1. Giá trị lượng giác của một góc

Nửa đường tròn đơn vị

Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, nửa đường tròn đơn vị là nửa đường tròn tâm $O$, bán kính $R = 1$, nằm phía trên trục hoành (kể cả hai điểm $A(1;\ 0)$ và $B(-1;\ 0)$).

Cho trước một góc $\alpha$ với $0° \leq \alpha \leq 180°$. Khi đó, có duy nhất một điểm $M(x_0;\ y_0)$ trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM} = \alpha$.

Định nghĩa

Với mỗi góc $\alpha$ ($0° \leq \alpha \leq 180°$), gọi $M(x_0;\ y_0)$ là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM} = \alpha$. Khi đó:

• Sin của góc $\alpha$ là tung độ $y_0$ của điểm $M$, kí hiệu $\sin\alpha$. Tức $\sin\alpha = y_0$.
• Côsin của góc $\alpha$ là hoành độ $x_0$ của điểm $M$, kí hiệu $\cos\alpha$. Tức $\cos\alpha = x_0$.
• Khi $\alpha \neq 90°$ (tức $x_0 \neq 0$): tang của $\alpha$ là $\dfrac{y_0}{x_0}$, kí hiệu $\tan\alpha$.
• Khi $\alpha \neq 0°$ và $\alpha \neq 180°$ (tức $y_0 \neq 0$): côtang của $\alpha$ là $\dfrac{x_0}{y_0}$, kí hiệu $\cot\alpha$.

Các hệ thức cơ bản

$$\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \quad (\alpha \neq 90°)$$

$$\cot\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \quad (\alpha \neq 0° \text{ và } \alpha \neq 180°)$$

$$\tan\alpha = \dfrac{1}{\cot\alpha} \quad (\alpha \notin {0°;\ 90°;\ 180°})$$

Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Trong bảng, kí hiệu $||$ chỉ giá trị lượng giác tương ứng không xác định.

Ví dụ: Tìm các giá trị lượng giác của góc $135°$.

Lời giải:

Gọi $M$ là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM} = 135°$. Gọi $N$, $P$ tương ứng là hình chiếu vuông góc của $M$ lên các trục $Ox$, $Oy$.

Vì $\widehat{xOM} = 135°$ nên $\widehat{MON} = 45°$, $\widehat{MOP} = 45°$. Vậy các tam giác $MON$, $MOP$ là vuông cân với cạnh huyền $OM = 1$.

Từ đó: $ON = OP = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Mặt khác, điểm $M$ nằm bên trái trục tung nên có toạ độ $\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2};\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Theo định nghĩa:

$$\sin 135° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \cos 135° = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$

$$\tan 135° = -1, \qquad \cot 135° = -1$$

2. Mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau

Hai góc $\alpha$ và $180° – \alpha$ được gọi là hai góc bù nhau (tổng bằng $180°$).

Đối với một góc $\alpha$ tuỳ ý ($0° \leq \alpha \leq 180°$), gọi $M$, $M’$ là hai điểm trên nửa đường tròn đơn vị tương ứng với hai góc bù nhau $\alpha$ và $180° – \alpha$. Hai điểm $M$ và $M’$ đối xứng nhau qua trục $Oy$: nếu $M$ có toạ độ $(x_0;\ y_0)$ thì $M’$ có toạ độ $(-x_0;\ y_0)$.

Công thức góc bù nhau:

$$\sin(180° – \alpha) = \sin\alpha$$

$$\cos(180° – \alpha) = -\cos\alpha$$

$$\tan(180° – \alpha) = -\tan\alpha \quad (\alpha \neq 90°)$$

$$\cot(180° – \alpha) = -\cot\alpha \quad (0° < \alpha < 180°)$$

Quy tắc nhớ: Hai góc bù nhau có sin bằng nhau; có côsin, tang, côtang đối nhau.

Bảng giá trị lượng giác các góc $120°$, $135°$, $150°$

Do $120° = 180° – 60°$, $135° = 180° – 45°$, $150° = 180° – 30°$, áp dụng công thức góc bù nhau:

Mối quan hệ giữa hai góc phụ nhau (nhắc lại)

Hai góc $\alpha$ và $90° – \alpha$ là hai góc phụ nhau (tổng bằng $90°$).

$$\sin(90° – \alpha) = \cos\alpha, \qquad \cos(90° – \alpha) = \sin\alpha$$

$$\tan(90° – \alpha) = \cot\alpha, \qquad \cot(90° – \alpha) = \tan\alpha$$

Quy tắc nhớ: Hai góc phụ nhau có sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1. Tính giá trị biểu thức lượng giác (không dùng máy tính)

Phương pháp:

• Thay giá trị lượng giác của các góc đặc biệt ($0°$, $30°$, $45°$, $60°$, $90°$, $120°$, $135°$, $150°$, $180°$) từ Bảng 3.1 và Bảng 3.2.
• Với góc tù ($90° < \alpha \leq 180°$): dùng công thức góc bù nhau để đưa về góc nhọn tương ứng.
• Thực hiện phép tính số học.
• Lưu ý kí hiệu: $\sin^2\alpha = (\sin\alpha)^2$, $\cos^2\alpha = (\cos\alpha)^2$, $\tan^2\alpha = (\tan\alpha)^2$, $\cot^2\alpha = (\cot\alpha)^2$.

Ví dụ (Bài 3.1 SGK): Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $(2\sin 30° + \cos 135° – 3\tan 150°) \cdot (\cos 180° – \cot 60°)$

Lời giải chi tiết:

Thay giá trị:

• $\sin 30° = \dfrac{1}{2}$
• $\cos 135° = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
• $\tan 150° = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
• $\cos 180° = -1$
• $\cot 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

Tính vế thứ nhất:

$$2\sin 30° + \cos 135° – 3\tan 150° = 2 \cdot \dfrac{1}{2} + \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) – 3 \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)$$

$$= 1 – \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3}$$

Tính vế thứ hai:

$$\cos 180° – \cot 60° = -1 – \dfrac{\sqrt{3}}{3}$$

$$= -\dfrac{3 + \sqrt{3}}{3}$$

Nhân hai vế:

$$\left(1 – \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3}\right) \cdot \left(-\dfrac{3 + \sqrt{3}}{3}\right)$$

$$= \left(\dfrac{2 – \sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(-\dfrac{3 + \sqrt{3}}{3}\right)$$

$$= -\dfrac{(2 – \sqrt{2} + 2\sqrt{3})(3 + \sqrt{3})}{6}$$

Khai triển tử số:

$(2 – \sqrt{2} + 2\sqrt{3})(3 + \sqrt{3})$

$= 6 + 2\sqrt{3} – 3\sqrt{2} – \sqrt{6} + 6\sqrt{3} + 2 \cdot 3$

$= 6 + 2\sqrt{3} – 3\sqrt{2} – \sqrt{6} + 6\sqrt{3} + 6$

$= 12 + 8\sqrt{3} – 3\sqrt{2} – \sqrt{6}$

$$\text{Kết quả: } -\dfrac{12 + 8\sqrt{3} – 3\sqrt{2} – \sqrt{6}}{6}$$

b) $\sin^2 90° + \cos^2 120° + \cos^2 0° – \tan^2 60° + \cot^2 135°$

Lời giải chi tiết:

Thay giá trị:

• $\sin 90° = 1 \Rightarrow \sin^2 90° = 1$
• $\cos 120° = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow \cos^2 120° = \dfrac{1}{4}$
• $\cos 0° = 1 \Rightarrow \cos^2 0° = 1$
• $\tan 60° = \sqrt{3} \Rightarrow \tan^2 60° = 3$
• $\cot 135° = -1 \Rightarrow \cot^2 135° = 1$

Tính:

$$1 + \dfrac{1}{4} + 1 – 3 + 1 = \dfrac{1}{4}$$

$$\boxed{\dfrac{1}{4}}$$

c) $\cos 60° \cdot \sin 30° + \cos^2 30°$

Lời giải chi tiết:

Thay giá trị:

• $\cos 60° = \dfrac{1}{2}$
• $\sin 30° = \dfrac{1}{2}$
• $\cos 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \cos^2 30° = \dfrac{3}{4}$

Tính:

$$\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 1$$

$$\boxed{1}$$

Dạng 2. Đơn giản biểu thức lượng giác

Phương pháp:

• Dùng công thức góc bù nhau để đưa các góc về cùng dạng:
  • $\sin(180° – \alpha) = \sin\alpha$
  • $\cos(180° – \alpha) = -\cos\alpha$
  • $\tan(180° – \alpha) = -\tan\alpha$
  • $\cot(180° – \alpha) = -\cot\alpha$
• Rút gọn, triệt tiêu các hạng tử đối nhau.

Ví dụ 1 (Bài 3.2a SGK): Đơn giản biểu thức:

$$\sin 100° + \sin 80° + \cos 16° + \cos 164°$$

Lời giải chi tiết:

Nhận xét: $100° + 80° = 180°$ nên $100°$ và $80°$ là hai góc bù nhau.

$$\sin 100° = \sin(180° – 80°) = \sin 80°$$

Tương tự: $16° + 164° = 180°$ nên $164°$ và $16°$ bù nhau.

$$\cos 164° = \cos(180° – 16°) = -\cos 16°$$

Thay vào:

$$\sin 80° + \sin 80° + \cos 16° + (-\cos 16°)$$

$$= 2\sin 80° + 0$$

$$\boxed{= 2\sin 80°}$$

Ví dụ 2 (Bài 3.2b SGK): Đơn giản biểu thức (với $0° < \alpha < 90°$):

$$2\sin(180° – \alpha) \cdot \cot\alpha – \cos(180° – \alpha) \cdot \tan\alpha \cdot \cot(180° – \alpha)$$

Lời giải chi tiết:

Áp dụng công thức góc bù nhau:

• $\sin(180° – \alpha) = \sin\alpha$
• $\cos(180° – \alpha) = -\cos\alpha$
• $\cot(180° – \alpha) = -\cot\alpha$

Thay vào:

$$2\sin\alpha \cdot \cot\alpha – (-\cos\alpha) \cdot \tan\alpha \cdot (-\cot\alpha)$$

$$= 2\sin\alpha \cdot \cot\alpha – \cos\alpha \cdot \tan\alpha \cdot \cot\alpha$$

Mà $\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1$ (vì $0° < \alpha < 90°$), nên:

$$= 2\sin\alpha \cdot \cot\alpha – \cos\alpha$$

Thay $\cot\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$:

$$= 2\sin\alpha \cdot \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha} – \cos\alpha$$

$$= 2\cos\alpha – \cos\alpha$$

$$\boxed{= \cos\alpha}$$

Dạng 3. Chứng minh các hệ thức lượng giác

Phương pháp:

• Sử dụng định nghĩa: $\sin\alpha = y_0$, $\cos\alpha = x_0$, $M(x_0;\ y_0)$ nằm trên đường tròn đơn vị nên $x_0^2 + y_0^2 = 1$.
• Từ đó suy ra các hệ thức cơ bản, rồi biến đổi vế trái (hoặc vế phải) để dẫn đến vế còn lại.

Ví dụ (Bài 3.3 SGK): Chứng minh các hệ thức:

a) $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

Chứng minh:

Điểm $M(x_0;\ y_0)$ nằm trên đường tròn đơn vị (bán kính $R = 1$) nên thoả mãn phương trình:

$$x_0^2 + y_0^2 = 1$$

Theo định nghĩa, $\sin\alpha = y_0$ và $\cos\alpha = x_0$, do đó:

$$\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = x_0^2 + y_0^2 = 1$$

$$\boxed{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1} \quad \text{(đpcm)}$$

b) $1 + \tan^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$ (với $\alpha \neq 90°$)

Chứng minh:

Từ $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, chia cả hai vế cho $\cos^2\alpha$ (với $\cos\alpha \neq 0$, tức $\alpha \neq 90°$):

$$\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + \dfrac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$$

$$\tan^2\alpha + 1 = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$$

$$\boxed{1 + \tan^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}} \quad \text{(đpcm)}$$

c) $1 + \cot^2\alpha = \dfrac{1}{\sin^2\alpha}$ (với $0° < \alpha < 180°$)

Chứng minh:

Từ $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, chia cả hai vế cho $\sin^2\alpha$ (với $\sin\alpha \neq 0$, tức $0° < \alpha < 180°$):

$$\dfrac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} + \dfrac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \dfrac{1}{\sin^2\alpha}$$

$$1 + \cot^2\alpha = \dfrac{1}{\sin^2\alpha}$$

$$\boxed{1 + \cot^2\alpha = \dfrac{1}{\sin^2\alpha}} \quad \text{(đpcm)}$$

Dạng 4. Tính giá trị biểu thức khi biết một giá trị lượng giác

Phương pháp:

• Chia cả tử và mẫu của biểu thức cho $\cos\alpha$ (hoặc $\sin\alpha$) để đưa về dạng chỉ chứa $\tan\alpha$ (hoặc $\cot\alpha$).
• Thay giá trị đã cho để tính.

Ví dụ (Bài 3.4 SGK): Cho góc $\alpha$ ($0° < \alpha < 180°$) thoả mãn $\tan\alpha = 3$.

Tính giá trị biểu thức: $P = \dfrac{2\sin\alpha – 3\cos\alpha}{3\sin\alpha + 2\cos\alpha}$.

Lời giải chi tiết:

Vì $\tan\alpha = 3$ xác định nên $\cos\alpha \neq 0$. Ta chia cả tử và mẫu cho $\cos\alpha$:

$$P = \dfrac{2\sin\alpha – 3\cos\alpha}{3\sin\alpha + 2\cos\alpha} = \dfrac{\dfrac{2\sin\alpha – 3\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\dfrac{3\sin\alpha + 2\cos\alpha}{\cos\alpha}} = \dfrac{2\tan\alpha – 3}{3\tan\alpha + 2}$$

Thay $\tan\alpha = 3$:

$$P = \dfrac{2 \cdot 3 – 3}{3 \cdot 3 + 2} = \dfrac{6 – 3}{9 + 2} = \dfrac{3}{11}$$

$$\boxed{P = \dfrac{3}{11}}$$

Sai lầm thường gặp

Tổng kết

Định nghĩa trên nửa đường tròn đơn vị: Với $M(x_0;\ y_0)$ sao cho $\widehat{xOM} = \alpha$:

$$\sin\alpha = y_0, \quad \cos\alpha = x_0, \quad \tan\alpha = \dfrac{y_0}{x_0}, \quad \cot\alpha = \dfrac{x_0}{y_0}$$

Ba hệ thức cơ bản:

$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$

$$1 + \tan^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha} \quad (\alpha \neq 90°)$$

$$1 + \cot^2\alpha = \dfrac{1}{\sin^2\alpha} \quad (0° < \alpha < 180°)$$

Góc bù nhau ($\alpha + \beta = 180°$):

Góc phụ nhau ($\alpha + \beta = 90°$):

Dấu của giá trị lượng giác (góc $\alpha$ từ $0°$ đến $180°$):

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh