 2\sqrt{3}}$.

$$4 – 2\sqrt{3} = 3 – 2\sqrt{3} + 1 = (\sqrt{3})^2 – 2\sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{3} – 1)^2$$

Do đó: $\sqrt{4 – 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} – 1)^2} = |\sqrt{3} – 1| = \sqrt{3} – 1$ (vì $\sqrt{3} > 1$)

Bước 3: Tính hiệu.

$$\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} – \sqrt{4 – 2\sqrt{3}} = (\sqrt{3} + 1) – (\sqrt{3} – 1) = \sqrt{3} + 1 – \sqrt{3} + 1 = 2$$

Vậy đẳng thức được chứng minh.

Dạng 5: Bài toán thực tế (lãi kép, tăng trưởng)

Công thức lãi kép:

$$\boxed{A = P\left(1 + \dfrac{r}{n}\right)^N}$$

Trong đó:

• $P$: Tiền gốc ban đầu
• $r$: Lãi suất hằng năm (dạng thập phân, ví dụ 5% = 0,05)
• $n$: Số lần tính lãi trong một năm
• $N$: Tổng số kỳ gửi
• $A$: Tổng tiền thu được (cả vốn lẫn lãi)

Công thức tăng trưởng dân số:

$$\boxed{A = A_0 \cdot 2^{\frac{t}{T}}}$$

Trong đó:

• $A_0$: Dân số ban đầu
• $t$: Số năm sau
• $T$: Thời gian để dân số tăng gấp đôi
• $A$: Dân số sau $t$ năm

Nhận dạng: Bài toán về gửi tiết kiệm, lãi suất ngân hàng, tăng trưởng dân số, phân rã phóng xạ,…

Ví dụ 9: Nếu bác An gửi tiết kiệm số tiền 120 triệu đồng theo kỳ hạn 6 tháng với lãi suất không đổi là 5% một năm, thì số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) của bác An sau 2 năm là bao nhiêu?

Giải chi tiết:

Bước 1: Xác định các đại lượng.

• Tiền gốc: $P = 120$ triệu đồng
• Lãi suất hằng năm: $r = 5% = 0,05$
• Số lần tính lãi trong năm: $n = 2$ (vì kỳ hạn 6 tháng, mỗi năm có 2 kỳ)
• Thời gian gửi: 2 năm
• Tổng số kỳ gửi: $N = 2 \times 2 = 4$ kỳ

Bước 2: Áp dụng công thức lãi kép.

$$A = P\left(1 + \dfrac{r}{n}\right)^N$$

$$A = 120\left(1 + \dfrac{0,05}{2}\right)^4$$

$$A = 120\left(1 + 0,025\right)^4$$

$$A = 120 \times (1,025)^4$$

Bước 3: Tính $(1,025)^4$.

$(1,025)^2 = 1,050625$

$(1,025)^4 = (1,050625)^2 \approx 1,10381$

Bước 4: Tính kết quả.

$$A = 120 \times 1,10381 \approx 132,457 \text{ triệu đồng}$$

Kết luận: Sau 2 năm, bác An thu được khoảng 132,457 triệu đồng (hay 132 457 000 đồng).

Ví dụ 10: Năm 2021, dân số của một quốc gia ở châu Á khoảng 19 triệu người. Người ta ước tính rằng dân số của quốc gia này sẽ tăng gấp đôi sau 30 năm nữa. Khi đó dân số $A$ (triệu người) của quốc gia đó sau $t$ năm kể từ năm 2021 được ước tính bằng công thức $A = 19 \cdot 2^{\frac{t}{30}}$.

Hỏi với tốc độ tăng dân số như vậy thì sau 20 năm nữa dân số của quốc gia này sẽ là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng triệu).

Giải chi tiết:

Bước 1: Xác định các đại lượng.

• Dân số ban đầu (năm 2021): $A_0 = 19$ triệu người
• Thời gian: $t = 20$ năm
• Công thức: $A = 19 \cdot 2^{\frac{t}{30}}$

Bước 2: Thay $t = 20$ vào công thức.

$$A = 19 \cdot 2^{\frac{20}{30}} = 19 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$$

Bước 3: Tính $2^{\frac{2}{3}}$.

$$2^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4} \approx 1,587$$

Bước 4: Tính kết quả.

$$A = 19 \times 1,587 \approx 30,15 \text{ triệu người}$$

Kết luận: Sau 20 năm nữa (tức năm 2041), dân số của quốc gia này sẽ là khoảng 30 triệu người.

Tổng kết

Bảng công thức lũy thừa cần nhớ

Các tính chất cơ bản

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n} \qquad \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \qquad (a^m)^n = a^{mn}$$

$$(ab)^m = a^m b^m \qquad \left(\dfrac{a}{b}\right)^m = \dfrac{a^m}{b^m}$$

Quy tắc so sánh nhanh

Mẹo ghi nhớ: “Cơ số lớn hơn 1: số mũ lớn thì giá trị lớn. Cơ số nhỏ hơn 1: số mũ lớn thì giá trị nhỏ.”

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh