Ở lớp 8, khi học về hằng đẳng thức, ta đã biết khai triển:

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

$$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

Quan sát các đơn thức ở vế phải của các đẳng thức trên, hãy nhận xét về quy luật số mũ của $a$ và $b$. Có thể tìm được cách tính các hệ số của đơn thức trong khai triển $(a + b)^n$ khi $n \in {4; 5}$ không?

1. Khai triển $(a + b)^4$

Sơ đồ hình cây của khai triển $(a + b)^4$ cho ta một tổng gồm $2^4 = 16$ đơn thức có dạng $x \cdot y \cdot z \cdot t$, trong đó mỗi $x, y, z, t$ là $a$ hoặc $b$.

Chẳng hạn, nếu $x, y, t$ là $a$, còn $z$ là $b$ thì ta có đơn thức $a \cdot a \cdot b \cdot a$, thu gọn là $a^3b$. Để có đơn thức này, thì trong 4 nhân tử $x, y, z, t$ có 1 nhân tử là $b$, 3 nhân tử còn lại là $a$. Khi đó số đơn thức đồng dạng với $a^3b$ trong tổng là $C_4^1$.

Lập luận tương tự cho tất cả các đơn thức thu gọn:

Sau khi rút gọn các đơn thức đồng dạng ta thu được:

$$\boxed{(a + b)^4 = C_4^0 a^4 + C_4^1 a^3b + C_4^2 a^2b^2 + C_4^3 ab^3 + C_4^4 b^4}$$

$$= a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$$

Nhận xét. Trong khai triển nhị thức Newton $(a + b)^4$, các đơn thức có bậc là 4.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1 (SGK). Khai triển $(2x + 1)^4$.

Giải:

Thay $a = 2x$ và $b = 1$ trong công thức khai triển của $(a + b)^4$, ta được:

$(2x + 1)^4 = (2x)^4 + 4 \cdot (2x)^3 \cdot 1 + 6 \cdot (2x)^2 \cdot 1^2 + 4 \cdot (2x) \cdot 1^3 + 1^4$

$= 16x^4 + 32x^3 + 24x^2 + 8x + 1$

2. Khai triển $(a + b)^5$

Tương tự như khai triển $(a + b)^4$, sau khi khai triển $(a + b)^5$ ta thu được một tổng gồm $2^5 = 32$ đơn thức có dạng $x \cdot y \cdot z \cdot t \cdot u$, trong đó mỗi kí hiệu $x, y, z, t, u$ là $a$ hoặc $b$.

Chẳng hạn, nếu $x, z$ là $a$, còn $y, t, u$ là $b$ thì ta có đơn thức $a \cdot b \cdot a \cdot b \cdot b$, thu gọn là $a^2b^3$. Để có đơn thức này, thì trong 5 nhân tử có 3 nhân tử là $b$, 2 nhân tử còn lại là $a$. Khi đó số đơn thức đồng dạng với $a^2b^3$ trong tổng là $C_5^3$.

Lập luận tương tự:

Sau khi rút gọn các đơn thức đồng dạng ta thu được:

$$\boxed{(a + b)^5 = C_5^0 a^5 + C_5^1 a^4b + C_5^2 a^3b^2 + C_5^3 a^2b^3 + C_5^4 ab^4 + C_5^5 b^5}$$

$$= a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$$

Nhận xét. Trong khai triển nhị thức Newton $(a + b)^5$, các đơn thức có bậc là 5.

Các công thức khai triển $(a + b)^n$, với $n \in {4; 5}$, là một công cụ hiệu quả để tính chính xác hoặc xấp xỉ một số đại lượng mà không cần dùng máy tính.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 2 (SGK). Khai triển $(x + 3)^5$.

Giải:

Thay $a = x$ và $b = 3$ trong công thức khai triển của $(a + b)^5$, ta được:

$(x + 3)^5 = x^5 + 5 \cdot x^4 \cdot 3 + 10 \cdot x^3 \cdot 3^2 + 10 \cdot x^2 \cdot 3^3 + 5 \cdot x \cdot 3^4 + 3^5$

$= x^5 + 15x^4 + 90x^3 + 270x^2 + 405x + 243$

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1. Khai triển nhị thức Newton

Phương pháp:

• Xác định $a$, $b$ trong nhị thức $(a + b)^n$.
• Áp dụng công thức khai triển $(a + b)^4$ hoặc $(a + b)^5$.
• Thay $a$, $b$ vào, tính từng số hạng rồi thu gọn.
• Lưu ý: Nếu nhị thức có dạng $(a – b)^n$, viết lại thành $(a + (-b))^n$ rồi khai triển.

Bài 8.12. Khai triển các đa thức:

a) $(x – 3)^4$

b) $(3x – 2y)^4$

c) $(x + 5)^4 + (x – 5)^4$

d) $(x – 2y)^5$

Lời giải chi tiết:

a) $(x – 3)^4$

Thay $a = x$, $b = -3$ vào công thức $(a + b)^4$:

$(x – 3)^4 = x^4 + 4 \cdot x^3 \cdot (-3) + 6 \cdot x^2 \cdot (-3)^2 + 4 \cdot x \cdot (-3)^3 + (-3)^4$

$= x^4 – 12x^3 + 54x^2 – 108x + 81$

b) $(3x – 2y)^4$

Thay $a = 3x$, $b = -2y$ vào công thức $(a + b)^4$:

$(3x – 2y)^4 = (3x)^4 + 4(3x)^3(-2y) + 6(3x)^2(-2y)^2 + 4(3x)(-2y)^3 + (-2y)^4$

$= 81x^4 + 4 \cdot 27x^3 \cdot (-2y) + 6 \cdot 9x^2 \cdot 4y^2 + 4 \cdot 3x \cdot (-8y^3) + 16y^4$

$= 81x^4 – 216x^3y + 216x^2y^2 – 96xy^3 + 16y^4$

c) $(x + 5)^4 + (x – 5)^4$

Khai triển từng nhị thức:

$(x + 5)^4 = x^4 + 4 \cdot x^3 \cdot 5 + 6 \cdot x^2 \cdot 25 + 4 \cdot x \cdot 125 + 625$

$= x^4 + 20x^3 + 150x^2 + 500x + 625$

$(x – 5)^4 = x^4 – 20x^3 + 150x^2 – 500x + 625$

Cộng hai khai triển lại:

$(x + 5)^4 + (x – 5)^4 = 2x^4 + 300x^2 + 1\,250$

Nhận xét. Khi cộng $(a + b)^4 + (a – b)^4$, các số hạng có lũy thừa lẻ của $b$ sẽ triệt tiêu nhau (do đổi dấu), chỉ còn lại các số hạng có lũy thừa chẵn.

d) $(x – 2y)^5$

Thay $a = x$, $b = -2y$ vào công thức $(a + b)^5$:

$(x – 2y)^5 = x^5 + 5x^4(-2y) + 10x^3(-2y)^2 + 10x^2(-2y)^3 + 5x(-2y)^4 + (-2y)^5$

$= x^5 – 10x^4y + 10x^3 \cdot 4y^2 + 10x^2 \cdot (-8y^3) + 5x \cdot 16y^4 + (-32y^5)$

$= x^5 – 10x^4y + 40x^3y^2 – 80x^2y^3 + 80xy^4 – 32y^5$

Dạng 2. Tìm hệ số của một số hạng trong khai triển

Phương pháp:

• Xác định $a$, $b$ và $n$ trong nhị thức $(a + b)^n$.
• Số hạng chứa $x^k$ trong khai triển có dạng: $C_n^j \cdot a^{n-j} \cdot b^j$ (với $j$ thích hợp sao cho lũy thừa của $x$ bằng $k$).
• Tính hệ số tương ứng.

Bài 8.13. Tìm hệ số của $x^4$ trong khai triển của $(3x – 1)^5$.

Lời giải chi tiết:

Thay $a = 3x$, $b = -1$ vào công thức $(a + b)^5$. Số hạng tổng quát:

$$C_5^k \cdot (3x)^{5-k} \cdot (-1)^k$$

Ta cần số hạng chứa $x^4$, tức $5 – k = 4 \Rightarrow k = 1$.

Số hạng chứa $x^4$:

$$C_5^1 \cdot (3x)^4 \cdot (-1)^1 = 5 \cdot 81x^4 \cdot (-1) = -405x^4$$

Vậy hệ số của $x^4$ trong khai triển của $(3x – 1)^5$ là $\mathbf{-405}$.

Dạng 3. Biến đổi biểu thức chứa nhị thức Newton

Phương pháp:

• Khai triển lần lượt từng nhị thức theo công thức.
• Thực hiện phép tính (cộng, trừ) giữa các khai triển.
• Thu gọn kết quả.

Bài 8.14. Biểu diễn $(3 + \sqrt{2})^5 – (3 – \sqrt{2})^5$ dưới dạng $a + b\sqrt{2}$ với $a, b$ là các số nguyên.

Lời giải chi tiết:

Bước 1. Khai triển $(3 + \sqrt{2})^5$ với $a = 3$, $b = \sqrt{2}$:

$(3 + \sqrt{2})^5 = 3^5 + 5 \cdot 3^4 \cdot \sqrt{2} + 10 \cdot 3^3 \cdot (\sqrt{2})^2 + 10 \cdot 3^2 \cdot (\sqrt{2})^3 + 5 \cdot 3 \cdot (\sqrt{2})^4 + (\sqrt{2})^5$

$= 243 + 405\sqrt{2} + 10 \cdot 27 \cdot 2 + 10 \cdot 9 \cdot 2\sqrt{2} + 5 \cdot 3 \cdot 4 + 4\sqrt{2}$

$= 243 + 405\sqrt{2} + 540 + 180\sqrt{2} + 60 + 4\sqrt{2}$

$= 843 + 589\sqrt{2}$

Bước 2. Khai triển $(3 – \sqrt{2})^5$ với $a = 3$, $b = -\sqrt{2}$:

$(3 – \sqrt{2})^5 = 3^5 – 5 \cdot 3^4 \cdot \sqrt{2} + 10 \cdot 3^3 \cdot 2 – 10 \cdot 3^2 \cdot 2\sqrt{2} + 5 \cdot 3 \cdot 4 – 4\sqrt{2}$

$= 243 – 405\sqrt{2} + 540 – 180\sqrt{2} + 60 – 4\sqrt{2}$

$= 843 – 589\sqrt{2}$

Bước 3. Tính hiệu:

$(3 + \sqrt{2})^5 – (3 – \sqrt{2})^5 = (843 + 589\sqrt{2}) – (843 – 589\sqrt{2})$

$= 1\,178\sqrt{2}$

Vậy $(3 + \sqrt{2})^5 – (3 – \sqrt{2})^5 = 1\,178\sqrt{2}$ (tức $a = 0$, $b = 1\,178$).

Nhận xét. Khi tính $(a + b)^5 – (a – b)^5$, các số hạng có lũy thừa chẵn của $b$ triệt tiêu nhau, chỉ còn lại các số hạng có lũy thừa lẻ (nhân đôi).

Dạng 4. Tính giá trị gần đúng bằng nhị thức Newton

Phương pháp:

• Viết số cần tính dưới dạng $(1 + \varepsilon)^n$ với $\varepsilon$ nhỏ.
• Khai triển $(1 + \varepsilon)^n$ và chỉ lấy hai số hạng đầu tiên: $(1 + \varepsilon)^n \approx 1 + n\varepsilon$.
• Tính giá trị gần đúng.
• Nếu yêu cầu, dùng máy tính tính giá trị chính xác và sai số tuyệt đối.

Bài 8.15. a) Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của $(1 + 0{,}02)^5$ để tính giá trị gần đúng của $1{,}02^5$.

b) Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của $1{,}02^5$ và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

$(1 + 0{,}02)^5 = 1 + 5 \cdot 0{,}02 + 10 \cdot (0{,}02)^2 + \ldots$

Lấy hai số hạng đầu tiên:

$1{,}02^5 \approx 1 + 5 \cdot 0{,}02 = 1 + 0{,}1 = 1{,}1$

b) Dùng máy tính cầm tay: $1{,}02^5 = 1{,}104080803…$

Sai số tuyệt đối:

$$|1{,}104080803 – 1{,}1| = 0{,}004080803$$

Dạng 5. Bài toán thực tế ứng dụng nhị thức Newton

Phương pháp:

• Thiết lập công thức dạng $(1 + r)^n$ từ dữ kiện bài toán.
• Khai triển nhị thức Newton, lấy hai số hạng đầu để tính gần đúng.

Bài 8.16. Số dân của một tỉnh ở thời điểm hiện tại là khoảng 800 nghìn người. Giả sử rằng tỉ lệ tăng dân số hằng năm của tỉnh đó là $r$ %.

a) Viết công thức tính số dân của tỉnh đó sau 1 năm, sau 2 năm. Từ đó suy ra công thức tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa là $P = 800\left(1 + \dfrac{r}{100}\right)^5$ (nghìn người).

b) Với $r = 1{,}5$, dùng hai số hạng đầu trong khai triển của $(1 + 0{,}015)^5$, hãy ước tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa (theo đơn vị nghìn người).

Lời giải chi tiết:

a) Số dân của tỉnh đó sau 1 năm là:

$$800 + 800 \cdot \dfrac{r}{100} = 800\left(1 + \dfrac{r}{100}\right) \text{ (nghìn người)}$$

Số dân sau 2 năm là:

$$800\left(1 + \dfrac{r}{100}\right) + 800\left(1 + \dfrac{r}{100}\right) \cdot \dfrac{r}{100} = 800\left(1 + \dfrac{r}{100}\right)^2 \text{ (nghìn người)}$$

Suy ra công thức tính số dân sau 5 năm nữa:

$$P = 800\left(1 + \dfrac{r}{100}\right)^5 \text{ (nghìn người)}$$

b) Với $r = 1{,}5$, ta có $\dfrac{r}{100} = 0{,}015$.

Khai triển $(1 + 0{,}015)^5$ và lấy hai số hạng đầu:

$$(1 + 0{,}015)^5 = 1 + 5 \cdot 0{,}015 + \ldots \approx 1 + 0{,}075 = 1{,}075$$

Vậy số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa là khoảng:

$$P \approx 800 \cdot 1{,}075 = 860 \text{ (nghìn người)}$$

Sai lầm thường gặp

Tổng kết

Công thức khai triển nhị thức Newton

$$(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$$

$$(a + b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$$

Dạng tổng quát với tổ hợp

$$(a + b)^4 = \sum_{k=0}^{4} C_4^k \cdot a^{4-k} \cdot b^k$$

$$(a + b)^5 = \sum_{k=0}^{5} C_5^k \cdot a^{5-k} \cdot b^k$$

Bảng hệ số

Tính gần đúng

Khi $\varepsilon$ nhỏ (gần 0):

$$(1 + \varepsilon)^n \approx 1 + n\varepsilon$$

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh