Lý thuyết trọng tâm

1. Định nghĩa cấp số cộng

1.1. Tình huống mở đầu

Một nhà hát có $25$ hàng ghế với $16$ ghế ở hàng thứ nhất, $18$ ghế ở hàng thứ hai, $20$ ghế ở hàng thứ ba, và cứ tiếp tục theo quy luật đó (hàng sau nhiều hơn hàng liền trước $2$ ghế). Tính tổng số ghế của nhà hát.

Dãy số biểu diễn số ghế theo từng hàng $16, 18, 20, 22, \ldots$ có một đặc điểm: hiệu giữa hai số hạng liên tiếp luôn bằng $2$. Đây chính là ví dụ điển hình của cấp số cộng.

1.2. Định nghĩa

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi $d$. Số $d$ được gọi là công sai của cấp số cộng.

Cấp số cộng $(u_n)$ với công sai $d$ được cho bởi hệ thức truy hồi:

$$\boxed{u_n = u_{n-1} + d \quad \text{với } n \geq 2}$$

Câu hỏi kiểm tra hiểu: Dãy số không đổi $a, a, a, \ldots$ có phải cấp số cộng không? Trả lời: Có, đó là cấp số cộng với công sai $d = 0$.

Nhận xét quan trọng: Để kiểm tra một dãy số có phải cấp số cộng không, ta xét hiệu $u_n – u_{n-1}$. Nếu hiệu này là một hằng số (không phụ thuộc $n$), thì đó là cấp số cộng.

1.3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 3$ và công sai $d = 4$. Hãy viết năm số hạng đầu của cấp số cộng này.

Lời giải:

Áp dụng hệ thức truy hồi $u_n = u_{n-1} + d$:

• $u_1 = 3$
• $u_2 = u_1 + d = 3 + 4 = 7$
• $u_3 = u_2 + d = 7 + 4 = 11$
• $u_4 = u_3 + d = 11 + 4 = 15$
• $u_5 = u_4 + d = 15 + 4 = 19$

Vậy năm số hạng đầu là $3, 7, 11, 15, 19$.

Ví dụ 2. Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = 7n – 2$. Chứng minh rằng $(u_n)$ là một cấp số cộng. Tìm số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ của nó.

Ý tưởng: Để chứng minh $(u_n)$ là cấp số cộng, ta chứng minh hiệu $u_n – u_{n-1}$ là hằng số.

Lời giải:

Với mọi $n \geq 2$, ta có:

$$u_n – u_{n-1} = (7n – 2) – [7(n-1) – 2] = 7n – 2 – 7n + 7 + 2 = 7$$

Vì $u_n – u_{n-1} = 7$ không phụ thuộc vào $n$, nên $(u_n)$ là một cấp số cộng.

• Số hạng đầu: $u_1 = 7 \cdot 1 – 2 = 5$.
• Công sai: $d = 7$.

2. Số hạng tổng quát

2.1. Công thức số hạng tổng quát

Từ hệ thức truy hồi $u_n = u_{n-1} + d$, ta có:

• $u_2 = u_1 + d$
• $u_3 = u_2 + d = u_1 + 2d$
• $u_4 = u_3 + d = u_1 + 3d$
• $\ldots$

Tổng quát, ta có công thức:

$$\boxed{u_n = u_1 + (n – 1) \cdot d}$$

Giải thích ý nghĩa công thức: Từ $u_1$ đến $u_n$, ta đã “cộng thêm $d$” tổng cộng $(n – 1)$ lần, nên $u_n$ bằng $u_1$ cộng $(n – 1) \cdot d$.

Lưu ý: Hệ số là $(n – 1)$, không phải $n$. Rất nhiều học sinh nhầm lẫn chỗ này.

2.2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 3. Tìm năm số hạng đầu và số hạng thứ $100$ của cấp số cộng $(u_n)$: $12, 7, 2, \ldots$

Lời giải:

Bước 1: Xác định $u_1$ và $d$.

• Số hạng đầu: $u_1 = 12$.
• Công sai: $d = 7 – 12 = -5$ (kiểm tra: $2 – 7 = -5$ ✓).

Bước 2: Viết năm số hạng đầu.

Dùng $u_n = u_{n-1} + d$:

$$12; \ 7; \ 2; \ -3; \ -8$$

Bước 3: Tính số hạng thứ $100$.

$$u_{100} = u_1 + (100 – 1) \cdot d = 12 + 99 \cdot (-5) = 12 – 495 = -483$$

Vậy $u_{100} = -483$.

Ví dụ 4. Số hạng thứ $8$ của một cấp số cộng $(u_n)$ bằng $36$ và số hạng thứ $15$ bằng $71$. Tìm số hạng thứ $100$ của cấp số cộng đó.

Lời giải:

Bước 1: Lập hệ phương trình.

Theo công thức $u_n = u_1 + (n – 1) \cdot d$:

$$\begin{cases} u_8 = u_1 + 7d = 36 \\ u_{15} = u_1 + 14d = 71 \end{cases}$$

Bước 2: Giải hệ.

Lấy phương trình $(2)$ trừ phương trình $(1)$:

$$(u_1 + 14d) – (u_1 + 7d) = 71 – 36 \Leftrightarrow 7d = 35 \Leftrightarrow d = 5$$

Thay $d = 5$ vào phương trình $(1)$: $u_1 + 7 \cdot 5 = 36 \Rightarrow u_1 = 1$.

Bước 3: Tính $u_{100}$.

$$u_{100} = u_1 + 99d = 1 + 99 \cdot 5 = 1 + 495 = 496$$

Vậy số hạng thứ $100$ là $u_{100} = 496$.

3. Tổng $n$ số hạng đầu của một cấp số cộng

3.1. Xây dựng công thức

Cho cấp số cộng $(u_n)$ với công sai $d$. Đặt:

$$S_n = u_1 + u_2 + \ldots + u_{n-1} + u_n$$

Để tính $S_n$, ta thực hiện mẹo Gauss: viết $S_n$ theo thứ tự ngược lại và cộng từng vế:

$$S_n = u_1 + u_2 + \ldots + u_{n-1} + u_n$$

$$S_n = u_n + u_{n-1} + \ldots + u_2 + u_1$$

Cộng hai vế, mỗi cặp $(u_k + u_{n+1-k})$ đều bằng $u_1 + u_n$ (vì $u_1 + u_n = u_2 + u_{n-1} = \ldots$). Do đó:

$$2S_n = n(u_1 + u_n) \Rightarrow S_n = \dfrac{n(u_1 + u_n)}{2}$$

Sử dụng $u_n = u_1 + (n – 1) d$:

$$\boxed{S_n = \dfrac{n}{2} \cdot \left[2u_1 + (n – 1) \cdot d\right] = \dfrac{n(u_1 + u_n)}{2}}$$

Cách nhớ: $S_n$ bằng $n$ nhân với trung bình cộng của số hạng đầu và số hạng cuối: $S_n = n \cdot \dfrac{u_1 + u_n}{2}$.

3.2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 5. (Giải bài toán ở tình huống mở đầu) Tính tổng số ghế của nhà hát có $25$ hàng ghế, với $16$ ghế ở hàng đầu và hàng sau nhiều hơn hàng trước $2$ ghế.

Lời giải:

Số ghế ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với:

• Số hạng đầu $u_1 = 16$.
• Công sai $d = 2$.
• Số hạng $n = 25$.

Áp dụng công thức tổng:

$$S_{25} = \dfrac{25}{2} \cdot \left[2 \cdot 16 + (25 – 1) \cdot 2\right] = \dfrac{25}{2} \cdot [32 + 48] = \dfrac{25 \cdot 80}{2} = 1000$$

Vậy nhà hát có tổng cộng $1000$ ghế.

Ví dụ 6. Cần lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng $3, 7, 11, \ldots$ để được kết quả bằng $465$?

Lời giải:

Bước 1: Xác định $u_1$ và $d$.

• $u_1 = 3$; $d = 7 – 3 = 4$.

Bước 2: Lập phương trình.

Gọi $n$ là số các số hạng đầu cần lấy tổng. Theo công thức:

$$S_n = \dfrac{n}{2} \cdot \left[2u_1 + (n-1)d\right] = \dfrac{n}{2} \cdot [2 \cdot 3 + (n-1) \cdot 4] = \dfrac{n}{2} \cdot (6 + 4n – 4) = \dfrac{n}{2} \cdot (4n + 2) = n(2n + 1)$$

Vậy $S_n = 2n^2 + n$. Đặt $S_n = 465$:

$$2n^2 + n = 465 \Leftrightarrow 2n^2 + n – 465 = 0$$

Bước 3: Giải phương trình bậc hai.

$\Delta = 1^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-465) = 1 + 3720 = 3721 = 61^2$.

$$n = \dfrac{-1 + 61}{4} = 15 \quad \text{(nhận)}; \quad n = \dfrac{-1 – 61}{4} = -\dfrac{31}{2} \quad \text{(loại)}$$

Vậy phải lấy tổng của $15$ số hạng đầu.

Kiểm tra: $S_{15} = 15(2 \cdot 15 + 1) = 15 \cdot 31 = 465$ ✓

3.3. Vận dụng thực tế

Anh Nam được nhận vào làm việc ở một công ty công nghệ với mức lương khởi điểm là $100$ triệu đồng/năm. Công ty sẽ tăng thêm lương mỗi năm $20$ triệu đồng. Tính tổng số tiền lương mà anh Nam nhận được sau $10$ năm làm việc.

Lời giải:

Số tiền lương mỗi năm lập thành cấp số cộng với $u_1 = 100$, $d = 20$, $n = 10$ (số hạng):

$$S_{10} = \dfrac{10}{2} \cdot [2 \cdot 100 + (10 – 1) \cdot 20] = 5 \cdot [200 + 180] = 5 \cdot 380 = 1900 \text{ (triệu đồng)}$$

Vậy tổng tiền lương anh Nam nhận sau $10$ năm là $1900$ triệu đồng (tức $1{,}9$ tỷ đồng).

Các dạng bài tập trọng tâm

Dạng 1: Chứng minh một dãy số $(u_n)$ là cấp số cộng

Phương pháp giải:

Để chứng minh dãy số $(u_n)$ là một cấp số cộng, ta xét hiệu:

$$A = u_{n+1} – u_n$$

• Nếu $A$ là hằng số (không phụ thuộc $n$) thì $(u_n)$ là cấp số cộng với công sai $d = A$.
• Nếu $A$ phụ thuộc vào $n$ thì $(u_n)$ không phải cấp số cộng.

Mẹo thực hành: Thay vì xét $u_{n+1} – u_n$, có thể xét $u_n – u_{n-1}$ với $n \geq 2$ — cả hai cách đều đúng.

Bài 1. Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = -2n + 3$. Chứng minh rằng $(u_n)$ là một cấp số cộng. Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng này.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tính hiệu $u_n – u_{n-1}$.

Với mọi $n \geq 2$:

$$u_n – u_{n-1} = (-2n + 3) – [-2(n-1) + 3]$$

$$= -2n + 3 – (-2n + 2 + 3) = -2n + 3 + 2n – 5 = -2$$

Bước 2: Kết luận.

Vì $u_n – u_{n-1} = -2$ không phụ thuộc $n$ nên $(u_n)$ là một cấp số cộng.

Bước 3: Xác định $u_1$ và $d$.

• Số hạng đầu: $u_1 = -2 \cdot 1 + 3 = 1$.
• Công sai: $d = -2$.

Bài 2. Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = 4n – 3$. Chứng minh rằng $(u_n)$ là một cấp số cộng. Xác định số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$. Từ đó viết số hạng tổng quát $u_n$ dưới dạng $u_n = u_1 + (n – 1) \cdot d$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tính hiệu $u_n – u_{n-1}$.

Với mọi $n \geq 2$:

$$u_n – u_{n-1} = (4n – 3) – [4(n-1) – 3] = 4n – 3 – 4n + 4 + 3 = 4$$

Bước 2: Kết luận.

Vì $u_n – u_{n-1} = 4$ không phụ thuộc $n$ nên $(u_n)$ là một cấp số cộng.

Bước 3: Xác định $u_1$ và $d$, viết số hạng tổng quát.

• Số hạng đầu: $u_1 = 4 \cdot 1 – 3 = 1$.
• Công sai: $d = 4$.

Số hạng tổng quát theo dạng chuẩn:

$$u_n = u_1 + (n – 1) \cdot d = 1 + 4(n – 1)$$

Kiểm tra: Khai triển $1 + 4(n-1) = 1 + 4n – 4 = 4n – 3$ ✓.

Bài 3. Xác định công sai, số hạng thứ $5$, số hạng tổng quát và số hạng thứ $100$ của mỗi cấp số cộng sau:

a) $4, 9, 14, 19, \ldots$

b) $1, -1, -3, -5, \ldots$

Lời giải chi tiết:

a) Cấp số cộng $4, 9, 14, 19, \ldots$

• Công sai: $d = 9 – 4 = 5$ (kiểm tra: $14 – 9 = 5$, $19 – 14 = 5$ ✓).
• Số hạng đầu: $u_1 = 4$.
• Số hạng tổng quát: $u_n = u_1 + (n – 1) \cdot d = 4 + 5(n – 1)$.
• Số hạng thứ $5$: $u_5 = 4 + 5(5 – 1) = 4 + 20 = 24$.
• Số hạng thứ $100$: $u_{100} = 4 + 5(100 – 1) = 4 + 495 = 499$.

b) Cấp số cộng $1, -1, -3, -5, \ldots$

• Công sai: $d = -1 – 1 = -2$ (kiểm tra: $-3 – (-1) = -2$, $-5 – (-3) = -2$ ✓).
• Số hạng đầu: $u_1 = 1$.
• Số hạng tổng quát: $u_n = u_1 + (n – 1) \cdot d = 1 + (-2)(n – 1) = 1 – 2(n – 1)$.
• Số hạng thứ $5$: $u_5 = 1 + (-2)(5 – 1) = 1 – 8 = -7$.
• Số hạng thứ $100$: $u_{100} = 1 + (-2)(100 – 1) = 1 – 198 = -197$.

Dạng 2: Tìm số hạng đầu, công sai, số hạng thứ $k$, tính tổng $k$ số hạng đầu

Phương pháp giải:

① Tìm $u_1$ và $d$: Khi đề cho hai dữ kiện về các số hạng (ví dụ $u_5 = 18, u_{12} = 32$), ta lập hệ phương trình hai ẩn $u_1, d$:

$$\begin{cases} u_m = u_1 + (m-1)d = A \\ u_k = u_1 + (k-1)d = B \end{cases}$$

Giải hệ để tìm $u_1, d$ (thường dùng phương pháp thế hoặc cộng đại số).

② Tìm số hạng thứ $k$: Sau khi có $u_1, d$, áp dụng công thức $u_k = u_1 + (k – 1) \cdot d$.

③ Tính tổng $k$ số hạng đầu: Sau khi có $u_1, d$, áp dụng một trong hai công thức:

$$S_k = \dfrac{k[2u_1 + (k-1)d]}{2} = \dfrac{k(u_1 + u_k)}{2}$$

Bài 1. Anh Nam được nhận vào làm việc ở một công ty về công nghệ với mức lương khởi điểm là $100$ triệu đồng một năm. Công ty sẽ tăng thêm lương cho anh Nam mỗi năm là $20$ triệu đồng. Tính tổng số tiền lương mà anh Nam nhận được sau $10$ năm làm việc cho công ty đó.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Thiết lập mô hình cấp số cộng.

Số tiền lương của anh Nam mỗi năm lập thành một cấp số cộng:

• Số hạng đầu: $u_1 = 100$ (triệu đồng — lương năm đầu).
• Công sai: $d = 20$ (triệu đồng — mức tăng mỗi năm).
• Số hạng: $n = 10$ (ứng với $10$ năm).

Bước 2: Áp dụng công thức tổng $n$ số hạng đầu.

$$S_{10} = \dfrac{10}{2} \cdot [2u_1 + (10 – 1) \cdot d] = \dfrac{10}{2} \cdot [2 \cdot 100 + 9 \cdot 20]$$

$$= 5 \cdot [200 + 180] = 5 \cdot 380 = 1900 \text{ (triệu đồng)}$$

Vậy tổng số tiền lương anh Nam nhận được sau $10$ năm là $1900$ triệu đồng ($1{,}9$ tỷ đồng).

Bài 2. Một cấp số cộng có số hạng thứ $5$ bằng $18$ và số hạng thứ $12$ bằng $32$. Tìm số hạng thứ $50$ của cấp số cộng này.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Lập hệ phương trình.

Gọi số hạng tổng quát của dãy là $u_n = u_1 + (n-1)d$. Từ giả thiết:

$$\begin{cases} u_5 = u_1 + 4d = 18 \quad (1) \\ u_{12} = u_1 + 11d = 32 \quad (2) \end{cases}$$

Bước 2: Giải hệ phương trình.

Lấy $(2) – (1)$:

$$7d = 14 \Leftrightarrow d = 2$$

Thay $d = 2$ vào $(1)$: $u_1 + 4 \cdot 2 = 18 \Rightarrow u_1 = 10$.

Bước 3: Viết số hạng tổng quát và tính $u_{50}$.

$$u_n = 10 + 2(n – 1)$$

$$u_{50} = 10 + 2(50 – 1) = 10 + 98 = 108$$

Vậy số hạng thứ $50$ của cấp số cộng là $u_{50} = 108$.

Bài 3. Một cấp số cộng có số hạng đầu bằng $5$ và công sai bằng $2$. Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để có tổng bằng $2700$?

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Lập phương trình tìm $n$.

Gọi $n$ là số các số hạng đầu cần lấy tổng. Với $u_1 = 5, d = 2$:

$$S_n = \dfrac{n}{2} \cdot [2 \cdot 5 + (n – 1) \cdot 2] = \dfrac{n}{2} \cdot [10 + 2n – 2] = \dfrac{n}{2} \cdot (2n + 8) = n(n + 4)$$

Vậy $S_n = n^2 + 4n$. Đặt $S_n = 2700$:

$$n^2 + 4n = 2700 \Leftrightarrow n^2 + 4n – 2700 = 0$$

Bước 2: Giải phương trình bậc hai.

$\Delta = 4^2 + 4 \cdot 2700 = 16 + 10800 = 10816$.

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{10816} = 104$.

$$n = \dfrac{-4 + 104}{2} = 50 \quad \text{(nhận)}; \quad n = \dfrac{-4 – 104}{2} = -54 \quad \text{(loại, vì } n \text{ phải là số nguyên dương)}$$

Bước 3: Kết luận.

Phải lấy tổng của $50$ số hạng đầu.

Kiểm tra: $S_{50} = 50 \cdot (50 + 4) = 50 \cdot 54 = 2700$ ✓

Bài 4. Giá của một chiếc xe ô tô lúc mới mua là $680$ triệu đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá của chiếc xe ô tô giảm $55$ triệu đồng. Tính giá còn lại của chiếc xe sau $5$ năm sử dụng.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Thiết lập mô hình cấp số cộng.

Gọi $u_n$ là giá xe sau $(n – 1)$ năm sử dụng (tức ở đầu năm thứ $n$). Ta có:

• $u_1 = 680$ (giá xe lúc mới mua, chưa qua năm sử dụng nào).
• Công sai $d = -55$ (mỗi năm giảm $55$ triệu, nên dấu âm).

Công thức giá xe:

$$u_n = u_1 + (n – 1) \cdot d = 680 – 55(n – 1)$$

Bước 2: Tính giá xe sau $5$ năm sử dụng.

Sau $5$ năm sử dụng, ta dùng $n = 5 + 1 = 6$ nếu coi $u_1$ là giá tại thời điểm đầu (năm 0). Tuy nhiên, theo cách đặt của SGK ($u_n = 680 – 55(n – 1)$ là giá sau $n$ năm sử dụng), ta có:

$$u_5 = 680 – 55(5 – 1) = 680 – 220 = 460 \text{ (triệu đồng)}$$

Vậy sau $5$ năm sử dụng, giá còn lại của chiếc xe là $460$ triệu đồng.

Lưu ý về mô hình: Đây là mô hình khấu hao đường thẳng (linear depreciation) — một ứng dụng thường gặp của cấp số cộng trong kinh doanh và kế toán.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh