Thể tích là một trong những khái niệm toán học xuất hiện thường xuyên trong cuộc sống, đo sự chiếm chỗ của vật thể trong không gian. Bài học này đưa ra công thức thể tích của các hình khối ứng với các hình mà ta đã học.

1. Khái niệm cơ bản

1.1. Định nghĩa các khối hình

Phần không gian được giới hạn bởi hình chóp, hình chóp cụt đều, hình lăng trụ, hình hộp tương ứng được gọi là khối chóp, khối chóp cụt đều, khối lăng trụ, khối hộp.

Đỉnh, mặt, cạnh, đường cao của các khối hình đó lần lượt là đỉnh, mặt, cạnh, đường cao của hình chóp, hình chóp cụt đều, hình lăng trụ, hình hộp tương ứng.

2. Công thức thể tích

2.1. Thể tích khối chóp

$$\boxed{V = \dfrac{1}{3}Sh}$$

Trong đó:

• $S$: diện tích đáy
• $h$: chiều cao (khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng đáy)

2.2. Thể tích khối lăng trụ

$$\boxed{V = Sh}$$

Trong đó:

• $S$: diện tích đáy
• $h$: chiều cao (khoảng cách giữa hai mặt đáy)

2.3. Thể tích khối chóp cụt đều

$$\boxed{V = \dfrac{1}{3}\left(S + S’ + \sqrt{S \cdot S’}\right)h}$$

Trong đó:

• $S$: diện tích đáy lớn
• $S’$: diện tích đáy bé
• $h$: chiều cao (khoảng cách giữa hai đáy)

2.4. Nhận xét quan trọng

• Thể tích khối tứ diện bằng một phần ba tích của diện tích một mặt và chiều cao của khối tứ diện ứng với mặt đó.
• Thể tích khối hộp bằng tích của diện tích một mặt và chiều cao của khối hộp ứng với mặt đó.

Ví dụ 1: Cho khối tứ diện $OABC$ có các cạnh $OA$, $OB$, $OC$ đôi một vuông góc với nhau và $OA = a$, $OB = b$, $OC = c$. Tính thể tích của khối tứ diện.

Giải: (H.7.94)

Tam giác vuông $OBC$ có diện tích là: $$S_{OBC} = \dfrac{1}{2}bc$$

$OA$ vuông góc với mặt phẳng $(OBC)$ nên tứ diện $OABC$ có chiều cao ứng với đỉnh $A$ bằng $OA$.

Vậy thể tích của khối tứ diện là: $$V_{OABC} = \dfrac{1}{3}S_{OBC} \cdot AO = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2}bc \cdot a = \dfrac{1}{6}abc$$

Luyện tập 1: Cho khối chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên bằng $b$. Tính thể tích của khối chóp.

Ví dụ 2: Cho khối lăng trụ $ABC.A’B’C’$ có đáy là các tam giác đều cạnh $a$, mặt $(ACC’A’)$ vuông góc với hai mặt đáy, tam giác $A’AC$ cân tại $A’$ và $AA’ = b$ $(a < 2b)$. Tính thể tích của khối lăng trụ.

Giải: (H.7.95)

Gọi $A’H$ là đường cao của tam giác cân $A’AC$. Khi đó, $H$ là trung điểm của $AC$.

Do $(ACC’A’) \perp (ABC)$ và $A’H \perp AC$ nên $A’H \perp (ABC)$.

Vậy khối lăng trụ có chiều cao là: $$A’H = \sqrt{AA’^2 – AH^2} = \sqrt{b^2 – \dfrac{a^2}{4}}$$

Tam giác đều $ABC$ có diện tích là: $$S_{ABC} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

Vậy khối lăng trụ có thể tích là: $$V = S_{ABC} \cdot A’H = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{b^2 – \dfrac{a^2}{4}} = \dfrac{a^2\sqrt{3(4b^2 – a^2)}}{8}$$

Luyện tập 2: Cho khối chóp cụt đều $ABC.A’B’C’$ có đường cao $HH’ = h$, hai mặt đáy $ABC$, $A’B’C’$ có cạnh tương ứng bằng $2a$, $a$.

a) Tính thể tích của khối chóp cụt.

b) Gọi $B_1$, $C_1$ tương ứng là trung điểm của $AB$, $AC$. Chứng minh rằng $AB_1C_1.A’B’C’$ là một hình lăng trụ. Tính thể tích khối lăng trụ $AB_1C_1.A’B’C’$.

Ví dụ 3: Cho khối hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có $AB = 8$ cm, $AD = 5$ cm, $AA’ = 6$ cm, $\widehat{BAD} = 30°$, góc giữa $AA’$ và $(ABCD)$ bằng $45°$. Tính thể tích của khối hộp.

Giải: (H.7.97)

Hình bình hành $ABCD$ có diện tích là: $$S_{ABCD} = 2S_{ABD} = 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin\widehat{BAD} = 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin 30° = 20 \text{ (cm}^2\text{)}$$

Gọi $H$ là hình chiếu của $A’$ trên $(ABCD)$. Khi đó, $\widehat{A’AH}$ bằng góc giữa $AA’$ và $(ABCD)$ nên $\widehat{A’AH} = 45°$.

Trong tam giác vuông $A’AH$ ta có: $$A’H = A’A \cdot \sin\widehat{A’AH} = 6 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \text{ (cm)}$$

Khối hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có chiều cao tương ứng với mặt $ABCD$ bằng $A’H = 3\sqrt{2}$ cm.

Do đó, thể tích của khối hộp là: $$V = S_{ABCD} \cdot A’H = 20 \cdot 3\sqrt{2} = 60\sqrt{2} \text{ (cm}^3\text{)}$$

Vận dụng: Một sọt đựng đồ có dạng hình chóp cụt đều (H.7.98). Đáy và miệng sọt là các hình vuông tương ứng có cạnh bằng 30 cm, 60 cm, cạnh bên của sọt dài 50 cm. Tính thể tích của sọt.

3. Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tính thể tích khối chóp đều

Phương pháp:

Bước 1: Xác định tâm $O$ của đáy (là hình chiếu của đỉnh $S$ trên mặt đáy).

Bước 2: Tính chiều cao $SO$.

• Sử dụng tam giác vuông $SOA$ với $A$ là đỉnh của đáy
• $SO = \sqrt{SA^2 – OA^2}$

Bước 3: Tính diện tích đáy $S$.

Bước 4: Áp dụng công thức $V = \dfrac{1}{3}Sh$.

Công thức tính $OA$ (khoảng cách từ tâm đến đỉnh đáy):

Ví dụ 1: Cho khối chóp đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên bằng $b$. Tính thể tích của khối chóp. Từ đó suy ra thể tích của khối tứ diện đều có cạnh bằng $a$.

Giải chi tiết:

Bước 1: Xác định tâm đáy.

Vì $S.ABC$ là chóp đều nên hình chiếu của $S$ trên $(ABC)$ là tâm $O$ của tam giác đều $ABC$.

Bước 2: Tính khoảng cách $OA$.

Trong tam giác đều $ABC$ cạnh $a$, tâm $O$ cách mỗi đỉnh một khoảng: $$OA = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{3} = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$$

Bước 3: Tính chiều cao $SO$.

Tam giác $SOA$ vuông tại $O$ với:

• $SA = b$ (cạnh bên)
• $OA = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$

Áp dụng định lý Pythagore: $$SO = \sqrt{SA^2 – OA^2} = \sqrt{b^2 – \dfrac{a^2}{3}}$$

Bước 4: Tính diện tích đáy.

$$S_{ABC} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

Bước 5: Tính thể tích.

$$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot SO = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{b^2 – \dfrac{a^2}{3}}$$

$$\boxed{V = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{12}\sqrt{b^2 – \dfrac{a^2}{3}}}$$

Trường hợp tứ diện đều cạnh $a$: Khi $b = a$:

$$V = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{12}\sqrt{a^2 – \dfrac{a^2}{3}} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{12}\sqrt{\dfrac{2a^2}{3}} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{12} \cdot \dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$

$$\boxed{V_{\text{tứ diện đều}} = \dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}}$$

Ví dụ 2: Cho khối chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên bằng $b$. Tính thể tích của khối chóp.

Giải chi tiết:

Bước 1: Xác định tâm đáy.

Vì $S.ABCD$ là chóp đều nên hình chiếu của $S$ trên $(ABCD)$ là tâm $O$ của hình vuông $ABCD$.

Bước 2: Tính khoảng cách $OA$.

$O$ là giao điểm hai đường chéo hình vuông cạnh $a$.

Đường chéo hình vuông: $AC = a\sqrt{2}$

$$OA = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$$

Bước 3: Tính chiều cao $SO$.

Tam giác $SOA$ vuông tại $O$: $$SO = \sqrt{SA^2 – OA^2} = \sqrt{b^2 – \dfrac{a^2}{2}}$$

Bước 4: Tính diện tích đáy.

$$S_{ABCD} = a^2$$

Bước 5: Tính thể tích.

$$V = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \sqrt{b^2 – \dfrac{a^2}{2}}$$

$$\boxed{V = \dfrac{a^2}{3}\sqrt{b^2 – \dfrac{a^2}{2}}}$$

Dạng 2: Tính thể tích khối chóp khi biết góc

Phương pháp:

Trường hợp 1: Cạnh bên tạo với mặt đáy góc $\alpha$

• Góc $\alpha = \widehat{SAO}$ trong tam giác vuông $SOA$
• $\tan\alpha = \dfrac{SO}{OA}$ → $SO = OA \cdot \tan\alpha$

Trường hợp 2: Mặt bên tạo với mặt đáy góc $\beta$

• Góc $\beta$ là góc phẳng của góc nhị diện $[S, \text{cạnh đáy}, O]$
• Trong tam giác vuông $SOM$ ($M$ là trung điểm cạnh đáy): $\tan\beta = \dfrac{SO}{OM}$
• $SO = OM \cdot \tan\beta$

Mẹo phân biệt:

• Góc cạnh bên với đáy → dùng $OA$ (khoảng cách từ tâm đến đỉnh đáy)
• Góc mặt bên với đáy → dùng $OM$ (khoảng cách từ tâm đến cạnh đáy = apothem)

Ví dụ 3: Cho khối chóp đều $S.ABCD$, đáy có cạnh 6 cm. Tính thể tích của khối chóp trong các trường hợp sau:

a) Cạnh bên tạo với mặt đáy một góc bằng $60°$.

b) Mặt bên tạo với mặt đáy một góc bằng $45°$.

Giải chi tiết:

Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$ (hình chiếu của $S$).

a) Cạnh bên tạo với mặt đáy góc $60°$

Bước 1: Xác định góc.

Góc giữa cạnh bên $SA$ và mặt đáy $(ABCD)$ là góc $\widehat{SAO} = 60°$.

Bước 2: Tính $OA$.

$$OA = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \text{ (cm)}$$

Bước 3: Tính chiều cao $SO$.

Trong tam giác vuông $SOA$: $$\tan 60° = \dfrac{SO}{OA}$$ $$SO = OA \cdot \tan 60° = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{6} \text{ (cm)}$$

Bước 4: Tính thể tích.

$$S_{ABCD} = 6^2 = 36 \text{ (cm}^2\text{)}$$

$$V = \dfrac{1}{3} \cdot 36 \cdot 3\sqrt{6} = 36\sqrt{6} \text{ (cm}^3\text{)}$$

Kết luận: $\boxed{V = 36\sqrt{6} \text{ cm}^3}$

b) Mặt bên tạo với mặt đáy góc $45°$

Bước 1: Xác định góc.

Góc giữa mặt bên $(SAB)$ và mặt đáy $(ABCD)$ là góc nhị diện $[S, AB, O]$.

Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Thì $OM \perp AB$ và $SM \perp AB$.

Góc phẳng nhị diện là $\widehat{SMO} = 45°$.

Bước 2: Tính $OM$.

$OM$ là khoảng cách từ tâm $O$ đến cạnh $AB$ của hình vuông.

$$OM = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{6}{2} = 3 \text{ (cm)}$$

Bước 3: Tính chiều cao $SO$.

Trong tam giác vuông $SOM$: $$\tan 45° = \dfrac{SO}{OM}$$ $$SO = OM \cdot \tan 45° = 3 \cdot 1 = 3 \text{ (cm)}$$

Bước 4: Tính thể tích.

$$V = \dfrac{1}{3} \cdot 36 \cdot 3 = 36 \text{ (cm}^3\text{)}$$

Kết luận: $\boxed{V = 36 \text{ cm}^3}$

Dạng 3: Tính thể tích khối lăng trụ

Phương pháp:

Bước 1: Tính diện tích đáy $S$.

Bước 2: Tính chiều cao $h$ (khoảng cách giữa hai mặt đáy).

• Lăng trụ đứng: $h = $ cạnh bên
• Lăng trụ xiên: cần tìm hình chiếu

Bước 3: Áp dụng $V = Sh$.

Ví dụ 4: Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$ có $AA’ = 5$ cm, $AB = 6$ cm, $BC = 2$ cm, $\widehat{ABC} = 150°$. Tính thể tích của khối lăng trụ.

Giải chi tiết:

Bước 1: Xác định chiều cao.

Vì lăng trụ đứng nên chiều cao $h = AA’ = 5$ cm.

Bước 2: Tính diện tích đáy.

Tam giác $ABC$ có:

• $AB = 6$ cm
• $BC = 2$ cm
• $\widehat{ABC} = 150°$

Diện tích tam giác: $$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin\widehat{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 \cdot \sin 150°$$

$$= \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 \cdot \dfrac{1}{2} = 3 \text{ (cm}^2\text{)}$$

Bước 3: Tính thể tích.

$$V = S_{ABC} \cdot h = 3 \cdot 5 = 15 \text{ (cm}^3\text{)}$$

Kết luận: $\boxed{V = 15 \text{ cm}^3}$

Ví dụ 5: Cho khối lăng trụ $ABC.A’B’C’$ có đáy là các tam giác đều cạnh $a$, $A’A = A’B = A’C = b$. Tính thể tích của khối lăng trụ.

Giải chi tiết:

Bước 1: Phân tích bài toán.

$A’$ cách đều ba điểm $A$, $B$, $C$ nên hình chiếu $H$ của $A’$ trên $(ABC)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, tức là tâm của tam giác đều $ABC$.

Bước 2: Tính $AH$.

Trong tam giác đều cạnh $a$: $$AH = \dfrac{a}{\sqrt{3}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$$

Bước 3: Tính chiều cao $A’H$.

Tam giác $A’AH$ vuông tại $H$: $$A’H = \sqrt{A’A^2 – AH^2} = \sqrt{b^2 – \dfrac{a^2}{3}}$$

Bước 4: Tính diện tích đáy.

$$S_{ABC} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

Bước 5: Tính thể tích.

$$V = S_{ABC} \cdot A’H = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{b^2 – \dfrac{a^2}{3}}$$

$$\boxed{V = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\sqrt{b^2 – \dfrac{a^2}{3}} = \dfrac{a^2\sqrt{3(3b^2 – a^2)}}{12}}$$

Dạng 4: Tính thể tích khối hộp

Phương pháp:

Bước 1: Tính diện tích đáy.

• Đáy là hình bình hành: $S = a \cdot b \cdot \sin\alpha$

Bước 2: Tính chiều cao $h$.

• Hộp đứng: $h = $ cạnh bên
• Hộp xiên: tìm hình chiếu của đỉnh trên xuống đáy

Bước 3: Áp dụng $V = Sh$.

Khi biết góc giữa cạnh bên và đáy:

• $H$ là hình chiếu của $A’$ trên $(ABCD)$
• $\widehat{A’AH}$ = góc giữa $AA’$ và $(ABCD)$
• $A’H = AA’ \cdot \sin\widehat{A’AH}$

Ví dụ 6: Cho khối hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có $AB = 6$ cm, $AD = 4$ cm, $AA’ = 5$ cm, $\widehat{BAD} = 60°$, góc giữa $AA’$ và $(ABCD)$ bằng $30°$. Tính thể tích của khối hộp.

Giải chi tiết:

Bước 1: Tính diện tích đáy.

Đáy $ABCD$ là hình bình hành với $AB = 6$ cm, $AD = 4$ cm, $\widehat{BAD} = 60°$.

$$S_{ABCD} = AB \cdot AD \cdot \sin\widehat{BAD} = 6 \cdot 4 \cdot \sin 60° = 24 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \text{ (cm}^2\text{)}$$

Bước 2: Tính chiều cao.

Gọi $H$ là hình chiếu của $A’$ trên $(ABCD)$.

Góc giữa $AA’$ và $(ABCD)$ là $\widehat{A’AH} = 30°$.

Trong tam giác vuông $A’AH$: $$A’H = AA’ \cdot \sin\widehat{A’AH} = 5 \cdot \sin 30° = 5 \cdot \dfrac{1}{2} = 2,5 \text{ (cm)}$$

Bước 3: Tính thể tích.

$$V = S_{ABCD} \cdot A’H = 12\sqrt{3} \cdot 2,5 = 30\sqrt{3} \text{ (cm}^3\text{)}$$

Kết luận: $\boxed{V = 30\sqrt{3} \text{ cm}^3}$

Dạng 5: Tính thể tích khối chóp cụt đều

Phương pháp:

Cách 1: Dùng công thức trực tiếp

$$V = \dfrac{1}{3}(S + S’ + \sqrt{SS’})h$$

Cách 2: Dùng hiệu thể tích

$$V_{\text{chóp cụt}} = V_{\text{chóp lớn}} – V_{\text{chóp nhỏ}}$$

Mẹo: Nếu cạnh đáy lớn là $a$, cạnh đáy bé là $a’$, tỉ số đồng dạng $k = \dfrac{a’}{a}$ thì:

• $\dfrac{S’}{S} = k^2$
• $\dfrac{h’}{H} = k$ (với $H$ là chiều cao chóp lớn, $h’$ là chiều cao chóp nhỏ)
• Chiều cao chóp cụt: $h = H – h’ = H(1 – k)$

Ví dụ 7: Cho khối chóp cụt đều $ABC.A’B’C’$ có đường cao $HH’ = h$, hai mặt đáy $ABC$, $A’B’C’$ có cạnh tương ứng bằng $2a$, $a$. Tính thể tích của khối chóp cụt.

Giải chi tiết:

Bước 1: Tính diện tích hai đáy.

Đáy lớn $ABC$ là tam giác đều cạnh $2a$: $$S = S_{ABC} = \dfrac{(2a)^2\sqrt{3}}{4} = a^2\sqrt{3}$$

Đáy bé $A’B’C’$ là tam giác đều cạnh $a$: $$S’ = S_{A’B’C’} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

Bước 2: Tính $\sqrt{SS’}$.

$$\sqrt{SS’} = \sqrt{a^2\sqrt{3} \cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}} = \sqrt{\dfrac{3a^4}{4}} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}$$

Bước 3: Áp dụng công thức.

$$V = \dfrac{1}{3}(S + S’ + \sqrt{SS’})h$$

$$= \dfrac{1}{3}\left(a^2\sqrt{3} + \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} + \dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}\right)h$$

$$= \dfrac{1}{3} \cdot a^2\sqrt{3}\left(1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2}\right)h$$

$$= \dfrac{1}{3} \cdot a^2\sqrt{3} \cdot \dfrac{7}{4} \cdot h$$

$$\boxed{V = \dfrac{7a^2\sqrt{3}h}{12}}$$

Ví dụ 8: Một sọt đựng đồ có dạng hình chóp cụt đều. Đáy và miệng sọt là các hình vuông tương ứng có cạnh bằng 30 cm, 60 cm, cạnh bên của sọt dài 50 cm. Tính thể tích của sọt.

Giải chi tiết:

Bước 1: Xác định các kích thước.

• Cạnh đáy bé (đáy sọt): $a’ = 30$ cm
• Cạnh đáy lớn (miệng sọt): $a = 60$ cm
• Cạnh bên: $l = 50$ cm

Bước 2: Tính chiều cao $h$.

Gọi $H$, $H’$ lần lượt là tâm của đáy lớn và đáy bé.

Gọi $M$, $M’$ lần lượt là trung điểm của một cạnh đáy lớn và cạnh đáy bé tương ứng.

Khi đó $HM$, $H’M’$ là các apothem:

• $HM = \dfrac{a}{2} = 30$ cm
• $H’M’ = \dfrac{a’}{2} = 15$ cm

Hình thang $HMM’H’$ vuông tại $H$ và $H’$ (vì $HH’ \perp$ hai đáy).

Kẻ $H’K \perp HM$, ta có: $$MK = HM – H’M’ = 30 – 15 = 15 \text{ cm}$$

Trong tam giác vuông $M’MK$: $$M’K = \sqrt{MM’^2 – MK^2} = \sqrt{50^2 – 15^2} = \sqrt{2500 – 225} = \sqrt{2275}$$

Tính $\sqrt{2275} = \sqrt{25 \cdot 91} = 5\sqrt{91} \approx 47,7$ cm

Vậy $h = H’K = M’K = 5\sqrt{91}$ cm.

Bước 3: Tính diện tích hai đáy.

$$S = 60^2 = 3600 \text{ cm}^2$$ $$S’ = 30^2 = 900 \text{ cm}^2$$ $$\sqrt{SS’} = \sqrt{3600 \cdot 900} = \sqrt{3240000} = 1800 \text{ cm}^2$$

Bước 4: Tính thể tích.

$$V = \dfrac{1}{3}(S + S’ + \sqrt{SS’})h = \dfrac{1}{3}(3600 + 900 + 1800) \cdot 5\sqrt{91}$$

$$= \dfrac{1}{3} \cdot 6300 \cdot 5\sqrt{91} = 10500\sqrt{91} \text{ cm}^3$$

$$\approx 100170 \text{ cm}^3 \approx 100,17 \text{ lít}$$

Kết luận: $\boxed{V = 10500\sqrt{91} \text{ cm}^3 \approx 100,17 \text{ lít}}$

Dạng 6: Tính thể tích khối tứ diện

Phương pháp:

Cách 1: Công thức $V = \dfrac{1}{3}Sh$

• Chọn một mặt làm đáy
• Tìm chiều cao từ đỉnh còn lại đến mặt đó

Cách 2: Tứ diện có ba cạnh đôi một vuông góc tại một đỉnh $$\boxed{V_{OABC} = \dfrac{1}{6}abc}$$ với $OA = a$, $OB = b$, $OC = c$ và $OA \perp OB$, $OB \perp OC$, $OC \perp OA$

Cách 3: Tứ diện đều cạnh $a$ $$\boxed{V = \dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}}$$

Ví dụ 9: Cho tứ diện $OABC$ có $OA$, $OB$, $OC$ đôi một vuông góc với $OA = 3$ cm, $OB = 4$ cm, $OC = 5$ cm. Tính thể tích tứ diện.

Giải chi tiết:

Bước 1: Nhận dạng.

Tứ diện có ba cạnh $OA$, $OB$, $OC$ đôi một vuông góc tại $O$.

Bước 2: Áp dụng công thức.

$$V = \dfrac{1}{6} \cdot OA \cdot OB \cdot OC = \dfrac{1}{6} \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 10 \text{ (cm}^3\text{)}$$

Kết luận: $\boxed{V = 10 \text{ cm}^3}$

Ví dụ 10: Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh $6$ cm.

Giải chi tiết:

Cách 1: Dùng công thức trực tiếp

$$V = \dfrac{a^3\sqrt{2}}{12} = \dfrac{6^3\sqrt{2}}{12} = \dfrac{216\sqrt{2}}{12} = 18\sqrt{2} \text{ (cm}^3\text{)}$$

Cách 2: Tính từ đầu

Bước 1: Xét tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a = 6$ cm.

Gọi $O$ là tâm tam giác đều $BCD$ (hình chiếu của $A$).

Bước 2: Tính $OB$.

$$OB = \dfrac{a}{\sqrt{3}} = \dfrac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \text{ cm}$$

Bước 3: Tính chiều cao $AO$.

$$AO = \sqrt{AB^2 – OB^2} = \sqrt{36 – 12} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \text{ cm}$$

Bước 4: Tính diện tích đáy.

$$S_{BCD} = \dfrac{6^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \text{ cm}^2$$

Bước 5: Tính thể tích.

$$V = \dfrac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{6} = \dfrac{18\sqrt{18}}{3} = 6 \cdot 3\sqrt{2} = 18\sqrt{2} \text{ (cm}^3\text{)}$$

Kết luận: $\boxed{V = 18\sqrt{2} \text{ cm}^3}$

Dạng 7: Bài toán thực tế

Phương pháp:

1. Mô hình hóa: xác định hình khối tương ứng
2. Xác định các kích thước cần thiết
3. Áp dụng công thức phù hợp
4. Đổi đơn vị nếu cần

Lưu ý đơn vị:

• $1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ lít}$
• $1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ lít}$
• $1 \text{ cm}^3 = 0,001 \text{ lít}$

Ví dụ 11: Khi mua máy điều hòa, bác An được hướng dẫn rằng mỗi mét khối của phòng cần công suất điều hòa khoảng 200 BTU. Căn phòng bác An cần lắp máy có dạng hình hộp chữ nhật, rộng 4 m, dài 5 m và cao 3 m. Hỏi bác An cần mua loại điều hòa có công suất bao nhiêu BTU?

Giải chi tiết:

Bước 1: Tính thể tích phòng.

Phòng có dạng hình hộp chữ nhật với:

• Chiều rộng: 4 m
• Chiều dài: 5 m
• Chiều cao: 3 m

$$V = 4 \times 5 \times 3 = 60 \text{ m}^3$$

Bước 2: Tính công suất cần thiết.

Mỗi mét khối cần 200 BTU, nên:

$$\text{Công suất} = 60 \times 200 = 12000 \text{ BTU}$$

Kết luận: Bác An cần mua loại điều hòa có công suất $\boxed{12000 \text{ BTU}}$.

Ví dụ 12: Từ một tấm tôn hình vuông có cạnh 8 dm, bác Hùng cắt bỏ bốn phần như nhau ở bốn góc, sau đó bác hàn các mép lại để được một chiếc thùng (không có nắp). Biết đáy lớn của thùng là hình vuông cạnh 6 dm, đáy bé là hình vuông cạnh 3 dm, chiều cao thùng là 1 dm.

a) Giải thích vì sao chiếc thùng có dạng hình chóp cụt.

b) Hỏi thùng có thể chứa được nhiều nhất bao nhiêu lít nước?

Giải chi tiết:

a) Giải thích:

Sau khi cắt và hàn:

• Đáy thùng (đáy lớn) là hình vuông cạnh 6 dm
• Miệng thùng (đáy bé) là hình vuông cạnh 3 dm (nhỏ hơn đáy)
• Các mặt bên là hình thang cân

Đây chính là đặc điểm của hình chóp cụt đều có đáy là hình vuông.

b) Tính thể tích:

Bước 1: Xác định các kích thước.

• $S = 6^2 = 36$ dm²
• $S’ = 3^2 = 9$ dm²
• $h = 1$ dm
• $\sqrt{SS’} = \sqrt{36 \times 9} = 18$ dm²

Bước 2: Áp dụng công thức.

$$V = \dfrac{1}{3}(S + S’ + \sqrt{SS’})h = \dfrac{1}{3}(36 + 9 + 18) \times 1 = \dfrac{63}{3} = 21 \text{ dm}^3$$

Bước 3: Đổi đơn vị.

$$V = 21 \text{ dm}^3 = 21 \text{ lít}$$

Kết luận: Thùng có thể chứa được nhiều nhất $\boxed{21 \text{ lít}}$ nước.

Tổng kết

Bảng công thức thể tích

Bảng diện tích đáy thường gặp

Bảng khoảng cách trong đa giác đều

Mẹo ghi nhớ

1. “Chóp = 1/3 Lăng trụ”: Cùng đáy, cùng chiều cao thì $V_{\text{chóp}} = \dfrac{1}{3}V_{\text{lăng trụ}}$
2. “Ba cạnh vuông góc → 1/6”: $V = \dfrac{1}{6}abc$
3. “Chóp đều → tâm đáy”: Hình chiếu của đỉnh chóp đều là tâm của đa giác đều đáy
4. “Góc cạnh bên → OA, góc mặt bên → OM”:
   • Góc cạnh bên với đáy → dùng khoảng cách từ tâm đến đỉnh
   • Góc mặt bên với đáy → dùng khoảng cách từ tâm đến cạnh
5. “Chóp cụt = Chóp lớn − Chóp nhỏ”: Có thể dùng hiệu thể tích
6. Tứ diện đều cạnh $a$:
   • Chiều cao: $h = a\sqrt{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{a\sqrt{6}}{3}$
   • Thể tích: $V = \dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}$
7. Đơn vị: $1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ lít}$, $1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ lít}$

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh