Chuyển động của một vật gắn trên con lắc lò xo (khi bỏ qua ma sát và sức cản không khí) được cho bởi phương trình sau:

$$x(t) = 4\cos\left(2\pi t + \dfrac{\pi}{3}\right)$$

ở đó $x$ tính bằng centimét và thời gian $t$ tính bằng giây.

Tìm gia tốc tức thời của vật tại thời điểm $t = 5$ giây (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm hiểu về đạo hàm cấp hai.

1. Khái niệm đạo hàm cấp hai

1.1. Hoạt động khám phá

a) Gọi $g(x)$ là đạo hàm của hàm số $y = \sin\left(2x + \dfrac{\pi}{4}\right)$. Tìm $g(x)$.

$$g(x) = y’ = \left(2x + \dfrac{\pi}{4}\right)’ \cdot \cos\left(2x + \dfrac{\pi}{4}\right) = 2\cos\left(2x + \dfrac{\pi}{4}\right)$$

b) Tính đạo hàm của hàm số $y = g(x)$.

$$g'(x) = 2 \cdot \left[-\left(2x + \dfrac{\pi}{4}\right)’ \cdot \sin\left(2x + \dfrac{\pi}{4}\right)\right] = -4\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{4}\right)$$

Đạo hàm $g'(x)$ chính là đạo hàm cấp hai của hàm số ban đầu.

1.2. Định nghĩa

Giả sử hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại mỗi điểm $x \in (a; b)$. Nếu hàm số $y’ = f'(x)$ lại có đạo hàm tại $x$ thì ta gọi đạo hàm của $y’$ là đạo hàm cấp hai của hàm số $y = f(x)$ tại $x$, ký hiệu là $y”$ hoặc $f”(x)$.

$$\boxed{y” = (y’)’ \quad \text{hoặc} \quad f”(x) = [f'(x)]’}$$

Nói cách khác: Đạo hàm cấp hai là “đạo hàm của đạo hàm”.

1.3. Quy trình tính đạo hàm cấp hai

Ví dụ 1: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số $y = x^2 + e^{2x-1}$. Từ đó tính $y”(0)$.

Giải:

Bước 1: Tính $y’$.

$$y’ = (x^2)’ + (e^{2x-1})’$$

$$= 2x + (2x – 1)’ \cdot e^{2x-1}$$

$$= 2x + 2e^{2x-1}$$

Bước 2: Tính $y” = (y’)’$.

$$y” = (2x)’ + (2e^{2x-1})’$$

$$= 2 + 2 \cdot (2x – 1)’ \cdot e^{2x-1}$$

$$= 2 + 2 \cdot 2 \cdot e^{2x-1} = 2 + 4e^{2x-1}$$

Vậy đạo hàm cấp hai của hàm số đã cho là $y” = 2 + 4e^{2x-1}$.

Bước 3: Tính $y”(0)$.

$$y”(0) = 2 + 4e^{2 \cdot 0 – 1} = 2 + 4e^{-1} = 2 + \dfrac{4}{e}$$

Luyện tập 1: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) $y = xe^{2x}$

b) $y = \ln(2x + 3)$

Giải:

a) $y = xe^{2x}$

Bước 1: Tính $y’$ (sử dụng công thức đạo hàm tích).

$$y’ = (x)’ \cdot e^{2x} + x \cdot (e^{2x})’$$

$$= 1 \cdot e^{2x} + x \cdot 2e^{2x}$$

$$= e^{2x} + 2xe^{2x} = e^{2x}(1 + 2x)$$

Bước 2: Tính $y” = (y’)’$ (sử dụng công thức đạo hàm tích).

$$y” = (e^{2x})’ \cdot (1 + 2x) + e^{2x} \cdot (1 + 2x)’$$

$$= 2e^{2x}(1 + 2x) + e^{2x} \cdot 2$$

$$= 2e^{2x}(1 + 2x) + 2e^{2x}$$

$$= 2e^{2x}(1 + 2x + 1) = 2e^{2x}(2 + 2x) = 4e^{2x}(1 + x)$$

b) $y = \ln(2x + 3)$

Bước 1: Tính $y’$.

$$y’ = \dfrac{(2x + 3)’}{2x + 3} = \dfrac{2}{2x + 3}$$

Bước 2: Tính $y” = (y’)’$.

Viết lại: $y’ = 2(2x + 3)^{-1}$

$$y” = 2 \cdot (-1)(2x + 3)^{-2} \cdot (2x + 3)’$$

$$= -2(2x + 3)^{-2} \cdot 2 = \dfrac{-4}{(2x + 3)^2}$$

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

2.1. Gia tốc tức thời

Xét một chuyển động có vận tốc tức thời $v(t)$.

Cho số gia $\Delta t$ tại $t$ và $\Delta v = v(t + \Delta t) – v(t)$.

Tỉ số $\dfrac{\Delta v}{\Delta t}$ gọi là gia tốc trung bình trong khoảng thời gian $\Delta t$.

Giới hạn của gia tốc trung bình (nếu có) khi $\Delta t$ dần tới 0 được gọi là gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm $t$, ký hiệu là $a(t)$.

$$a(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = v'(t)$$

2.2. Hoạt động khám phá

Xét một chuyển động có phương trình $s = 4\cos 2\pi t$.

a) Vận tốc tức thời tại thời điểm $t$:

$$v(t) = s'(t) = -4 \cdot (2\pi t)’ \cdot \sin 2\pi t = -8\pi \sin 2\pi t$$

b) Gia tốc tức thời tại thời điểm $t$:

$$a(t) = v'(t) = -8\pi \cdot (2\pi t)’ \cdot \cos 2\pi t = -16\pi^2 \cos 2\pi t$$

Ta thấy: $a(t) = s”(t)$

2.3. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Một chuyển động có phương trình $s = f(t)$ thì đạo hàm cấp hai (nếu có) của hàm số $f(t)$ là gia tốc tức thời của chuyển động.

$$\boxed{a(t) = f”(t)}$$

Tóm tắt mối quan hệ:

Ví dụ 2: Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

Giải:

Phương trình chuyển động: $x(t) = 4\cos\left(2\pi t + \dfrac{\pi}{3}\right)$

Bước 1: Tính vận tốc của vật tại thời điểm $t$.

$$v(t) = x'(t) = -\left(2\pi t + \dfrac{\pi}{3}\right)’ \cdot 4\sin\left(2\pi t + \dfrac{\pi}{3}\right)$$

$$= -2\pi \cdot 4\sin\left(2\pi t + \dfrac{\pi}{3}\right) = -8\pi\sin\left(2\pi t + \dfrac{\pi}{3}\right)$$

Bước 2: Tính gia tốc tức thời của vật tại thời điểm $t$.

$$a(t) = v'(t) = -8\pi \cdot \left(2\pi t + \dfrac{\pi}{3}\right)’ \cdot \cos\left(2\pi t + \dfrac{\pi}{3}\right)$$

$$= -8\pi \cdot 2\pi \cdot \cos\left(2\pi t + \dfrac{\pi}{3}\right) = -16\pi^2\cos\left(2\pi t + \dfrac{\pi}{3}\right)$$

Bước 3: Tính gia tốc tại $t = 5$ giây.

$$a(5) = -16\pi^2\cos\left(2\pi \cdot 5 + \dfrac{\pi}{3}\right)$$

$$= -16\pi^2\cos\left(10\pi + \dfrac{\pi}{3}\right)$$

Vì $\cos\left(10\pi + \dfrac{\pi}{3}\right) = \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$ (do $\cos(2k\pi + \alpha) = \cos\alpha$)

$$a(5) = -16\pi^2 \cdot \dfrac{1}{2} = -8\pi^2 \approx -79 \text{ (cm/s}^2\text{)}$$

Vận dụng: Một vật chuyển động thẳng có phương trình $s = 2t^2 + \dfrac{1}{2}t^4$ ($s$ tính bằng mét, $t$ tính bằng giây). Tìm gia tốc của vật tại thời điểm $t = 4$ giây.

Giải:

Bước 1: Tính vận tốc.

$$v(t) = s'(t) = (2t^2)’ + \left(\dfrac{1}{2}t^4\right)’$$

$$= 4t + \dfrac{1}{2} \cdot 4t^3 = 4t + 2t^3$$

Bước 2: Tính gia tốc.

$$a(t) = v'(t) = (4t)’ + (2t^3)’$$

$$= 4 + 6t^2$$

Bước 3: Tính gia tốc tại $t = 4$ giây.

$$a(4) = 4 + 6 \cdot 4^2 = 4 + 6 \cdot 16 = 4 + 96 = 100 \text{ (m/s}^2\text{)}$$

3. Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tính đạo hàm cấp hai của hàm đa thức

Phương pháp:

1. Tính $y’$ bằng công thức $(x^n)’ = nx^{n-1}$
2. Tính $y” = (y’)’$ bằng cùng công thức

Công thức nhanh: $(x^n)” = n(n-1)x^{n-2}$

Nhận dạng: Hàm số dạng $y = ax^n + bx^m + … + c$

Ví dụ 1: Cho hàm số $P(x) = ax^2 + bx + 3$ ($a$, $b$ là hằng số). Tìm $a$, $b$ biết $P'(1) = 0$ và $P”(1) = -2$.

Giải chi tiết:

Bước 1: Tính $P'(x)$.

$$P'(x) = (ax^2)’ + (bx)’ + (3)’$$

$$= 2ax + b$$

Bước 2: Tính $P”(x)$.

$$P”(x) = (2ax + b)’ = 2a$$

Bước 3: Sử dụng điều kiện $P'(1) = 0$.

$$P'(1) = 2a \cdot 1 + b = 2a + b = 0 \quad (1)$$

Bước 4: Sử dụng điều kiện $P”(1) = -2$.

$$P”(1) = 2a = -2 \Rightarrow a = -1 \quad (2)$$

Bước 5: Thay $(2)$ vào $(1)$.

$$2 \cdot (-1) + b = 0$$

$$-2 + b = 0 \Rightarrow b = 2$$

Kết luận: $a = -1$, $b = 2$.

Dạng 2: Tính đạo hàm cấp hai của hàm mũ

Phương pháp:

1. Sử dụng $(e^u)’ = e^u \cdot u’$
2. Nếu có dạng tích, dùng $(uv)’ = u’v + uv’$
3. Tính $y” = (y’)’$

Công thức nhanh: $(e^{ax})” = a^2 e^{ax}$

Nhận dạng: Hàm số chứa $e^x$, $e^{u(x)}$, $x^n e^x$

Ví dụ 2: Cho hàm số $f(x) = x^2 e^x$. Tính $f”(0)$.

Giải chi tiết:

Bước 1: Tính $f'(x)$ (sử dụng công thức đạo hàm tích).

$$f'(x) = (x^2)’ \cdot e^x + x^2 \cdot (e^x)’$$

$$= 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x$$

$$= e^x(2x + x^2) = e^x \cdot x(2 + x)$$

Bước 2: Tính $f”(x)$ (tiếp tục dùng công thức đạo hàm tích).

Đặt $u = e^x$ và $v = 2x + x^2$, ta có $f'(x) = uv$.

$$f”(x) = (e^x)’ \cdot (2x + x^2) + e^x \cdot (2x + x^2)’$$

$$= e^x(2x + x^2) + e^x(2 + 2x)$$

$$= e^x[(2x + x^2) + (2 + 2x)]$$

$$= e^x(x^2 + 4x + 2)$$

Bước 3: Tính $f”(0)$.

$$f”(0) = e^0(0^2 + 4 \cdot 0 + 2) = 1 \cdot 2 = 2$$

Dạng 3: Tính đạo hàm cấp hai của hàm lôgarit

Phương pháp:

1. Tính $y’ = \dfrac{u’}{u}$ với $y = \ln u$
2. Viết $y’$ dưới dạng lũy thừa âm để tính $y”$
3. Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp

Công thức nhanh: $(\ln x)” = -\dfrac{1}{x^2}$

Nhận dạng: Hàm số dạng $y = \ln(ax + b)$, $y = \ln u(x)$

Ví dụ 3: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \ln(x + 1)$.

Giải chi tiết:

Bước 1: Tính $y’$.

$$y’ = \dfrac{(x + 1)’}{x + 1} = \dfrac{1}{x + 1}$$

Bước 2: Viết lại $y’$ để dễ tính đạo hàm.

$$y’ = (x + 1)^{-1}$$

Bước 3: Tính $y”$.

$$y” = -1 \cdot (x + 1)^{-2} \cdot (x + 1)’$$

$$= -(x + 1)^{-2} \cdot 1 = -\dfrac{1}{(x + 1)^2}$$

Dạng 4: Tính đạo hàm cấp hai của hàm lượng giác

Phương pháp:

1. Áp dụng công thức đạo hàm lượng giác
2. Chú ý đạo hàm hàm hợp: nhân với đạo hàm hàm trong

Công thức nhanh:

• $(\sin x)” = -\sin x$
• $(\cos x)” = -\cos x$
• $(\sin ax)” = -a^2 \sin ax$
• $(\cos ax)” = -a^2 \cos ax$

Nhận dạng: Hàm số chứa $\sin$, $\cos$, $\tan$, $\cot$

Ví dụ 4: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \tan 2x$.

Giải chi tiết:

Bước 1: Tính $y’$.

$$y’ = \dfrac{(2x)’}{\cos^2 2x} = \dfrac{2}{\cos^2 2x}$$

Bước 2: Viết lại $y’$ để dễ tính đạo hàm.

$$y’ = 2(\cos 2x)^{-2}$$

Bước 3: Tính $y”$ (sử dụng đạo hàm hàm hợp).

$$y” = 2 \cdot (-2)(\cos 2x)^{-3} \cdot (\cos 2x)’$$

Tính $(\cos 2x)’ = -2\sin 2x$:

$$y” = -4(\cos 2x)^{-3} \cdot (-2\sin 2x)$$

$$= 8 \cdot \dfrac{\sin 2x}{\cos^3 2x}$$

$$= \dfrac{8\sin 2x}{\cos^3 2x}$$

Có thể viết gọn hơn:

$$y” = \dfrac{8\sin 2x}{\cos^3 2x} = \dfrac{8\sin 2x}{\cos^2 2x \cdot \cos 2x} = \dfrac{8\tan 2x}{\cos^2 2x}$$

Dạng 5: Chứng minh bất đẳng thức với đạo hàm cấp hai

Phương pháp:

1. Tính $f”(x)$
2. Biến đổi về dạng chứa $\sin$ hoặc $\cos$
3. Sử dụng $|\sin x| \leq 1$, $|\cos x| \leq 1$
4. Đánh giá $|f”(x)|$

Nhận dạng: Chứng minh $|f”(x)| \leq M$ với mọi $x$

Ví dụ 5: Cho hàm số $f(x) = 2\sin^2\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$. Chứng minh rằng $|f”(x)| \leq 4$ với mọi $x$.

Giải chi tiết:

Bước 1: Biến đổi hàm số về dạng đơn giản hơn.

Sử dụng công thức hạ bậc: $\sin^2 \alpha = \dfrac{1 – \cos 2\alpha}{2}$

$$f(x) = 2 \cdot \dfrac{1 – \cos 2\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)}{2} = 1 – \cos\left(2x + \dfrac{\pi}{2}\right)$$

Vì $\cos\left(2x + \dfrac{\pi}{2}\right) = -\sin 2x$, nên:

$$f(x) = 1 + \sin 2x$$

Bước 2: Tính $f'(x)$.

$$f'(x) = (1)’ + (\sin 2x)’ = 0 + 2\cos 2x = 2\cos 2x$$

Bước 3: Tính $f”(x)$.

$$f”(x) = 2 \cdot (\cos 2x)’ = 2 \cdot (-2\sin 2x) = -4\sin 2x$$

Bước 4: Đánh giá $|f”(x)|$.

Vì $|\sin 2x| \leq 1$ với mọi $x$, nên:

$$|f”(x)| = |-4\sin 2x| = 4|\sin 2x| \leq 4 \cdot 1 = 4$$

Kết luận: $|f”(x)| \leq 4$ với mọi $x$ (đpcm).

Dạng 6: Tính gia tốc tức thời

Phương pháp:

1. Từ phương trình chuyển động $s(t)$ hoặc $x(t)$
2. Tính vận tốc: $v(t) = s'(t)$
3. Tính gia tốc: $a(t) = v'(t) = s”(t)$
4. Thay giá trị $t$ cụ thể vào

Nhận dạng: Bài toán cho phương trình chuyển động, yêu cầu tìm gia tốc

Ví dụ 6: Phương trình chuyển động của một hạt được cho bởi:

$$s(t) = 10 + 0{,}5\sin\left(2\pi t + \dfrac{\pi}{5}\right)$$

trong đó $s$ tính bằng centimét và $t$ tính bằng giây. Tính gia tốc của hạt tại thời điểm $t = 5$ giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Giải chi tiết:

Bước 1: Tính vận tốc $v(t) = s'(t)$.

$$v(t) = (10)’ + \left[0{,}5\sin\left(2\pi t + \dfrac{\pi}{5}\right)\right]’$$

$$= 0 + 0{,}5 \cdot \left(2\pi t + \dfrac{\pi}{5}\right)’ \cdot \cos\left(2\pi t + \dfrac{\pi}{5}\right)$$

$$= 0{,}5 \cdot 2\pi \cdot \cos\left(2\pi t + \dfrac{\pi}{5}\right)$$

$$= \pi\cos\left(2\pi t + \dfrac{\pi}{5}\right)$$

Bước 2: Tính gia tốc $a(t) = v'(t)$.

$$a(t) = \pi \cdot \left[-\left(2\pi t + \dfrac{\pi}{5}\right)’ \cdot \sin\left(2\pi t + \dfrac{\pi}{5}\right)\right]$$

$$= \pi \cdot (-2\pi) \cdot \sin\left(2\pi t + \dfrac{\pi}{5}\right)$$

$$= -2\pi^2\sin\left(2\pi t + \dfrac{\pi}{5}\right)$$

Bước 3: Tính gia tốc tại $t = 5$ giây.

$$a(5) = -2\pi^2\sin\left(2\pi \cdot 5 + \dfrac{\pi}{5}\right)$$

$$= -2\pi^2\sin\left(10\pi + \dfrac{\pi}{5}\right)$$

Vì $\sin(10\pi + \alpha) = \sin\alpha$ (do $10\pi = 5 \cdot 2\pi$), nên:

$$a(5) = -2\pi^2\sin\dfrac{\pi}{5}$$

Tính giá trị số:

• $\pi^2 \approx 9{,}8696$
• $\sin\dfrac{\pi}{5} = \sin 36° \approx 0{,}5878$

$$a(5) \approx -2 \cdot 9{,}8696 \cdot 0{,}5878 \approx -11{,}6 \text{ (cm/s}^2\text{)}$$

4. Tổng kết

Bảng công thức đạo hàm cấp hai thường gặp

Ý nghĩa cơ học

$$\boxed{s = f(t) \xrightarrow{\text{đạo hàm}} v = f'(t) \xrightarrow{\text{đạo hàm}} a = f”(t)}$$

Mẹo ghi nhớ

• Đạo hàm cấp hai = Đạo hàm của đạo hàm = $(y’)’$
• Gia tốc = Đạo hàm của vận tốc = Đạo hàm cấp hai của quãng đường
• Với hàm lượng giác: $(\sin ax)” = -a^2 \sin ax$ và $(\cos ax)” = -a^2 \cos ax$
• Với $e^{ax}$: đạo hàm bao nhiêu lần vẫn có $e^{ax}$, chỉ thêm hệ số $a$ mỗi lần

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh