1. Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ khác $\vec{0}$. Từ một điểm $A$ tuỳ ý, vẽ $\overrightarrow{AB} = \vec{u}$ và $\overrightarrow{AC} = \vec{v}$. Khi đó, số đo của góc $BAC$ được gọi là góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$, kí hiệu là $(\vec{u},\ \vec{v})$.

Góc giữa hai vectơ nhận giá trị từ $0°$ đến $180°$.

Chú ý:

• Quy ước rằng góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{0}$ có thể nhận một giá trị tuỳ ý từ $0°$ đến $180°$.
• Nếu $(\vec{u},\ \vec{v}) = 90°$ thì ta nói $\vec{u}$ và $\vec{v}$ vuông góc với nhau, kí hiệu $\vec{u} \perp \vec{v}$.
• Góc giữa hai vectơ bằng $0°$ khi hai vectơ cùng hướng, bằng $180°$ khi hai vectơ ngược hướng.

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và $\widehat{B} = 30°$.

Tính $(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC})$, $(\overrightarrow{CA},\ \overrightarrow{CB})$, $(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{BC})$.

Lời giải:

• $(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC}) = \widehat{BAC} = 90°$.
• $(\overrightarrow{CA},\ \overrightarrow{CB}) = \widehat{ACB} = 60°$.
• Để tính $(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{BC})$: vẽ tia $BD$ là tia đối của tia $BA$, khi đó $\overrightarrow{AB}$ cùng hướng với $\overrightarrow{BD}$, nên $(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{BC}) = (\overrightarrow{BD},\ \overrightarrow{BC}) = \widehat{DBC} = 180° – 30° = 150°$.

2. Tích vô hướng của hai vectơ

Định nghĩa

Trong Vật lí, nếu lực $\vec{F}$ không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng từ $M$ tới $N$, thì công $A$ của lực $\vec{F}$ được tính theo công thức:

$$A = |\vec{F}| \cdot |\overrightarrow{MN}| \cdot \cos(\vec{F},\ \overrightarrow{MN})$$

Toán học gọi giá trị $A$ (không kể đơn vị đo) trong biểu thức trên là tích vô hướng của hai vectơ $\vec{F}$ và $\overrightarrow{MN}$.

Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là một số, kí hiệu $\vec{u} \cdot \vec{v}$, được xác định bởi:

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\vec{u},\ \vec{v})$$

Từ công thức trên, ta thấy:

• Nếu $(\vec{u},\ \vec{v})$ là góc nhọn thì $\vec{u} \cdot \vec{v} > 0$.
• Nếu $(\vec{u},\ \vec{v})$ là góc tù thì $\vec{u} \cdot \vec{v} < 0$.
• $\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

Bình phương vô hướng

$\vec{u} \cdot \vec{u}$ còn được viết là $\vec{u}^{,2}$ và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ $\vec{u}$.

$$\vec{u}^{,2} = |\vec{u}| \cdot |\vec{u}| \cdot \cos 0° = |\vec{u}|^2$$

Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó.

Ví dụ 2. Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $a$.

Tính các tích vô hướng: $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BD}$.

Lời giải:

Hình vuông có cạnh bằng $a$ nên đường chéo bằng $a\sqrt{2}$.

• Vì $(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AD}) = 90°$ nên $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0$.
• $(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC}) = 45°$ nên:

$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \cdot AC \cdot \cos 45° = a \cdot a\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = a^2$$

• $(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{BD}) = 135°$ nên:

$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BD} = AB \cdot BD \cdot \cos 135° = a \cdot a\sqrt{2} \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = -a^2$$

3. Biểu thức toạ độ và tính chất của tích vô hướng

Biểu thức toạ độ

Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u} = (x;\ y)$ và $\vec{v} = (x’;\ y’)$ được tính theo công thức:

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx’ + yy’$$

Hệ quả:

• Hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $xx’ + yy’ = 0$.
• Bình phương vô hướng của $\vec{u}(x;\ y)$ là $\vec{u}^{,2} = x^2 + y^2$.
• Nếu $\vec{u} \neq \vec{0}$ và $\vec{v} \neq \vec{0}$ thì:

$$\cos(\vec{u},\ \vec{v}) = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \dfrac{xx’ + yy’}{\sqrt{x^2 + y^2} \cdot \sqrt{x’^2 + y’^2}}$$

Ví dụ 3. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, tính tích vô hướng của các cặp vectơ sau:

a) $\vec{u} = (2;\ -3)$ và $\vec{v} = (5;\ 3)$.

b) Hai vectơ đơn vị $\vec{i}$ và $\vec{j}$ tương ứng của các trục $Ox$, $Oy$.

Lời giải:

a) $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 5 + (-3) \cdot 3 = 10 – 9 = 1$.

b) Vì $\vec{i} = (1;\ 0)$ và $\vec{j} = (0;\ 1)$ nên $\vec{i} \cdot \vec{j} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$.

Tính chất của tích vô hướng

Với ba vectơ $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ bất kì và mọi số thực $k$, ta có:

$$\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u} \quad \text{(tính chất giao hoán)}$$

$$\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} \quad \text{(tính chất phân phối đối với phép cộng)}$$

$$(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v}) = \vec{u} \cdot (k\vec{v})$$

Chú ý. Từ các tính chất trên, ta có thể chứng minh được:

$$\vec{u} \cdot (\vec{v} – \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} – \vec{u} \cdot \vec{w} \quad \text{(phân phối đối với phép trừ)}$$

$$(\vec{u} + \vec{v})^2 = \vec{u}^{,2} + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v}^{,2}$$

$$(\vec{u} – \vec{v})^2 = \vec{u}^{,2} – 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v}^{,2}$$

$$(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} – \vec{v}) = \vec{u}^{,2} – \vec{v}^{,2}$$

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1. Tính góc giữa hai vectơ bằng biểu thức toạ độ

Phương pháp:

Cho $\vec{a} = (x;\ y)$ và $\vec{b} = (x’;\ y’)$:

• Tính $\vec{a} \cdot \vec{b} = xx’ + yy’$.
• Tính $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$, $|\vec{b}| = \sqrt{x’^2 + y’^2}$.
• Áp dụng: $\cos(\vec{a},\ \vec{b}) = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$.
• Suy ra $(\vec{a},\ \vec{b})$ từ giá trị $\cos$.

Ví dụ (Bài 4.21 SGK). Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, hãy tính góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\vec{a} = (-3;\ 1)$, $\vec{b} = (2;\ 6)$.

b) $\vec{a} = (3;\ 1)$, $\vec{b} = (2;\ 4)$.

c) $\vec{a} = (-\sqrt{2};\ 1)$, $\vec{b} = (2;\ -\sqrt{2})$.

Lời giải chi tiết:

a) $\vec{a} \cdot \vec{b} = (-3) \cdot 2 + 1 \cdot 6 = -6 + 6 = 0$.

Vì $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ nên $(\vec{a},\ \vec{b}) = 90°$.

b) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 2 + 1 \cdot 4 = 10$.

$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$, $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20}$.

$$\cos(\vec{a},\ \vec{b}) = \dfrac{10}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{20}} = \dfrac{10}{\sqrt{200}} = \dfrac{10}{10\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$$

Vậy $(\vec{a},\ \vec{b}) = 45°$.

c) $\vec{a} \cdot \vec{b} = (-\sqrt{2}) \cdot 2 + 1 \cdot (-\sqrt{2}) = -2\sqrt{2} – \sqrt{2} = -3\sqrt{2}$.

$|\vec{a}| = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}$, $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 + 2} = \sqrt{6}$.

$$\cos(\vec{a},\ \vec{b}) = \dfrac{-3\sqrt{2}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}} = \dfrac{-3\sqrt{2}}{\sqrt{18}} = \dfrac{-3\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = -1$$

Vậy $(\vec{a},\ \vec{b}) = 180°$.

Dạng 2. Tìm điều kiện để tích vô hướng đạt giá trị đặc biệt

Phương pháp:

• $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}|$ khi và chỉ khi $\cos(\vec{u},\ \vec{v}) = 1$, tức $(\vec{u},\ \vec{v}) = 0°$ — hai vectơ cùng hướng.
• $\vec{u} \cdot \vec{v} = -|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|$ khi và chỉ khi $\cos(\vec{u},\ \vec{v}) = -1$, tức $(\vec{u},\ \vec{v}) = 180°$ — hai vectơ ngược hướng.

Ví dụ (Bài 4.22 SGK). Tìm điều kiện của $\vec{u}$, $\vec{v}$ để:

a) $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}|$.

b) $\vec{u} \cdot \vec{v} = -|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|$.

Lời giải chi tiết:

a) $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\vec{u},\ \vec{v})$.

Để $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}|$ thì $\cos(\vec{u},\ \vec{v}) = 1$, tức $(\vec{u},\ \vec{v}) = 0°$.

Vậy điều kiện là hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ cùng hướng.

b) Tương tự, $\vec{u} \cdot \vec{v} = -|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|$ khi $\cos(\vec{u},\ \vec{v}) = -1$, tức $(\vec{u},\ \vec{v}) = 180°$.

Vậy điều kiện là hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ ngược hướng.

Dạng 3. Tính tích vô hướng theo tham số — tìm điều kiện vuông góc

Phương pháp:

• Tính toạ độ các vectơ $\overrightarrow{AM}$, $\overrightarrow{BM}$ theo tham số.
• Áp dụng công thức toạ độ: $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = x_1 x_2 + y_1 y_2$.
• Để $\widehat{AMB} = 90°$ thì $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$.

Ví dụ (Bài 4.23 SGK). Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho hai điểm $A(1;\ 2)$, $B(-4;\ 3)$. Gọi $M(t;\ 0)$ là một điểm thuộc trục hoành.

a) Tính $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM}$ theo $t$.

b) Tìm $t$ để $\widehat{AMB} = 90°$.

Lời giải chi tiết:

a) $\overrightarrow{AM} = (t – 1;\ -2)$, $\overrightarrow{BM} = (t + 4;\ -3)$.

$$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = (t – 1)(t + 4) + (-2)(-3) = t^2 + 3t – 4 + 6 = t^2 + 3t + 2$$

b) $\widehat{AMB} = 90°$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$.

Mà $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM}$ (đổi chiều cả hai vectơ, tích vô hướng không đổi).

$$t^2 + 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow (t + 1)(t + 2) = 0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} t = -1 \\ t = -2 \end{bmatrix}$$

Vậy $t = -1$ hoặc $t = -2$.

Dạng 4. Giải tam giác và tìm trực tâm bằng tích vô hướng

Phương pháp:

• Giải tam giác: Tính toạ độ các vectơ cạnh → tính độ dài ba cạnh và ba góc bằng công thức $\cos(\vec{u},\ \vec{v}) = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.
• Tìm trực tâm $H(x;\ y)$: Sử dụng hai điều kiện vuông góc $\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$ và $\overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$, lập hệ phương trình và giải.

Ví dụ (Bài 4.24 SGK). Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho ba điểm không thẳng hàng $A(-4;\ 1)$, $B(2;\ 4)$, $C(2;\ -2)$.

a) Giải tam giác $ABC$.

b) Tìm toạ độ trực tâm $H$ của tam giác $ABC$.

Lời giải chi tiết:

a) Tính toạ độ các vectơ:

$\overrightarrow{AB} = (2 – (-4);\ 4 – 1) = (6;\ 3)$

$\overrightarrow{AC} = (2 – (-4);\ -2 – 1) = (6;\ -3)$

$\overrightarrow{BA} = (-6;\ -3)$, $\overrightarrow{BC} = (0;\ -6)$

$\overrightarrow{CB} = (0;\ 6)$, $\overrightarrow{CA} = (-6;\ 3)$

Tính độ dài các cạnh:

$AB = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

$AC = \sqrt{6^2 + (-3)^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

$BC = \sqrt{0^2 + (-6)^2} = 6$

Tính các góc:

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 6 \cdot 6 + 3 \cdot (-3) = 36 – 9 = 27$

$$\cos\widehat{BAC} = \dfrac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|} = \dfrac{27}{3\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{5}} = \dfrac{27}{45} = \dfrac{3}{5}$$

$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (-6) \cdot 0 + (-3) \cdot (-6) = 18$

$$\cos\widehat{ABC} = \dfrac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{BC}|} = \dfrac{18}{3\sqrt{5} \cdot 6} = \dfrac{18}{18\sqrt{5}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}$$

$\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CA} = 0 \cdot (-6) + 6 \cdot 3 = 18$

$$\cos\widehat{BCA} = \dfrac{\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CB}| \cdot |\overrightarrow{CA}|} = \dfrac{18}{6 \cdot 3\sqrt{5}} = \dfrac{18}{18\sqrt{5}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}$$

Vậy $\cos\widehat{BAC} = \dfrac{3}{5}$, $\cos\widehat{ABC} = \cos\widehat{BCA} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}$.

b) Gọi $H(x;\ y)$ là trực tâm của tam giác $ABC$.

Do $AH \perp BC$ và $BH \perp AC$ nên:

$$\begin{cases} \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 \\ \overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \end{cases}$$

$\overrightarrow{AH} = (x + 4;\ y – 1)$, $\overrightarrow{BH} = (x – 2;\ y – 4)$.

$\overrightarrow{BC} = (0;\ -6)$, $\overrightarrow{AC} = (6;\ -3)$.

Vậy trực tâm $H!\left(\dfrac{1}{2};\ 1\right)$.

Dạng 5. Chứng minh đẳng thức vectơ bằng tích vô hướng

Phương pháp:

• Biểu thị các vectơ cần chứng minh theo các vectơ đã biết (dùng quy tắc cộng vectơ, quy tắc trung điểm, trọng tâm).
• Khai triển tích vô hướng bằng các tính chất: giao hoán, phân phối, $(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})$.
• Sử dụng $\vec{u}^{,2} = |\vec{u}|^2$ và các hệ thức đặc biệt: $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$ (tính chất trọng tâm).

Ví dụ 1 (Bài 4.25 SGK). Chứng minh rằng với mọi tam giác $ABC$:

$$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{AB}^{,2} \cdot \overrightarrow{AC}^{,2} – (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC})^2}$$

Lời giải chi tiết:

Do $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \cdot AC \cdot \cos\widehat{BAC}$ nên:

$$\overrightarrow{AB}^{,2} \cdot \overrightarrow{AC}^{,2} – (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC})^2 = AB^2 \cdot AC^2 – AB^2 \cdot AC^2 \cdot \cos^2\widehat{BAC}$$

$$= AB^2 \cdot AC^2 \cdot (1 – \cos^2\widehat{BAC}) = AB^2 \cdot AC^2 \cdot \sin^2\widehat{BAC}$$

Suy ra:

$$\sqrt{\overrightarrow{AB}^{,2} \cdot \overrightarrow{AC}^{,2} – (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC})^2} = AB \cdot AC \cdot \sin\widehat{BAC} = 2S_{ABC}$$

Do đó:

$$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{AB}^{,2} \cdot \overrightarrow{AC}^{,2} – (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC})^2}$$

Ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 2 (Bài 4.26 SGK). Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Chứng minh rằng với mọi điểm $M$:

$$MA^2 + MB^2 + MC^2 = 3MG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2$$

Lời giải chi tiết:

Do $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$.

Xét vế trái:

$$MA^2 + MB^2 + MC^2 = \overrightarrow{MA}^{,2} + \overrightarrow{MB}^{,2} + \overrightarrow{MC}^{,2}$$

Biểu thị mỗi vectơ qua $G$:

$$= (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA})^2 + (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB})^2 + (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC})^2$$

Khai triển:

$$= 3\overrightarrow{MG}^{,2} + \overrightarrow{GA}^{,2} + \overrightarrow{GB}^{,2} + \overrightarrow{GC}^{,2} + 2\overrightarrow{MG} \cdot (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC})$$

Vì $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$ nên số hạng cuối bằng $0$.

$$= 3MG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2$$

Ta có điều phải chứng minh.

Sai lầm thường gặp

Tổng kết

Góc giữa hai vectơ: $(\vec{u},\ \vec{v}) \in [0°;\ 180°]$. Đưa hai vectơ về chung gốc rồi đo góc. $\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow (\vec{u},\ \vec{v}) = 90°$.

Tích vô hướng:

Tính chất tích vô hướng:

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh