Nếu một quả bóng được thả rơi tự do từ đài quan sát trên sân thượng của tòa nhà Landmark 81 (Thành phố Hồ Chí Minh) cao 461,3 m xuống mặt đất. Có tính được vận tốc của quả bóng khi nó chạm đất hay không? (Bỏ qua sức cản không khí).

Để trả lời câu hỏi này, chúng ta cần tìm hiểu về đạo hàm – một khái niệm quan trọng trong Toán học.

1. Một số bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm

1.1. Vận tốc tức thời của một vật chuyển động thẳng

Một vật di chuyển trên một đường thẳng. Quãng đường $s$ của chuyển động là một hàm số của thời gian $t$, có dạng $s = s(t)$ (được gọi là phương trình của chuyển động).

    Vị trí của vật           Vị trí của vật
    tại thời điểm t₀         tại thời điểm t
           ↓                        ↓
    ───────●────────────────────────●───────→ s
           0                   s(t) - s(t₀)

Vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ $t_0$ đến $t$:

$$v_{tb} = \dfrac{s(t) – s(t_0)}{t – t_0}$$

Vận tốc tức thời tại thời điểm $t_0$ là giới hạn:

$$v(t_0) = \lim_{t \to t_0} \dfrac{s(t) – s(t_0)}{t – t_0}$$

1.2. Cường độ tức thời

Điện lượng $Q$ truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian $t$, có dạng $Q = Q(t)$.

Cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian từ $t_0$ đến $t$:

$$I_{tb} = \dfrac{Q(t) – Q(t_0)}{t – t_0}$$

Cường độ tức thời tại thời điểm $t_0$ là giới hạn:

$$I(t_0) = \lim_{t \to t_0} \dfrac{Q(t) – Q(t_0)}{t – t_0}$$

1.3. Nhận xét

Nhiều bài toán trong Vật lí, Hoá học, Sinh học,… đưa đến việc tìm giới hạn dạng:

$$\lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0}$$

ở đó $y = f(x)$ là một hàm số đã cho.

Giới hạn trên dẫn đến một khái niệm quan trọng trong Toán học, đó là khái niệm đạo hàm.

2. Đạo hàm của hàm số tại một điểm

2.1. Định nghĩa

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; b)$ và điểm $x_0 \in (a; b)$.

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn $\lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0}$ thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x_0$, ký hiệu bởi $f'(x_0)$ (hoặc $y'(x_0)$).

$$\boxed{f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0}}$$

2.2. Quy trình tính đạo hàm bằng định nghĩa

Để tính đạo hàm của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x_0 \in (a; b)$, ta thực hiện theo 3 bước sau:

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số $y = f(x) = x^2 + 2x$ tại điểm $x_0 = 1$.

Giải:

Bước 1: Tính $f(x) – f(1)$.

$$f(x) – f(1) = (x^2 + 2x) – (1^2 + 2 \cdot 1) = x^2 + 2x – 3$$

Phân tích: $x^2 + 2x – 3 = x^2 – 1 + 2x – 2 = (x-1)(x+1) + 2(x-1) = (x-1)(x+3)$

Bước 2: Lập và rút gọn tỉ số.

Với $x \neq 1$:

$$\dfrac{f(x) – f(1)}{x – 1} = \dfrac{(x-1)(x+3)}{x-1} = x + 3$$

Bước 3: Tính giới hạn.

$$\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x) – f(1)}{x – 1} = \lim_{x \to 1} (x + 3) = 1 + 3 = 4$$

Kết luận: $f'(1) = 4$

Cách trình bày ngắn gọn:

$$f'(1) = \lim_{x \to 1} \dfrac{f(x) – f(1)}{x – 1} = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x^2 + 2x) – 3}{x – 1} = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x-1)(x+3)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x + 3) = 4$$

2.3. Công thức tương đương

Đặt $h = x – x_0$, khi đó $x = x_0 + h$ và khi $x \to x_0$ thì $h \to 0$.

$$\boxed{f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x_0 + h) – f(x_0)}{h}}$$

Ví dụ: Tính lại $f'(1)$ với $f(x) = x^2 + 2x$ bằng công thức trên:

$$f'(1) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(1+h) – f(1)}{h}$$

$$= \lim_{h \to 0} \dfrac{[(1+h)^2 + 2(1+h)] – (1^2 + 2)}{h}$$

$$= \lim_{h \to 0} \dfrac{(1 + 2h + h^2 + 2 + 2h) – 3}{h}$$

$$= \lim_{h \to 0} \dfrac{h^2 + 4h + 3 – 3}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{h^2 + 4h}{h}$$

$$= \lim_{h \to 0} (h + 4) = 4$$

Luyện tập 1: Tính đạo hàm của hàm số $y = -x^2 + 2x + 1$ tại điểm $x_0 = -1$.

Giải:

Bước 1: Tính $f(-1) = -(-1)^2 + 2(-1) + 1 = -1 – 2 + 1 = -2$

Bước 2: Tính $f(x) – f(-1)$:

$$f(x) – f(-1) = (-x^2 + 2x + 1) – (-2) = -x^2 + 2x + 3$$

Phân tích: $-x^2 + 2x + 3 = -(x^2 – 2x – 3) = -(x+1)(x-3)$

Bước 3: Lập tỉ số và rút gọn với $x \neq -1$:

$$\dfrac{f(x) – f(-1)}{x – (-1)} = \dfrac{-(x+1)(x-3)}{x+1} = -(x-3) = -x + 3$$

Bước 4: Tính giới hạn:

$$f'(-1) = \lim_{x \to -1} (-x + 3) = -(-1) + 3 = 4$$

3. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng

3.1. Định nghĩa

Hàm số $y = f(x)$ được gọi là có đạo hàm trên khoảng $(a; b)$ nếu nó có đạo hàm $f'(x)$ tại mọi điểm $x$ thuộc khoảng đó.

Ký hiệu: $y’ = f'(x)$

3.2. Các đạo hàm cơ bản

Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của hàm số $y = cx^2$ với $c$ là hằng số.

Giải:

Với $x_0$ bất kỳ, ta có:

$$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \dfrac{cx^2 – cx_0^2}{x – x_0}$$

$$= \lim_{x \to x_0} \dfrac{c(x^2 – x_0^2)}{x – x_0}$$

$$= \lim_{x \to x_0} \dfrac{c(x – x_0)(x + x_0)}{x – x_0}$$

$$= \lim_{x \to x_0} c(x + x_0) = c(x_0 + x_0) = 2cx_0$$

Vậy hàm số $y = cx^2$ có đạo hàm là $y’ = 2cx$.

3.3. Ứng dụng: Vận tốc tức thời

Nếu phương trình chuyển động của vật là $s = f(t)$ thì $v(t) = f'(t)$ là vận tốc tức thời của vật tại thời điểm $t$.

Ví dụ 3: Giải bài toán trong tình huống mở đầu (bỏ qua sức cản của không khí và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Giải:

Phương trình chuyển động rơi tự do của quả bóng là:

$$s = f(t) = \dfrac{1}{2}gt^2$$

trong đó $g$ là gia tốc rơi tự do, lấy $g = 9{,}8 \text{ m/s}^2$.

Do vậy, vận tốc của quả bóng tại thời điểm $t$ là:

$$v(t) = f'(t) = gt = 9{,}8t$$

Mặt khác, vì chiều cao của tòa nhà là 461,3 m nên quả bóng sẽ chạm đất tại thời điểm $t_1$ với $f(t_1) = 461{,}3$.

Từ đó, ta có:

$$\dfrac{1}{2} \cdot 9{,}8 \cdot t_1^2 = 461{,}3$$

$$4{,}9t_1^2 = 461{,}3$$

$$t_1^2 = \dfrac{461{,}3}{4{,}9}$$

$$t_1 = \sqrt{\dfrac{461{,}3}{4{,}9}} \text{ (giây)}$$

Vậy vận tốc của quả bóng khi nó chạm đất là:

$$v(t_1) = 9{,}8t_1 = 9{,}8 \cdot \sqrt{\dfrac{461{,}3}{4{,}9}} \approx 95{,}1 \text{ (m/s)}$$

Luyện tập 2: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = x^2 + 1$

b) $y = kx + c$ (với $k$, $c$ là các hằng số)

Giải:

a) Với $x_0$ bất kỳ:

$$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \dfrac{(x^2 + 1) – (x_0^2 + 1)}{x – x_0} = \lim_{x \to x_0} \dfrac{x^2 – x_0^2}{x – x_0}$$

$$= \lim_{x \to x_0} \dfrac{(x – x_0)(x + x_0)}{x – x_0} = \lim_{x \to x_0} (x + x_0) = 2x_0$$

Vậy $(x^2 + 1)’ = 2x$

b) Với $x_0$ bất kỳ:

$$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \dfrac{(kx + c) – (kx_0 + c)}{x – x_0} = \lim_{x \to x_0} \dfrac{kx – kx_0}{x – x_0}$$

$$= \lim_{x \to x_0} \dfrac{k(x – x_0)}{x – x_0} = \lim_{x \to x_0} k = k$$

Vậy $(kx + c)’ = k$

4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

4.1. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị $(C)$ và điểm $P(x_0; f(x_0)) \in (C)$.

Xét điểm $Q(x; f(x))$ thay đổi trên $(C)$ với $x \neq x_0$.

Đường thẳng đi qua hai điểm $P$, $Q$ được gọi là một cát tuyến của đồ thị $(C)$.

Hệ số góc của cát tuyến PQ:

$$k_{PQ} = \dfrac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0}$$

Khi $x \to x_0$, điểm $Q$ di chuyển trên $(C)$ tới điểm $P$. Nếu $k_{PQ}$ có giới hạn hữu hạn $k$ thì vị trí giới hạn của cát tuyến $QP$ chính là tiếp tuyến của $(C)$ tại $P$.

4.2. Định nghĩa tiếp tuyến

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm $P(x_0; f(x_0))$ là đường thẳng đi qua $P$ với hệ số góc:

$$k = \lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0}$$

nếu giới hạn này tồn tại và hữu hạn.

Điểm $P$ gọi là tiếp điểm.

4.3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

$$\boxed{k = f'(x_0)}$$

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm $P(x_0; f(x_0))$ chính là đạo hàm $f'(x_0)$.

Ví dụ 4: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol $y = x^2$ tại điểm có hoành độ $x_0 = -1$.

Giải:

Ta có $(x^2)’ = 2x$ nên:

$$y'(-1) = 2 \cdot (-1) = -2$$

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của parabol $y = x^2$ tại điểm có hoành độ $x_0 = -1$ là $k = -2$.

Luyện tập 3: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol $y = x^2$ tại điểm có hoành độ $x_0 = \dfrac{1}{2}$.

Giải:

Ta có $(x^2)’ = 2x$ nên:

$$y’\left(\dfrac{1}{2}\right) = 2 \cdot \dfrac{1}{2} = 1$$

Vậy hệ số góc cần tìm là $k = 1$.

4.4. Phương trình tiếp tuyến

Nếu hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại điểm $x_0$ thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $P(x_0; y_0)$ là:

$$\boxed{y – y_0 = f'(x_0)(x – x_0)}$$

trong đó $y_0 = f(x_0)$.

Ví dụ 5: Viết phương trình tiếp tuyến của parabol $(P): y = 3x^2$ tại điểm có hoành độ $x_0 = 1$.

Giải:

Từ Ví dụ 2, ta có $y’ = 6x$.

Do đó, hệ số góc của tiếp tuyến là:

$$k = f'(1) = 6 \cdot 1 = 6$$

Ngoài ra, ta có:

$$f(1) = 3 \cdot 1^2 = 3$$

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

$$y – 3 = 6(x – 1)$$

$$y = 6x – 3$$

Luyện tập 4: Viết phương trình tiếp tuyến của parabol $(P): y = -2x^2$ tại điểm có hoành độ $x_0 = -1$.

Giải:

Ta có $y’ = -4x$ nên:

$$k = f'(-1) = -4 \cdot (-1) = 4$$

Tung độ tiếp điểm:

$$y_0 = f(-1) = -2 \cdot (-1)^2 = -2$$

Phương trình tiếp tuyến:

$$y – (-2) = 4(x – (-1))$$

$$y + 2 = 4(x + 1)$$

$$y = 4x + 2$$

5. Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa tại một điểm

Phương pháp: Áp dụng quy trình 3 bước:

1. Tính $f(x) – f(x_0)$
2. Lập và rút gọn $\dfrac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0}$
3. Tính $\lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0}$

Mẹo rút gọn:

• $x^2 – x_0^2 = (x – x_0)(x + x_0)$
• $x^3 – x_0^3 = (x – x_0)(x^2 + xx_0 + x_0^2)$
• Luôn phân tích để triệt tiêu $(x – x_0)$ ở mẫu

Nhận dạng: Đề bài yêu cầu tính $f'(x_0)$ “bằng định nghĩa”.

Ví dụ 1: Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của hàm số $y = x^2 – x$ tại $x_0 = 1$.

Giải chi tiết:

Bước 1: Tính giá trị hàm số tại $x_0 = 1$.

$$f(1) = 1^2 – 1 = 0$$

Bước 2: Tính $f(x) – f(x_0)$.

$$f(x) – f(1) = (x^2 – x) – 0 = x^2 – x$$

Bước 3: Phân tích và rút gọn.

$$f(x) – f(1) = x^2 – x = x(x – 1)$$

Bước 4: Lập tỉ số với $x \neq 1$.

$$\dfrac{f(x) – f(1)}{x – 1} = \dfrac{x(x – 1)}{x – 1} = x$$

Bước 5: Tính giới hạn.

$$f'(1) = \lim_{x \to 1} \dfrac{f(x) – f(1)}{x – 1} = \lim_{x \to 1} x = 1$$

Kết luận: $f'(1) = 1$

Ví dụ 2: Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của hàm số $y = -x^3$ tại $x_0 = -1$.

Giải chi tiết:

Bước 1: Tính giá trị hàm số tại $x_0 = -1$.

$$f(-1) = -(-1)^3 = -(-1) = 1$$

Bước 2: Tính $f(x) – f(x_0)$.

$$f(x) – f(-1) = -x^3 – 1$$

Bước 3: Phân tích nhân tử.

Ta cần phân tích $-x^3 – 1$ để có thừa số $(x – (-1)) = (x + 1)$.

$$-x^3 – 1 = -(x^3 + 1) = -(x + 1)(x^2 – x + 1)$$

Bước 4: Lập tỉ số với $x \neq -1$.

$$\dfrac{f(x) – f(-1)}{x – (-1)} = \dfrac{-(x + 1)(x^2 – x + 1)}{x + 1} = -(x^2 – x + 1)$$

Bước 5: Tính giới hạn.

$$f'(-1) = \lim_{x \to -1} [-(x^2 – x + 1)]$$

$$= -[(-1)^2 – (-1) + 1] = -(1 + 1 + 1) = -3$$

Kết luận: $f'(-1) = -3$

Dạng 2: Tìm đạo hàm của hàm số trên khoảng

Phương pháp:

1. Tính $f'(x_0)$ với $x_0$ bất kỳ
2. Thay $x_0$ bằng $x$ để được công thức đạo hàm

Nhận dạng: Đề bài yêu cầu “tìm đạo hàm” của hàm số (không chỉ định điểm cụ thể).

Ví dụ 3: Sử dụng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số $y = kx^2 + c$ (với $k$, $c$ là các hằng số).

Giải chi tiết:

Bước 1: Với $x_0$ bất kỳ, tính $f(x) – f(x_0)$.

$$f(x) – f(x_0) = (kx^2 + c) – (kx_0^2 + c) = kx^2 – kx_0^2 = k(x^2 – x_0^2)$$

Bước 2: Phân tích nhân tử.

$$f(x) – f(x_0) = k(x – x_0)(x + x_0)$$

Bước 3: Lập tỉ số với $x \neq x_0$.

$$\dfrac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0} = \dfrac{k(x – x_0)(x + x_0)}{x – x_0} = k(x + x_0)$$

Bước 4: Tính giới hạn.

$$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} k(x + x_0) = k(x_0 + x_0) = 2kx_0$$

Bước 5: Kết luận.

Vậy $(kx^2 + c)’ = 2kx$

Ví dụ 4: Sử dụng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số $y = x^3$.

Giải chi tiết:

Bước 1: Với $x_0$ bất kỳ, tính $f(x) – f(x_0)$.

$$f(x) – f(x_0) = x^3 – x_0^3$$

Bước 2: Phân tích nhân tử.

Sử dụng hằng đẳng thức: $a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2)$

$$x^3 – x_0^3 = (x – x_0)(x^2 + xx_0 + x_0^2)$$

Bước 3: Lập tỉ số với $x \neq x_0$.

$$\dfrac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0} = \dfrac{(x – x_0)(x^2 + xx_0 + x_0^2)}{x – x_0} = x^2 + xx_0 + x_0^2$$

Bước 4: Tính giới hạn.

$$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} (x^2 + xx_0 + x_0^2) = x_0^2 + x_0 \cdot x_0 + x_0^2 = 3x_0^2$$

Bước 5: Kết luận.

Vậy $(x^3)’ = 3x^2$

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến

Phương pháp:

1. Xác định hoành độ tiếp điểm $x_0$
2. Tính tung độ tiếp điểm: $y_0 = f(x_0)$
3. Tính hệ số góc: $k = f'(x_0)$
4. Viết phương trình tiếp tuyến: $y – y_0 = k(x – x_0)$

Nhận dạng:

• Cho hoành độ $x_0$ → áp dụng trực tiếp
• Cho tung độ $y_0$ → giải $f(x_0) = y_0$ để tìm $x_0$ trước

Ví dụ 5: Viết phương trình tiếp tuyến của parabol $y = -x^2 + 4x$ biết tiếp điểm có hoành độ $x_0 = 1$.

Giải chi tiết:

Bước 1: Xác định hoành độ tiếp điểm.

$$x_0 = 1$$

Bước 2: Tính tung độ tiếp điểm.

$$y_0 = f(1) = -(1)^2 + 4 \cdot 1 = -1 + 4 = 3$$

Vậy tiếp điểm là $P(1; 3)$.

Bước 3: Tính đạo hàm.

$$y’ = (-x^2 + 4x)’ = -2x + 4$$

Bước 4: Tính hệ số góc tiếp tuyến.

$$k = f'(1) = -2 \cdot 1 + 4 = 2$$

Bước 5: Viết phương trình tiếp tuyến.

$$y – 3 = 2(x – 1)$$

$$y = 2x – 2 + 3$$

$$y = 2x + 1$$

Ví dụ 6: Viết phương trình tiếp tuyến của parabol $y = -x^2 + 4x$ biết tiếp điểm có tung độ $y_0 = 0$.

Giải chi tiết:

Bước 1: Tìm hoành độ tiếp điểm từ $y_0 = 0$.

Giải phương trình: $-x^2 + 4x = 0$

$$x(-x + 4) = 0$$

$$x = 0 \text{ hoặc } x = 4$$

Vậy có hai tiếp điểm: $P_1(0; 0)$ và $P_2(4; 0)$.

Bước 2: Tính đạo hàm.

$$y’ = -2x + 4$$

Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến tại $P_1(0; 0)$.

$$k_1 = f'(0) = -2 \cdot 0 + 4 = 4$$

Phương trình tiếp tuyến:

$$y – 0 = 4(x – 0) \Rightarrow y = 4x$$

Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến tại $P_2(4; 0)$.

$$k_2 = f'(4) = -2 \cdot 4 + 4 = -4$$

Phương trình tiếp tuyến:

$$y – 0 = -4(x – 4) \Rightarrow y = -4x + 16$$

Kết luận: Có hai tiếp tuyến thỏa mãn: $y = 4x$ và $y = -4x + 16$.

Dạng 4: Bài toán vận tốc tức thời

Phương pháp:

1. Từ phương trình chuyển động $s = f(t)$, tính $v(t) = f'(t)$
2. Xác định thời điểm cần tính (ví dụ: khi chạm đất thì $s = h$)
3. Thay vào công thức vận tốc

Công thức cần nhớ:

• Rơi tự do: $s = \dfrac{1}{2}gt^2$, $v = gt$ (với $g \approx 9{,}8$ m/s²)
• Ném thẳng đứng lên: $h = v_0 t – \dfrac{1}{2}gt^2$

Ví dụ 7: Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 19,6 m/s thì độ cao $h$ của nó (tính bằng mét) sau $t$ giây được cho bởi công thức:

$$h = 19{,}6t – 4{,}9t^2$$

Tìm vận tốc của vật khi nó chạm đất.

Giải chi tiết:

Bước 1: Tính vận tốc tức thời.

$$v(t) = h'(t) = (19{,}6t – 4{,}9t^2)’$$

Ta có:

• $(19{,}6t)’ = 19{,}6$
• $(4{,}9t^2)’ = 9{,}8t$

Do đó:

$$v(t) = 19{,}6 – 9{,}8t$$

Bước 2: Xác định thời điểm vật chạm đất.

Khi vật chạm đất thì $h = 0$:

$$19{,}6t – 4{,}9t^2 = 0$$

$$t(19{,}6 – 4{,}9t) = 0$$

$$t = 0 \text{ (loại, thời điểm ban đầu)} \quad \text{hoặc} \quad t = \dfrac{19{,}6}{4{,}9} = 4 \text{ (giây)}$$

Bước 3: Tính vận tốc khi chạm đất.

$$v(4) = 19{,}6 – 9{,}8 \cdot 4 = 19{,}6 – 39{,}2 = -19{,}6 \text{ (m/s)}$$

Bước 4: Kết luận.

Dấu âm cho biết vật đang đi xuống. Vận tốc của vật khi chạm đất có độ lớn là $|v| = 19{,}6$ m/s.

6. Tổng kết

Bảng công thức cần nhớ

Đạo hàm cơ bản

Quy trình giải bài tập

Tính đạo hàm bằng định nghĩa:

1. Tính $f(x) – f(x_0)$
2. Phân tích để có thừa số $(x – x_0)$
3. Rút gọn và tính giới hạn

Viết phương trình tiếp tuyến:

1. Tìm tọa độ tiếp điểm $(x_0; y_0)$
2. Tính $k = f'(x_0)$
3. Thế vào $y – y_0 = k(x – x_0)$

Mẹo nhớ

• Đạo hàm = Hệ số góc tiếp tuyến (ý nghĩa hình học)
• Đạo hàm = Vận tốc tức thời (ý nghĩa vật lý)
• Khi phân tích, luôn tìm cách tạo thừa số $(x – x_0)$ để triệt tiêu mẫu

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh