1. Khái niệm vectơ

Nhiệt độ là đại lượng chỉ có độ lớn, ta dùng một số để biểu diễn. Còn gió, lực, vận tốc,… là các đại lượng có cả hướng và độ lớn. Để biểu diễn các đại lượng này, ta dùng khái niệm vectơ.

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn thẳng, đã chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối.

Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

Kí hiệu

• Vectơ có điểm đầu $A$ và điểm cuối $B$ được kí hiệu là $\overrightarrow{AB}$, đọc là “vectơ $AB$”.
• Vectơ còn được kí hiệu là $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{x}$, $\vec{y}$,…
• Độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB}$ được kí hiệu là $|\overrightarrow{AB}|$. Độ dài của vectơ $\vec{a}$ được kí hiệu là $|\vec{a}|$.

Cách vẽ vectơ

Vẽ đoạn thẳng nối điểm đầu và điểm cuối, rồi đánh dấu mũi tên ở điểm cuối.

Ví dụ: Cho hình vuông $ABCD$ với cạnh có độ dài bằng $1$. Tính độ dài các vectơ $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{CA}$, $\overrightarrow{BD}$.

Lời giải:

Cạnh hình vuông bằng $1$ nên đường chéo có độ dài bằng $\sqrt{2}$.

$$|\overrightarrow{AC}| = AC = \sqrt{2}, \quad |\overrightarrow{CA}| = CA = \sqrt{2}, \quad |\overrightarrow{BD}| = BD = \sqrt{2}$$

2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng, bằng nhau

Giá của vectơ

Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.

Hai vectơ cùng phương

Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.

Lưu ý: Chỉ khi hai vectơ cùng phương, ta mới nói tới chúng cùng hướng hay ngược hướng.

Hai vectơ cùng hướng, ngược hướng

Đối với hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.

Hai vectơ bằng nhau

Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được gọi là bằng nhau, kí hiệu $\vec{a} = \vec{b}$, nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Điều kiện bằng nhau: Cùng phương + Cùng hướng + Cùng độ dài.

Vectơ-không

Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau (ví dụ $\overrightarrow{AA}$, $\overrightarrow{BB}$, $\overrightarrow{MM}$,…) gọi là vectơ-không.

Quy ước:

• Vectơ-không có độ dài bằng $0$.
• Vectơ-không cùng hướng (do đó cùng phương) với mọi vectơ.
• Các vectơ-không bằng nhau và được kí hiệu chung là $\vec{0}$.

Tính chất quan trọng

Với mỗi điểm $O$ và vectơ $\vec{a}$ cho trước, có duy nhất điểm $A$ sao cho $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$.

Nhận xét về ba điểm thẳng hàng

Ba điểm phân biệt $A$, $B$, $C$ thẳng hàng khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương.

Ví dụ: Cho hình chữ nhật $ABCD$. Hãy chỉ ra mối quan hệ về độ dài, phương, hướng giữa các cặp vectơ: $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$; $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$; $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$. Những cặp vectơ nào bằng nhau?

Lời giải:

• $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$: cùng độ dài và cùng hướng → $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$. ✓
• $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$: cùng độ dài nhưng ngược hướng → không bằng nhau. ✗
• $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$: cùng độ dài nhưng không cùng phương (hai đường chéo cắt nhau, không song song) → không bằng nhau. ✗

Vậy chỉ có cặp $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$.

Biểu diễn đại lượng vật lí bằng vectơ

Ta có thể dùng vectơ để biểu diễn các đại lượng có hướng như lực, vận tốc, gia tốc. Hướng của vectơ chỉ hướng của đại lượng, độ dài của vectơ thể hiện cho độ lớn của đại lượng và được lấy tỉ lệ với độ lớn.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1. Xét tính đúng/sai của các khẳng định về vectơ

Phương pháp:

• Dựa vào định nghĩa vectơ-không, cùng phương, cùng hướng, ngược hướng.
• Lưu ý: vectơ-không $\vec{0}$ cùng hướng với mọi vectơ.
• Chỉ khi hai vectơ cùng phương mới kết luận được cùng hướng hay ngược hướng. Nếu không cùng phương, không thể nói ngược hướng.
• Quan hệ “cùng phương” và “cùng hướng” có tính chất bắc cầu: nếu $\vec{a}$ cùng phương $\vec{c}$ và $\vec{b}$ cùng phương $\vec{c}$ thì $\vec{a}$ cùng phương $\vec{b}$; tương tự cho cùng hướng.

Ví dụ (Bài 4.1 SGK): Cho ba vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ đều khác $\vec{0}$. Những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ đều cùng hướng với $\vec{0}$.

b) Nếu $\vec{b}$ không cùng hướng với $\vec{a}$ thì $\vec{b}$ ngược hướng với $\vec{a}$.

c) Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều cùng phương với $\vec{c}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương.

d) Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều cùng hướng với $\vec{c}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng.

Lời giải chi tiết:

a) Đúng. Vectơ $\vec{0}$ cùng hướng với mọi vectơ theo quy ước. Nên $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ đều cùng hướng với $\vec{0}$.

b) Sai. Nếu $\vec{b}$ không cùng hướng với $\vec{a}$ thì có hai khả năng: hoặc $\vec{b}$ ngược hướng với $\vec{a}$ (khi chúng cùng phương), hoặc $\vec{b}$ không cùng phương với $\vec{a}$. Trong trường hợp không cùng phương, ta không thể nói ngược hướng. Vậy chưa thể kết luận $\vec{b}$ ngược hướng với $\vec{a}$.

c) Đúng. Nếu $\vec{a}$ cùng phương $\vec{c}$ thì giá của $\vec{a}$ song song hoặc trùng với giá của $\vec{c}$. Tương tự cho $\vec{b}$ và $\vec{c}$. Do đó giá của $\vec{a}$ và $\vec{b}$ song song hoặc trùng nhau, suy ra $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương.

d) Đúng. Nếu $\vec{a}$ cùng hướng với $\vec{c}$ thì giá của $\vec{a}$ và $\vec{c}$ song song hoặc trùng nhau, hướng trùng nhau. Tương tự cho $\vec{b}$ và $\vec{c}$. Suy ra giá của $\vec{a}$ và $\vec{b}$ song song hoặc trùng nhau, hướng trùng nhau. Vậy $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng.

Đáp án: a, c, d đúng; b sai.

Dạng 2. Xác định các vectơ cùng phương, ngược hướng, bằng nhau trên hình vẽ

Phương pháp:

• Cùng phương: giá song song hoặc trùng nhau.
• Cùng hướng: cùng phương và mũi tên chỉ cùng chiều.
• Ngược hướng: cùng phương và mũi tên chỉ ngược chiều.
• Bằng nhau: cùng hướng và cùng độ dài.

Ví dụ (Bài 4.2 SGK): Trong Hình 4.12, hãy chỉ ra các cặp vectơ cùng phương, ngược hướng và bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Quan sát Hình 4.12 trên mặt phẳng toạ độ:

• Các cặp vectơ cùng phương: $\vec{a}$ và $\vec{b}$; $\vec{b}$ và $\vec{c}$; $\vec{c}$ và $\vec{a}$.
• Các cặp vectơ ngược hướng: $\vec{a}$ và $\vec{b}$; $\vec{b}$ và $\vec{c}$.
• Cặp vectơ bằng nhau: $\vec{a} = \vec{c}$ (cùng hướng và cùng độ dài).

Dạng 3. Chứng minh tứ giác là hình bình hành bằng vectơ

Phương pháp:

Sử dụng nhận xét: Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$.

Chứng minh hai chiều:

• Chiều thuận: $ABCD$ hình bình hành → $BC \parallel AD$ và $BC = AD$ → $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AD}$ cùng độ dài, cùng hướng → $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$.
• Chiều đảo: $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$ → $BC = AD$ và $BC \parallel AD$ → $ABCD$ là hình bình hành.

Ví dụ (Bài 4.3 SGK): Chứng minh rằng tứ giác $ABCD$ là một hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$.

Lời giải chi tiết:

Chiều thuận: Giả sử $ABCD$ là hình bình hành.

Khi đó $BC \parallel AD$ và $BC = AD$. Suy ra hai vectơ $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AD}$ có cùng độ dài và cùng hướng. Do đó $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$.

Chiều đảo: Giả sử $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$.

Khi đó $BC = AD$ … (1), và hai đường thẳng $BC$, $AD$ song song hoặc trùng nhau.

Nếu hai đường thẳng $BC$, $AD$ trùng nhau thì bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ cùng nằm trên một đường thẳng — mâu thuẫn vì $ABCD$ là tứ giác.

Vậy $BC \parallel AD$ … (2).

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác $ABCD$ là hình bình hành. $\square$

Dạng 4. Liệt kê và phân nhóm các vectơ bằng nhau

Phương pháp:

• Liệt kê tất cả các vectơ khác $\vec{0}$ có điểm đầu, điểm cuối thuộc tập hợp cho trước.
• Xét từng cặp: kiểm tra cùng hướng + cùng độ dài → bằng nhau.
• Chia thành các nhóm sao cho trong mỗi nhóm các vectơ đều bằng nhau.

Ví dụ (Bài 4.4 SGK): Cho hình vuông $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại $O$. Liệt kê tập $S$ gồm tất cả các vectơ khác $\vec{0}$, có điểm đầu và điểm cuối thuộc ${A;\ B;\ C;\ D;\ O}$. Chia tập $S$ thành các nhóm vectơ bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Tập $S$ gồm các vectơ:

$$S = {\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{DC},\ \overrightarrow{BA},\ \overrightarrow{CD},\ \overrightarrow{BC},\ \overrightarrow{AD},\ \overrightarrow{CB},\ \overrightarrow{DA},\ \overrightarrow{AO},\ \overrightarrow{OC},\ \overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{CO},\ \overrightarrow{BO},\ \overrightarrow{OD},\ \overrightarrow{OB},\ \overrightarrow{DO},\ \overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{CA},\ \overrightarrow{BD},\ \overrightarrow{DB}}$$

Các nhóm vectơ bằng nhau:

• ${\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{DC}}$
• ${\overrightarrow{BA},\ \overrightarrow{CD}}$
• ${\overrightarrow{BC},\ \overrightarrow{AD}}$
• ${\overrightarrow{CB},\ \overrightarrow{DA}}$
• ${\overrightarrow{AO},\ \overrightarrow{OC}}$
• ${\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{CO}}$
• ${\overrightarrow{BO},\ \overrightarrow{OD}}$
• ${\overrightarrow{OB},\ \overrightarrow{DO}}$

(Các vectơ $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{CA}$, $\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{DB}$ mỗi cái tạo thành nhóm riêng vì không có vectơ nào khác trong tập $S$ bằng chúng.)

Dạng 5. Xét mối quan hệ giữa các vectơ trên mặt phẳng toạ độ — bài toán chuyển động

Phương pháp:

• Vẽ vectơ trên mặt phẳng toạ độ dựa vào toạ độ các điểm.
• So sánh phương, hướng, độ dài bằng tính toán toạ độ.
• Trong bài toán chuyển động: vật khởi hành từ $M$ với vận tốc $\vec{v} = \overrightarrow{OA}$ → vật đi theo đường thẳng qua $M$ có hướng là hướng $\overrightarrow{OA}$. Mỗi giờ vật đi được quãng đường bằng $|\overrightarrow{OA}|$.

Ví dụ (Bài 4.5 SGK): Trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$, vẽ các vectơ $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{MN}$ với $A(1;\ 2)$, $M(0;\ -1)$, $N(3;\ 5)$.

a) Chỉ ra mối quan hệ giữa hai vectơ trên.

b) Một vật khởi hành từ $M$ và chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu diễn bởi vectơ $\vec{v} = \overrightarrow{OA}$. Hỏi vật có đi qua $N$ không? Nếu có thì sau bao lâu?

Lời giải chi tiết:

a) Mối quan hệ.

Dựng điểm phụ $B(0;\ 2)$ và $P(0;\ 5)$.

Xét $\triangle OAB$ vuông tại $B$: $OB = 2$, $BA = 1$.

Xét $\triangle MNP$ vuông tại $P$: $MP = 5 – (-1) = 6$, $PN = 3$.

Hai tam giác vuông $OAB$ và $MNP$ đồng dạng (vì $\dfrac{MP}{OB} = \dfrac{PN}{BA} = \dfrac{6}{2} = 3$).

Do đó $\widehat{BOA} = \widehat{PMN}$, suy ra $\overrightarrow{OA} \parallel \overrightarrow{MN}$.

Hơn nữa: $|\overrightarrow{MN}| = 3|\overrightarrow{OA}|$, và hai vectơ cùng hướng (cùng hướng từ trái sang phải, từ dưới lên trên).

Vậy $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng với $\overrightarrow{OA}$ và có độ dài gấp ba lần.

b) Bài toán chuyển động.

Vì $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng với $\overrightarrow{OA}$, nên vật đi từ $M$ theo hướng $\overrightarrow{OA}$ sẽ đi qua $N$.

Mỗi giờ vật đi được quãng đường bằng $|\overrightarrow{OA}|$.

Khoảng cách $MN = |\overrightarrow{MN}| = 3|\overrightarrow{OA}|$.

Vậy sau $3$ giờ vật sẽ tới $N$.

Sai lầm thường gặp

Tổng kết

Các khái niệm cơ bản:

Quan hệ giữa hai vectơ:

Nhận xét quan trọng:

• Ba điểm $A$, $B$, $C$ phân biệt thẳng hàng $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ cùng phương.
• Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$.
• Vectơ dùng biểu diễn lực, vận tốc, gia tốc: hướng vectơ = hướng đại lượng, độ dài vectơ tỉ lệ với độ lớn.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh