Công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc

Biến cố xung khắc

Trong nhiều bài toán xác suất, ta cần xét xem hai biến cố có thể đồng thời xảy ra hay không.

Biến cố $A$ và biến cố $B$ được gọi là xung khắc nếu $A$ và $B$ không đồng thời xảy ra.

Hai biến cố $A$ và $B$ xung khắc khi và chỉ khi $A \cap B = \varnothing$.

Lưu ý: Biến cố $A$ và biến cố đối $\overline{A}$ luôn xung khắc vì $A \cap \overline{A} = \varnothing$.

Ví dụ: Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Xét các biến cố:

• $A$: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn hoặc bằng $8$”
• $B$: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ hơn hoặc bằng $5$”
• $C$: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là số nguyên tố”

Cặp $A$ và $B$ là xung khắc vì tổng không thể vừa $\geq 8$ vừa $\leq 5$.

Cặp $A$ và $C$ không xung khắc vì nếu tổng bằng $11$ (số nguyên tố và $\geq 8$) thì cả $A$ và $C$ xảy ra.

Cặp $B$ và $C$ không xung khắc vì nếu tổng bằng $3$ (số nguyên tố và $\leq 5$) thì cả $B$ và $C$ xảy ra.

Công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc

Nếu $A$ và $B$ là hai biến cố xung khắc thì:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

Công thức này có ý nghĩa trực quan: khi hai biến cố không thể đồng thời xảy ra, xác suất để ít nhất một trong hai xảy ra bằng tổng xác suất của từng biến cố.

Ví dụ: Một hộp đựng $6$ quả cầu màu xanh và $4$ quả cầu màu đỏ, cùng kích thước và khối lượng. Chọn ngẫu nhiên hai quả cầu. Tính xác suất để chọn được hai quả cầu cùng màu.

Giải:

Gọi $A$: “Chọn được hai quả cầu màu xanh”, $B$: “Chọn được hai quả cầu màu đỏ”.

Biến cố “Chọn được hai quả cầu cùng màu” là $A \cup B$. Hai biến cố $A$ và $B$ xung khắc nên:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

Không gian mẫu: $n(\Omega) = C_{10}^{2} = 45$.

$$P(A) = \dfrac{C_6^2}{C_{10}^2} = \dfrac{15}{45} = \dfrac{1}{3} \qquad P(B) = \dfrac{C_4^2}{C_{10}^2} = \dfrac{6}{45} = \dfrac{2}{15}$$

$$P(A \cup B) = \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{15} = \dfrac{5}{15} + \dfrac{2}{15} = \dfrac{7}{15}$$

Công thức cộng xác suất

Khi hai biến cố không xung khắc (tức có thể đồng thời xảy ra), ta không thể cộng trực tiếp vì sẽ tính trùng phần giao. Ta có công thức tổng quát:

Cho hai biến cố $A$ và $B$ bất kỳ. Khi đó:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$$

Công thức này gọi là công thức cộng xác suất.

Nhận xét: Khi $A$ và $B$ xung khắc thì $P(A \cap B) = 0$, nên công thức trở thành $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$. Vậy công thức cho biến cố xung khắc là hệ quả của công thức cộng xác suất tổng quát.

Ví dụ: Ở một trường THPT, có $25\%$ học sinh học khá môn Ngữ văn, $35\%$ học sinh học khá môn Toán, $10\%$ học sinh học khá cả hai môn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Tính tỉ lệ học sinh học khá môn Ngữ văn hoặc học khá môn Toán.

Giải:

Gọi $A$: “Học sinh đó học khá môn Ngữ văn”, $B$: “Học sinh đó học khá môn Toán”.

$$P(A) = 0{,}25 \qquad P(B) = 0{,}35 \qquad P(A \cap B) = 0{,}10$$

Theo công thức cộng xác suất:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = 0{,}25 + 0{,}35 – 0{,}10 = 0{,}50$$

Vậy tỉ lệ học sinh học khá Ngữ văn hoặc Toán là $50\%$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tính xác suất biến cố hợp của hai biến cố xung khắc

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định hai biến cố $A$, $B$ và kiểm tra chúng xung khắc ($A \cap B = \varnothing$).

Bước 2: Tính $P(A)$ và $P(B)$ riêng biệt (dùng tổ hợp hoặc đếm).

Bước 3: Áp dụng $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Bài mẫu 1: Một hộp đựng 5 quả cầu màu xanh và 3 quả cầu màu đỏ, có cùng kích thước và khối lượng. Chọn ngẫu nhiên hai quả cầu trong hộp. Tính xác suất để chọn được hai quả cầu có cùng màu.

Lời giải:

Gọi $A$: “Chọn được hai quả cầu màu xanh”, $B$: “Chọn được hai quả cầu màu đỏ”.

Biến cố “Hai quả cầu cùng màu” là $A \cup B$. Hai biến cố $A$ và $B$ xung khắc nên $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

$$n(\Omega) = C_8^2 = 28$$

$$P(A) = \dfrac{C_5^2}{C_8^2} = \dfrac{10}{28} = \dfrac{5}{14} \qquad P(B) = \dfrac{C_3^2}{C_8^2} = \dfrac{3}{28}$$

$$P(A \cup B) = \dfrac{10}{28} + \dfrac{3}{28} = \dfrac{13}{28}$$

Bài mẫu 2: Một hộp đựng 8 viên bi màu xanh và 6 viên bi màu đỏ. Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một viên bi (không trả lại). Tiếp đó bạn Tùng lấy ngẫu nhiên một viên bi. Tính xác suất để bạn Tùng lấy được viên bi màu xanh.

Lời giải:

Gọi $A$: “Sơn lấy được bi xanh và Tùng lấy được bi xanh”, $B$: “Sơn lấy được bi đỏ và Tùng lấy được bi xanh”.

Biến cố “Tùng lấy được bi xanh” là $A \cup B$. Do $A$ và $B$ xung khắc nên $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Mỗi kết quả là một bộ $(x, y)$ với $x$ là bi Sơn chọn, $y$ là bi Tùng chọn. Sơn có 14 cách, Tùng có 13 cách, nên $n(\Omega) = 14 \times 13 = 182$.

Tính $P(A)$: Sơn chọn bi xanh (8 cách), Tùng chọn bi xanh (7 cách). Nên $n(A) = 8 \times 7 = 56$.

$$P(A) = \dfrac{56}{182}$$

Tính $P(B)$: Sơn chọn bi đỏ (6 cách), Tùng chọn bi xanh (8 cách). Nên $n(B) = 6 \times 8 = 48$.

$$P(B) = \dfrac{48}{182}$$

$$P(A \cup B) = \dfrac{56}{182} + \dfrac{48}{182} = \dfrac{104}{182} = \dfrac{4}{7}$$

Dạng 2: Tính xác suất biến cố hợp của hai biến cố không xung khắc

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định $P(A)$, $P(B)$ và $P(A \cap B)$.

Bước 2: Áp dụng $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$.

Lưu ý: $P(A \cap B)$ là xác suất để cả hai biến cố đồng thời xảy ra.

Bài mẫu 1: Lớp 11A có 40 học sinh, trong đó có 14 bạn thích nhạc cổ điển, 13 bạn thích nhạc trẻ và 5 bạn thích cả hai. Chọn ngẫu nhiên một bạn. Tính xác suất để:

a) Bạn đó thích nhạc cổ điển hoặc nhạc trẻ.

b) Bạn đó không thích cả nhạc cổ điển và nhạc trẻ.

Lời giải:

Gọi $A$: “Bạn đó thích nhạc cổ điển”, $B$: “Bạn đó thích nhạc trẻ”.

$$P(A) = \dfrac{14}{40} \qquad P(B) = \dfrac{13}{40} \qquad P(A \cap B) = \dfrac{5}{40}$$

a) $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = \dfrac{14}{40} + \dfrac{13}{40} – \dfrac{5}{40} = \dfrac{22}{40} = \dfrac{11}{20}$

b) Gọi $E$: “Bạn đó không thích cả nhạc cổ điển lẫn nhạc trẻ”. $E$ là biến cố đối của $A \cup B$.

$$P(E) = 1 – P(A \cup B) = 1 – \dfrac{11}{20} = \dfrac{9}{20}$$

Bài mẫu 2: Một nhà xuất bản phát hành hai cuốn sách $A$ và $B$. Thống kê cho thấy $50\%$ người mua sách $A$; $70\%$ người mua sách $B$; $30\%$ người mua cả hai. Chọn ngẫu nhiên một người mua sách. Tính xác suất để:

a) Người đó mua ít nhất một trong hai sách $A$ hoặc $B$.

b) Người đó không mua cả sách $A$ và sách $B$.

Lời giải:

$$P(A) = 0{,}5 \qquad P(B) = 0{,}7 \qquad P(A \cap B) = 0{,}3$$

a) $P(A \cup B) = 0{,}5 + 0{,}7 – 0{,}3 = 0{,}9$

b) Gọi $E$: “Người đó không mua cả sách $A$ và sách $B$”. $E$ là biến cố đối của $A \cup B$.

$$P(E) = 1 – P(A \cup B) = 1 – 0{,}9 = 0{,}1$$

Dạng 3: Tính xác suất biến cố đối kết hợp công thức cộng

Phương pháp giải:

Khi cần tính xác suất biến cố “không xảy ra cả $A$ lẫn $B$”, ta dùng biến cố đối:

$$P(\text{không xảy ra cả } A \text{ lẫn } B) = 1 – P(A \cup B)$$

Bước 1: Tính $P(A \cup B)$ bằng công thức cộng.

Bước 2: Lấy $1 – P(A \cup B)$.

Bài mẫu 1: Tại các trường THPT của một tỉnh, có $63\%$ giáo viên môn Toán tham khảo bộ sách $A$, $56\%$ tham khảo bộ sách $B$ và $28{,}5\%$ tham khảo cả hai bộ sách $A$ và $B$. Tính tỉ lệ giáo viên không tham khảo cả hai bộ sách.

Lời giải:

Gọi $A$: “Giáo viên tham khảo bộ sách $A$”, $B$: “Giáo viên tham khảo bộ sách $B$”.

$$P(A) = 0{,}63 \qquad P(B) = 0{,}56 \qquad P(A \cap B) = 0{,}285$$

Gọi $E$: “Giáo viên không tham khảo cả hai bộ sách $A$ và $B$”. Biến cố đối $\overline{E}$: “Giáo viên tham khảo bộ sách $A$ hoặc bộ sách $B$” chính là $A \cup B$.

$$P(A \cup B) = 0{,}63 + 0{,}56 – 0{,}285 = 0{,}905$$

$$P(E) = 1 – P(A \cup B) = 1 – 0{,}905 = 0{,}095$$

Vậy $9{,}5\%$ giáo viên môn Toán không tham khảo cả hai bộ sách.

Bài mẫu 2: Một khu phố có 50 hộ gia đình nuôi chó hoặc nuôi mèo, trong đó có 18 hộ nuôi chó, 16 hộ nuôi mèo và 7 hộ nuôi cả chó và mèo. Chọn ngẫu nhiên một hộ. Tính xác suất để:

a) Hộ đó nuôi chó hoặc nuôi mèo.

b) Hộ đó không nuôi cả chó và mèo.

Lời giải:

Gọi $A$: “Hộ đó nuôi chó”, $B$: “Hộ đó nuôi mèo”.

$$P(A) = \dfrac{18}{50} \qquad P(B) = \dfrac{16}{50} \qquad P(A \cap B) = \dfrac{7}{50}$$

a) $P(A \cup B) = \dfrac{18}{50} + \dfrac{16}{50} – \dfrac{7}{50} = \dfrac{27}{50}$

b) $P(\text{không nuôi cả chó và mèo}) = 1 – P(A \cup B) = 1 – \dfrac{27}{50} = \dfrac{23}{50}$

Sai lầm thường gặp

Mẹo giải nhanh

Mẹo 1 – Chọn công thức đúng: Đề cho $P(A \cap B) = 0$ hoặc nói rõ xung khắc → dùng $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$. Đề cho $P(A \cap B) \neq 0$ → dùng công thức tổng quát.

Mẹo 2 – “Ít nhất một” = biến cố hợp: “Ít nhất một trong hai biến cố xảy ra” chính là $A \cup B$. “Không xảy ra cả hai” là biến cố đối $\overline{A \cup B}$.

Mẹo 3 – Tính nhanh bằng biến cố đối: Khi tính “có ít nhất…” khó, hãy tính biến cố đối “không có gì” rồi lấy $1$ trừ đi. Ví dụ: $P(\text{ít nhất 1 xanh}) = 1 – P(\text{không có xanh nào})$.

Mẹo 4 – Kiểm tra bằng biểu đồ Venn: Vẽ nhanh hai vòng tròn giao nhau, điền số liệu vào từng phần (chỉ $A$, chỉ $B$, cả hai, không thuộc cả hai) → dễ kiểm tra đáp án.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh