1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Trong nhiều bài toán thực tế, ta cần tìm mối liên hệ giữa hai đại lượng chưa biết sao cho một biểu thức bậc nhất của chúng lớn hơn, nhỏ hơn hoặc bằng một giá trị nào đó. Mối liên hệ đó chính là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Dạng tổng quát của bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x$, $y$ là:

$$ax + by \leq c$$

(hoặc $ax + by \geq c$, $ax + by < c$, $ax + by > c$)

trong đó $a$, $b$, $c$ là các số thực cho trước, $a$ và $b$ không đồng thời bằng $0$, còn $x$ và $y$ là các ẩn số.

Ví dụ: Trong hai bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

$$2x + 3y < 1 \qquad \text{và} \qquad 2x^2 + 3y < 1$$

Lời giải:

• $2x + 3y < 1$: có dạng $ax + by < c$ với $a = 2$, $b = 3$, $c = 1$ → là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
• $2x^2 + 3y < 1$: chứa $x^2$ (bậc hai) → không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

2. Nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Một cặp số $(x_0;\ y_0)$ được gọi là nghiệm của bất phương trình $ax + by \leq c$ nếu khi thay $x = x_0$, $y = y_0$ vào, bất đẳng thức $ax_0 + by_0 \leq c$ đúng.

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.

Ví dụ: Cho bất phương trình $x + 2y > 5$. Cặp số nào sau đây là nghiệm?

a) $(x;\ y) = (3;\ 4)$

b) $(x;\ y) = (0;\ -1)$

Lời giải:

a) Thay $x = 3$, $y = 4$: $3 + 2 \cdot 4 = 3 + 8 = 11 > 5$. ✓

Cặp $(3;\ 4)$ là nghiệm.

b) Thay $x = 0$, $y = -1$: $0 + 2 \cdot (-1) = -2 < 5$. ✗

Cặp $(0;\ -1)$ không phải là nghiệm.

3. Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Khái niệm

Trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$, tập hợp tất cả các điểm có toạ độ $(x;\ y)$ là nghiệm của bất phương trình $ax + by \leq c$ được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.

Tính chất quan trọng

Đường thẳng $d: ax + by = c$ chia mặt phẳng toạ độ thành hai nửa mặt phẳng bờ $d$:

• Một nửa mặt phẳng (không kể bờ $d$) gồm các điểm $(x;\ y)$ thoả mãn $ax + by > c$.
• Nửa mặt phẳng còn lại (không kể bờ $d$) gồm các điểm $(x;\ y)$ thoả mãn $ax + by < c$.
• Bờ $d$ gồm các điểm $(x;\ y)$ thoả mãn $ax + by = c$.

Cách biểu diễn miền nghiệm

Để biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $ax + by \leq c$, ta thực hiện hai bước:

Bước 1. Vẽ đường thẳng $d: ax + by = c$ trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$.

Bước 2. Lấy một điểm $M_0(x_0;\ y_0)$ không thuộc $d$. Tính $ax_0 + by_0$ và so sánh với $c$:

• Nếu $ax_0 + by_0 < c$ thì nửa mặt phẳng bờ $d$ chứa $M_0$ là miền nghiệm.
• Nếu $ax_0 + by_0 > c$ thì nửa mặt phẳng bờ $d$ không chứa $M_0$ là miền nghiệm.

Mẹo chọn điểm thử:

• Nếu $c \neq 0$: chọn $M_0$ là gốc toạ độ $O(0;\ 0)$ cho tiện tính.
• Nếu $c = 0$ (đường thẳng $d$ đi qua gốc toạ độ): chọn $M_0 = (1;\ 0)$ hoặc $M_0 = (0;\ 1)$.

Lưu ý về đường bờ:

• Bất phương trình $\leq$ hoặc $\geq$: đường bờ thuộc miền nghiệm → vẽ đường nét liền.
• Bất phương trình $<$ hoặc $>$: đường bờ không thuộc miền nghiệm → vẽ đường nét đứt.

4. Ví dụ biểu diễn miền nghiệm

Ví dụ 1: Trường hợp $c \neq 0$ (dấu $\geq$)

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $x + y \geq 100$ trên mặt phẳng toạ độ.

Lời giải:

Bước 1. Vẽ đường thẳng $d: x + y = 100$.

Đường thẳng này đi qua hai điểm $(100;\ 0)$ và $(0;\ 100)$. Vẽ bằng nét liền (vì dấu $\geq$).

Bước 2. Lấy điểm $O(0;\ 0)$ không thuộc $d$.

Thay vào: $0 + 0 = 0 < 100$.

Vì $0 < 100$, tức điểm $O$ không thoả mãn $x + y \geq 100$, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d$ không chứa gốc toạ độ (kể cả đường thẳng $d$).

Ví dụ 2: Trường hợp $c = 0$ (dấu $\leq$)

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $5x – 7y \leq 0$ trên mặt phẳng toạ độ.

Lời giải:

Bước 1. Vẽ đường thẳng $d: 5x – 7y = 0$.

Đường thẳng này đi qua gốc toạ độ $O(0;\ 0)$ và điểm $(7;\ 5)$. Vẽ bằng nét liền (vì dấu $\leq$).

Bước 2. Vì $c = 0$ nên đường thẳng đi qua $O$, ta không chọn $O$ làm điểm thử. Chọn $M_0(0;\ 1)$ không thuộc $d$.

Thay vào: $5 \cdot 0 – 7 \cdot 1 = -7 < 0$.

Vì $-7 \leq 0$, tức điểm $M_0$ thoả mãn bất phương trình, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d$ chứa điểm $M_0$ (kể cả đường thẳng $d$).

5. Ứng dụng vào bài toán thực tế

Nhiều bài toán trong đời sống dẫn đến việc lập và biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Ví dụ (Bài toán rạp chiếu phim):

Nhân ngày Quốc tế Thiếu nhi, một rạp chiếu phim bán hai loại vé: loại 1 giá $50\,000$ đồng/vé (cho trẻ $6$–$13$ tuổi), loại 2 giá $100\,000$ đồng/vé (cho người trên $13$ tuổi). Để không bù lỗ, tổng tiền vé phải đạt tối thiểu $20$ triệu đồng. Hỏi khi nào rạp phải bù lỗ?

Lời giải:

Gọi $x$ là số vé loại 1 bán được ($x \in \mathbb{N}$), $y$ là số vé loại 2 bán được ($y \in \mathbb{N}$).

Tổng tiền vé: $50x + 100y$ (nghìn đồng).

Rạp phải bù lỗ khi tổng tiền vé nhỏ hơn $20$ triệu = $20\,000$ nghìn đồng:

$$50x + 100y < 20\,000$$

Chia cả hai vế cho $50$:

$$x + 2y < 400$$

Biểu diễn miền nghiệm:

Bước 1. Vẽ đường thẳng $d: x + 2y = 400$, đi qua $(400;\ 0)$ và $(0;\ 200)$. Vẽ nét đứt (vì dấu $<$).

Bước 2. Lấy $O(0;\ 0)$: $0 + 2 \cdot 0 = 0 < 400$. ✓

Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d$ chứa gốc toạ độ, không kể đường $d$.

Vì $x \geq 0$ và $y \geq 0$ (số vé không âm), rạp chiếu phim phải bù lỗ khi điểm $(x;\ y)$ nằm trong miền tam giác $OAB$ (với $A(0;\ 200)$, $B(400;\ 0)$), không kể cạnh $AB$.

Nếu điểm $(x;\ y)$ nằm trên đoạn $AB$ thì rạp hoà vốn.

Kiểm tra nhanh:

• Bán $150$ vé loại 1 và $150$ vé loại 2: $150 + 2 \cdot 150 = 450 > 400$ → có lãi.
• Bán $200$ vé loại 1 và $100$ vé loại 2: $200 + 2 \cdot 100 = 400$ → hoà vốn.
• Bán $100$ vé loại 1 và $100$ vé loại 2: $100 + 2 \cdot 100 = 300 < 400$ → bù lỗ.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1. Nhận biết bất phương trình bậc nhất hai ẩn và kiểm tra nghiệm

Phương pháp:

• Kiểm tra xem bất phương trình có đúng dạng $ax + by \leq c$ (hoặc $\geq$, $<$, $>$) hay không, với $a$ và $b$ không đồng thời bằng $0$. Nếu chứa $x^2$, $y^2$, $xy$,… thì không phải.
• Để kiểm tra một cặp số có là nghiệm hay không: thay toạ độ vào và kiểm tra bất đẳng thức.

Ví dụ: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) $2x + 3y > 6$

b) $2^2 x + y \leq 0$

c) $2x^2 – y \geq 1$

Lời giải chi tiết:

a) $2x + 3y > 6$: có dạng $ax + by > c$ với $a = 2$, $b = 3$, $c = 6$. Cả $a$ và $b$ đều khác $0$.

→ Là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. ✓

b) $2^2 x + y \leq 0$, tức $4x + y \leq 0$: có dạng $ax + by \leq c$ với $a = 4$, $b = 1$, $c = 0$.

→ Là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. ✓

c) $2x^2 – y \geq 1$: chứa $x^2$ (bậc hai của $x$).

→ Không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn. ✗

Dạng 2. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng toạ độ

Phương pháp (hai bước):

• Bước 1: Vẽ đường thẳng $d: ax + by = c$.
  • Tìm giao với trục $Ox$: cho $y = 0$, tìm $x$.
  • Tìm giao với trục $Oy$: cho $x = 0$, tìm $y$.
  • Vẽ nét liền nếu dấu $\leq$ hoặc $\geq$; vẽ nét đứt nếu dấu $<$ hoặc $>$.
• Bước 2: Chọn điểm thử $M_0$ không thuộc $d$, thay vào vế trái rồi so sánh với $c$.
  • Nếu $M_0$ thoả mãn bất phương trình → miền nghiệm chứa $M_0$.
  • Nếu $M_0$ không thoả mãn → miền nghiệm là nửa không chứa $M_0$.

Ví dụ 1: Biểu diễn miền nghiệm của $3x + 2y \geq 300$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1. Vẽ đường thẳng $d: 3x + 2y = 300$.

• Giao với $Ox$: $y = 0 \Rightarrow 3x = 300 \Rightarrow x = 100$. Điểm $(100;\ 0)$.
• Giao với $Oy$: $x = 0 \Rightarrow 2y = 300 \Rightarrow y = 150$. Điểm $(0;\ 150)$.

Vẽ đường thẳng qua hai điểm trên bằng nét liền (vì dấu $\geq$).

Bước 2. Lấy điểm $O(0;\ 0)$ không thuộc $d$.

Thay: $3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 0$.

So sánh: $0 < 300$, tức $O$ không thoả mãn $3x + 2y \geq 300$.

Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d$ không chứa điểm $O$ (kể cả đường $d$).

Ví dụ 2: Biểu diễn miền nghiệm của $7x + 20y < 0$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1. Vẽ đường thẳng $d: 7x + 20y = 0$.

Đường thẳng đi qua gốc toạ độ $O(0;\ 0)$. Tìm thêm một điểm: cho $x = 20$, ta được $y = -7$, tức điểm $(20;\ -7)$.

Vẽ bằng nét đứt (vì dấu $<$, đường bờ không thuộc miền nghiệm).

Bước 2. Vì $c = 0$ nên $d$ đi qua $O$, ta chọn $M_0(1;\ 1)$ không thuộc $d$.

Thay: $7 \cdot 1 + 20 \cdot 1 = 27$.

So sánh: $27 > 0$, tức $M_0$ không thoả mãn $7x + 20y < 0$.

Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d$ không chứa $M_0(1;\ 1)$, không kể đường $d$.

Dạng 3. Bài toán thực tế dẫn đến bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương pháp:

• Bước 1: Gọi ẩn — xác định rõ $x$ và $y$ đại diện cho đại lượng nào, kèm điều kiện ($x \geq 0$, $y \geq 0$, $x \in \mathbb{N}$,…).
• Bước 2: Lập biểu thức tổng chi phí/doanh thu/… theo $x$ và $y$.
• Bước 3: Viết bất phương trình theo yêu cầu bài toán (không quá, ít hơn, tối thiểu,…).
• Bước 4: Thu gọn bất phương trình, biểu diễn miền nghiệm theo Dạng 2.

Ví dụ: Ông An thuê một chiếc ô tô (có lái xe) trong một tuần. Giá thuê xe:

Gọi $x$ là số km đi từ thứ Hai đến thứ Sáu, $y$ là số km đi hai ngày cuối tuần.

a) Viết bất phương trình biểu thị mối liên hệ giữa $x$ và $y$ sao cho tổng tiền không quá $14$ triệu đồng.

b) Biểu diễn miền nghiệm.

Lời giải chi tiết:

a) Lập bất phương trình.

Tiền thuê từ thứ Hai đến thứ Sáu (5 ngày):

$$900 \times 5 + 8x = 4\,500 + 8x \text{ (nghìn đồng)}$$

Tiền thuê thứ Bảy và Chủ nhật (2 ngày):

$$1\,500 \times 2 + 10y = 3\,000 + 10y \text{ (nghìn đồng)}$$

Tổng tiền không quá $14$ triệu = $14\,000$ nghìn đồng:

$$4\,500 + 8x + 3\,000 + 10y \leq 14\,000$$

$$7\,500 + 8x + 10y \leq 14\,000$$

$$8x + 10y \leq 6\,500$$

Chia cả hai vế cho $2$:

$$4x + 5y \leq 3\,250$$

b) Biểu diễn miền nghiệm.

Bước 1. Vẽ đường thẳng $d: 4x + 5y = 3\,250$.

• Giao với $Ox$: $y = 0 \Rightarrow x = \dfrac{3\,250}{4} = 812{,}5$. Điểm $(812{,}5;\ 0)$.
• Giao với $Oy$: $x = 0 \Rightarrow y = \dfrac{3\,250}{5} = 650$. Điểm $(0;\ 650)$.

Vẽ bằng nét liền (dấu $\leq$).

Bước 2. Lấy $O(0;\ 0)$: $4 \cdot 0 + 5 \cdot 0 = 0 < 3\,250$. ✓

Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d$ chứa gốc toạ độ (kể cả đường $d$).

Vì $x \geq 0$, $y \geq 0$ nên miền nghiệm thực tế nằm trong góc phần tư thứ nhất.

Sai lầm thường gặp

Tổng kết

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by \leq c$ (hoặc $\geq$, $<$, $>$) với $a$, $b$ không đồng thời bằng $0$.

Nghiệm: Cặp $(x_0;\ y_0)$ thoả mãn bất đẳng thức. BPT bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.

Cách biểu diễn miền nghiệm — hai bước:

Chọn điểm thử:

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh