Ba đường conic – elip (ellipse), hypebol (hyperbola) và parabol (parabola) – xuất hiện rất phổ biến trong tự nhiên và đời sống: từ quỹ đạo hành tinh, đài phun nước, đến thiết kế ăng-ten vệ tinh. Bài này giới thiệu định nghĩa, phương trình chính tắc và các tính chất cơ bản của ba đường conic.

1. Elip

Định nghĩa

Cho hai điểm cố định $F_1$, $F_2$ phân biệt. Đặt $F_1F_2 = 2c > 0$. Cho số thực $a > c$.

Đường elip là tập hợp các điểm $M$ sao cho $MF_1 + MF_2 = 2a$.

Hai điểm $F_1$, $F_2$ gọi là hai tiêu điểm; $F_1F_2 = 2c$ gọi là tiêu cự của elip.

Tại sao cần $a > c$? Vì theo bất đẳng thức tam giác, $MF_1 + MF_2 > F_1F_2$, nên $2a > 2c$, tức $a > c$.

Phương trình chính tắc

Chọn hệ trục toạ độ $Oxy$ sao cho $O$ là trung điểm $F_1F_2$, tia $Ox$ trùng tia $OF_2$. Khi đó $F_1(-c;\ 0)$, $F_2(c;\ 0)$ và phương trình chính tắc của elip là:

$$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1, \quad \text{với } a > b > 0$$

trong đó $b = \sqrt{a^2 – c^2}$.

Ngược lại, mỗi phương trình dạng trên đều biểu diễn một elip với:

• Hai tiêu điểm: $F_1\left(-\sqrt{a^2 – b^2};\ 0\right)$, $F_2\left(\sqrt{a^2 – b^2};\ 0\right)$.
• Tiêu cự: $2c = 2\sqrt{a^2 – b^2}$.
• Tổng khoảng cách từ mỗi điểm trên elip tới hai tiêu điểm bằng $2a$.

Ví dụ 2 (SGK). Cho elip $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$. Tìm tiêu điểm, tiêu cự và tổng khoảng cách.

Giải: $a^2 = 25$, $b^2 = 16$, nên $c = \sqrt{25 – 16} = 3$.

Tiêu điểm: $F_1(-3;\ 0)$, $F_2(3;\ 0)$. Tiêu cự: $2c = 6$. Tổng khoảng cách: $2a = 10$.

2. Hypebol

Định nghĩa

Cho hai điểm cố định $F_1$, $F_2$ phân biệt. Đặt $F_1F_2 = 2c$. Cho số thực dương $a < c$.

Đường hypebol là tập hợp các điểm $M$ sao cho $|MF_1 – MF_2| = 2a$.

Hai điểm $F_1$, $F_2$ gọi là hai tiêu điểm; $F_1F_2 = 2c$ gọi là tiêu cự của hypebol.

Tại sao cần $a < c$? Vì theo bất đẳng thức tam giác, $|MF_1 – MF_2| < F_1F_2$, nên $2a < 2c$, tức $a < c$.

Chú ý. Hypebol gồm hai nhánh: một nhánh chứa các điểm $M$ thoả $MF_1 – MF_2 = 2a$, nhánh còn lại chứa các điểm thoả $MF_2 – MF_1 = 2a$.

Phương trình chính tắc

Với hệ trục toạ độ tương tự (O là trung điểm $F_1F_2$, tia $Ox$ trùng tia $OF_2$), phương trình chính tắc của hypebol là:

$$\dfrac{x^2}{a^2} – \dfrac{y^2}{b^2} = 1, \quad \text{với } a,\ b > 0$$

trong đó $b = \sqrt{c^2 – a^2}$.

Ngược lại, mỗi phương trình dạng trên biểu diễn một hypebol với:

• Hai tiêu điểm: $F_1\left(-\sqrt{a^2 + b^2};\ 0\right)$, $F_2\left(\sqrt{a^2 + b^2};\ 0\right)$.
• Tiêu cự: $2c = 2\sqrt{a^2 + b^2}$.
• Giá trị tuyệt đối hiệu khoảng cách từ mỗi điểm trên hypebol tới hai tiêu điểm bằng $2a$.

Ví dụ 4 (SGK). Cho hypebol $\dfrac{x^2}{9} – \dfrac{y^2}{16} = 1$. Tìm tiêu điểm, tiêu cự.

Giải: $a^2 = 9$, $b^2 = 16$, nên $c = \sqrt{9 + 16} = 5$.

Tiêu điểm: $F_1(-5;\ 0)$, $F_2(5;\ 0)$. Tiêu cự: $2c = 10$. Giá trị tuyệt đối hiệu khoảng cách: $2a = 2\sqrt{9} = 6$.

3. Parabol

Định nghĩa

Cho một điểm $F$ cố định và một đường thẳng $\Delta$ cố định không đi qua $F$.

Đường parabol là tập hợp các điểm $M$ cách đều $F$ và $\Delta$, tức $MF = d(M,\ \Delta)$.

• $F$ gọi là tiêu điểm.
• $\Delta$ gọi là đường chuẩn.
• Khoảng cách từ $F$ đến $\Delta$ gọi là tham số tiêu $p$.

Phương trình chính tắc

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $F$ trên $\Delta$. Chọn hệ trục $Oxy$ với gốc $O$ là trung điểm $HF$, tia $Ox$ trùng tia $OF$. Phương trình chính tắc:

$$y^2 = 2px \quad (p > 0)$$

Ngược lại, mỗi phương trình dạng $y^2 = 2px$ ($p > 0$) biểu diễn parabol có:

• Tiêu điểm: $F\left(\dfrac{p}{2};\ 0\right)$.
• Đường chuẩn: $\Delta\colon x = -\dfrac{p}{2}$.

Tính chất quan trọng: Với mọi điểm $M$ trên parabol, $MF = d(M,\ \Delta)$. Tính chất này giúp chuyển bài toán tính khoảng cách đến tiêu điểm thành tính khoảng cách đến đường chuẩn (và ngược lại).

Ví dụ 5 (SGK). Cho parabol $(P)\colon y^2 = x$.

a) Tìm tiêu điểm $F$ và đường chuẩn $\Delta$.

b) Tìm các điểm trên $(P)$ có khoảng cách tới $F$ bằng 3.

Giải:

a) $2p = 1$, nên $p = \dfrac{1}{2}$. Tiêu điểm $F\left(\dfrac{1}{4};\ 0\right)$, đường chuẩn $\Delta\colon x = -\dfrac{1}{4}$.

b) Gọi $M(x_0;\ y_0)$ thuộc $(P)$, tức $y_0^2 = x_0$ và $MF = 3$.

Do $MF = d(M,\ \Delta)$, nên $d(M,\ \Delta) = 3$.

Mặt khác $\Delta\colon x + \dfrac{1}{4} = 0$ và $x_0 = y_0^2 \geq 0$, nên:

$$3 = d(M,\ \Delta) = \left|x_0 + \dfrac{1}{4}\right| = x_0 + \dfrac{1}{4}$$

$$\Rightarrow x_0 = \dfrac{11}{4}, \quad y_0 = \pm\dfrac{\sqrt{11}}{2}$$

Vậy có hai điểm: $M\left(\dfrac{11}{4};\ \dfrac{\sqrt{11}}{2}\right)$ và $M\left(\dfrac{11}{4};\ -\dfrac{\sqrt{11}}{2}\right)$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1. Tìm tiêu điểm, tiêu cự của elip

Phương pháp:

Từ phương trình $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > b > 0$):

• Tính $c = \sqrt{a^2 – b^2}$.
• Tiêu điểm: $F_1(-c;\ 0)$, $F_2(c;\ 0)$.
• Tiêu cự: $2c$.

Bài 7.19. Cho elip có phương trình $\dfrac{x^2}{36} + \dfrac{y^2}{9} = 1$. Tìm tiêu điểm và tiêu cự.

Lời giải chi tiết:

Ta có $a^2 = 36$, $b^2 = 9$.

Tính: $c = \sqrt{a^2 – b^2} = \sqrt{36 – 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$.

Tiêu điểm: $F_1(-3\sqrt{3};\ 0)$ và $F_2(3\sqrt{3};\ 0)$.

Tiêu cự: $2c = 6\sqrt{3}$.

Dạng 2. Tìm tiêu điểm, tiêu cự của hypebol

Phương pháp:

Từ phương trình $\dfrac{x^2}{a^2} – \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ ($a,\ b > 0$):

• Tính $c = \sqrt{a^2 + b^2}$.
• Tiêu điểm: $F_1(-c;\ 0)$, $F_2(c;\ 0)$.
• Tiêu cự: $2c$.

Bài 7.20. Cho hypebol có phương trình $\dfrac{x^2}{7} – \dfrac{y^2}{9} = 1$. Tìm tiêu điểm và tiêu cự.

Lời giải chi tiết:

Ta có $a^2 = 7$, $b^2 = 9$.

Tính: $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{7 + 9} = \sqrt{16} = 4$.

Tiêu điểm: $F_1(-4;\ 0)$ và $F_2(4;\ 0)$.

Tiêu cự: $2c = 8$.

Dạng 3. Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol

Phương pháp:

Từ phương trình $y^2 = 2px$ ($p > 0$):

• Xác định $2p$ (hệ số vế phải), suy ra $p$.
• Tiêu điểm: $F\left(\dfrac{p}{2};\ 0\right)$.
• Đường chuẩn: $\Delta\colon x = -\dfrac{p}{2}$.

Bài 7.21. Cho parabol có phương trình $y^2 = 8x$. Tìm tiêu điểm và đường chuẩn.

Lời giải chi tiết:

Ta có $2p = 8$, nên $p = 4$.

Tiêu điểm: $F\left(\dfrac{4}{2};\ 0\right) = F(2;\ 0)$.

Đường chuẩn: $\Delta\colon x = -\dfrac{4}{2} = -2$, tức $x = -2$.

Dạng 4. Lập phương trình chính tắc của elip

Phương pháp:

• Phương trình dạng $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ với $a > b > 0$.
• Từ các dữ kiện (điểm thuộc elip, tiêu điểm,…), lập hệ phương trình tìm $a^2$ và $b^2$.
• Nhớ quan hệ: $c^2 = a^2 – b^2$.

Bài 7.22. Lập phương trình chính tắc của elip đi qua điểm $A(5;\ 0)$ và có một tiêu điểm là $F_2(3;\ 0)$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1. Phương trình elip có dạng $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ với $a > b > 0$.

Bước 2. Vì elip đi qua $A(5;\ 0)$, thay toạ độ $A$ vào phương trình:

$$\dfrac{5^2}{a^2} + \dfrac{0^2}{b^2} = 1 \Rightarrow \dfrac{25}{a^2} = 1 \Rightarrow a^2 = 25$$

Bước 3. Vì $F_2(3;\ 0)$ là tiêu điểm nên $c = 3$.

$$b^2 = a^2 – c^2 = 25 – 9 = 16$$

Kết luận: Phương trình chính tắc của elip: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$.

Dạng 5. Lập phương trình chính tắc của parabol

Phương pháp:

• Phương trình dạng $y^2 = 2px$ ($p > 0$).
• Thay toạ độ điểm thuộc parabol vào phương trình để tìm $2p$.

Bài 7.23. Lập phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm $M(2;\ 4)$.

Lời giải chi tiết:

Phương trình parabol có dạng $y^2 = 2px$.

Thay toạ độ $M(2;\ 4)$:

$$4^2 = 2p \cdot 2 \Rightarrow 16 = 4p \Rightarrow 2p = 8$$

Vậy phương trình chính tắc: $y^2 = 8x$.

Dạng 6. Bài toán thực tế với hypebol

Phương pháp:

• Gắn hệ trục toạ độ phù hợp (O là trung điểm hai tiêu điểm, trục Ox qua hai tiêu điểm).
• Dựa vào dữ kiện thực tế (chênh lệch thời gian, vận tốc truyền tín hiệu,…) tính $|MF_1 – MF_2| = 2a$.
• Từ $a$ và $c$, tính $b^2 = c^2 – a^2$ rồi viết phương trình.

Bài 7.24. Có hai trạm phát tín hiệu vô tuyến đặt tại hai vị trí $A$, $B$ cách nhau 300 km. Tại cùng một thời điểm, hai trạm cùng phát tín hiệu với vận tốc 292 000 km/s để một tàu thuỷ thu và đo độ lệch thời gian. Tín hiệu từ $A$ đến sớm hơn tín hiệu từ $B$ là 0,0005 s. Viết phương trình chính tắc của hypebol đó theo đơn vị kilômét.

Lời giải chi tiết:

Bước 1. Chọn hệ trục toạ độ $Oxy$ sao cho $O$ là trung điểm $AB$, $A$ và $B$ nằm trên trục $Ox$, tia $Ox$ trùng tia $OB$.

Khi đó: $A(-150;\ 0)$ và $B(150;\ 0)$.

Bước 2. Gọi $M$ là vị trí tàu thuỷ. Tín hiệu từ $A$ đến sớm hơn từ $B$ là 0,0005 s, nên:

$$MA – MB = 0{,}0005 \times 292\,000 = 146 \text{ (km)}$$

Do đó $|MA – MB| = 146 = 2a$, suy ra $a = 73$.

Bước 3. Hai tiêu điểm là $A(-150;\ 0)$ và $B(150;\ 0)$, nên $c = 150$.

$$b^2 = c^2 – a^2 = 150^2 – 73^2 = 22500 – 5329 = 17171$$

Kết luận: Phương trình chính tắc của hypebol:

$$\dfrac{x^2}{5329} – \dfrac{y^2}{17171} = 1$$

Dạng 7. Bài toán thực tế với parabol

Phương pháp:

• Chọn hệ trục toạ độ sao cho đỉnh parabol trùng gốc toạ độ.
• Xác định toạ độ các điểm dựa trên dữ kiện thực tế (chú ý đơn vị đo).
• Thay vào phương trình $y^2 = 2px$ để tìm $2p$.

Bài 7.25. Khúc cua của một con đường có dạng hình parabol. Điểm đầu vào khúc cua là $A$, điểm cuối là $B$, khoảng cách $AB = 400$ m. Đỉnh parabol $(P)$ cách đường thẳng $AB$ một khoảng 20 m và cách đều $A$, $B$.

a) Lập phương trình chính tắc của $(P)$, với 1 đơn vị đo tương ứng 1 m.

b) Lập phương trình chính tắc của $(P)$, với 1 đơn vị đo tương ứng 1 km.

Lời giải chi tiết:

a) Chọn hệ trục toạ độ sao cho đỉnh parabol trùng gốc $O(0;\ 0)$, trục $Ox$ vuông góc với $AB$ và hướng về phía $AB$.

Đỉnh parabol cách $AB$ 20 m và cách đều $A$, $B$, nên $A$ và $B$ đối xứng qua trục $Ox$.

Với 1 đơn vị = 1 m: $A(20;\ -200)$ và $B(20;\ 200)$.

Parabol có dạng $y^2 = 2px$. Thay toạ độ điểm $A(20;\ -200)$:

$$(-200)^2 = 2p \cdot 20 \Rightarrow 40000 = 40p \Rightarrow 2p = 2000$$

Vậy phương trình chính tắc: $y^2 = 2000x$.

b) Với 1 đơn vị = 1 km: $AB = 0{,}4$ km, khoảng cách đỉnh tới $AB$ là 0,02 km.

$A(0{,}02;\ -0{,}2)$ và $B(0{,}02;\ 0{,}2)$.

Thay $A$ vào $y^2 = 2px$:

$$0{,}2^2 = 2p \cdot 0{,}02 \Rightarrow 0{,}04 = 0{,}04p \Rightarrow 2p = 2$$

Vậy phương trình chính tắc: $y^2 = 2x$.

4. Một số ứng dụng của ba đường conic

Ba đường conic có rất nhiều ứng dụng quan trọng trong khoa học và đời sống, đặc biệt nhờ vào tính chất quang học đặc biệt của chúng.

Tính chất quang học

Elip và hypebol:

• Đối với gương lõm hình elip hoặc hypebol: tia sáng phát ra từ một tiêu điểm, sau khi gặp gương sẽ bị phản xạ theo hướng đi qua tiêu điểm còn lại.
• Đối với gương lồi hình elip hoặc hypebol: tia sáng hướng tới một tiêu điểm, khi gặp gương sẽ bị phản xạ theo hướng đi qua tiêu điểm còn lại.

Parabol:

• Đối với gương parabol lõm: tia sáng phát ra từ tiêu điểm, khi gặp parabol sẽ bị phản xạ theo hướng vuông góc với đường chuẩn (tức song song với trục đối xứng). Ngược lại, tia tới vuông góc với đường chuẩn sẽ phản xạ qua tiêu điểm.

Một số ứng dụng thực tế

• Đài phun nước: Tia nước bắn ra từ đài phun có quỹ đạo hình parabol.
• Quỹ đạo hành tinh: Theo định luật Kepler, các hành tinh quay quanh Mặt Trời theo quỹ đạo hình elip, với Mặt Trời nằm tại một tiêu điểm.
• Kính thiên văn: Các gương trong kính thiên văn phản xạ thường có dạng parabol hoặc hypebol, giúp hội tụ ánh sáng từ các thiên thể.
• Ăng-ten vệ tinh: Hình dạng chảo parabol giúp hội tụ tín hiệu từ vệ tinh về tiêu điểm – nơi đặt đầu thu.
• Đèn pha ô tô: Mặt phản xạ dạng parabol giúp phát tia sáng song song, chiếu xa.
• Y học – Tán sỏi thận: Máy tán sỏi thận dùng gương elip. Chùm sóng phát từ một tiêu điểm, phản xạ qua gương elip và hội tụ tại tiêu điểm còn lại – chính là vị trí sỏi thận.

Sai lầm thường gặp

Tổng kết

Parabol còn có:

• Đường chuẩn: $\Delta\colon x = -\dfrac{p}{2}$.
• Tham số tiêu: $p$ (khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn).

Mẹo phân biệt công thức tính $c$:

• Elip dùng phép trừ: $c^2 = a^2 – b^2$ (vì $a > b$, nên trừ ra dương).
• Hypebol dùng phép cộng: $c^2 = a^2 + b^2$.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh