Phương trình mũ

Trong bài toán mở đầu, giá trị còn lại (tính theo triệu đồng) của một chiếc ô tô sau $t$ năm sử dụng được mô hình hóa bằng công thức:

$$V(t) = 780 \cdot (0{,}905)^t$$

Hỏi nếu theo mô hình này, sau bao nhiêu năm sử dụng thì giá trị của chiếc ô tô đó còn lại không quá 300 triệu đồng?

Để giải bài toán này, ta cần giải bất phương trình mũ $(0{,}905)^t \leq \dfrac{300}{780}$. Đây chính là nội dung chính của bài học.

1.1. Phương trình mũ cơ bản

Phương trình mũ cơ bản có dạng $a^x = b$ (với $0 < a \neq 1$).

1.2. Phương pháp đưa về cùng cơ số

Nguyên tắc: Nếu $0 < a \neq 1$ thì:

$$\boxed{a^u = a^v \Leftrightarrow u = v}$$

Ví dụ 1: Giải phương trình: $3^{x+1} = \dfrac{1}{3^{1-2x}}$

Giải:

Đưa vế phải về cơ số 3:

$$\dfrac{1}{3^{1-2x}} = 3^{-(1-2x)} = 3^{2x-1}$$

Từ đó phương trình trở thành:

$$3^{x+1} = 3^{2x-1}$$

$$\Leftrightarrow x + 1 = 2x – 1$$

$$\Leftrightarrow x = 2$$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 2$.

Ví dụ 2: Giải phương trình: $10^{x-1} = 2022$

Giải:

Vì 2022 không thể viết thành lũy thừa của 10, ta lấy lôgarit thập phân hai vế:

$$\log 10^{x-1} = \log 2022$$

$$(x-1) \cdot \log 10 = \log 2022$$

$$x – 1 = \log 2022$$

$$x = 1 + \log 2022$$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 1 + \log 2022$.

Phương trình lôgarit

2.1. Phương trình lôgarit cơ bản

Phương trình lôgarit cơ bản có dạng $\log_a x = b$ (với $0 < a \neq 1$).

$$\boxed{\log_a x = b \Leftrightarrow x = a^b}$$

Phương trình lôgarit cơ bản luôn có nghiệm duy nhất $x = a^b$.

2.2. Phương pháp đưa về cùng cơ số

Nguyên tắc: Nếu $u, v > 0$ và $0 < a \neq 1$ thì:

$$\boxed{\log_a u = \log_a v \Leftrightarrow u = v}$$

Chú ý quan trọng: Luôn tìm điều kiện xác định trước khi giải (biểu thức trong lôgarit phải dương).

Ví dụ 3: Giải phương trình: $4 + 3\log(2x) = 16$

Giải:

Điều kiện: $2x > 0$ hay $x > 0$

Phương trình trở thành:

$$3\log(2x) = 16 – 4 = 12$$

$$\log(2x) = 4$$

Từ đó: $2x = 10^4 = 10000$

$$x = 5000 \text{ (thỏa mãn điều kiện)}$$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 5000$.

Ví dụ 4: Giải phương trình: $\log_3(x+1) = \log_3(x^2-1)$

Giải:

Điều kiện: $x + 1 > 0$ và $x^2 – 1 > 0$, tức là $x > 1$

Phương trình trở thành:

$$x + 1 = x^2 – 1$$

$$x^2 – x – 2 = 0$$

Giải phương trình bậc hai:

$$x = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \dfrac{1 \pm 3}{2}$$

Từ đó tìm được $x = -1$ và $x = 2$, nhưng chỉ có nghiệm $x = 2$ thỏa mãn điều kiện $x > 1$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 2$.

Bất phương trình mũ

3.1. Bất phương trình mũ cơ bản

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng $a^x > b$ (hoặc $a^x \geq b$, $a^x < b$, $a^x \leq b$) với $a > 0$, $a \neq 1$.

Xét bất phương trình $a^x > b$:

3.2. Quy tắc so sánh hai lũy thừa cùng cơ số

Mẹo nhớ: “Cơ số lớn hơn 1 thì giữ chiều, cơ số nhỏ hơn 1 thì đổi chiều”

Ví dụ 5: Giải bất phương trình: $16^x > \dfrac{1}{8}$

Giải:

Đưa về cùng cơ số 2:

$$16^x > \dfrac{1}{8}$$

$$(2^4)^x > 2^{-3}$$

$$2^{4x} > 2^{-3}$$

Vì cơ số $2 > 1$ nên ta giữ nguyên chiều bất đẳng thức:

$$4x > -3$$

$$x > -\dfrac{3}{4}$$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $x > -\dfrac{3}{4}$ hay $\left(-\dfrac{3}{4}; +\infty\right)$.

Ví dụ 6 (Giải bài toán mở đầu): Giá trị còn lại của chiếc ô tô sau $t$ năm là $V(t) = 780 \cdot (0{,}905)^t$. Hỏi sau bao nhiêu năm giá trị còn lại không quá 300 triệu đồng?

Giải:

Ta cần tìm $t$ sao cho:

$$V(t) \leq 300$$

$$780 \cdot (0{,}905)^t \leq 300$$

$$(0{,}905)^t \leq \dfrac{300}{780} = \dfrac{5}{13}$$

Vì cơ số $0{,}905 < 1$ nên ta đổi chiều bất đẳng thức:

$$t \geq \log_{0{,}905} \dfrac{5}{13}$$

Dùng công thức đổi cơ số và máy tính:

$$t \geq \dfrac{\ln\dfrac{5}{13}}{\ln 0{,}905} = \dfrac{\ln 5 – \ln 13}{\ln 0{,}905} \approx 9{,}6$$

Vậy sau khoảng 10 năm sử dụng, giá trị của chiếc xe đó còn lại không quá 300 triệu đồng.

Bất phương trình lôgarit

4.1. Bất phương trình lôgarit cơ bản

Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng $\log_a x > b$ (hoặc $\log_a x \geq b$, $\log_a x < b$, $\log_a x \leq b$) với $a > 0$, $a \neq 1$.

Xét bất phương trình $\log_a x > b$:

4.2. Quy tắc so sánh hai lôgarit cùng cơ số

Chú ý quan trọng:

• Luôn tìm điều kiện xác định (biểu thức trong lôgarit phải dương)
• Kết hợp điều kiện với nghiệm tìm được

Ví dụ 7: Giải bất phương trình: $\log_{0{,}3}(x+1) \leq \log_{0{,}3}(2x-1)$

Giải:

Điều kiện: $x + 1 > 0$ và $2x – 1 > 0$, tức là $x > \dfrac{1}{2}$

Vì cơ số $0{,}3 < 1$ nên ta đổi chiều bất đẳng thức:

$$x + 1 \geq 2x – 1$$

$$1 + 1 \geq 2x – x$$

$$2 \geq x$$

hay $x \leq 2$

Kết hợp với điều kiện $x > \dfrac{1}{2}$, ta được nghiệm của bất phương trình là:

$$\dfrac{1}{2} < x \leq 2$$

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Phương trình mũ – Đưa về cùng cơ số

Phương pháp:

1. Biến đổi hai vế về cùng cơ số $a$ (với $0 < a \neq 1$)
2. Áp dụng: $a^u = a^v \Leftrightarrow u = v$
3. Giải phương trình với ẩn ở số mũ

Nhận dạng: Các số ở hai vế có thể viết thành lũy thừa của cùng một cơ số.

Mẹo chọn cơ số:

• $4, 8, 16, 32, 64 \to$ cơ số 2
• $9, 27, 81 \to$ cơ số 3
• $25, 125 \to$ cơ số 5
• $0{,}1; 0{,}01; 100; 1000 \to$ cơ số 10

Ví dụ 1: Giải phương trình: $3^{x-1} = 27$

Giải chi tiết:

Bước 1: Nhận dạng – hai vế có thể đưa về cùng cơ số 3.

Bước 2: Biến đổi vế phải về cơ số 3.

$$27 = 3^3$$

Bước 3: Viết lại phương trình.

$$3^{x-1} = 3^3$$

Bước 4: Áp dụng quy tắc (cùng cơ số thì số mũ bằng nhau).

$$x – 1 = 3$$

Bước 5: Giải tìm $x$.

$$x = 4$$

Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất $x = 4$.

Ví dụ 2: Giải phương trình: $100^{2x^2-3} = 0{,}1^{2x^2-10}$

Giải chi tiết:

Bước 1: Nhận dạng – cả $100$ và $0{,}1$ đều có thể đưa về cơ số 10.

Bước 2: Biến đổi về cơ số 10.

$$100 = 10^2 \quad \text{và} \quad 0{,}1 = 10^{-1}$$

Bước 3: Viết lại phương trình.

$$(10^2)^{2x^2-3} = (10^{-1})^{2x^2-10}$$

$$10^{2(2x^2-3)} = 10^{-(2x^2-10)}$$

$$10^{4x^2-6} = 10^{-2x^2+10}$$

Bước 4: Áp dụng quy tắc cùng cơ số.

$$4x^2 – 6 = -2x^2 + 10$$

Bước 5: Giải phương trình bậc hai.

$$4x^2 + 2x^2 = 10 + 6$$

$$6x^2 = 16$$

$$x^2 = \dfrac{16}{6} = \dfrac{8}{3}$$

$$x = \pm\sqrt{\dfrac{8}{3}} = \pm\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \pm\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$$

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm $x = \dfrac{2\sqrt{6}}{3}$ và $x = -\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$.

Dạng 2: Phương trình mũ – Lôgarit hóa

Phương pháp:

1. Lấy lôgarit (thường là $\log$ hoặc $\ln$) hai vế
2. Áp dụng tính chất $\log(a^x) = x\log a$
3. Giải phương trình bậc nhất theo $x$

Nhận dạng: Các cơ số ở hai vế không thể đưa về cùng một cơ số.

Mẹo:

• Dùng $\log$ khi có cơ số 10
• Dùng $\ln$ khi có cơ số $e$

Ví dụ 3: Giải phương trình: $\sqrt{3} \cdot e^{3x} = 1$

Giải chi tiết:

Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng $e^{3x} = …$

$$e^{3x} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} = 3^{-\frac{1}{2}}$$

Bước 2: Lấy lôgarit tự nhiên hai vế.

$$\ln e^{3x} = \ln 3^{-\frac{1}{2}}$$

Bước 3: Áp dụng tính chất lôgarit.

$$3x \cdot \ln e = -\dfrac{1}{2} \cdot \ln 3$$

$$3x = -\dfrac{1}{2}\ln 3$$

Bước 4: Giải tìm $x$.

$$x = -\dfrac{\ln 3}{6}$$

Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất $x = -\dfrac{\ln 3}{6}$.

Ví dụ 4: Giải phương trình: $5^x = 3^{2x-1}$

Giải chi tiết:

Bước 1: Nhận xét – hai cơ số 5 và 3 không thể đưa về cùng cơ số → dùng lôgarit hóa.

Bước 2: Lấy lôgarit tự nhiên hai vế.

$$\ln 5^x = \ln 3^{2x-1}$$

Bước 3: Áp dụng tính chất $\ln a^b = b \cdot \ln a$.

$$x \cdot \ln 5 = (2x-1) \cdot \ln 3$$

Bước 4: Khai triển và nhóm các hạng tử chứa $x$.

$$x \cdot \ln 5 = 2x \cdot \ln 3 – \ln 3$$

$$x \cdot \ln 5 – 2x \cdot \ln 3 = -\ln 3$$

$$x(\ln 5 – 2\ln 3) = -\ln 3$$

Bước 5: Giải tìm $x$.

$$x = \dfrac{-\ln 3}{\ln 5 – 2\ln 3} = \dfrac{-\ln 3}{\ln 5 – \ln 9} = \dfrac{-\ln 3}{\ln\dfrac{5}{9}} = \dfrac{\ln 3}{\ln\dfrac{9}{5}}$$

Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất $x = \dfrac{\ln 3}{\ln\dfrac{9}{5}}$ hay $x = \log_{\frac{9}{5}} 3$.

Dạng 3: Phương trình lôgarit cơ bản

Phương pháp:

1. Tìm điều kiện xác định (biểu thức trong log > 0)
2. Đưa phương trình về dạng $\log_a f(x) = b$
3. Chuyển sang dạng mũ: $f(x) = a^b$
4. Giải và kiểm tra điều kiện

Nhận dạng: Phương trình chứa một lôgarit đơn.

Ví dụ 5: Giải phương trình: $\log(x+1) = 2$

Giải chi tiết:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định.

$$x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > -1$$

Bước 2: Chuyển sang dạng mũ.

Từ $\log(x+1) = 2$, ta có:

$$x + 1 = 10^2 = 100$$

Bước 3: Giải tìm $x$.

$$x = 100 – 1 = 99$$

Bước 4: Kiểm tra điều kiện.

$x = 99 > -1$ ✓ (thỏa mãn)

Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất $x = 99$.

Dạng 4: Phương trình lôgarit – Đưa về cùng cơ số

Phương pháp:

1. Tìm điều kiện xác định
2. Đổi các lôgarit về cùng cơ số (nếu khác cơ số)
3. Gộp lôgarit bằng quy tắc tích, thương
4. Áp dụng: $\log_a u = \log_a v \Leftrightarrow u = v$
5. Giải và kiểm tra điều kiện

Nhận dạng: Phương trình có nhiều lôgarit cùng cơ số hoặc khác cơ số nhưng liên quan.

Mẹo đổi cơ số:

• $\log_4 x = \dfrac{1}{2}\log_2 x$
• $\log_9 x = \dfrac{1}{2}\log_3 x$
• $\log_{\frac{1}{a}} x = -\log_a x$

Ví dụ 6: Giải phương trình: $2\log_4 x + \log_2(x-3) = 2$

Giải chi tiết:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định.

$$x > 0 \quad \text{và} \quad x – 3 > 0$$

Suy ra: $x > 3$

Bước 2: Đổi $\log_4 x$ về cơ số 2.

$$\log_4 x = \log_{2^2} x = \dfrac{1}{2}\log_2 x$$

Bước 3: Viết lại phương trình với cùng cơ số 2.

$$2 \cdot \dfrac{1}{2}\log_2 x + \log_2(x-3) = 2$$

$$\log_2 x + \log_2(x-3) = 2$$

Bước 4: Gộp lôgarit bằng quy tắc tích.

$$\log_2[x(x-3)] = 2$$

Bước 5: Chuyển sang dạng mũ.

$$x(x-3) = 2^2 = 4$$

$$x^2 – 3x – 4 = 0$$

Bước 6: Giải phương trình bậc hai.

$$(x-4)(x+1) = 0$$

$$x = 4 \quad \text{hoặc} \quad x = -1$$

Bước 7: Kiểm tra điều kiện $x > 3$.

• $x = 4 > 3$ ✓ (thỏa mãn)
• $x = -1 < 3$ ✗ (loại)

Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất $x = 4$.

Ví dụ 7: Giải phương trình: $\ln x + \ln(x-1) = \ln 4x$

Giải chi tiết:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định.

$$x > 0, \quad x – 1 > 0, \quad 4x > 0$$

Suy ra: $x > 1$

Bước 2: Gộp lôgarit vế trái bằng quy tắc tích.

$$\ln[x(x-1)] = \ln 4x$$

Bước 3: Áp dụng quy tắc cùng cơ số.

$$x(x-1) = 4x$$

Bước 4: Giải phương trình.

$$x^2 – x = 4x$$

$$x^2 – 5x = 0$$

$$x(x – 5) = 0$$

$$x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 5$$

Bước 5: Kiểm tra điều kiện $x > 1$.

• $x = 0 < 1$ ✗ (loại)
• $x = 5 > 1$ ✓ (thỏa mãn)

Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất $x = 5$.

Ví dụ 8: Giải phương trình: $\log_3(x^2-3x+2) = \log_3(2x-4)$

Giải chi tiết:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định.

$$x^2 – 3x + 2 > 0 \quad \text{và} \quad 2x – 4 > 0$$

Xét $x^2 – 3x + 2 = (x-1)(x-2) > 0$:

• $x < 1$ hoặc $x > 2$

Xét $2x – 4 > 0$:

• $x > 2$

Kết hợp: $x > 2$

Bước 2: Áp dụng quy tắc cùng cơ số.

$$x^2 – 3x + 2 = 2x – 4$$

Bước 3: Giải phương trình bậc hai.

$$x^2 – 3x + 2 – 2x + 4 = 0$$

$$x^2 – 5x + 6 = 0$$

$$(x-2)(x-3) = 0$$

$$x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = 3$$

Bước 4: Kiểm tra điều kiện $x > 2$.

• $x = 2$ không thỏa mãn $x > 2$ ✗ (loại)
• $x = 3 > 2$ ✓ (thỏa mãn)

Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất $x = 3$.

Dạng 5: Bất phương trình mũ

Phương pháp:

1. Đưa về cùng cơ số: $a^{f(x)} > a^{g(x)}$
2. So sánh số mũ theo quy tắc:
   • $a > 1$: $f(x) > g(x)$ (giữ chiều)
   • $0 < a < 1$: $f(x) < g(x)$ (đổi chiều)
3. Giải bất phương trình

Nhận dạng: Bất phương trình có ẩn ở số mũ.

Mẹo xử lý hệ số:

• $k \cdot a^x \leq m$ → $a^x \leq \dfrac{m}{k}$ → Lôgarit hóa

Ví dụ 9: Giải bất phương trình: $0{,}1^{2-x} > 0{,}1^{4+2x}$

Giải chi tiết:

Bước 1: Nhận xét cơ số.

Cơ số $0{,}1 = \dfrac{1}{10} < 1$ → cần đổi chiều khi so sánh số mũ.

Bước 2: Áp dụng quy tắc so sánh.

Vì $0 < 0{,}1 < 1$, nên:

$$0{,}1^{2-x} > 0{,}1^{4+2x} \Leftrightarrow 2 – x < 4 + 2x$$

Bước 3: Giải bất phương trình bậc nhất.

$$2 – x < 4 + 2x$$

$$2 – 4 < 2x + x$$

$$-2 < 3x$$

$$x > -\dfrac{2}{3}$$

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là $x > -\dfrac{2}{3}$ hay $\left(-\dfrac{2}{3}; +\infty\right)$.

Ví dụ 10: Giải bất phương trình: $2 \cdot 5^{2x+1} \leq 3$

Giải chi tiết:

Bước 1: Đưa về dạng $a^{f(x)} \leq b$.

$$5^{2x+1} \leq \dfrac{3}{2}$$

Bước 2: Lấy lôgarit cơ số 5 hai vế.

Vì cơ số $5 > 1$ và $\dfrac{3}{2} > 0$, ta giữ nguyên chiều:

$$2x + 1 \leq \log_5 \dfrac{3}{2}$$

Bước 3: Giải tìm $x$.

$$2x \leq \log_5 \dfrac{3}{2} – 1$$

$$2x \leq \log_5 \dfrac{3}{2} – \log_5 5$$

$$2x \leq \log_5 \dfrac{3}{10}$$

$$x \leq \dfrac{1}{2}\log_5 \dfrac{3}{10}$$

Kết luận: Tập nghiệm là $x \leq \dfrac{1}{2}\log_5 \dfrac{3}{10}$ hay $\left(-\infty; \dfrac{1}{2}\log_5 \dfrac{3}{10}\right]$.

Dạng 6: Bất phương trình lôgarit

Phương pháp:

1. Tìm điều kiện xác định (biểu thức trong log > 0)
2. Đưa về cùng cơ số: $\log_a f(x) > \log_a g(x)$
3. So sánh theo quy tắc:
   • $a > 1$: $f(x) > g(x) > 0$ (giữ chiều)
   • $0 < a < 1$: $0 < f(x) < g(x)$ (đổi chiều)
4. Giải và kết hợp với điều kiện

Nhận dạng: Bất phương trình có ẩn trong lôgarit.

Lưu ý quan trọng: Khi đổi chiều bất đẳng thức (cơ số < 1), điều kiện dương tự động thỏa mãn từ vế phải.

Ví dụ 11: Giải bất phương trình: $\log_3(x+7) \geq -1$

Giải chi tiết:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định.

$$x + 7 > 0 \Leftrightarrow x > -7$$

Bước 2: Chuyển $-1$ thành lôgarit cơ số 3.

$$-1 = \log_3 3^{-1} = \log_3 \dfrac{1}{3}$$

Bước 3: Viết lại bất phương trình.

$$\log_3(x+7) \geq \log_3 \dfrac{1}{3}$$

Bước 4: Áp dụng quy tắc so sánh.

Vì cơ số $3 > 1$, ta giữ nguyên chiều:

$$x + 7 \geq \dfrac{1}{3}$$

$$x \geq \dfrac{1}{3} – 7 = -\dfrac{20}{3}$$

Bước 5: Kết hợp với điều kiện $x > -7$.

Vì $-\dfrac{20}{3} \approx -6{,}67 > -7$, nên điều kiện $x > -7$ tự động thỏa mãn.

Kết luận: Tập nghiệm là $x \geq -\dfrac{20}{3}$ hay $\left[-\dfrac{20}{3}; +\infty\right)$.

Ví dụ 12: Giải bất phương trình: $\log_{0{,}5}(x+7) \geq \log_{0{,}5}(2x-1)$

Giải chi tiết:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định.

$$x + 7 > 0 \quad \text{và} \quad 2x – 1 > 0$$

$$x > -7 \quad \text{và} \quad x > \dfrac{1}{2}$$

Kết hợp: $x > \dfrac{1}{2}$

Bước 2: Áp dụng quy tắc so sánh.

Vì cơ số $0{,}5 < 1$, ta đổi chiều:

$$x + 7 \leq 2x – 1$$

Bước 3: Giải bất phương trình.

$$7 + 1 \leq 2x – x$$

$$8 \leq x$$

hay $x \geq 8$

Bước 4: Kết hợp với điều kiện $x > \dfrac{1}{2}$.

$$x \geq 8$$

Kết luận: Tập nghiệm là $x \geq 8$ hay $[8; +\infty)$.

Dạng 7: Bài toán thực tế

Các mô hình thường gặp:

Phương pháp:

1. Xác định công thức và các đại lượng
2. Thiết lập phương trình/bất phương trình
3. Giải và làm tròn kết quả theo yêu cầu

Mẹo làm tròn:

• Thời gian tối thiểu để đạt mức A: làm tròn lên số nguyên
• Thời gian tối đa trước khi vượt mức B: làm tròn xuống số nguyên

Ví dụ 13: Bác Minh gửi tiết kiệm 500 triệu đồng ở một ngân hàng với lãi suất không đổi 7,5% một năm theo thể thức lãi kép kỳ hạn 12 tháng. Tổng số tiền bác Minh thu được (cả vốn lẫn lãi) sau $n$ năm là:

$$A = 500 \cdot (1 + 0{,}075)^n \text{ (triệu đồng)}$$

Tính thời gian tối thiểu gửi tiết kiệm để bác Minh thu được ít nhất 800 triệu đồng.

Giải chi tiết:

Bước 1: Thiết lập bất phương trình.

Ta cần tìm $n$ sao cho $A \geq 800$:

$$500 \cdot (1{,}075)^n \geq 800$$

Bước 2: Đưa về dạng lũy thừa.

$$(1{,}075)^n \geq \dfrac{800}{500} = 1{,}6$$

Bước 3: Lấy lôgarit hai vế.

Vì cơ số $1{,}075 > 1$, ta giữ nguyên chiều:

$$n \geq \log_{1{,}075} 1{,}6$$

Bước 4: Tính giá trị bằng công thức đổi cơ số.

$$n \geq \dfrac{\ln 1{,}6}{\ln 1{,}075} = \dfrac{0{,}4700}{0{,}0723} \approx 6{,}5$$

Bước 5: Kết luận (làm tròn lên vì tìm thời gian tối thiểu).

Vì gửi tiết kiệm kỳ hạn 12 tháng nên $n$ phải là số nguyên.

Kết luận: Thời gian tối thiểu gửi tiết kiệm là 7 năm.

Ví dụ 14: Số lượng vi khuẩn ban đầu trong một mẻ nuôi cấy là 500 con. Số lượng vi khuẩn $N(t)$ sau $t$ giờ nuôi cấy được ước tính bằng công thức:

$$N(t) = 500 \cdot e^{0{,}4t}$$

Hỏi sau bao nhiêu giờ nuôi cấy, số lượng vi khuẩn vượt mức 80 000 con?

Giải chi tiết:

Bước 1: Thiết lập bất phương trình.

Ta cần tìm $t$ sao cho $N(t) > 80000$:

$$500 \cdot e^{0{,}4t} > 80000$$

Bước 2: Đưa về dạng lũy thừa.

$$e^{0{,}4t} > \dfrac{80000}{500} = 160$$

Bước 3: Lấy lôgarit tự nhiên hai vế.

Vì cơ số $e > 1$, ta giữ nguyên chiều:

$$0{,}4t > \ln 160$$

Bước 4: Giải tìm $t$.

$$t > \dfrac{\ln 160}{0{,}4}$$

Tính: $\ln 160 \approx 5{,}075$

$$t > \dfrac{5{,}075}{0{,}4} \approx 12{,}69$$

Kết luận: Sau khoảng 13 giờ nuôi cấy, số lượng vi khuẩn sẽ vượt mức 80 000 con.

Ví dụ 15: Giả sử nhiệt độ $T$ (°C) của một vật giảm dần theo thời gian cho bởi công thức:

$$T = 25 + 70e^{-0{,}5t}$$

trong đó thời gian $t$ được tính bằng phút.

a) Tìm nhiệt độ ban đầu của vật.

b) Sau bao lâu nhiệt độ của vật còn lại 30°C?

Giải chi tiết:

a) Tìm nhiệt độ ban đầu:

Nhiệt độ ban đầu là nhiệt độ tại thời điểm $t = 0$:

$$T(0) = 25 + 70e^{-0{,}5 \cdot 0} = 25 + 70e^0 = 25 + 70 \cdot 1 = 95 \text{°C}$$

Kết luận: Nhiệt độ ban đầu của vật là 95°C.

b) Tìm thời gian để nhiệt độ còn 30°C:

Bước 1: Thiết lập phương trình.

$$25 + 70e^{-0{,}5t} = 30$$

Bước 2: Giải tìm $e^{-0{,}5t}$.

$$70e^{-0{,}5t} = 30 – 25 = 5$$

$$e^{-0{,}5t} = \dfrac{5}{70} = \dfrac{1}{14}$$

Bước 3: Lấy lôgarit tự nhiên hai vế.

$$-0{,}5t = \ln\dfrac{1}{14} = -\ln 14$$

Bước 4: Giải tìm $t$.

$$t = \dfrac{\ln 14}{0{,}5} = 2\ln 14$$

Tính: $\ln 14 \approx 2{,}639$

$$t \approx 2 \times 2{,}639 \approx 5{,}28 \text{ (phút)}$$

Kết luận: Sau khoảng 5,3 phút, nhiệt độ của vật còn lại 30°C.

Ví dụ 16: Tính nồng độ ion hydrogen (tính bằng mol/lít) của một dung dịch có độ pH là 8.

Giải chi tiết:

Bước 1: Viết công thức độ pH.

$$\text{pH} = -\log[\text{H}^+]$$

Bước 2: Thay giá trị pH = 8.

$$8 = -\log[\text{H}^+]$$

$$\log[\text{H}^+] = -8$$

Bước 3: Chuyển sang dạng mũ.

$$[\text{H}^+] = 10^{-8} \text{ mol/lít}$$

Kết luận: Nồng độ ion hydrogen của dung dịch là $10^{-8}$ mol/lít.

Tổng kết

Bảng công thức phương trình cần nhớ

Bảng quy tắc so sánh

Mẹo ghi nhớ tổng quát

• Cơ số > 1: Giữ nguyên chiều bất đẳng thức
• Cơ số < 1: Đổi chiều bất đẳng thức
• Phương trình lôgarit: Luôn tìm điều kiện xác định trước
• Bất phương trình lôgarit: Kết hợp nghiệm với điều kiện
• Bài toán thực tế: Chú ý làm tròn phù hợp với ngữ cảnh

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh