1. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Ở bài trước, ta đã học cách biểu diễn miền nghiệm của một bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Trong thực tế, nhiều bài toán đòi hỏi các ẩn phải đồng thời thoả mãn nhiều bất phương trình cùng lúc. Khi đó ta có một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Cặp số $(x_0;\ y_0)$ là nghiệm của hệ khi nó đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình trong hệ đó.

Ví dụ: Cho hệ bất phương trình:

$$\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + y \leq 150 \end{cases}$$

a) Hệ trên có phải là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn không?

b) Kiểm tra xem cặp số $(x;\ y) = (0;\ 0)$ có phải là một nghiệm của hệ không.

Lời giải:

a) Hệ gồm ba bất phương trình, mỗi bất phương trình đều có dạng bậc nhất theo hai ẩn $x$, $y$ → là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) Thay $x = 0$, $y = 0$ vào từng bất phương trình:

• $0 \geq 0$ ✓
• $0 \geq 0$ ✓
• $0 + 0 = 0 \leq 150$ ✓

Cặp $(0;\ 0)$ thoả mãn cả ba bất phương trình nên là nghiệm của hệ.

2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng toạ độ

Khái niệm

Trong mặt phẳng toạ độ, tập hợp các điểm có toạ độ là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn được gọi là miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.

Miền nghiệm của hệ chính là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

Cách xác định miền nghiệm

Bước 1. Trên cùng một mặt phẳng toạ độ, xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong hệ và gạch bỏ miền còn lại.

Bước 2. Miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Lưu ý về đường bờ:

• Dấu $\leq$ hoặc $\geq$: đường bờ thuộc miền nghiệm → vẽ nét liền.
• Dấu $<$ hoặc $>$: đường bờ không thuộc miền nghiệm → vẽ nét đứt.

Ví dụ: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình:

$$\begin{cases} 7x + 4y \leq 2\,400 \\ x + y \leq 100 \\ x \geq 0 \end{cases}$$

Lời giải:

Bước 1. Xác định miền nghiệm $D_1$ của $7x + 4y \leq 2\,400$.

Vẽ đường thẳng $d: 7x + 4y = 2\,400$ bằng nét liền.

Lấy $O(0;\ 0)$: $7 \cdot 0 + 4 \cdot 0 = 0 < 2\,400$ → $O$ thoả mãn.

Miền nghiệm $D_1$ là nửa mặt phẳng bờ $d$ chứa gốc toạ độ $O$. Gạch bỏ nửa còn lại.

Bước 2. Tương tự, miền nghiệm $D_2$ của $x + y \leq 100$ là nửa mặt phẳng bờ $d’$ chứa gốc toạ độ $O$. Gạch bỏ nửa còn lại.

Bước 3. Miền nghiệm $D_3$ của $x \geq 0$ là nửa mặt phẳng bờ $Oy$ chứa điểm $(1;\ 0)$. Gạch bỏ nửa còn lại.

Kết quả: Miền không bị gạch chính là giao của $D_1$, $D_2$, $D_3$ — đó là miền nghiệm của hệ.

Chú ý. Nếu hệ $\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + y \leq 150 \end{cases}$ được thay bằng $\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + y < 150 \end{cases}$ thì miền nghiệm sẽ là miền tam giác $OAB$ bỏ đi cạnh $AB$.

3. Ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài toán tối ưu

Nhiều bài toán thực tế yêu cầu tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một biểu thức $F(x;\ y) = ax + by$ khi $(x;\ y)$ thoả mãn một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Tính chất quan trọng: Giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của biểu thức $F(x;\ y) = ax + by$, với $(x;\ y)$ là toạ độ các điểm thuộc miền đa giác $A_1 A_2 \ldots A_n$ (tức các điểm nằm bên trong hay nằm trên các cạnh của đa giác), đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác đó.

Phương pháp giải bài toán tối ưu

Bước 1. Lập hệ bất phương trình từ các điều kiện bài toán. Xác định miền nghiệm (miền đa giác) và tìm toạ độ các đỉnh.

Bước 2. Tính giá trị của $F(x;\ y)$ tại mỗi đỉnh của đa giác.

Bước 3. So sánh các giá trị thu được → kết luận giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất).

Ví dụ: Bài toán kinh doanh điều hoà

Một cửa hàng điện lạnh dự định kinh doanh hai loại máy điều hoà: loại hai chiều (giá mua $20$ triệu/máy, lợi nhuận $3{,}5$ triệu/máy) và loại một chiều (giá mua $10$ triệu/máy, lợi nhuận $2$ triệu/máy). Vốn ban đầu không vượt quá $1{,}2$ tỉ đồng. Tổng nhu cầu thị trường không vượt quá $100$ máy cả hai loại. Tìm số máy mỗi loại cần nhập để lợi nhuận lớn nhất.

Lời giải:

Gọi $x$ là số máy điều hoà hai chiều, $y$ là số máy điều hoà một chiều ($x \geq 0$, $y \geq 0$).

Số tiền nhập hàng: $20x + 10y$ (triệu đồng).

Các điều kiện:

• Nhu cầu thị trường: $x + y \leq 100$.
• Vốn: $20x + 10y \leq 1\,200$, hay $2x + y \leq 120$.

Hệ bất phương trình:

$$\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + y \leq 100 \\ 2x + y \leq 120 \end{cases}$$

Lợi nhuận: $F(x;\ y) = 3{,}5x + 2y$ (triệu đồng). Ta cần tìm giá trị lớn nhất của $F$.

Bước 1. Xác định miền nghiệm.

Miền nghiệm là miền tứ giác $OABC$ với toạ độ các đỉnh:

• $O(0;\ 0)$
• $A(0;\ 100)$: giao của $x = 0$ và $x + y = 100$.
• $B(20;\ 80)$: giao của $x + y = 100$ và $2x + y = 120$.
• $C(60;\ 0)$: giao của $y = 0$ và $2x + y = 120$.

Tìm toạ độ $B$: giải hệ $B$: giải hệ $\begin{cases} x + y = 100 \\ 2x + y = 120 \end{cases}$

Trừ vế theo vế: $(2x + y) – (x + y) = 120 – 100$, suy ra $x = 20$, rồi $y = 80$. Vậy $B(20;\ 80)$.

Tìm toạ độ $C$: cho $y = 0$ trong $2x + y = 120$: $x = 60$. Vậy $C(60;\ 0)$.

Bước 2. Tính $F$ tại các đỉnh:

Bước 3. Giá trị lớn nhất là $F(20;\ 80) = 230$ (triệu đồng).

Kết luận: Cửa hàng cần đầu tư kinh doanh $20$ máy điều hoà hai chiều và $80$ máy điều hoà một chiều để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1. Nhận biết hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương pháp:

Kiểm tra từng bất phương trình trong hệ:

• Mỗi BPT phải có dạng $ax + by \leq c$ (hoặc $\geq$, $<$, $>$) với đúng hai ẩn $x$, $y$.
• Các ẩn chỉ xuất hiện ở bậc nhất (không có $x^2$, $y^2$, $xy$,…).
• Hệ số có thể là biểu thức hằng số ($3^2 = 9$, $4^2 = 16$,…), miễn ẩn ở bậc nhất.
• Nếu hệ có ba ẩn trở lên → không phải hệ BPT bậc nhất hai ẩn.
• Chỉ cần một BPT không đạt yêu cầu → toàn hệ không phải.

Ví dụ (Bài 2.4 SGK): Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

Lời giải chi tiết:

a) $\begin{cases} x < 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$

• $x < 0$: viết lại $1 \cdot x + 0 \cdot y < 0$ → bậc nhất hai ẩn. ✓
• $y \geq 0$: viết lại $0 \cdot x + 1 \cdot y \geq 0$ → bậc nhất hai ẩn. ✓

→ Là hệ BPT bậc nhất hai ẩn. ✓

b) $\begin{cases} x + y^2 < 0 \\ y – x > 1 \end{cases}$

BPT $x + y^2 < 0$ chứa $y^2$ (bậc hai) → không phải BPT bậc nhất.

→ Không là hệ BPT bậc nhất hai ẩn. ✗

c) $\begin{cases} x + y + z < 0 \\ y < 0 \end{cases}$

BPT $x + y + z < 0$ có ba ẩn $x$, $y$, $z$.

→ Không là hệ BPT bậc nhất hai ẩn. ✗

d) $\begin{cases} -2x + y < 3^2 \\ 4^2 x + 3y < 1 \end{cases}$

Viết lại: $\begin{cases} -2x + y < 9 \\ 16x + 3y < 1 \end{cases}$

$3^2 = 9$ và $4^2 = 16$ là hằng số, ẩn $x$, $y$ chỉ ở bậc nhất. ✓

→ Là hệ BPT bậc nhất hai ẩn. ✓

Đáp án: a và d.

Dạng 2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương pháp:

Trên cùng một mặt phẳng toạ độ, lần lượt xác định miền nghiệm của từng BPT (vẽ đường bờ → chọn điểm thử → xác định nửa mặt phẳng → gạch bỏ phần ngoài). Miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.

Ví dụ 1 (Bài 2.5a SGK): Biểu diễn miền nghiệm của hệ:

$$\begin{cases} y – x < -1 \\ x > 0 \\ y < 0 \end{cases}$$

Lời giải chi tiết:

Bước 1. BPT $y – x < -1$.

Vẽ đường thẳng $d: y – x = -1$ bằng nét đứt (dấu $<$).

Lấy $O(0;\ 0)$ không thuộc $d$: thay $x = 0$, $y = 0$ vào biểu thức $y – x$ ta được $0 – 0 = 0 > -1$. Tức $O$ không thoả mãn $y – x < -1$.

→ Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d$ không chứa $O$, không tính bờ $d$. Gạch bỏ nửa chứa $O$.

Bước 2. BPT $x > 0$.

Trục $Oy$ có phương trình $x = 0$. Vẽ bằng nét đứt (dấu $>$).

Điểm $(1;\ 0)$ thoả mãn $1 > 0$ ✓ → miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $Oy$ chứa điểm $(1;\ 0)$ và bỏ đi đường thẳng $x = 0$. Gạch bỏ nửa còn lại.

Bước 3. BPT $y < 0$.

Trục $Ox$ có phương trình $y = 0$. Vẽ bằng nét đứt (dấu $<$).

Điểm $(0;\ -1)$ thoả mãn $-1 < 0$ ✓ → miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $Ox$ chứa điểm $(0;\ -1)$ và bỏ đi đường thẳng $y = 0$. Gạch bỏ nửa còn lại.

Kết quả: Miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.

Ví dụ 2 (Bài 2.5b SGK): Biểu diễn miền nghiệm của hệ:

$$\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ 2x + y \leq 4 \end{cases}$$

Lời giải chi tiết:

Bước 1. BPT $x \geq 0$.

Trục $Oy$: $x = 0$. Vẽ nét liền (dấu $\geq$). Điểm $(1;\ 0)$ thoả mãn $1 \geq 0$ ✓.

→ Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $Oy$ chứa $(1;\ 0)$. Gạch bỏ nửa còn lại.

Bước 2. BPT $y \geq 0$.

Trục $Ox$: $y = 0$. Vẽ nét liền. Điểm $(0;\ 1)$ thoả mãn $1 \geq 0$ ✓.

→ Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $Ox$ chứa $(0;\ 1)$. Gạch bỏ nửa còn lại.

Bước 3. BPT $2x + y \leq 4$.

Vẽ đường thẳng $d: 2x + y = 4$ bằng nét liền. Đường đi qua $(2;\ 0)$ và $(0;\ 4)$.

Lấy $O(0;\ 0)$: $2 \cdot 0 + 0 = 0 < 4$ ✓ → miền nghiệm chứa $O$. Gạch bỏ nửa còn lại.

Kết quả: Miền nghiệm của hệ là miền tam giác $OAB$ với $O(0;\ 0)$, $A(2;\ 0)$, $B(0;\ 4)$ (kể cả các cạnh).

Ví dụ 3 (Bài 2.5c SGK): Biểu diễn miền nghiệm của hệ:

$$\begin{cases} x \geq 0 \\ x + y > 5 \\ x – y < 0 \end{cases}$$

Lời giải chi tiết:

Bước 1. BPT $x \geq 0$.

Trục $Oy$: $x = 0$. Vẽ nét liền. Điểm $(1;\ 0)$ thoả mãn $1 \geq 0$ ✓.

→ Miền nghiệm chứa $(1;\ 0)$. Gạch bỏ nửa còn lại.

Bước 2. BPT $x + y > 5$.

Vẽ đường thẳng $d: x + y = 5$ bằng nét đứt (dấu $>$). Đường đi qua $(5;\ 0)$ và $(0;\ 5)$.

Lấy $O(0;\ 0)$: $0 + 0 = 0 < 5$, tức $O$ không thoả mãn $x + y > 5$.

→ Miền nghiệm không chứa $O$, không tính bờ $d$. Gạch bỏ nửa chứa $O$.

Bước 3. BPT $x – y < 0$.

Vẽ đường thẳng $d’: x – y = 0$ bằng nét đứt (dấu $<$). Đường đi qua $O(0;\ 0)$ nên chọn điểm thử khác.

Lấy $(1;\ 0)$: $1 – 0 = 1 > 0$, tức $(1;\ 0)$ không thoả mãn $x – y < 0$.

→ Miền nghiệm không chứa $(1;\ 0)$, không tính bờ $d’$. Gạch bỏ nửa chứa $(1;\ 0)$.

Kết quả: Miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.

Dạng 3. Bài toán thực tế — tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức trên miền đa giác

Phương pháp:

• Bước 1: Gọi ẩn, lập hệ bất phương trình từ các điều kiện bài toán. Xác định miền nghiệm (miền đa giác) và tìm toạ độ các đỉnh bằng cách giải hệ phương trình giao điểm các đường bờ.
• Bước 2: Lập biểu thức $F(x;\ y) = ax + by$ cần tối ưu. Tính $F$ tại từng đỉnh.
• Bước 3: So sánh → kết luận giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) đạt tại đỉnh nào.

Ví dụ (Bài 2.6 SGK): Một gia đình cần ít nhất $900$ đơn vị protein và $400$ đơn vị lipid trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kg thịt bò chứa $800$ đơn vị protein và $200$ đơn vị lipid. Mỗi kg thịt lợn chứa $600$ đơn vị protein và $400$ đơn vị lipid. Gia đình mua nhiều nhất $1{,}6$ kg thịt bò và $1{,}1$ kg thịt lợn. Giá thịt bò $250$ nghìn đồng/kg, thịt lợn $160$ nghìn đồng/kg. Gọi $x$ (kg) là lượng thịt bò, $y$ (kg) là lượng thịt lợn cần mua.

a) Lập hệ bất phương trình và xác định miền nghiệm.

b) Biểu diễn chi phí $F$ theo $x$ và $y$.

c) Tìm lượng thịt mỗi loại để chi phí ít nhất.

Lời giải chi tiết:

a) Lập hệ bất phương trình.

• Mua nhiều nhất $1{,}6$ kg thịt bò: $x \leq 1{,}6$.
• Mua nhiều nhất $1{,}1$ kg thịt lợn: $y \leq 1{,}1$.
• Yêu cầu protein: $800x + 600y \geq 900$. Chia cho $100$: $8x + 6y \geq 9$.
• Yêu cầu lipid: $200x + 400y \geq 400$. Chia cho $200$: $x + 2y \geq 2$.

$$\begin{cases} x \leq 1{,}6 \\ y \leq 1{,}1 \\ 8x + 6y \geq 9 \\ x + 2y \geq 2 \end{cases}$$

Miền nghiệm là miền tứ giác $ABCD$ với toạ độ các đỉnh:

Tìm $A$: giao của $y = 1{,}1$ và $8x + 6y = 9$.

$8x + 6 \cdot 1{,}1 = 9 \Rightarrow 8x = 9 – 6{,}6 = 2{,}4 \Rightarrow x = 0{,}3$

Vậy $A(0{,}3;\ 1{,}1)$.

Tìm $B$: giao của $8x + 6y = 9$ và $x + 2y = 2$.

Từ $x + 2y = 2 \Rightarrow x = 2 – 2y$. Thay vào:

$8(2 – 2y) + 6y = 9 \Rightarrow 16 – 16y + 6y = 9 \Rightarrow -10y = -7 \Rightarrow y = 0{,}7$

$x = 2 – 2 \cdot 0{,}7 = 0{,}6$

Vậy $B(0{,}6;\ 0{,}7)$.

Tìm $C$: giao của $x = 1{,}6$ và $x + 2y = 2$.

$1{,}6 + 2y = 2 \Rightarrow 2y = 0{,}4 \Rightarrow y = 0{,}2$

Vậy $C(1{,}6;\ 0{,}2)$.

Tìm $D$: giao của $x = 1{,}6$ và $y = 1{,}1$.

Vậy $D(1{,}6;\ 1{,}1)$.

b) Biểu diễn chi phí.

$$F(x;\ y) = 250x + 160y \quad \text{(nghìn đồng)}$$

c) Tìm chi phí nhỏ nhất.

Tính $F$ tại từng đỉnh:

Giá trị nhỏ nhất là $F(0{,}3;\ 1{,}1) = 251$ (nghìn đồng).

Kết luận: Gia đình cần mua $0{,}3$ kg thịt bò và $1{,}1$ kg thịt lợn để chi phí là ít nhất.

Sai lầm thường gặp

Tổng kết

Hệ BPT bậc nhất hai ẩn gồm hai hay nhiều BPT bậc nhất hai ẩn. Nghiệm là cặp $(x;\ y)$ thoả mãn đồng thời tất cả các BPT.

Cách biểu diễn miền nghiệm:

Bài toán tối ưu — ba bước:

Tính chất then chốt: $F(x;\ y) = ax + by$ luôn đạt giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) tại một đỉnh của miền đa giác nghiệm.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh