Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

Hai biến cố độc lập

Trong thực tế, có những biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia. Chẳng hạn, kết quả thi đấu Bắn súng của vận động viên An không ảnh hưởng đến kết quả thi đấu Bơi lội của vận động viên Bình.

Hai biến cố như vậy gọi là hai biến cố độc lập.

Công thức nhân xác suất

Nếu hai biến cố $A$ và $B$ độc lập với nhau thì:

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$

Công thức này gọi là công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập.

Chú ý: Ngược lại, nếu $P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)$ thì hai biến cố $A$ và $B$ không độc lập (tức là chúng có liên quan với nhau).

Ví dụ: Tại vòng chung kết một đại hội thể thao, vận động viên Minh thi đấu môn Cử tạ, vận động viên Hùng thi đấu môn Nhảy cao. Xác suất giành huy chương của Minh và Hùng lần lượt là $0{,}7$ và $0{,}85$.

a) Tính xác suất để cả hai vận động viên đạt huy chương.

b) Dùng sơ đồ hình cây, tính xác suất để cả hai không đạt huy chương.

Giải:

Gọi $A$: “Minh đạt huy chương”, $B$: “Hùng đạt huy chương”. Vì hai vận động viên thi đấu hai môn khác nhau nên $A$ và $B$ độc lập.

a) $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0{,}7 \times 0{,}85 = 0{,}595$

b) Theo sơ đồ hình cây:

$$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = 0{,}3 \times 0{,}15 = 0{,}045$$

Vận dụng: Kiểm tra tính độc lập của hai biến cố

Để chứng tỏ hai biến cố có liên quan (không độc lập), ta tính $P(A) \cdot P(B)$ và so sánh với $P(A \cap B)$. Nếu hai giá trị khác nhau thì hai biến cố không độc lập.

Ví dụ: Thống kê tại một vùng cho thấy trong các vụ tai nạn ô tô có $0{,}37\%$ người tử vong; $29\%$ người không thắt dây an toàn và $0{,}28\%$ người không thắt dây an toàn và tử vong. Chứng tỏ việc không thắt dây an toàn và nguy cơ tử vong có liên quan.

Giải:

Gọi $A$: “Người đó tử vong”, $B$: “Người đó không thắt dây an toàn”.

$$P(A) \cdot P(B) = 0{,}0037 \times 0{,}29 = 0{,}001073$$

$$P(A \cap B) = 0{,}0028$$

Vì $P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)$ nên $A$ và $B$ không độc lập.

Vậy việc không thắt dây an toàn có liên quan tới nguy cơ tử vong khi gặp tai nạn.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tính xác suất bằng công thức nhân và sơ đồ hình cây

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định hai biến cố $A$, $B$ và giải thích tại sao chúng độc lập.

Bước 2: Tính $P(A)$, $P(B)$, $P(\overline{A}) = 1 – P(A)$, $P(\overline{B}) = 1 – P(B)$.

Bước 3: Vẽ sơ đồ hình cây để xác định tất cả các trường hợp, tính xác suất từng nhánh bằng cách nhân các xác suất dọc theo nhánh.

Bốn trường hợp trên sơ đồ hình cây:

• $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
• $P(A \cap \overline{B}) = P(A) \cdot P(\overline{B})$
• $P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A}) \cdot P(B)$
• $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B})$

Bài mẫu 1: Các học sinh lớp 11D gieo hai loại hạt giống $A$ và $B$. Xác suất nảy mầm của hạt $A$ và $B$ lần lượt là $0{,}92$ và $0{,}88$. Giả sử việc nảy mầm của hai hạt là độc lập. Tính xác suất để:

a) Hạt $A$ nảy mầm còn hạt $B$ không nảy mầm.

b) Hạt $A$ không nảy mầm còn hạt $B$ nảy mầm.

c) Ít nhất một trong hai loại hạt giống nảy mầm.

Lời giải:

$P(A) = 0{,}92$, $P(\overline{A}) = 0{,}08$, $P(B) = 0{,}88$, $P(\overline{B}) = 0{,}12$.

a) $P(A \cap \overline{B}) = P(A) \cdot P(\overline{B}) = 0{,}92 \times 0{,}12 = 0{,}1104$

b) $P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A}) \cdot P(B) = 0{,}08 \times 0{,}88 = 0{,}0704$

c) “Ít nhất một hạt nảy mầm” là biến cố đối của “cả hai đều không nảy mầm”:

$$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0{,}08 \times 0{,}12 = 0{,}0096$$

$$P(\text{ít nhất một}) = 1 – 0{,}0096 = 0{,}9904$$

Bài mẫu 2: Trong đợt kiểm tra cuối học kì II lớp 11, có $93\%$ học sinh tỉnh $X$ đạt yêu cầu, $87\%$ học sinh tỉnh $Y$ đạt yêu cầu. Chọn ngẫu nhiên một học sinh tỉnh $X$ và một học sinh tỉnh $Y$. Giả thiết chất lượng học tập của hai tỉnh độc lập. Tính xác suất để:

a) Cả hai đều đạt yêu cầu.

b) Cả hai đều không đạt yêu cầu.

c) Chỉ có đúng một học sinh đạt yêu cầu.

d) Có ít nhất một học sinh đạt yêu cầu.

Lời giải:

Gọi $A$: “Học sinh tỉnh $X$ đạt yêu cầu”, $B$: “Học sinh tỉnh $Y$ đạt yêu cầu”.

$P(A) = 0{,}93$, $P(\overline{A}) = 0{,}07$, $P(B) = 0{,}87$, $P(\overline{B}) = 0{,}13$.

a) $P(A \cap B) = 0{,}93 \times 0{,}87 = 0{,}8091$

b) $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0{,}07 \times 0{,}13 = 0{,}0091$

c) “Đúng một đạt” = $P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B)$

$$= 0{,}93 \times 0{,}13 + 0{,}07 \times 0{,}87 = 0{,}1209 + 0{,}0609 = 0{,}1818$$

d) $P(\text{ít nhất một}) = 1 – P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 – 0{,}0091 = 0{,}9909$

Dạng 2: Chứng minh hai biến cố độc lập hoặc không độc lập

Phương pháp giải:

Tính $P(A)$, $P(B)$ và $P(A \cap B)$ rồi so sánh:

• Nếu $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ → độc lập.
• Nếu $P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)$ → không độc lập.

Lưu ý: Nếu $A$ và $B$ xung khắc (với $P(A) > 0$, $P(B) > 0$) thì $P(A \cap B) = 0 \neq P(A) \cdot P(B)$, nên $A$ và $B$ không độc lập.

Bài mẫu 1: Cho $P(A) = 0{,}4$; $P(B) = 0{,}5$; $P(A \cup B) = 0{,}6$. Hỏi $A$ và $B$ có độc lập không?

Lời giải:

Từ công thức cộng xác suất:

$$P(A \cap B) = P(A) + P(B) – P(A \cup B) = 0{,}4 + 0{,}5 – 0{,}6 = 0{,}3$$

So sánh: $P(A) \cdot P(B) = 0{,}4 \times 0{,}5 = 0{,}2$.

Vì $P(A \cap B) = 0{,}3 \neq 0{,}2 = P(A) \cdot P(B)$ nên $A$ và $B$ không độc lập.

Bài mẫu 2: Cho hai biến cố $A$ và $B$ xung khắc với $P(A) > 0$, $P(B) > 0$. Chứng tỏ $A$ và $B$ không độc lập.

Lời giải:

Vì $A$ và $B$ xung khắc nên $A \cap B = \varnothing$, do đó $P(A \cap B) = 0$.

Mặt khác $P(A) > 0$ và $P(B) > 0$ nên $P(A) \cdot P(B) > 0$.

Suy ra $P(A \cap B) = 0 \neq P(A) \cdot P(B) > 0$.

Vậy $A$ và $B$ không độc lập. ∎

Bài mẫu 3: Để nghiên cứu mối liên quan giữa nghiện thuốc lá và bệnh viêm phổi, người ta khảo sát $5\,000$ người đàn ông. Kết quả:

Chứng tỏ nghiện thuốc lá và mắc viêm phổi có liên quan.

Lời giải:

Gọi $A$: “Nghiện thuốc lá”, $B$: “Mắc viêm phổi”.

$$P(A) = \dfrac{752 + 1\,236}{5\,000} = \dfrac{1\,988}{5\,000} = 0{,}3976$$

$$P(B) = \dfrac{752 + 575}{5\,000} = \dfrac{1\,327}{5\,000} = 0{,}2654$$

$$P(A) \cdot P(B) = 0{,}3976 \times 0{,}2654 \approx 0{,}1055$$

$$P(A \cap B) = \dfrac{752}{5\,000} = 0{,}1504$$

Vì $P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)$ nên $A$ và $B$ không độc lập.

Vậy nghiện thuốc lá và mắc viêm phổi có liên quan với nhau.

Dạng 3: Bài toán lấy vật từ hai hộp/túi khác nhau

Phương pháp giải:

Khi lấy vật từ hai hộp (túi) khác nhau, kết quả ở hộp này không ảnh hưởng hộp kia → hai biến cố độc lập. Áp dụng công thức nhân.

Nếu cần tính “cùng màu” hoặc “không cùng màu” → phân thành các trường hợp xung khắc, tính riêng rồi cộng.

Bài mẫu 1: Có hai túi bi. Túi I có 3 bi xanh và 7 bi đỏ. Túi II có 10 bi xanh và 6 bi đỏ. Từ mỗi túi lấy ngẫu nhiên một viên bi. Tính xác suất để:

a) Hai viên bi cùng màu xanh.

b) Hai viên bi cùng màu đỏ.

c) Hai viên bi cùng màu.

d) Hai viên bi không cùng màu.

Lời giải:

Gọi $A$: “Bi từ túi I màu xanh”, $B$: “Bi từ túi II màu xanh”. Hai biến cố độc lập.

$$P(A) = \dfrac{3}{10} \qquad P(\overline{A}) = \dfrac{7}{10} \qquad P(B) = \dfrac{10}{16} = \dfrac{5}{8} \qquad P(\overline{B}) = \dfrac{6}{16} = \dfrac{3}{8}$$

a) $P(A \cap B) = \dfrac{3}{10} \times \dfrac{5}{8} = \dfrac{15}{80} = \dfrac{3}{16}$

b) $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = \dfrac{7}{10} \times \dfrac{3}{8} = \dfrac{21}{80}$

c) “Cùng màu” = “cùng xanh” hoặc “cùng đỏ” (xung khắc):

$$P = \dfrac{15}{80} + \dfrac{21}{80} = \dfrac{36}{80} = \dfrac{9}{20}$$

d) $P(\text{không cùng màu}) = 1 – \dfrac{9}{20} = \dfrac{11}{20}$

Bài mẫu 2: Có hai túi, mỗi túi đựng 10 quả cầu đánh số từ 1 đến 10. Từ mỗi túi lấy ngẫu nhiên một quả cầu. Tính xác suất để trong hai quả cầu được lấy ra không có quả nào ghi số 1 hoặc số 5.

Lời giải:

Gọi $A$: “Quả cầu từ túi I không ghi số 1 và không ghi số 5”, $B$: “Quả cầu từ túi II không ghi số 1 và không ghi số 5”.

Mỗi túi có 10 quả, loại bỏ số 1 và số 5 còn 8 quả.

$$P(A) = \dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5} \qquad P(B) = \dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5}$$

Hai biến cố độc lập nên:

$$P(A \cap B) = \dfrac{4}{5} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{16}{25}$$

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 – Nhận biết nhanh biến cố độc lập: Nếu hai phép thử thực hiện ở hai nơi khác nhau hoặc trên hai đối tượng khác nhau không ảnh hưởng lẫn nhau (hai hộp bi, hai vận động viên, hai tỉnh…) → biến cố từ hai phép thử đó thường độc lập.

Mẹo 2 – Sơ đồ hình cây cho đầy đủ 4 trường hợp:

$$AB,\quad A\overline{B},\quad \overline{A}B,\quad \overline{A},\overline{B}$$

Tổng xác suất 4 nhánh luôn bằng 1. Biết 3 nhánh → suy ra nhánh còn lại.

Mẹo 3 – “Ít nhất một” = $1 -$ “không có gì”: Luôn nhanh hơn tính trực tiếp.

$$P(\text{ít nhất một xảy ra}) = 1 – P(\text{cả hai đều không xảy ra})$$

Mẹo 4 – Kiểm tra độc lập: Tính $P(A) \cdot P(B)$ và $P(A \cap B)$ riêng biệt. So sánh → kết luận.

Tổng kết

Hai biến cố độc lập: Việc xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất của biến cố kia.

Công thức nhân xác suất:

$$A, B \text{ độc lập} ;\Longleftrightarrow; P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$

Kiểm tra tính độc lập: Nếu $P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)$ → hai biến cố không độc lập (có liên quan).

Sơ đồ hình cây: Công cụ mạnh để liệt kê mọi trường hợp và tính xác suất khi có hai (hoặc nhiều) biến cố độc lập.

Quy trình giải bài:

1. Xác định hai biến cố, giải thích tại sao độc lập.
2. Tính $P(A)$, $P(B)$, $P(\overline{A})$, $P(\overline{B})$.
3. Vẽ sơ đồ hình cây → nhân xác suất dọc nhánh.
4. Nếu “ít nhất một” → dùng biến cố đối.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh