1. Biến cố

Ở lớp 9 ta đã biết những khái niệm quan trọng sau:

• Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà kết quả của nó không thể biết được trước khi phép thử được thực hiện.
• Không gian mẫu của phép thử là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử. Không gian mẫu của phép thử được kí hiệu là $\Omega$.
• Kết quả thuận lợi cho một biến cố $E$ liên quan tới phép thử $T$ là kết quả của phép thử $T$ làm cho biến cố đó xảy ra.

Chú ý. Ta chỉ xét các phép thử mà không gian mẫu gồm hữu hạn kết quả.

Biến cố là tập con của không gian mẫu

Mỗi kết quả thuận lợi cho biến cố $E$ chính là một phần tử thuộc không gian mẫu $\Omega$. Do đó về mặt toán học, ta có:

Mỗi biến cố là một tập con của không gian mẫu $\Omega$. Tập con này là tập tất cả các kết quả thuận lợi cho biến cố đó.

Nhận xét. Biến cố chắc chắn là tập $\Omega$, biến cố không thể là tập $\varnothing$.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1 (SGK). Một tổ trong lớp 10A có ba học sinh nữ là Hương, Hồng, Dung và bốn học sinh nam là Sơn, Tùng, Hoàng, Tiến. Giáo viên chọn ngẫu nhiên một học sinh trong tổ để kiểm tra vở bài tập. Phép thử ngẫu nhiên là gì? Mô tả không gian mẫu.

Giải:

Phép thử ngẫu nhiên là chọn ngẫu nhiên một học sinh trong tổ để kiểm tra vở bài tập.

Không gian mẫu là tập hợp tất cả các học sinh trong tổ:

$$\Omega = {\text{Hương; Hồng; Dung; Sơn; Tùng; Hoàng; Tiến}}$$

Ví dụ 2 (SGK). Trở lại tình huống mở đầu về trò chơi bốc thăm trúng thưởng.

a) Phép thử là gì? Mô tả không gian mẫu $\Omega$.

b) Gọi $F$ là biến cố: “Bạn An trúng giải độc đắc”. Hỏi $F$ là tập con nào của không gian mẫu?

c) Gọi $G$ là biến cố: “Bạn An trúng giải nhất”. Hãy chỉ ra ba phần tử của tập $G$. Từ đó, hãy mô tả tập hợp $G$.

Giải:

a) Phép thử là chọn ngẫu nhiên 6 số trong 45 số: 1; 2; 3; …; 45. Không gian mẫu $\Omega$ là tập hợp tất cả các tập con có 6 phần tử của tập ${1; 2; 3; \ldots; 45}$.

b) $F = {5; 13; 20; 31; 32; 35}$.

c) Ba phần tử thuộc $G$ chẳng hạn là:

${6; 13; 20; 31; 32; 35}$; ${5; 7; 20; 31; 32; 35}$; ${5; 13; 8; 31; 32; 35}$.

$G$ là tập hợp tất cả các tập con gồm sáu phần tử của tập ${1; 2; 3; \ldots; 45}$ có tính chất: năm phần tử của nó thuộc tập ${5; 13; 20; 31; 32; 35}$ và một phần tử còn lại không thuộc tập ${5; 13; 20; 31; 32; 35}$.

Biến cố đối

Biến cố đối của biến cố $E$ là biến cố “$E$ không xảy ra”. Biến cố đối của $E$ được kí hiệu là $\overline{E}$.

Nhận xét. Nếu biến cố $E$ là tập con của không gian mẫu $\Omega$ thì biến cố đối $\overline{E}$ là tập tất cả các phần tử của $\Omega$ mà không là phần tử của $E$. Vậy biến cố $\overline{E}$ là phần bù của $E$ trong $\Omega$:

$$\overline{E} = C_\Omega E$$

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 3 (SGK). Gieo một con xúc xắc 6 mặt và quan sát số chấm xuất hiện trên con xúc xắc.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Gọi $M$ là biến cố: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một số chẵn”. Nội dung biến cố đối $\overline{M}$ của $M$ là gì?

c) Các biến cố $M$ và $\overline{M}$ là tập con nào của không gian mẫu?

Giải:

a) Không gian mẫu $\Omega = {1; 2; 3; 4; 5; 6}$.

b) Biến cố đối $\overline{M}$ của $M$ là biến cố: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một số lẻ“.

c) Ta có $M = {2; 4; 6} \subset \Omega$; $\overline{M} = C_\Omega M = {1; 3; 5} \subset \Omega$.

2. Định nghĩa cổ điển của xác suất

Ở lớp 9 ta đã học những kiến thức cơ bản sau:

• Các kết quả có thể của phép thử $T$ gọi là đồng khả năng nếu chúng có khả năng xuất hiện như nhau.
• Giả sử các kết quả có thể của phép thử $T$ là đồng khả năng. Khi đó xác suất của biến cố $E$ bằng tỉ số giữa số kết quả thuận lợi của $E$ và số kết quả có thể.

Công thức

Cho phép thử $T$ có không gian mẫu là $\Omega$. Giả thiết rằng các kết quả có thể của $T$ là đồng khả năng. Khi đó nếu $E$ là một biến cố liên quan đến phép thử $T$ thì xác suất của $E$ được cho bởi công thức:

$$\boxed{P(E) = \dfrac{n(E)}{n(\Omega)}}$$

trong đó $n(\Omega)$ và $n(E)$ tương ứng là số phần tử của tập $\Omega$ và tập $E$.

Nhận xét.

• Với mỗi biến cố $E$, ta có $0 \leq P(E) \leq 1$.
• Với biến cố chắc chắn (là tập $\Omega$), ta có $P(\Omega) = 1$.
• Với biến cố không thể (là tập $\varnothing$), ta có $P(\varnothing) = 0$.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 4 (SGK). Gieo một đồng xu cân đối liên tiếp ba lần. Gọi $E$ là biến cố: “Có hai lần xuất hiện mặt sấp và một lần xuất hiện mặt ngửa”. Tính xác suất của biến cố $E$.

Giải:

Kí hiệu $S$ và $N$ tương ứng là đồng xu ra mặt sấp và đồng xu ra mặt ngửa.

Không gian mẫu: $\Omega = {SSS; SSN; SNS; SNN; NSS; NSN; NNS; NNN}$.

$E = {SSN; SNS; NSS}$.

Ta có $n(\Omega) = 8$; $n(E) = 3$. Do đồng xu cân đối nên các kết quả có thể là đồng khả năng.

$$P(E) = \dfrac{n(E)}{n(\Omega)} = \dfrac{3}{8}$$

Ví dụ 5 (SGK). Hai túi I và II chứa các tấm thẻ được đánh số. Túi I: ${1; 2; 3; 4; 5}$, túi II: ${1; 2; 3; 4}$. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ mỗi túi I và II. Tính xác suất để tổng hai số trên hai tấm thẻ lớn hơn 6.

Giải:

Mô tả không gian mẫu $\Omega$ bằng cách lập bảng:

Mỗi ô là một kết quả có thể. Có 20 ô, vậy $n(\Omega) = 20$.

Biến cố $E$: “Tổng hai số trên hai tấm thẻ lớn hơn 6” xảy ra khi:

• Tổng bằng 7: $(3, 4)$; $(4, 3)$; $(5, 2)$.
• Tổng bằng 8: $(4, 4)$; $(5, 3)$.
• Tổng bằng 9: $(5, 4)$.

Vậy $E = {(3, 4); (4, 3); (5, 2); (4, 4); (5, 3); (5, 4)}$.

$n(E) = 6$ và $P(E) = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10} = 0{,}3$.

Chú ý. Trong những phép thử đơn giản, ta đếm số phần tử của tập $\Omega$ và số phần tử của biến cố $E$ bằng cách liệt kê ra tất cả các phần tử của hai tập hợp này.

3. Nguyên lí xác suất bé

Qua thực tế người ta thấy rằng một biến cố có xác suất rất bé thì sẽ không xảy ra khi ta thực hiện một phép thử hay một vài phép thử. Từ đó người ta đã thừa nhận nguyên lí sau:

Nguyên lí xác suất bé: Nếu một biến cố có xác suất rất bé thì trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra.

Chẳng hạn, xác suất một chiếc máy bay rơi là rất bé, khoảng 0,00000027. Mỗi hành khách khi đi máy bay đều tin rằng biến cố “Máy bay rơi” sẽ không xảy ra trong chuyến bay của mình, do đó người ta vẫn không ngần ngại đi máy bay.

Chú ý. Trong thực tế, xác suất của một biến cố được coi là bé phụ thuộc vào từng trường hợp cụ thể. Chẳng hạn, xác suất một chiếc điện thoại bị lỗi kĩ thuật là 0,001 được coi là rất bé, nhưng nếu xác suất cháy nổ động cơ của một máy bay là 0,001 thì xác suất này không được coi là rất bé.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1. Mô tả không gian mẫu, biến cố và biến cố đối

Phương pháp:

• Bước 1. Xác định phép thử ngẫu nhiên.
• Bước 2. Liệt kê tất cả các kết quả có thể → không gian mẫu $\Omega$.
• Bước 3. Liệt kê các kết quả thuận lợi cho biến cố $E$ → tập $E \subset \Omega$.
• Bước 4. Biến cố đối $\overline{E}$ = tập các phần tử thuộc $\Omega$ nhưng không thuộc $E$ (phần bù).

Bài 9.1. Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn 30.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Gọi $A$ là biến cố: “Số được chọn là số nguyên tố”. Các biến cố $A$ và $\overline{A}$ là tập con nào của không gian mẫu?

Lời giải chi tiết:

a) Không gian mẫu:

$$\Omega = {1; 2; 3; 4; \ldots; 30}$$

b) Biến cố $A$: “Số được chọn là số nguyên tố”.

Các số nguyên tố không lớn hơn 30 là: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

$$A = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29}$$

Biến cố đối $\overline{A}$: “Số được chọn không là số nguyên tố”.

$$\overline{A} = {1; 4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; 16; 18; 20; 21; 22; 24; 25; 26; 27; 28; 30}$$

Bài 9.2. Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn 22.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Gọi $B$ là biến cố: “Số được chọn chia hết cho 3”. Các biến cố $B$ và $\overline{B}$ là các tập con nào của không gian mẫu?

Lời giải chi tiết:

a) Không gian mẫu:

$$\Omega = {1; 2; 3; 4; \ldots; 22}$$

b) Biến cố $B$: “Số được chọn chia hết cho 3”.

Các số chia hết cho 3 không lớn hơn 22 là: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21.

$$B = {3; 6; 9; 12; 15; 18; 21}$$

Biến cố đối $\overline{B}$: “Số được chọn không chia hết cho 3″.

$$\overline{B} = {1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 11; 13; 14; 16; 17; 19; 20; 22}$$

Bài 9.3. Gieo đồng thời một con xúc xắc và một đồng xu.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Xét các biến cố sau:

• $C$: “Đồng xu xuất hiện mặt sấp”.
• $D$: “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa hoặc số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 5”.

Các biến cố $C$, $\overline{C}$, $D$ và $\overline{D}$ là các tập con nào của không gian mẫu?

Lời giải chi tiết:

a) Kí hiệu $S$ là mặt sấp, $N$ là mặt ngửa. Mỗi kết quả có thể được viết dưới dạng (số chấm xúc xắc, mặt đồng xu).

$$\Omega = {(1, S); (2, S); (3, S); (4, S); (5, S); (6, S); (1, N); (2, N); (3, N); (4, N); (5, N); (6, N)}$$

b) Biến cố $C$: “Đồng xu xuất hiện mặt sấp”.

$$C = {(1, S); (2, S); (3, S); (4, S); (5, S); (6, S)}$$

Biến cố đối $\overline{C}$: “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa”.

$$\overline{C} = {(1, N); (2, N); (3, N); (4, N); (5, N); (6, N)}$$

Biến cố $D$: “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa hoặc số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 5″.

Kết quả thuận lợi: tất cả kết quả có mặt ngửa, và kết quả $(5, S)$ (mặt sấp nhưng xúc xắc ra 5).

$$D = {(1, N); (2, N); (3, N); (4, N); (5, N); (6, N); (5, S)}$$

Biến cố đối $\overline{D}$: “Đồng xu xuất hiện mặt sấp và số chấm trên xúc xắc khác 5″.

$$\overline{D} = {(1, S); (2, S); (3, S); (4, S); (6, S)}$$

Bài 9.4. Một túi có chứa một số bi xanh, bi đỏ, bi đen và bi trắng. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ trong túi.

a) Gọi $H$ là biến cố: “Bi lấy ra có màu đỏ”. Biến cố: “Bi lấy ra có màu xanh hoặc màu đen hoặc trắng” có phải là biến cố $\overline{H}$ hay không?

b) Gọi $K$ là biến cố: “Bi lấy ra có màu xanh hoặc màu trắng”. Biến cố: “Bi lấy ra màu đen” có phải là biến cố $\overline{K}$ hay không?

Lời giải chi tiết:

a) $H$ là biến cố: “Bi lấy ra có màu đỏ”.

Biến cố đối $\overline{H}$ là biến cố: “$H$ không xảy ra”, tức là “Bi lấy ra không có màu đỏ”.

Vì túi chỉ có bi xanh, đỏ, đen, trắng nên “không có màu đỏ” tương đương với “có màu xanh hoặc màu đen hoặc trắng”.

Vậy biến cố “Bi lấy ra có màu xanh hoặc màu đen hoặc trắng” chính là biến cố đối $\overline{H}$. ✓

b) $K$ là biến cố: “Bi lấy ra có màu xanh hoặc màu trắng”.

Biến cố đối $\overline{K}$: “$K$ không xảy ra”, tức là “Bi lấy ra không có màu xanh và không có màu trắng” = “Bi lấy ra có màu đỏ hoặc đen“.

Biến cố “Bi lấy ra màu đen” chỉ là một phần của $\overline{K}$ (thiếu trường hợp bi đỏ).

Vậy biến cố “Bi lấy ra màu đen” không phải là biến cố $\overline{K}$. ✗

Dạng 2. Tính xác suất theo định nghĩa cổ điển

Phương pháp:

• Bước 1. Xác định không gian mẫu $\Omega$ và tính $n(\Omega)$.
• Bước 2. Liệt kê hoặc đếm các kết quả thuận lợi cho biến cố $E$ → tính $n(E)$.
• Bước 3. Áp dụng công thức: $P(E) = \dfrac{n(E)}{n(\Omega)}$.

Lưu ý: Cần kiểm tra các kết quả có thể là đồng khả năng trước khi áp dụng công thức.

Mẹo: Với phép thử gieo hai con xúc xắc, nên lập bảng kết quả để dễ liệt kê và không bỏ sót.

Bài 9.5. Hai bạn An và Bình mỗi người gieo một con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để:

a) Số chấm xuất hiện trên mỗi con xúc xắc bé hơn 3.

b) Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc mà An gieo lớn hơn hoặc bằng 5.

c) Tích hai số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bé hơn 6.

d) Tổng hai số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là một số nguyên tố.

Lời giải chi tiết:

Lập bảng không gian mẫu. Mỗi kết quả có thể được viết dưới dạng (số chấm xúc xắc Bình, số chấm xúc xắc An).

Mỗi ô là một kết quả có thể. Ta có $n(\Omega) = 36$.

a) Gọi $E$ là biến cố: “Số chấm xuất hiện trên mỗi con xúc xắc bé hơn 3″.

Số chấm trên mỗi xúc xắc thuộc ${1, 2}$.

$$E = {(1,1); (1,2); (2,1); (2,2)}$$

$n(E) = 4$.

$$P(E) = \dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9}$$

b) Gọi $F$ là biến cố: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc mà An gieo lớn hơn hoặc bằng 5”.

Số chấm An gieo thuộc ${5, 6}$, số chấm Bình gieo tuỳ ý ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$.

$$F = {(1,5); (2,5); (3,5); (4,5); (5,5); (6,5); (1,6); (2,6); (3,6); (4,6); (5,6); (6,6)}$$

$n(F) = 12$.

$$P(F) = \dfrac{12}{36} = \dfrac{1}{3}$$

c) Gọi $G$ là biến cố: “Tích hai số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bé hơn 6”.

Ta liệt kê các cặp $(a, b)$ sao cho $a \cdot b < 6$:

• $a \cdot b = 1$: $(1,1)$.
• $a \cdot b = 2$: $(1,2)$; $(2,1)$.
• $a \cdot b = 3$: $(1,3)$; $(3,1)$.
• $a \cdot b = 4$: $(1,4)$; $(2,2)$; $(4,1)$.
• $a \cdot b = 5$: $(1,5)$; $(5,1)$.

$$G = {(1,1); (1,2); (2,1); (1,3); (3,1); (1,4); (2,2); (4,1); (1,5); (5,1)}$$

$n(G) = 10$.

$$P(G) = \dfrac{10}{36} = \dfrac{5}{18}$$

d) Gọi $H$ là biến cố: “Tổng hai số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là một số nguyên tố”.

Tổng hai xúc xắc có thể từ 2 đến 12. Các số nguyên tố trong khoảng này: ${2; 3; 5; 7; 11}$.

Ta liệt kê các cặp theo từng tổng:

• Tổng = 2: $(1,1)$ → 1 cặp.
• Tổng = 3: $(1,2)$; $(2,1)$ → 2 cặp.
• Tổng = 5: $(1,4)$; $(2,3)$; $(3,2)$; $(4,1)$ → 4 cặp.
• Tổng = 7: $(1,6)$; $(2,5)$; $(3,4)$; $(4,3)$; $(5,2)$; $(6,1)$ → 6 cặp.
• Tổng = 11: $(5,6)$; $(6,5)$ → 2 cặp.

$n(H) = 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$.

$$P(H) = \dfrac{15}{36} = \dfrac{5}{12}$$

Sai lầm thường gặp

Tổng kết

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh