1. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Khoảng biến thiên

Khi so sánh mức độ phân tán của hai mẫu số liệu có cùng giá trị trung bình, cách đơn giản nhất là dùng hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

Khoảng biến thiên, kí hiệu $R$, là hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong mẫu số liệu:

$$R = x_{\max} – x_{\min}$$

Ý nghĩa. Khoảng biến thiên dùng để đo độ phân tán của mẫu số liệu. Khoảng biến thiên càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.

Ví dụ. Điểm kiểm tra học kì môn Toán của các bạn Tổ 1 và Tổ 2 lớp 10A:

• Tổ 1: $7\quad 8\quad 8\quad 8\quad 9\quad 8\quad 8\quad 8$
• Tổ 2: $10\quad 6\quad 8\quad 8\quad 9\quad 7\quad 8\quad 8$

a) Điểm kiểm tra trung bình của hai tổ đều bằng $8$.

b) Tổ 1: $R_1 = 9 – 7 = 2$. Tổ 2: $R_2 = 10 – 6 = 4$.

Do $R_2 > R_1$ nên các bạn Tổ 1 học đều hơn Tổ 2.

Nhận xét. Khoảng biến thiên có ưu điểm đơn giản, dễ tính nhưng chỉ dùng thông tin của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, bỏ qua tất cả các giá trị khác. Do đó, khoảng biến thiên rất dễ bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường.

Khoảng tứ phân vị

Để khắc phục hạn chế trên, ta có thể dùng khoảng tứ phân vị — số đo chỉ tập trung vào 50% số liệu chính giữa.

Khoảng tứ phân vị, kí hiệu $\Delta_Q$, là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất:

$$\Delta_Q = Q_3 – Q_1$$

Về bản chất, khoảng tứ phân vị chính là khoảng biến thiên của 50% số liệu chính giữa của mẫu số liệu đã sắp xếp.

Ý nghĩa. Khoảng tứ phân vị cũng là một số đo độ phân tán. Khoảng tứ phân vị càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.

Chú ý. Một số tài liệu gọi khoảng biến thiên là biên độ và khoảng tứ phân vị là độ trải giữa.

Ví dụ. Mẫu số liệu về số ghế trống tại một rạp chiếu phim trong 9 ngày: $22\quad 20\quad 15\quad 18\quad 19\quad 13\quad 7\quad 8\quad 11$.

Sắp xếp theo thứ tự không giảm: $7\quad 8\quad 11\quad 13\quad 15\quad 18\quad 19\quad 20\quad 22$.

Mẫu gồm 9 giá trị nên trung vị là số ở vị trí chính giữa: $Q_2 = 15$.

Nửa số liệu bên trái: $7,\ 8,\ 11,\ 13$ gồm 4 giá trị, hai phần tử chính giữa là $8$ và $11$. Do đó $Q_1 = \dfrac{8 + 11}{2} = 9{,}5$.

Nửa số liệu bên phải: $18,\ 19,\ 20,\ 22$ gồm 4 giá trị, hai phần tử chính giữa là $19$ và $20$. Do đó $Q_3 = \dfrac{19 + 20}{2} = 19{,}5$.

Vậy khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q = 19{,}5 – 9{,}5 = 10$.

2. Phương sai và độ lệch chuẩn

Khoảng biến thiên chỉ dùng thông tin của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất; khoảng tứ phân vị chỉ dùng 50% số liệu chính giữa. Để sử dụng thông tin của tất cả các giá trị, ta dùng phương sai và độ lệch chuẩn.

Cho mẫu số liệu $x_1,\ x_2,\ \ldots,\ x_n$ có số trung bình là $\overline{x}$. Với mỗi giá trị $x_i$, độ lệch của nó so với giá trị trung bình là $x_i – \overline{x}$.

Phương sai là giá trị:

$$s^2 = \frac{(x_1 – \overline{x})^2 + (x_2 – \overline{x})^2 + \cdots + (x_n – \overline{x})^2}{n}$$

Căn bậc hai của phương sai, $s = \sqrt{s^2}$, được gọi là độ lệch chuẩn.

Chú ý. Người ta còn sử dụng đại lượng $\hat{s}^2 = \dfrac{(x_1 – \overline{x})^2 + (x_2 – \overline{x})^2 + \cdots + (x_n – \overline{x})^2}{n – 1}$ để đo độ phân tán của mẫu số liệu.

Ý nghĩa. Phương sai hoặc độ lệch chuẩn càng lớn thì số liệu càng phân tán.

Ví dụ. Mẫu số liệu về sĩ số 5 lớp khối 10: $43\quad 45\quad 46\quad 41\quad 40$.

Số trung bình: $\overline{x} = \dfrac{43 + 45 + 46 + 41 + 40}{5} = 43$.

Phương sai: $s^2 = \dfrac{26}{5} = 5{,}2$.

Độ lệch chuẩn: $s = \sqrt{5{,}2} \approx 2{,}28$.

3. Phát hiện số liệu bất thường hoặc không chính xác bằng biểu đồ hộp

Trong mẫu số liệu thống kê, đôi khi gặp những giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ so với đa số các giá trị khác. Những giá trị này được gọi là giá trị bất thường. Chúng có thể xuất hiện do nhầm lẫn hay sai sót. Ta có thể dùng biểu đồ hộp để phát hiện chúng.

Quy tắc phát hiện giá trị bất thường: Các giá trị lớn hơn $Q_3 + 1{,}5\Delta_Q$ hoặc bé hơn $Q_1 – 1{,}5\Delta_Q$ được xem là giá trị bất thường.

Ví dụ. Hàm lượng Natri (đơn vị mg) trong 100 g một số loại ngũ cốc:

$0\quad 340\quad 70\quad 140\quad 200\quad 180\quad 150\quad 100\quad 130\quad 220$ $140\quad 180\quad 190\quad 160\quad 290\quad 50\quad 210\quad 180\quad 200\quad 210$

Từ mẫu số liệu, ta tính được $Q_1 = 135$ và $Q_3 = 205$.

Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q = 205 – 135 = 70$.

Ta có:

• $Q_1 – 1{,}5\Delta_Q = 135 – 1{,}5 \times 70 = 135 – 105 = 30$.
• $Q_3 + 1{,}5\Delta_Q = 205 + 1{,}5 \times 70 = 205 + 105 = 310$.

Trong mẫu số liệu, giá trị $340 > 310$ và giá trị $0 < 30$, nên có hai giá trị bất thường là $340$ mg và $0$ mg.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1. Nhận biết ý nghĩa và tính chất các số đo độ phân tán

Phương pháp:

Nắm vững các tính chất cơ bản:

• Khoảng biến thiên $R$ chỉ dùng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
• Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$ chỉ dùng 50% số liệu chính giữa, không dùng giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất, và là khoảng biến thiên của nửa giữa (không phải nửa dưới).
• Phương sai, độ lệch chuẩn dùng tất cả các giá trị. Các giá trị càng tập trung quanh trung bình thì độ lệch chuẩn càng nhỏ.
• Tất cả các số đo độ phân tán đều không âm (vì là hiệu giá trị lớn trừ nhỏ, hoặc tổng bình phương).
• Khi so sánh không cần tính toán: mẫu nào có các giá trị tập trung hơn quanh trung bình → phương sai nhỏ hơn.

Bài 5.11. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

(1) Nếu các giá trị của mẫu số liệu càng tập trung quanh giá trị trung bình thì độ lệch chuẩn càng lớn.

(2) Khoảng biến thiên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và bé nhất, bỏ qua thông tin của các giá trị còn lại.

(3) Khoảng tứ phân vị có sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất.

(4) Khoảng tứ phân vị chính là khoảng biến thiên của nửa dưới mẫu số liệu đã sắp xếp.

(5) Các số đo độ phân tán đều không âm.

Lời giải chi tiết:

(1) Sai. Khi các giá trị càng tập trung quanh trung bình, các độ lệch $(x_i – \overline{x})$ càng nhỏ, nên phương sai và độ lệch chuẩn càng nhỏ (không phải càng lớn).

(2) Đúng. Theo định nghĩa, $R = x_{\max} – x_{\min}$, chỉ dùng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

(3) Sai. Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q = Q_3 – Q_1$ chỉ sử dụng tứ phân vị thứ nhất và thứ ba, không sử dụng giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất.

(4) Sai. Khoảng tứ phân vị là khoảng biến thiên của 50% số liệu chính giữa (từ $Q_1$ đến $Q_3$), không phải nửa dưới.

(5) Đúng. Khoảng biến thiên là hiệu giá trị lớn nhất trừ nhỏ nhất nên $R \geq 0$. Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q = Q_3 – Q_1 \geq 0$ (vì $Q_3 \geq Q_1$). Phương sai là trung bình của các bình phương nên $s^2 \geq 0$, và $s \geq 0$.

Bài 5.12. Cho hai biểu đồ chấm điểm biểu diễn hai mẫu số liệu A, B. Số chấm trên mỗi giá trị biểu diễn cho tần số của giá trị đó.

Không tính toán, hãy cho biết:

a) Hai mẫu số liệu này có cùng khoảng biến thiên và số trung bình không?

b) Mẫu số liệu nào có phương sai lớn hơn?

Lời giải chi tiết:

a) Quan sát biểu đồ: cả hai mẫu A và B đều có giá trị nhỏ nhất là $3$, giá trị lớn nhất là $9$. Do đó hai mẫu có cùng khoảng biến thiên: $R = 9 – 3 = 6$.

Cả hai biểu đồ đều đối xứng qua giá trị $6$ nên hai mẫu có cùng số trung bình bằng $6$.

b) Quan sát biểu đồ: các giá trị của mẫu B tập trung nhiều hơn quanh giá trị trung bình $6$ (nhiều chấm ở các giá trị gần $6$), trong khi mẫu A phân bố rải rác hơn (nhiều chấm ở các giá trị xa $6$).

Do đó mẫu A có phương sai lớn hơn mẫu B.

Dạng 2. Sự thay đổi các số đo độ phân tán khi biến đổi dữ liệu

Phương pháp:

Gọi mẫu số liệu ban đầu là $x_1,\ x_2,\ \ldots,\ x_n$ với trung bình $\overline{x}$.

• Nhân mỗi giá trị với hằng số $k > 0$: Mẫu mới là $kx_1,\ kx_2,\ \ldots,\ kx_n$. Khi đó $R’ = kR$, $\Delta_Q’ = k\Delta_Q$, $s’ = ks$. Tức là tất cả các số đo độ phân tán đều thay đổi (nhân thêm $k$).
• Cộng mỗi giá trị với hằng số $c$: Mẫu mới là $x_1 + c,\ x_2 + c,\ \ldots,\ x_n + c$. Khi đó $R’ = R$, $\Delta_Q’ = \Delta_Q$, $s’ = s$. Tức là tất cả các số đo độ phân tán đều không thay đổi (vì khoảng cách giữa các giá trị không đổi, độ lệch so với trung bình cũng không đổi).

Bài 5.13. Cho mẫu số liệu gồm 10 số dương không hoàn toàn giống nhau. Các số đo độ phân tán (khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn) sẽ thay đổi như thế nào nếu:

a) Nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với $2$.

b) Cộng mỗi giá trị của mẫu số liệu với $2$.

Lời giải chi tiết:

a) Gọi mẫu ban đầu có giá trị nhỏ nhất $x_{\min}$, lớn nhất $x_{\max}$, tứ phân vị $Q_1$, $Q_3$, trung bình $\overline{x}$.

Khi nhân mỗi giá trị với $2$:

• Khoảng biến thiên: $R’ = 2x_{\max} – 2x_{\min} = 2R$. → Thay đổi (gấp đôi).
• Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q’ = 2Q_3 – 2Q_1 = 2\Delta_Q$. → Thay đổi (gấp đôi).
• Trung bình mới: $\overline{x}’ = 2\overline{x}$. Độ lệch mới: $2x_i – 2\overline{x} = 2(x_i – \overline{x})$. Phương sai mới: $s’^2 = \dfrac{\sum [2(x_i – \overline{x})]^2}{n} = 4s^2$. Độ lệch chuẩn: $s’ = 2s$. → Thay đổi (gấp đôi).

Kết luận: Nếu nhân mỗi giá trị với $2$, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn đều thay đổi.

b) Khi cộng mỗi giá trị với $2$:

• Khoảng biến thiên: $R’ = (x_{\max} + 2) – (x_{\min} + 2) = x_{\max} – x_{\min} = R$. → Không đổi.
• Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q’ = (Q_3 + 2) – (Q_1 + 2) = Q_3 – Q_1 = \Delta_Q$. → Không đổi.
• Trung bình mới: $\overline{x}’ = \overline{x} + 2$. Độ lệch mới: $(x_i + 2) – (\overline{x} + 2) = x_i – \overline{x}$. Phương sai không đổi, suy ra $s’ = s$. → Không đổi.

Kết luận: Nếu cộng mỗi giá trị với $2$, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn đều không thay đổi.

Dạng 3. Phân tích dữ liệu từ các tứ phân vị

Phương pháp:

Khi biết $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$ và số lượng $n$ phần tử:

• Sắp xếp mẫu: $x_1 \leq x_2 \leq \cdots \leq x_n$.
• $Q_2$ là trung vị, chia mẫu thành hai nửa bằng nhau. Khoảng 50% giá trị nằm từ $Q_1$ đến $Q_3$.
• Xác định vị trí của $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$ trong dãy đã sắp xếp để đếm số giá trị thoả mãn điều kiện.
• Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q = Q_3 – Q_1$.

Bài 5.14. Từ mẫu số liệu về thuế thuốc lá của 51 thành phố tại một quốc gia, người ta tính được: giá trị nhỏ nhất bằng $2{,}5$; $Q_1 = 36$; $Q_2 = 60$; $Q_3 = 100$; giá trị lớn nhất bằng $205$.

a) Tỉ lệ thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn $36$ là bao nhiêu?

b) Chỉ ra hai giá trị sao cho có 50% giá trị của mẫu số liệu nằm giữa hai giá trị này.

c) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu.

Lời giải chi tiết:

Gọi dãy số liệu sắp xếp theo thứ tự không giảm là: $x_1 \leq x_2 \leq \cdots \leq x_{51}$.

Mẫu gồm $51$ giá trị nên: $Q_2 = x_{26} = 60$; $Q_1 = x_{13} = 36$; $Q_3 = x_{39} = 100$.

a) Các giá trị lớn hơn $36$ trong mẫu là từ $x_{14}$ trở đi (với $x_{13} \neq x_{14}$), tức có $51 – 13 = 38$ giá trị thoả mãn.

Tỉ lệ thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn $36$: $\dfrac{38}{51} \times 100\% \approx 74{,}5\%$.

b) Có 50% giá trị nằm giữa $Q_1$ và $Q_3$, nên hai giá trị cần tìm là $Q_1 = 36$ và $Q_3 = 100$.

(Thật vậy, từ $x_{13} = 36$ đến $x_{39} = 100$ gồm $27$ giá trị, chiếm khoảng $\dfrac{27}{51} \approx 52{,}9\% \approx 50\%$ mẫu.)

c) Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q = Q_3 – Q_1 = 100 – 36 = 64$.

Dạng 4. Tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn

Phương pháp:

• Bước 1. Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.
• Bước 2. Tính khoảng biến thiên: $R = x_{\max} – x_{\min}$.
• Bước 3. Tìm trung vị $Q_2$, tứ phân vị $Q_1$, $Q_3$ rồi tính $\Delta_Q = Q_3 – Q_1$.
• Bước 4. Tính trung bình $\overline{x}$, lập bảng bình phương độ lệch, tính phương sai $s^2$ rồi suy ra $s = \sqrt{s^2}$.

Bài 5.15. Mẫu số liệu sau cho biết cân nặng của 10 trẻ sơ sinh (đơn vị kg):

$$2{,}977\quad 3{,}155\quad 3{,}920\quad 3{,}412\quad 4{,}236\quad 2{,}593\quad 3{,}270\quad 3{,}813\quad 4{,}042\quad 3{,}387$$

Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu này.

Lời giải chi tiết:

Bước 1. Sắp xếp theo thứ tự không giảm:

$$2{,}593\quad 2{,}977\quad 3{,}155\quad 3{,}270\quad 3{,}387\quad 3{,}412\quad 3{,}813\quad 3{,}920\quad 4{,}042\quad 4{,}236$$

Bước 2. Khoảng biến thiên:

$$R = 4{,}236 – 2{,}593 = 1{,}643$$

Bước 3. Mẫu gồm 10 giá trị. Chia thành hai nửa, mỗi nửa 5 giá trị.

Nửa dưới: $2{,}593;\quad 2{,}977;\quad 3{,}155;\quad 3{,}270;\quad 3{,}387$.

$Q_1$ = trung vị nửa dưới = giá trị chính giữa = $3{,}155$.

Nửa trên: $3{,}412;\quad 3{,}813;\quad 3{,}920;\quad 4{,}042;\quad 4{,}236$.

$Q_3$ = trung vị nửa trên = giá trị chính giữa = $3{,}920$.

Khoảng tứ phân vị:

$$\Delta_Q = 3{,}920 – 3{,}155 = 0{,}765$$

Bước 4. Tính trung bình:

$$\overline{x} = \frac{2{,}593 + 2{,}977 + 3{,}155 + 3{,}270 + 3{,}387 + 3{,}412 + 3{,}813 + 3{,}920 + 4{,}042 + 4{,}236}{10} = \frac{34{,}805}{10} = 3{,}4805$$

Tính bình phương độ lệch:

Phương sai: $s^2 = \dfrac{2{,}3948}{10} \approx 0{,}2395$.

Độ lệch chuẩn: $s = \sqrt{0{,}2395} \approx 0{,}49$.

Dạng 5. Phát hiện giá trị bất thường bằng biểu đồ hộp

Phương pháp:

• Bước 1. Sắp xếp mẫu số liệu, tìm $Q_1$ và $Q_3$.
• Bước 2. Tính khoảng tứ phân vị $\Delta_Q = Q_3 – Q_1$.
• Bước 3. Tính hai ngưỡng: cận dưới $Q_1 – 1{,}5\Delta_Q$ và cận trên $Q_3 + 1{,}5\Delta_Q$.
• Bước 4. Giá trị nào lớn hơn cận trên hoặc bé hơn cận dưới thì được xem là giá trị bất thường.

Bài 5.16. Tỉ lệ thất nghiệp ở một số quốc gia vào năm 2007 (đơn vị %) được cho như sau:

$$7{,}8\quad 3{,}2\quad 7{,}7\quad 8{,}7\quad 8{,}6\quad 8{,}4\quad 7{,}2\quad 3{,}6\quad 5{,}0\quad 4{,}4\quad 6{,}7\quad 7{,}0\quad 4{,}5\quad 6{,}0\quad 5{,}4$$

Hãy tìm các giá trị bất thường (nếu có) của mẫu số liệu trên.

Lời giải chi tiết:

Bước 1. Sắp xếp theo thứ tự không giảm ($n = 15$ giá trị):

$$3{,}2\quad 3{,}6\quad 4{,}4\quad 4{,}5\quad 5{,}0\quad 5{,}4\quad 6{,}0\quad 6{,}7\quad 7{,}0\quad 7{,}2\quad 7{,}7\quad 7{,}8\quad 8{,}4\quad 8{,}6\quad 8{,}7$$

Trung vị $Q_2$ là giá trị ở vị trí thứ $8$: $Q_2 = 6{,}7$.

Nửa dưới gồm 7 giá trị: $3{,}2;\quad 3{,}6;\quad 4{,}4;\quad 4{,}5;\quad 5{,}0;\quad 5{,}4;\quad 6{,}0$.

$Q_1$ = giá trị chính giữa = $4{,}5$.

Nửa trên gồm 7 giá trị: $7{,}0;\quad 7{,}2;\quad 7{,}7;\quad 7{,}8;\quad 8{,}4;\quad 8{,}6;\quad 8{,}7$.

$Q_3$ = giá trị chính giữa = $7{,}8$.

Bước 2. Khoảng tứ phân vị:

$$\Delta_Q = 7{,}8 – 4{,}5 = 3{,}3$$

Bước 3. Tính hai ngưỡng:

• Cận dưới: $Q_1 – 1{,}5\Delta_Q = 4{,}5 – 1{,}5 \times 3{,}3 = 4{,}5 – 4{,}95 = -0{,}45$.
• Cận trên: $Q_3 + 1{,}5\Delta_Q = 7{,}8 + 1{,}5 \times 3{,}3 = 7{,}8 + 4{,}95 = 12{,}75$.

Bước 4. Tất cả các giá trị trong mẫu nằm trong khoảng từ $3{,}2$ đến $8{,}7$, đều thuộc đoạn $[-0{,}45;\ 12{,}75]$.

Kết luận: Mẫu số liệu không có giá trị bất thường.

Sai lầm thường gặp

Tổng kết

Các số đặc trưng đo độ phân tán:

Phát hiện giá trị bất thường: Giá trị $x$ là bất thường nếu $x > Q_3 + 1{,}5\Delta_Q$ hoặc $x < Q_1 – 1{,}5\Delta_Q$.

Tính chất quan trọng khi biến đổi dữ liệu:

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh