Chọn đến phần học sinh cần nhanh chóng thông qua mục lục bằng cách click đến phần đó
- 1. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm
- 1.1. Công thức
- 1.2. Chú ý về dữ liệu rời rạc
- 1.3. Ý nghĩa
- 2. Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm
- Các bước tính trung vị
- Công thức
- Ý nghĩa
- 3. Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
- Công thức tứ phân vị thứ nhất $Q_1$
- Công thức tứ phân vị thứ ba $Q_3$
- Tứ phân vị thứ hai
- Ý nghĩa
- 4. Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm
- 4.1. Các bước tính mốt
- 4.2. Công thức
- 4.3. Lưu ý quan trọng
- 4.4. Ý nghĩa
- 5. Bảng tổng hợp công thức
- 6. Phương pháp giải các dạng toán
- Dạng 1: Tính số trung bình
- Dạng 2: Tính trung vị
- Dạng 3: Tính tứ phân vị
- Dạng 4: Tính mốt
- Dạng 5: Hiệu chỉnh dữ liệu rời rạc
- Dạng 6: So sánh và giải thích ý nghĩa
- Tổng hợp mẹo nhớ
Tình huống thực tiễn: Một cửa hàng đã ghi lại số tiền bán xăng cho 35 khách hàng đi xe máy. Mẫu số liệu gốc có dạng: $x_1, x_2, \ldots, x_{35}$ trong đó $x_i$ là số tiền bán xăng cho khách hàng thứ $i$. Vì một lí do nào đó, cửa hàng chỉ có mẫu số liệu ghép nhóm dạng sau:
| Số tiền (nghìn đồng) | [0; 30) | [30; 60) | [60; 90) | [90; 120) |
|---|---|---|---|---|
| Số khách hàng | 3 | 15 | 10 | 7 |
Dựa trên mẫu số liệu ghép nhóm này, làm thế nào để ước lượng các số đặc trưng đo xu thế trung tâm (số trung bình, trung vị, tứ phân vị, mốt) cho mẫu số liệu gốc?
Chúng ta cùng tìm hiểu các công thức tính các số đặc trưng cho mẫu số liệu ghép nhóm!
1. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm
1.1. Công thức
Cho mẫu số liệu ghép nhóm:
| Nhóm | $[a_1; a_2)$ | $[a_2; a_3)$ | … | $[a_k; a_{k+1})$ |
|---|---|---|---|---|
| Tần số | $m_1$ | $m_2$ | … | $m_k$ |
Công thức số trung bình:
$$\bar{x} = \dfrac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + \ldots + m_k x_k}{n}$$
Trong đó:
- $n = m_1 + m_2 + \ldots + m_k$ là cỡ mẫu
- $x_i = \dfrac{a_i + a_{i+1}}{2}$ là giá trị đại diện của nhóm $[a_i; a_{i+1})$
Ý nghĩa: Giá trị đại diện chính là trung điểm của mỗi nhóm.
1.2. Chú ý về dữ liệu rời rạc
Đối với số liệu rời rạc, người ta thường cho các nhóm dưới dạng $k_1 – k_2$, trong đó $k_1, k_2 \in \mathbb{N}$.
Nhóm $k_1 – k_2$ được hiểu là nhóm gồm các giá trị $k_1, k_1 + 1, \ldots, k_2$.
Cách hiệu chỉnh: Chuyển nhóm $k_1 – k_2$ thành nhóm $[k_1 – 0,5; k_2 + 0,5)$
Ví dụ: Bảng điểm thi môn Toán:
| Điểm thi | 1-4 | 5-7 | 8-10 |
|---|---|---|---|
| Số học sinh | 5 | 20 | 10 |
Sau khi hiệu chỉnh:
| Điểm thi | [0,5; 4,5) | [4,5; 7,5) | [7,5; 10,5] |
|---|---|---|---|
| Số học sinh | 5 | 20 | 10 |
1.3. Ý nghĩa
- Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho số trung bình của mẫu số liệu gốc
- Cho biết vị trí trung tâm của mẫu số liệu
- Có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu
Ví dụ 1: Tìm cân nặng trung bình của học sinh lớp 11D cho trong bảng sau:
| Cân nặng (kg) | [40,5; 45,5) | [45,5; 50,5) | [50,5; 55,5) | [55,5; 60,5) | [60,5; 65,5) | [65,5; 70,5) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Số học sinh | 10 | 7 | 16 | 4 | 2 | 3 |
Giải:
Bước 1: Tính giá trị đại diện của mỗi nhóm
Giá trị đại diện = Trung bình cộng của hai đầu mút
| Nhóm cân nặng | [40,5; 45,5) | [45,5; 50,5) | [50,5; 55,5) | [55,5; 60,5) | [60,5; 65,5) | [65,5; 70,5) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Giá trị đại diện $x_i$ | $\dfrac{40,5+45,5}{2}=43$ | $\dfrac{45,5+50,5}{2}=48$ | $\dfrac{50,5+55,5}{2}=53$ | $\dfrac{55,5+60,5}{2}=58$ | $\dfrac{60,5+65,5}{2}=63$ | $\dfrac{65,5+70,5}{2}=68$ |
| Tần số $m_i$ | 10 | 7 | 16 | 4 | 2 | 3 |
Bước 2: Tính cỡ mẫu
$$n = 10 + 7 + 16 + 4 + 2 + 3 = 42$$
Bước 3: Tính số trung bình
$$\bar{x} = \dfrac{10 \cdot 43 + 7 \cdot 48 + 16 \cdot 53 + 4 \cdot 58 + 2 \cdot 63 + 3 \cdot 68}{42}$$
$$= \dfrac{430 + 336 + 848 + 232 + 126 + 204}{42}$$
$$= \dfrac{2176}{42} \approx 51,81 \text{ (kg)}$$
Kết luận: Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11D là khoảng 51,81 kg.
2. Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm
Các bước tính trung vị
| Bước | Nội dung |
|---|---|
| Bước 1 | Xác định nhóm chứa trung vị (nhóm thứ $p$: $[a_p; a_{p+1})$) |
| Bước 2 | Áp dụng công thức tính trung vị |
Công thức
Công thức trung vị:
$$M_e = a_p + \dfrac{\dfrac{n}{2} – (m_1 + m_2 + \ldots + m_{p-1})}{m_p} \cdot (a_{p+1} – a_p)$$
Trong đó:
- $n$ là cỡ mẫu
- $m_p$ là tần số của nhóm $p$
- Với $p = 1$, ta quy ước $m_1 + \ldots + m_{p-1} = 0$
Cách xác định nhóm chứa trung vị: Nhóm chứa vị trí thứ $\dfrac{n}{2}$
Ý nghĩa
- Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho trung vị của mẫu số liệu gốc
- Chia mẫu số liệu thành hai phần, mỗi phần chứa 50% giá trị
Ví dụ 2: Thời gian (phút) truy cập Internet mỗi buổi tối của một số học sinh được cho trong bảng sau:
| Thời gian (phút) | [9,5; 12,5) | [12,5; 15,5) | [15,5; 18,5) | [18,5; 21,5) | [21,5; 24,5) |
|---|---|---|---|---|---|
| Số học sinh | 3 | 12 | 15 | 24 | 2 |
Tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này.
Giải:
Bước 1: Tính cỡ mẫu
$$n = 3 + 12 + 15 + 24 + 2 = 56$$
Bước 2: Xác định nhóm chứa trung vị
Trung vị nằm ở vị trí thứ $\dfrac{n}{2} = \dfrac{56}{2} = 28$
Lập bảng tần số tích lũy:
| Nhóm | [9,5; 12,5) | [12,5; 15,5) | [15,5; 18,5) | [18,5; 21,5) | [21,5; 24,5) |
|---|---|---|---|---|---|
| Tần số | 3 | 12 | 15 | 24 | 2 |
| Tần số tích lũy | 3 | 15 | 30 | 54 | 56 |
Vị trí 28 nằm trong khoảng từ 16 đến 30, tức là thuộc nhóm $[15,5; 18,5)$.
Vậy nhóm chứa trung vị là nhóm thứ $p = 3$: $[15,5; 18,5)$
Bước 3: Xác định các giá trị cần thiết
- $a_p = a_3 = 15,5$
- $a_{p+1} = a_4 = 18,5$
- $m_p = m_3 = 15$
- $m_1 + m_2 = 3 + 12 = 15$
- Độ dài nhóm: $a_4 – a_3 = 18,5 – 15,5 = 3$
Bước 4: Áp dụng công thức
$$M_e = a_3 + \dfrac{\dfrac{n}{2} – (m_1 + m_2)}{m_3} \cdot (a_4 – a_3)$$
$$= 15,5 + \dfrac{\dfrac{56}{2} – 15}{15} \cdot 3$$
$$= 15,5 + \dfrac{28 – 15}{15} \cdot 3$$
$$= 15,5 + \dfrac{13}{15} \cdot 3$$
$$= 15,5 + 2,6 = 18,1$$
Kết luận: Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là $M_e = 18,1$ phút.
3. Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
Công thức tứ phân vị thứ nhất $Q_1$
$$Q_1 = a_p + \dfrac{\dfrac{n}{4} – (m_1 + \ldots + m_{p-1})}{m_p} \cdot (a_{p+1} – a_p)$$
Cách xác định nhóm chứa $Q_1$: Nhóm chứa vị trí thứ $\dfrac{n}{4}$
Công thức tứ phân vị thứ ba $Q_3$
$$Q_3 = a_p + \dfrac{\dfrac{3n}{4} – (m_1 + \ldots + m_{p-1})}{m_p} \cdot (a_{p+1} – a_p)$$
Cách xác định nhóm chứa $Q_3$: Nhóm chứa vị trí thứ $\dfrac{3n}{4}$
Tứ phân vị thứ hai
$$Q_2 = M_e \text{ (trung vị)}$$
Ý nghĩa
- Các tứ phân vị chia mẫu số liệu thành 4 phần, mỗi phần chứa 25% giá trị
- $Q_1$: có 25% giá trị nhỏ hơn $Q_1$
- $Q_2$: có 50% giá trị nhỏ hơn $Q_2$
- $Q_3$: có 75% giá trị nhỏ hơn $Q_3$
Ví dụ 3: Tìm tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ và tứ phân vị thứ ba $Q_3$ của mẫu số liệu ghép nhóm cho trong Ví dụ 2.
Giải:
Từ Ví dụ 2, ta có: $n = 56$
Phần a) Tính tứ phân vị thứ nhất $Q_1$:
Bước 1: Xác định nhóm chứa $Q_1$
$Q_1$ nằm ở vị trí thứ $\dfrac{n}{4} = \dfrac{56}{4} = 14$
Từ bảng tần số tích lũy:
| Nhóm | [9,5; 12,5) | [12,5; 15,5) | [15,5; 18,5) | [18,5; 21,5) | [21,5; 24,5) |
|---|---|---|---|---|---|
| Tần số tích lũy | 3 | 15 | 30 | 54 | 56 |
Vị trí 14 nằm trong khoảng từ 4 đến 15, tức là thuộc nhóm $[12,5; 15,5)$.
Vậy nhóm chứa $Q_1$ là nhóm thứ $p = 2$: $[12,5; 15,5)$
Bước 2: Xác định các giá trị cần thiết
- $a_p = a_2 = 12,5$
- $a_{p+1} = a_3 = 15,5$
- $m_p = m_2 = 12$
- $m_1 = 3$
- Độ dài nhóm: $a_3 – a_2 = 15,5 – 12,5 = 3$
Bước 3: Áp dụng công thức
$$Q_1 = a_2 + \dfrac{\dfrac{n}{4} – m_1}{m_2} \cdot (a_3 – a_2)$$
$$= 12,5 + \dfrac{\dfrac{56}{4} – 3}{12} \cdot 3$$
$$= 12,5 + \dfrac{14 – 3}{12} \cdot 3$$
$$= 12,5 + \dfrac{11}{12} \cdot 3$$
$$= 12,5 + 2,75 = 15,25$$
Phần b) Tính tứ phân vị thứ ba $Q_3$:
Bước 1: Xác định nhóm chứa $Q_3$
$Q_3$ nằm ở vị trí thứ $\dfrac{3n}{4} = \dfrac{3 \cdot 56}{4} = 42$
Vị trí 42 nằm trong khoảng từ 31 đến 54, tức là thuộc nhóm $[18,5; 21,5)$.
Vậy nhóm chứa $Q_3$ là nhóm thứ $p = 4$: $[18,5; 21,5)$
Bước 2: Xác định các giá trị cần thiết
- $a_p = a_4 = 18,5$
- $a_{p+1} = a_5 = 21,5$
- $m_p = m_4 = 24$
- $m_1 + m_2 + m_3 = 3 + 12 + 15 = 30$
- Độ dài nhóm: $a_5 – a_4 = 21,5 – 18,5 = 3$
Bước 3: Áp dụng công thức
$$Q_3 = a_4 + \dfrac{\dfrac{3n}{4} – (m_1 + m_2 + m_3)}{m_4} \cdot (a_5 – a_4)$$
$$= 18,5 + \dfrac{\dfrac{3 \cdot 56}{4} – 30}{24} \cdot 3$$
$$= 18,5 + \dfrac{42 – 30}{24} \cdot 3$$
$$= 18,5 + \dfrac{12}{24} \cdot 3$$
$$= 18,5 + 1,5 = 20$$
Kết luận: $Q_1 = 15,25$ phút và $Q_3 = 20$ phút.
4. Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm
4.1. Các bước tính mốt
| Bước | Nội dung |
|---|---|
| Bước 1 | Xác định nhóm có tần số lớn nhất (nhóm chứa mốt, giả sử là nhóm $j$: $[a_j; a_{j+1})$) |
| Bước 2 | Áp dụng công thức tính mốt |
4.2. Công thức
Công thức mốt:
$$M_o = a_j + \dfrac{m_j – m_{j-1}}{(m_j – m_{j-1}) + (m_j – m_{j+1})} \cdot h$$
Trong đó:
- $m_j$ là tần số của nhóm $j$
- $m_{j-1}$, $m_{j+1}$ là tần số của nhóm trước và sau nhóm $j$
- $h$ là độ dài của nhóm
- Quy ước $m_0 = m_{k+1} = 0$
4.3. Lưu ý quan trọng
- Chỉ định nghĩa mốt cho mẫu ghép nhóm có độ dài các nhóm bằng nhau
- Khi tần số của các nhóm bằng nhau thì mẫu số liệu ghép nhóm không có mốt
- Một mẫu có thể không có mốt hoặc có nhiều hơn một mốt
4.4. Ý nghĩa
- Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho mốt của mẫu số liệu gốc
- Dùng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu
- Cho biết giá trị xuất hiện nhiều nhất (phổ biến nhất)
Ví dụ 4: Bảng số liệu ghép nhóm sau cho biết chiều cao (cm) của 50 học sinh lớp 11A.
| Khoảng chiều cao (cm) | [145; 150) | [150; 155) | [155; 160) | [160; 165) | [165; 170) |
|---|---|---|---|---|---|
| Số học sinh | 7 | 14 | 10 | 10 | 9 |
Tính mốt của mẫu số liệu ghép nhóm này. Có thể kết luận gì từ giá trị tính được?
Giải:
Bước 1: Xác định nhóm chứa mốt
Quan sát bảng tần số:
| Nhóm | [145; 150) | [150; 155) | [155; 160) | [160; 165) | [165; 170) |
|---|---|---|---|---|---|
| Tần số | 7 | 14 | 10 | 10 | 9 |
Tần số lớn nhất là 14, thuộc nhóm $[150; 155)$.
Vậy nhóm chứa mốt là nhóm thứ $j = 2$: $[150; 155)$
Bước 2: Xác định các giá trị cần thiết
- $a_j = a_2 = 150$
- $m_j = m_2 = 14$
- $m_{j-1} = m_1 = 7$
- $m_{j+1} = m_3 = 10$
- Độ dài nhóm: $h = 155 – 150 = 5$
Bước 3: Áp dụng công thức
$$M_o = a_j + \dfrac{m_j – m_{j-1}}{(m_j – m_{j-1}) + (m_j – m_{j+1})} \cdot h$$
$$= 150 + \dfrac{14 – 7}{(14 – 7) + (14 – 10)} \cdot 5$$
$$= 150 + \dfrac{7}{7 + 4} \cdot 5$$
$$= 150 + \dfrac{7}{11} \cdot 5$$
$$= 150 + 3,18 \approx 153,18$$
Kết luận: Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là $M_o \approx 153,18$ cm.
Giải thích: Số học sinh có chiều cao khoảng 153,18 cm là nhiều nhất.
5. Bảng tổng hợp công thức
| Số đặc trưng | Công thức | Ý nghĩa |
|---|---|---|
| Số trung bình $\bar{x}$ | $\dfrac{\sum m_i x_i}{n}$ với $x_i = \dfrac{a_i + a_{i+1}}{2}$ | Vị trí trung tâm của mẫu |
| Trung vị $M_e$ | $a_p + \dfrac{\frac{n}{2} – \sum_{i=1}^{p-1} m_i}{m_p} \cdot h$ | Chia mẫu thành 50% – 50% |
| Tứ phân vị $Q_1$ | $a_p + \dfrac{\frac{n}{4} – \sum_{i=1}^{p-1} m_i}{m_p} \cdot h$ | 25% giá trị nhỏ hơn $Q_1$ |
| Tứ phân vị $Q_3$ | $a_p + \dfrac{\frac{3n}{4} – \sum_{i=1}^{p-1} m_i}{m_p} \cdot h$ | 75% giá trị nhỏ hơn $Q_3$ |
| Mốt $M_o$ | $a_j + \dfrac{m_j – m_{j-1}}{(m_j – m_{j-1}) + (m_j – m_{j+1})} \cdot h$ | Giá trị phổ biến nhất |
Công thức chung cho $M_e$, $Q_1$, $Q_3$:
$$\text{Giá trị} = a_p + \dfrac{\text{Vị trí cần tìm} – \text{Tần số tích lũy trước nhóm } p}{\text{Tần số nhóm } p} \times h$$
6. Phương pháp giải các dạng toán
Dạng 1: Tính số trung bình
Phương pháp:
| Bước | Nội dung |
|---|---|
| 1 | Tính giá trị đại diện $x_i = \dfrac{a_i + a_{i+1}}{2}$ cho mỗi nhóm |
| 2 | Tính cỡ mẫu $n = m_1 + m_2 + \ldots + m_k$ |
| 3 | Tính $\bar{x} = \dfrac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + \ldots + m_k x_k}{n}$ |
Ví dụ 5: Tìm hiểu thời gian xem ti vi trong tuần trước (đơn vị: giờ) của một số học sinh thu được kết quả sau:
| Thời gian (giờ) | [0; 5) | [5; 10) | [10; 15) | [15; 20) | [20; 25) |
|---|---|---|---|---|---|
| Số học sinh | 8 | 16 | 4 | 2 | 2 |
Tính thời gian xem ti vi trung bình trong tuần trước của các bạn học sinh này.
Giải:
Bước 1: Tính giá trị đại diện của mỗi nhóm
| Nhóm | [0; 5) | [5; 10) | [10; 15) | [15; 20) | [20; 25) |
|---|---|---|---|---|---|
| Giá trị đại diện $x_i$ | $\dfrac{0+5}{2}=2,5$ | $\dfrac{5+10}{2}=7,5$ | $\dfrac{10+15}{2}=12,5$ | $\dfrac{15+20}{2}=17,5$ | $\dfrac{20+25}{2}=22,5$ |
| Tần số $m_i$ | 8 | 16 | 4 | 2 | 2 |
Bước 2: Tính cỡ mẫu
$$n = 8 + 16 + 4 + 2 + 2 = 32$$
Bước 3: Tính số trung bình
$$\bar{x} = \dfrac{8 \cdot 2,5 + 16 \cdot 7,5 + 4 \cdot 12,5 + 2 \cdot 17,5 + 2 \cdot 22,5}{32}$$
$$= \dfrac{20 + 120 + 50 + 35 + 45}{32}$$
$$= \dfrac{270}{32} = 8,4375 \approx 8,44 \text{ (giờ)}$$
Kết luận: Thời gian xem ti vi trung bình trong tuần trước của các bạn học sinh là khoảng 8,44 giờ.
Dạng 2: Tính trung vị
Phương pháp:
| Bước | Nội dung |
|---|---|
| 1 | Tính cỡ mẫu $n$ |
| 2 | Lập bảng tần số tích lũy |
| 3 | Xác định nhóm chứa vị trí $\dfrac{n}{2}$ (nhóm $p$) |
| 4 | Áp dụng công thức: $M_e = a_p + \dfrac{\frac{n}{2} – (m_1 + \ldots + m_{p-1})}{m_p} \cdot h$ |
Ví dụ 6: Ghi lại tốc độ bóng trong 200 lần giao bóng của một vận động viên môn quần vợt cho kết quả như bảng sau:
| Tốc độ $v$ (km/h) | $150 \leq v < 155$ | $155 \leq v < 160$ | $160 \leq v < 165$ | $165 \leq v < 170$ | $170 \leq v < 175$ | $175 \leq v < 180$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Số lần | 18 | 28 | 35 | 43 | 41 | 35 |
Tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này.
Giải:
Bước 1: Tính cỡ mẫu
$$n = 18 + 28 + 35 + 43 + 41 + 35 = 200$$
Bước 2: Lập bảng tần số tích lũy
| Nhóm | [150; 155) | [155; 160) | [160; 165) | [165; 170) | [170; 175) | [175; 180) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Tần số | 18 | 28 | 35 | 43 | 41 | 35 |
| Tần số tích lũy | 18 | 46 | 81 | 124 | 165 | 200 |
Bước 3: Xác định nhóm chứa trung vị
Trung vị nằm ở vị trí thứ $\dfrac{n}{2} = \dfrac{200}{2} = 100$
Vị trí 100 nằm trong khoảng từ 82 đến 124, tức là thuộc nhóm $[165; 170)$.
Vậy nhóm chứa trung vị là nhóm thứ $p = 4$: $[165; 170)$
Bước 4: Xác định các giá trị cần thiết
- $a_p = a_4 = 165$
- $a_{p+1} = a_5 = 170$
- $m_p = m_4 = 43$
- $m_1 + m_2 + m_3 = 18 + 28 + 35 = 81$
- Độ dài nhóm: $h = 170 – 165 = 5$
Bước 5: Áp dụng công thức
$$M_e = a_4 + \dfrac{\dfrac{n}{2} – (m_1 + m_2 + m_3)}{m_4} \cdot h$$
$$= 165 + \dfrac{\dfrac{200}{2} – 81}{43} \cdot 5$$
$$= 165 + \dfrac{100 – 81}{43} \cdot 5$$
$$= 165 + \dfrac{19}{43} \cdot 5$$
$$= 165 + 2,21 \approx 167,21$$
Kết luận: Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là $M_e \approx 167,21$ km/h.
Dạng 3: Tính tứ phân vị
Phương pháp:
| Bước | Nội dung |
|---|---|
| 1 | Tính cỡ mẫu $n$ |
| 2 | Lập bảng tần số tích lũy |
| 3 | Xác định nhóm chứa $Q_1$ (chứa vị trí $\dfrac{n}{4}$) và nhóm chứa $Q_3$ (chứa vị trí $\dfrac{3n}{4}$) |
| 4 | Áp dụng công thức tương ứng |
Mẹo: Tứ phân vị thứ $r$ có khoảng $\dfrac{r \cdot n}{4}$ giá trị nhỏ hơn nó
Ví dụ 7: Tìm tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ và tứ phân vị thứ ba $Q_3$ cho mẫu số liệu ghép nhóm ở Ví dụ 6.
Giải:
Từ Ví dụ 6, ta có: $n = 200$
Phần a) Tính tứ phân vị thứ nhất $Q_1$:
Bước 1: Xác định nhóm chứa $Q_1$
$Q_1$ nằm ở vị trí thứ $\dfrac{n}{4} = \dfrac{200}{4} = 50$
Từ bảng tần số tích lũy:
| Nhóm | [150; 155) | [155; 160) | [160; 165) | [165; 170) | [170; 175) | [175; 180) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Tần số tích lũy | 18 | 46 | 81 | 124 | 165 | 200 |
Vị trí 50 nằm trong khoảng từ 47 đến 81, tức là thuộc nhóm $[160; 165)$.
Vậy nhóm chứa $Q_1$ là nhóm thứ $p = 3$: $[160; 165)$
Bước 2: Xác định các giá trị cần thiết
- $a_p = a_3 = 160$
- $m_p = m_3 = 35$
- $m_1 + m_2 = 18 + 28 = 46$
- Độ dài nhóm: $h = 5$
Bước 3: Áp dụng công thức
$$Q_1 = a_3 + \dfrac{\dfrac{n}{4} – (m_1 + m_2)}{m_3} \cdot h$$
$$= 160 + \dfrac{50 – 46}{35} \cdot 5$$
$$= 160 + \dfrac{4}{35} \cdot 5$$
$$= 160 + 0,57 \approx 160,57$$
Phần b) Tính tứ phân vị thứ ba $Q_3$:
Bước 1: Xác định nhóm chứa $Q_3$
$Q_3$ nằm ở vị trí thứ $\dfrac{3n}{4} = \dfrac{3 \cdot 200}{4} = 150$
Vị trí 150 nằm trong khoảng từ 125 đến 165, tức là thuộc nhóm $[170; 175)$.
Vậy nhóm chứa $Q_3$ là nhóm thứ $p = 5$: $[170; 175)$
Bước 2: Xác định các giá trị cần thiết
- $a_p = a_5 = 170$
- $m_p = m_5 = 41$
- $m_1 + m_2 + m_3 + m_4 = 18 + 28 + 35 + 43 = 124$
- Độ dài nhóm: $h = 5$
Bước 3: Áp dụng công thức
$$Q_3 = a_5 + \dfrac{\dfrac{3n}{4} – (m_1 + m_2 + m_3 + m_4)}{m_5} \cdot h$$
$$= 170 + \dfrac{150 – 124}{41} \cdot 5$$
$$= 170 + \dfrac{26}{41} \cdot 5$$
$$= 170 + 3,17 \approx 173,17$$
Kết luận: $Q_1 \approx 160,57$ km/h và $Q_3 \approx 173,17$ km/h.
Dạng 4: Tính mốt
Phương pháp:
| Bước | Nội dung |
|---|---|
| 1 | Kiểm tra các nhóm có độ dài bằng nhau không |
| 2 | Xác định nhóm có tần số lớn nhất (nhóm $j$) |
| 3 | Xác định $m_{j-1}$, $m_j$, $m_{j+1}$ và độ dài nhóm $h$ |
| 4 | Áp dụng: $M_o = a_j + \dfrac{m_j – m_{j-1}}{(m_j – m_{j-1}) + (m_j – m_{j+1})} \cdot h$ |
Ví dụ 8: Thời gian (phút) để học sinh hoàn thành một câu hỏi thi được cho như sau:
| Thời gian (phút) | [0,5; 10,5) | [10,5; 20,5) | [20,5; 30,5) | [30,5; 40,5) | [40,5; 50,5) |
|---|---|---|---|---|---|
| Số học sinh | 2 | 10 | 6 | 4 | 3 |
Tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm này.
Giải:
Bước 1: Kiểm tra độ dài các nhóm
- Nhóm 1: $10,5 – 0,5 = 10$
- Nhóm 2: $20,5 – 10,5 = 10$
- Nhóm 3: $30,5 – 20,5 = 10$
- Nhóm 4: $40,5 – 30,5 = 10$
- Nhóm 5: $50,5 – 40,5 = 10$
Các nhóm có độ dài bằng nhau ($h = 10$) → Có thể tính mốt.
Bước 2: Xác định nhóm chứa mốt
| Nhóm | [0,5; 10,5) | [10,5; 20,5) | [20,5; 30,5) | [30,5; 40,5) | [40,5; 50,5) |
|---|---|---|---|---|---|
| Tần số | 2 | 10 | 6 | 4 | 3 |
Tần số lớn nhất là 10, thuộc nhóm $[10,5; 20,5)$.
Vậy nhóm chứa mốt là nhóm thứ $j = 2$: $[10,5; 20,5)$
Bước 3: Xác định các giá trị cần thiết
- $a_j = a_2 = 10,5$
- $m_j = m_2 = 10$
- $m_{j-1} = m_1 = 2$
- $m_{j+1} = m_3 = 6$
- Độ dài nhóm: $h = 10$
Bước 4: Áp dụng công thức
$$M_o = a_j + \dfrac{m_j – m_{j-1}}{(m_j – m_{j-1}) + (m_j – m_{j+1})} \cdot h$$
$$= 10,5 + \dfrac{10 – 2}{(10 – 2) + (10 – 6)} \cdot 10$$
$$= 10,5 + \dfrac{8}{8 + 4} \cdot 10$$
$$= 10,5 + \dfrac{8}{12} \cdot 10$$
$$= 10,5 + 6,67 \approx 17,17$$
Kết luận: Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là $M_o \approx 17,17$ phút.
Dạng 5: Hiệu chỉnh dữ liệu rời rạc
Phương pháp:
| Bước | Nội dung |
|---|---|
| 1 | Nhận biết dữ liệu rời rạc dạng $k_1 – k_2$ |
| 2 | Hiệu chỉnh: $k_1 – k_2 \rightarrow [k_1 – 0,5; k_2 + 0,5)$ |
| 3 | Tính các số đặc trưng với mẫu đã hiệu chỉnh |
Ví dụ 9: Điểm thi môn Toán (thang điểm 100, điểm được làm tròn đến 1) của 60 thí sinh được cho trong bảng sau:
| Điểm | 0-9 | 10-19 | 20-29 | 30-39 | 40-49 | 50-59 | 60-69 | 70-79 | 80-89 | 90-99 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Số thí sinh | 1 | 2 | 4 | 6 | 15 | 12 | 10 | 6 | 3 | 1 |
a) Hiệu chỉnh để thu được mẫu số liệu ghép nhóm.
b) Tìm các tứ phân vị và giải thích ý nghĩa của chúng.
Giải:
a) Hiệu chỉnh dữ liệu:
Áp dụng quy tắc: $k_1 – k_2 \rightarrow [k_1 – 0,5; k_2 + 0,5)$
| Điểm gốc | 0-9 | 10-19 | 20-29 | 30-39 | 40-49 | 50-59 | 60-69 | 70-79 | 80-89 | 90-99 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Sau hiệu chỉnh | [-0,5; 9,5) | [9,5; 19,5) | [19,5; 29,5) | [29,5; 39,5) | [39,5; 49,5) | [49,5; 59,5) | [59,5; 69,5) | [69,5; 79,5) | [79,5; 89,5) | [89,5; 99,5) |
| Số thí sinh | 1 | 2 | 4 | 6 | 15 | 12 | 10 | 6 | 3 | 1 |
b) Tìm các tứ phân vị:
Bước 1: Tính cỡ mẫu và lập bảng tần số tích lũy
$$n = 1 + 2 + 4 + 6 + 15 + 12 + 10 + 6 + 3 + 1 = 60$$
| Nhóm | [-0,5; 9,5) | [9,5; 19,5) | [19,5; 29,5) | [29,5; 39,5) | [39,5; 49,5) | [49,5; 59,5) | [59,5; 69,5) | [69,5; 79,5) | [79,5; 89,5) | [89,5; 99,5) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Tần số | 1 | 2 | 4 | 6 | 15 | 12 | 10 | 6 | 3 | 1 |
| Tần số tích lũy | 1 | 3 | 7 | 13 | 28 | 40 | 50 | 56 | 59 | 60 |
Bước 2: Tính $Q_1$
$Q_1$ nằm ở vị trí thứ $\dfrac{n}{4} = \dfrac{60}{4} = 15$
Vị trí 15 nằm trong khoảng từ 14 đến 28, tức là thuộc nhóm $[39,5; 49,5)$ (nhóm thứ 5).
$$Q_1 = 39,5 + \dfrac{15 – 13}{15} \cdot 10 = 39,5 + \dfrac{2}{15} \cdot 10 = 39,5 + 1,33 \approx 40,83$$
Bước 3: Tính $Q_2$ (trung vị)
$Q_2$ nằm ở vị trí thứ $\dfrac{n}{2} = \dfrac{60}{2} = 30$
Vị trí 30 nằm trong khoảng từ 29 đến 40, tức là thuộc nhóm $[49,5; 59,5)$ (nhóm thứ 6).
$$Q_2 = 49,5 + \dfrac{30 – 28}{12} \cdot 10 = 49,5 + \dfrac{2}{12} \cdot 10 = 49,5 + 1,67 \approx 51,17$$
Bước 4: Tính $Q_3$
$Q_3$ nằm ở vị trí thứ $\dfrac{3n}{4} = \dfrac{3 \cdot 60}{4} = 45$
Vị trí 45 nằm trong khoảng từ 41 đến 50, tức là thuộc nhóm $[59,5; 69,5)$ (nhóm thứ 7).
$$Q_3 = 59,5 + \dfrac{45 – 40}{10} \cdot 10 = 59,5 + \dfrac{5}{10} \cdot 10 = 59,5 + 5 = 64,5$$
Kết luận:
- $Q_1 \approx 40,83$ điểm
- $Q_2 \approx 51,17$ điểm
- $Q_3 = 64,5$ điểm
Giải thích ý nghĩa:
- Có khoảng 25% thí sinh đạt điểm dưới 40,83 (tức 75% thí sinh đạt điểm từ 40,83 trở lên)
- Có khoảng 50% thí sinh đạt điểm dưới 51,17
- Có khoảng 75% thí sinh đạt điểm dưới 64,5 (tức 25% thí sinh đạt điểm từ 64,5 trở lên)
Dạng 6: So sánh và giải thích ý nghĩa
Phương pháp:
| Nội dung | Cách giải thích |
|---|---|
| So sánh $\bar{x}$ giữa các nhóm | Nhóm nào có $\bar{x}$ lớn hơn → trung bình cao hơn |
| Giải thích $M_e$ | Có 50% giá trị nhỏ hơn $M_e$ |
| Giải thích $Q_1$ | Có 25% giá trị nhỏ hơn $Q_1$, hay 75% giá trị ≥ $Q_1$ |
| Giải thích $Q_3$ | Có 75% giá trị nhỏ hơn $Q_3$, hay 25% giá trị ≥ $Q_3$ |
| Giải thích $M_o$ | Giá trị xuất hiện nhiều nhất (phổ biến nhất) |
Ví dụ 10: Phỏng vấn một số học sinh khối 11 về thời gian (giờ) ngủ của một buổi tối, thu được bảng số liệu sau:
| Thời gian (giờ) | [4; 5) | [5; 6) | [6; 7) | [7; 8) | [8; 9) |
|---|---|---|---|---|---|
| Số học sinh nam | 6 | 10 | 13 | 9 | 7 |
| Số học sinh nữ | 4 | 8 | 10 | 11 | 8 |
a) So sánh thời gian ngủ trung bình của các bạn học sinh nam và nữ.
b) Hãy cho biết 75% học sinh khối 11 ngủ ít nhất bao nhiêu giờ.
Giải:
a) So sánh thời gian ngủ trung bình:
Tính giá trị đại diện:
| Nhóm | [4; 5) | [5; 6) | [6; 7) | [7; 8) | [8; 9) |
|---|---|---|---|---|---|
| Giá trị đại diện $x_i$ | 4,5 | 5,5 | 6,5 | 7,5 | 8,5 |
Tính thời gian ngủ trung bình của học sinh nam:
$$n_{nam} = 6 + 10 + 13 + 9 + 7 = 45$$
$$\bar{x}_{nam} = \dfrac{6 \cdot 4,5 + 10 \cdot 5,5 + 13 \cdot 6,5 + 9 \cdot 7,5 + 7 \cdot 8,5}{45}$$
$$= \dfrac{27 + 55 + 84,5 + 67,5 + 59,5}{45} = \dfrac{293,5}{45} \approx 6,52 \text{ (giờ)}$$
Tính thời gian ngủ trung bình của học sinh nữ:
$$n_{nữ} = 4 + 8 + 10 + 11 + 8 = 41$$
$$\bar{x}_{nữ} = \dfrac{4 \cdot 4,5 + 8 \cdot 5,5 + 10 \cdot 6,5 + 11 \cdot 7,5 + 8 \cdot 8,5}{41}$$
$$= \dfrac{18 + 44 + 65 + 82,5 + 68}{41} = \dfrac{277,5}{41} \approx 6,77 \text{ (giờ)}$$
So sánh: \bar{x}_{nữ} \approx 6,77 > \bar{x}_{nam} \approx 6,52$
Kết luận: Thời gian ngủ trung bình của học sinh nữ cao hơn học sinh nam khoảng $6,77 – 6,52 = 0,25$ giờ (tức 15 phút).
b) Tìm 75% học sinh ngủ ít nhất bao nhiêu giờ:
“75% học sinh ngủ ít nhất bao nhiêu giờ” tức là tìm $Q_1$ (vì 75% giá trị ≥ $Q_1$).
Gộp dữ liệu hai giới:
| Thời gian (giờ) | [4; 5) | [5; 6) | [6; 7) | [7; 8) | [8; 9) |
|---|---|---|---|---|---|
| Tổng số học sinh | $6+4=10$ | $10+8=18$ | $13+10=23$ | $9+11=20$ | $7+8=15$ |
| Tần số tích lũy | 10 | 28 | 51 | 71 | 86 |
$$n = 45 + 41 = 86$$
Tìm $Q_1$:
$Q_1$ nằm ở vị trí thứ $\dfrac{n}{4} = \dfrac{86}{4} = 21,5$
Vị trí 21,5 nằm trong khoảng từ 11 đến 28, tức là thuộc nhóm $[5; 6)$ (nhóm thứ 2).
$$Q_1 = 5 + \dfrac{21,5 – 10}{18} \cdot 1 = 5 + \dfrac{11,5}{18} = 5 + 0,64 \approx 5,64$$
Kết luận: 75% học sinh khối 11 ngủ ít nhất khoảng 5,64 giờ (tức khoảng 5 giờ 38 phút) mỗi đêm.
Tổng hợp mẹo nhớ
| Nội dung | Mẹo |
|---|---|
| Giá trị đại diện | Trung điểm của nhóm: $x_i = \dfrac{a_i + a_{i+1}}{2}$ |
| Nhóm chứa $M_e$ | Chứa vị trí thứ $\dfrac{n}{2}$ |
| Nhóm chứa $Q_1$ | Chứa vị trí thứ $\dfrac{n}{4}$ |
| Nhóm chứa $Q_3$ | Chứa vị trí thứ $\dfrac{3n}{4}$ |
| Nhóm chứa mốt | Nhóm có tần số lớn nhất |
| Hiệu chỉnh dữ liệu rời rạc | $k_1 – k_2 \rightarrow [k_1 – 0,5; k_2 + 0,5)$ |
| Công thức chung | $\text{Giá trị} = a_p + \dfrac{\text{Vị trí} – \text{Tần số tích lũy trước}}{\text{Tần số nhóm}} \times h$ |
| Điều kiện tính mốt | Các nhóm phải có độ dài bằng nhau |
| 75% giá trị ≥ … | Tìm $Q_1$ |
| 25% giá trị ≥ … | Tìm $Q_3$ |
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh