Góc giữa hai đường thẳng

Đối với các nút giao thông cùng mức hay khác mức, để có thể dễ dàng bố trí các nhánh rẽ và để người tham gia giao thông có góc nhìn đảm bảo an toàn, khi thiết kế người ta đều cố gắng để các tuyến đường tạo với nhau một góc đủ lớn và tốt nhất là góc vuông.

Đối với nút giao thông cùng mức, tức là các đường giao nhau, thì góc giữa chúng là góc giữa hai đường thẳng mà ta đã biết. Còn đối với nút giao khác mức, tức là các đường chéo nhau, thì góc giữa chúng được hiểu như thế nào?

1.1. Định nghĩa

Trong không gian, cho hai đường thẳng chéo nhau $m$ và $n$. Từ một điểm $O$ tùy ý, ta kẻ các đường thẳng $a$, $b$ tương ứng song song với $m$, $n$.

Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng $m$ và $n$ trong không gian, ký hiệu $(m, n)$, là góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ cùng đi qua một điểm và tương ứng song song với $m$ và $n$.

1.2. Các chú ý quan trọng

Chú ý 1: Để xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$, ta có thể lấy một điểm $O$ thuộc đường thẳng $a$ và qua đó kẻ đường thẳng $b’$ song song với $b$. Khi đó:

$$(a, b) = (a, b’)$$

Chú ý 2: Với hai đường thẳng $a$, $b$ bất kỳ:

$$\boxed{0° \leq (a, b) \leq 90°}$$

Chú ý 3: Nếu $a$ song song hoặc trùng với $a’$ và $b$ song song hoặc trùng với $b’$ thì:

$$(a, b) = (a’, b’)$$

Ví dụ 1: Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có các mặt là các hình vuông. Tính các góc $(AA’, CD)$, $(A’C’, BD)$, $(AC, DC’)$.

Giải:

Tính $(AA’, CD)$:

Vì $CD \parallel AB$ nên:

$$(AA’, CD) = (AA’, AB) = 90°$$

(Do $AA’$ và $AB$ là hai cạnh của hình vuông $ABB’A’$)

Tính $(A’C’, BD)$:

Tứ giác $ACC’A’$ có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau ($AC \parallel A’C’$ và $AA’ \parallel CC’$) nên nó là một hình bình hành.

Do đó $A’C’ \parallel AC$.

Vậy $(A’C’, BD) = (AC, BD) = 90°$

(Do $AC$ và $BD$ là hai đường chéo của hình vuông $ABCD$)

Tính $(AC, DC’)$:

Tương tự, ta có $DC’ \parallel AB’$ (vì tứ giác $AB’CD’$ là hình bình hành).

Vậy $(AC, DC’) = (AC, AB’)$

Xét tam giác $AB’C$:

• $AB’ = $ đường chéo hình vuông $ABB’A’$
• $B’C = $ đường chéo hình vuông $BCC’B’$
• $AC = $ đường chéo hình vuông $ABCD$

Ba cạnh này đều bằng nhau (đường chéo của các hình vuông có độ dài cạnh bằng nhau) nên tam giác $AB’C$ là tam giác đều.

Từ đó: $(AC, DC’) = (AC, AB’) = 60°$

Bài toán Vận dụng: Kim tự tháp Kheops là kim tự tháp lớn nhất trong các kim tự tháp ở Ai Cập. Kim tự tháp có dạng hình chóp với đáy là hình vuông có cạnh dài khoảng 230 m, các cạnh bên bằng nhau và dài khoảng 219 m.

Tính (gần đúng) góc tạo bởi cạnh bên $SC$ và cạnh đáy $AB$ của kim tự tháp.

Giải:

Gọi hình chóp là $S.ABCD$ với $ABCD$ là hình vuông.

Vì $AB \parallel CD$ nên $(SC, AB) = (SC, CD)$

Trong tam giác $SCD$:

• $SC = SD = 219$ m (cạnh bên)
• $CD = 230$ m (cạnh đáy)

Áp dụng định lý cosin trong tam giác $SCD$:

$$\cos(\widehat{SCD}) = \dfrac{SC^2 + CD^2 – SD^2}{2 \cdot SC \cdot CD}$$

$$= \dfrac{219^2 + 230^2 – 219^2}{2 \cdot 219 \cdot 230} = \dfrac{230^2}{2 \cdot 219 \cdot 230} = \dfrac{230}{2 \cdot 219} = \dfrac{115}{219}$$

$$\widehat{SCD} \approx 58,3°$$

Vậy góc tạo bởi cạnh bên $SC$ và cạnh đáy $AB$ xấp xỉ 58,3°.

Hai đường thẳng vuông góc

2.1. Định nghĩa

Hai đường thẳng $a$, $b$ được gọi là vuông góc với nhau, ký hiệu $a \perp b$, nếu góc giữa chúng bằng $90°$.

$$\boxed{a \perp b \Leftrightarrow (a, b) = 90°}$$

2.2. Tính chất

Nếu đường thẳng $a$ vuông góc với đường thẳng $b$ thì $a$ cũng vuông góc với mọi đường thẳng song song với $b$.

$$\boxed{a \perp b \text{ và } b \parallel b’ \Rightarrow a \perp b’}$$

Ví dụ 2: Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ (Hình 7.6).

a) Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng $AC$ và $B’D’$.

b) Chứng minh rằng $AC$ và $B’D’$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $ABCD$ là một hình thoi.

Giải:

a) Xác định vị trí tương đối của $AC$ và $B’D’$:

Hai đường thẳng $AC$ và $B’D’$ lần lượt thuộc hai mặt phẳng song song $(ABCD)$ và $(A’B’C’D’)$ nên chúng không có điểm chung, tức là chúng không thể trùng nhau hoặc cắt nhau.

Tứ giác $BDD’B’$ có hai cạnh đối $BB’$ và $DD’$ song song và bằng nhau nên nó là một hình bình hành. Do đó $B’D’ \parallel BD$.

Mặt khác, $BD$ không song song với $AC$ (vì chúng cắt nhau tại tâm hình bình hành $ABCD$) nên $B’D’$ không song song với $AC$.

Từ những điều trên suy ra $AC$ và $B’D’$ chéo nhau.

b) Chứng minh $AC \perp B’D’ \Leftrightarrow ABCD$ là hình thoi:

Do $B’D’ \parallel BD$ nên:

$$(AC, B’D’) = (AC, BD)$$

Do đó, $AC$ và $B’D’$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau.

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AC \perp BD$ khi và chỉ khi $ABCD$ là hình thoi.

Vậy $AC \perp B’D’$ khi và chỉ khi $ABCD$ là hình thoi.

Bài Luyện tập: Cho tam giác $MNP$ vuông tại $N$ và một điểm $A$ nằm ngoài mặt phẳng $(MNP)$. Lần lượt lấy các điểm $B$, $C$, $D$ sao cho $M$, $N$, $P$ tương ứng là trung điểm của $AB$, $AC$, $CD$ (Hình 7.7). Chứng minh rằng $AD$ và $BC$ vuông góc với nhau và chéo nhau.

Giải:

Chứng minh $AD \perp BC$:

Trong tam giác $ACD$, $N$ là trung điểm của $AC$ và $P$ là trung điểm của $CD$.

Vậy $NP$ là đường trung bình của tam giác $ACD$ nên $NP \parallel AD$.

Do đó: $(AD, BC) = (NP, BC)$

Trong tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm của $AB$ và $N$ là trung điểm của $AC$.

Vậy $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $MN \parallel BC$.

Do đó: $(NP, BC) = (NP, MN)$

Mà tam giác $MNP$ vuông tại $N$ nên $MN \perp NP$, tức là $(NP, MN) = 90°$.

Vậy $(AD, BC) = 90°$, hay $AD \perp BC$.

Chứng minh $AD$ và $BC$ chéo nhau:

• $A$ nằm ngoài mặt phẳng $(MNP)$ và $D \in (MNP)$ nên $AD$ không nằm trong $(MNP)$.
• $BC$ cắt mặt phẳng $(MNP)$ tại $N$ (vì $N \in AC$ và $N \in (MNP)$).
• Nếu $AD$ và $BC$ cắt nhau thì giao điểm phải thuộc $(MNP)$, nhưng $AD \cap (MNP) = {D}$ và $D \notin BC$.

Vậy $AD$ và $BC$ chéo nhau.

Phân dạng bài tập và phương pháp giải

DẠNG 1. XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Phương pháp

Nguyên tắc cốt lõi: Đưa bài toán góc giữa hai đường thẳng trong không gian về góc giữa hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng, rồi tính bằng hình học phẳng.

Các kỹ thuật dựng đường song song thường dùng:

• Đường trung bình của tam giác: Nếu $M$, $N$ là trung điểm hai cạnh của tam giác thì $MN$ song song với cạnh thứ ba.
• Cạnh đối của hình bình hành / hình chóp / hình hộp / lăng trụ (ví dụ: $BC \parallel B’C’$ trong lăng trụ).
• Đường chéo của mặt đối diện trong hình hộp.

Công thức tính góc trong tam giác:

$$\cos \widehat{AOB} = \dfrac{OA^2 + OB^2 – AB^2}{2 \cdot OA \cdot OB} \quad \text{(định lí cosin)}$$

Lưu ý về dấu: Góc giữa hai đường thẳng luôn trong $[0°; 90°]$. Nếu tính ra được một góc trong tam giác lớn hơn $90°$, phải lấy góc bù (ví dụ: tính ra $120°$ thì $(a,b) = 180° – 120° = 60°$).

Ví dụ minh họa 1 (Bài toán thực tiễn)

Bài toán: Kim tự tháp Kheops là kim tự tháp lớn nhất trong các kim tự tháp ở Ai Cập. Kim tự tháp có dạng hình chóp với đáy là hình vuông có cạnh dài khoảng $230\ \text{m}$, các cạnh bên bằng nhau và dài khoảng $219\ \text{m}$. Tính (gần đúng) góc tạo bởi cạnh bên $SC$ và cạnh đáy $AB$ của kim tự tháp.

Lời giải:

Gọi hình chóp là $S.ABCD$ với đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $230\ \text{m}$ và các cạnh bên $SA = SB = SC = SD = 219\ \text{m}$.

Bước 1: Dựng đường song song để đưa về hai đường cắt nhau.

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $DC \parallel AB$. Do đó:

$$(SC, AB) = (SC, CD) = \widehat{SCD}$$

Bước 2: Tính $\widehat{SCD}$ trong tam giác $SCD$.

Tam giác $SCD$ cân tại $S$ vì $SC = SD = 219\ \text{m}$. Gọi $H$ là trung điểm của $CD$, khi đó $SH$ là trung tuyến, đồng thời cũng là đường cao (tính chất tam giác cân).

$$CH = \dfrac{CD}{2} = \dfrac{230}{2} = 115\ \text{m}$$

Bước 3: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $SHC$ (vuông tại $H$):

$$\cos \widehat{SCH} = \dfrac{CH}{SC} = \dfrac{115}{219}$$

$$\Rightarrow \widehat{SCH} \approx 58{,}3°$$

Kết luận: Góc tạo bởi cạnh bên $SC$ và cạnh đáy $AB$ xấp xỉ $\boxed{58{,}3°}$.

Ví dụ minh họa 2

Bài toán: Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$ có tam giác $ABC$ cân tại $A$ và $\widehat{BAC} = 120°$. Các điểm $M$, $N$ lần lượt thuộc hai đoạn thẳng $AA’$ và $BB’$ thỏa mãn $MN \parallel AB$; các điểm $P$, $Q$ lần lượt thuộc hai đoạn thẳng $AA’$ và $CC’$ ($P$ khác $M$) thỏa mãn $PQ \parallel AC$. Tính các góc sau:

a) $(AB, AC)$

b) $(AB, B’C’)$

c) $(MN, PQ)$

Lời giải:

a) Tính $(AB, AC)$

Trong mặt phẳng $(ABC)$, $AB$ và $AC$ là hai đường thẳng cắt nhau tại $A$, với $\widehat{BAC} = 120°$.

Vì $120° > 90°$ nên góc giữa hai đường thẳng là góc bù:

$$(AB, AC) = 180° – 120° = \boxed{60°}$$

b) Tính $(AB, B’C’)$

Vì lăng trụ $ABC.A’B’C’$ có các cạnh đáy tương ứng song song nên $BC \parallel B’C’$. Do đó:

$$(AB, B’C’) = (AB, BC) = \widehat{ABC}$$

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ với $\widehat{BAC} = 120°$, nên:

$$\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = \dfrac{180° – \widehat{BAC}}{2} = \dfrac{180° – 120°}{2} = 30°$$

Vậy $(AB, B’C’) = \boxed{30°}$.

c) Tính $(MN, PQ)$

Vì $MN \parallel AB$ và $PQ \parallel AC$, áp dụng tính chất “nếu $a \parallel a’$ và $b \parallel b’$ thì $(a, b) = (a’, b’)$”:

$$(MN, PQ) = (AB, AC) = \boxed{60°}$$

Ví dụ minh họa 3

Bài toán: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Tính góc giữa hai đường thẳng $AD$ và $BC$, biết $MN = a\sqrt{3}$ và $AD = BC = 2a$.

Lời giải:

Bước 1: Chọn điểm trung gian để dựng đường song song với cả $AD$ và $BC$.

Gọi $O$ là trung điểm của $AC$.

• Trong tam giác $ABC$: $M$ là trung điểm $AB$, $O$ là trung điểm $AC$ → $OM$ là đường trung bình của $\triangle ABC$. $$\Rightarrow OM \parallel BC, \quad OM = \dfrac{1}{2}BC = a$$
• Trong tam giác $ACD$: $O$ là trung điểm $AC$, $N$ là trung điểm $CD$ → $ON$ là đường trung bình của $\triangle ACD$. $$\Rightarrow ON \parallel AD, \quad ON = \dfrac{1}{2}AD = a$$

Bước 2: Quy bài toán về tính góc giữa hai đường cắt nhau tại $O$.

$$(AD, BC) = (ON, OM)$$

Bước 3: Áp dụng định lí cosin trong tam giác $OMN$.

Trong $\triangle OMN$ có $OM = ON = a$, $MN = a\sqrt{3}$:

$$\cos \widehat{MON} = \dfrac{OM^2 + ON^2 – MN^2}{2 \cdot OM \cdot ON} = \dfrac{a^2 + a^2 – (a\sqrt{3})^2}{2a \cdot a} = \dfrac{2a^2 – 3a^2}{2a^2} = -\dfrac{1}{2}$$

$$\Rightarrow \widehat{MON} = 120°$$

Bước 4: Lấy góc bù vì $\widehat{MON} > 90°$.

$$(AD, BC) = (ON, OM) = 180° – 120° = \boxed{60°}$$

Vậy góc giữa hai đường thẳng $AD$ và $BC$ bằng $60°$.

DẠNG 2. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Phương pháp

Để chứng minh $a \perp b$, ta có các cách:

Công thức cốt lõi:

$$\boxed{a \perp b \text{ và } b \parallel b’ ;\Rightarrow; a \perp b’}$$

Ví dụ minh họa 1

Bài toán: Cho tam giác $MNP$ vuông tại $N$ và một điểm $A$ nằm ngoài mặt phẳng $(MNP)$. Lần lượt lấy các điểm $B$, $C$, $D$ sao cho $M$, $N$, $P$ tương ứng là trung điểm của $AB$, $AC$, $CD$. Chứng minh rằng $AD$ và $BC$ vuông góc với nhau và chéo nhau.

Lời giải:

Phần 1: Chứng minh $AD \perp BC$

Bước 1: Tìm đường thẳng song song với $AD$.

Trong tam giác $ACD$:

• $N$ là trung điểm $AC$
• $P$ là trung điểm $CD$

→ $NP$ là đường trung bình của $\triangle ACD$, nên $NP \parallel AD$.

Bước 2: Tìm đường thẳng song song với $BC$.

Trong tam giác $ABC$:

• $M$ là trung điểm $AB$
• $N$ là trung điểm $AC$

→ $MN$ là đường trung bình của $\triangle ABC$, nên $MN \parallel BC$.

Bước 3: Quy về góc giữa $NP$ và $MN$.

$$(AD, BC) = (NP, MN) = \widehat{MNP}$$

Bước 4: Sử dụng giả thiết tam giác $MNP$ vuông tại $N$.

$\widehat{MNP} = 90°$ → $(AD, BC) = 90°$

$$\boxed{AD \perp BC}$$

Phần 2: Chứng minh $AD$ và $BC$ chéo nhau

Giả sử phản chứng: $AD$ và $BC$ không chéo nhau, tức là chúng đồng phẳng. Khi đó 4 điểm $A$, $B$, $C$, $D$ đồng phẳng → $D \in (ABC)$.

Khi đó:

• $M$, $N$ là trung điểm của $AB$, $AC$ nên $M, N \in (ABC)$.
• $P$ là trung điểm của $CD$ mà $C, D \in (ABC)$ nên $P \in (ABC)$.

→ Ba điểm $M$, $N$, $P$ không thẳng hàng đều thuộc $(ABC)$, suy ra $(MNP) \equiv (ABC)$.

Vậy $A \in (MNP)$ — mâu thuẫn với giả thiết $A$ nằm ngoài $(MNP)$.

Vậy $AD$ và $BC$ chéo nhau. $\blacksquare$

Ví dụ minh họa 2

Bài toán: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành, $SAB$ là tam giác cân tại $S$. Gọi $M$ là trung điểm $AB$. Chứng minh rằng $SM \perp CD$.

Lời giải:

Bước 1: Chứng minh $SM \perp AB$.

Xét mặt phẳng $(SAB)$:

• $SA = SB$ (tam giác $SAB$ cân tại $S$)
• $MA = MB$ ($M$ là trung điểm của $AB$)

→ $SM$ là đường trung trực của đoạn $AB$ trong mặt phẳng $(SAB)$.

$$\Rightarrow SM \perp AB$$

Bước 2: Suy ra $SM \perp CD$.

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên:

$$AB \parallel CD$$

Áp dụng tính chất “nếu $SM \perp AB$ và $AB \parallel CD$ thì $SM \perp CD$”:

$$\boxed{SM \perp CD} \quad \blacksquare$$

Ví dụ minh họa 3

Bài toán: Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có đáy là hình vuông.

a) Chứng minh rằng $AB \perp A’D’$ và $AC \perp B’D’$.

b) Tính góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $A’B’$.

Lời giải:

a) Chứng minh các quan hệ vuông góc

Chứng minh $AB \perp A’D’$

• Tứ giác $ABB’A’$ là hình bình hành (mặt bên của hình hộp) nên $AB \parallel A’B’$.
• Do $A’B’C’D’$ là hình vuông nên $A’D’ \perp A’B’$.

Áp dụng tính chất: $AB \parallel A’B’$ và $A’B’ \perp A’D’$ → $AB \perp A’D’$. ✓

Chứng minh $AC \perp B’D’$

• Xét tứ giác $BDD’B’$:
  • $BB’ \parallel DD’$ (cạnh bên hình hộp)
  • $BB’ = DD’$ (cạnh bên hình hộp bằng nhau)

  → $BDD’B’$ là hình bình hành → $BD \parallel B’D’$.

• Do $ABCD$ là hình vuông nên hai đường chéo vuông góc: $AC \perp BD$.

Áp dụng tính chất: $AC \perp BD$ và $BD \parallel B’D’$ → $AC \perp B’D’$. ✓

b) Tính góc giữa $AC$ và $A’B’$

Bước 1: Xét trong hình vuông $ABCD$.

$AC$ là đường chéo, $AB$ là một cạnh, chúng gặp nhau tại $A$. Trong hình vuông, đường chéo tạo với cạnh một góc $45°$:

$$(AC, AB) = \widehat{CAB} = 45°$$

Bước 2: Dùng tính chất song song.

Vì $AB \parallel A’B’$ (đã chứng minh ở câu a), nên:

$$(AC, A’B’) = (AC, AB) = \boxed{45°}$$

Vậy góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $A’B’$ bằng $45°$.

Công thức và tính chất “xương sống”

Các kết quả đặc biệt thường gặp

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh