1. Dấu của tam thức bậc hai

Khái niệm tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai (đối với $x$) là biểu thức có dạng $ax^2 + bx + c$, trong đó $a$, $b$, $c$ là những số thực cho trước (với $a \neq 0$), được gọi là các hệ số của tam thức bậc hai.

Người ta thường viết $f(x) = ax^2 + bx + c$.

Chú ý.

• Nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ cũng được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai $ax^2 + bx + c$.
• $\Delta = b^2 – 4ac$ và $\Delta’ = b’^2 – ac$ (với $b = 2b’$) tương ứng được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai.

Ví dụ nhận biết. Các biểu thức $0{,}5x^2$; $1 – x^2$; $x^2 + x + 1$; $(1 – x)(2x + 1)$ đều là tam thức bậc hai. Chẳng hạn ở biểu thức $A = 0{,}5x^2$, ta có $a = 0{,}5$, $b = 0$, $c = 0$. Biểu thức $D = (1 – x)(2x + 1) = -2x^2 + x + 1$ có $a = -2$, $b = 1$, $c = 1$.

Các biểu thức sau không phải tam thức bậc hai:

• $A = 3x + 2\sqrt{x} + 1$ (chứa $\sqrt{x}$, không phải dạng $ax^2 + bx + c$).
• $B = -5x^4 + 3x^2 + 4$ (bậc bốn, không phải bậc hai theo $x$).
• $D = \left(\dfrac{1}{x}\right)^2 + 2 \cdot \dfrac{1}{x} + 3$ (biến là $\dfrac{1}{x}$, không phải $x$).

Biểu thức $C = -\dfrac{2}{3}x^2 + 7x – 4$ là tam thức bậc hai với $a = -\dfrac{2}{3}$, $b = 7$, $c = -4$.

Định lí về dấu của tam thức bậc hai

Để hiểu định lí, ta quan sát mối liên hệ giữa đồ thị hàm số $y = f(x) = ax^2 + bx + c$ và dấu của $f(x)$:

• Khi đồ thị nằm phía trên trục $Ox$ → $f(x) > 0$.
• Khi đồ thị nằm phía dưới trục $Ox$ → $f(x) < 0$.
• Khi đồ thị chạm trục $Ox$ → $f(x) = 0$.

Cho tam thức bậc hai $f(x) = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$).

Trường hợp 1: $\Delta < 0$ (phương trình $f(x) = 0$ vô nghiệm).

$f(x)$ cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

• Nếu $a > 0$ thì $f(x) > 0$ với mọi $x$.
• Nếu $a < 0$ thì $f(x) < 0$ với mọi $x$.

Trường hợp 2: $\Delta = 0$ (phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm kép $x = -\dfrac{b}{2a}$).

$f(x)$ cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x \neq -\dfrac{b}{2a}$, và $f\left(-\dfrac{b}{2a}\right) = 0$.

Trường hợp 3: $\Delta > 0$ (phương trình $f(x) = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1 < x_2$).

• $f(x)$ cùng dấu với hệ số $a$ khi $x \in (-\infty;\ x_1) \cup (x_2;\ +\infty)$ (ở ngoài khoảng hai nghiệm).
• $f(x)$ trái dấu với hệ số $a$ khi $x \in (x_1;\ x_2)$ (ở trong khoảng hai nghiệm).

Quy tắc nhớ (khi $\Delta > 0$): Dấu của $f(x)$ và $a$ là: “Trong trái, ngoài cùng”.

Chú ý. Trong định lí trên có thể thay $\Delta$ bởi $\Delta’$.

Ví dụ 1 (SGK). Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) $x^2 + x + 1$

b) $-\dfrac{3}{2}x^2 + 9x – \dfrac{27}{2}$

c) $2x^2 + 6x – 8$

Giải:

a) $f(x) = x^2 + x + 1$ có $\Delta = 1 – 4 = -3 < 0$ và $a = 1 > 0$.

Vì $\Delta < 0$ nên $f(x)$ cùng dấu với $a$, tức $f(x) > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

b) $f(x) = -\dfrac{3}{2}x^2 + 9x – \dfrac{27}{2}$ có $\Delta = 81 – 4 \cdot \left(-\dfrac{3}{2}\right) \cdot \left(-\dfrac{27}{2}\right) = 81 – 81 = 0$ và $a = -\dfrac{3}{2} < 0$.

Vì $\Delta = 0$ nên $f(x)$ có nghiệm kép $x = 3$ và $f(x) < 0$ với mọi $x \neq 3$.

c) $f(x) = 2x^2 + 6x – 8$ có $\Delta’ = 3^2 – 2 \cdot (-8) = 9 + 16 = 25 > 0$ và $a = 2 > 0$.

Tam thức có hai nghiệm phân biệt $x_1 = -4$ và $x_2 = 1$.

Bảng xét dấu:

Suy ra $f(x) > 0$ với mọi $x \in (-\infty;\ -4) \cup (1;\ +\infty)$ và $f(x) < 0$ với mọi $x \in (-4;\ 1)$.

2. Bất phương trình bậc hai

Khái niệm

Bất phương trình bậc hai ẩn $x$ là bất phương trình có dạng $ax^2 + bx + c > 0$ (hoặc $ax^2 + bx + c \geq 0$, $ax^2 + bx + c < 0$, $ax^2 + bx + c \leq 0$), trong đó $a$, $b$, $c$ là những số thực đã cho và $a \neq 0$.

Số thực $x_0$ gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c > 0$ nếu $ax_0^2 + bx_0 + c > 0$. Tập hợp gồm tất cả các nghiệm gọi là tập nghiệm của bất phương trình.

Giải một bất phương trình bậc hai là tìm tập nghiệm của nó.

Nhận xét. Để giải bất phương trình bậc hai, ta cần xét dấu tam thức $ax^2 + bx + c$, từ đó suy ra tập nghiệm.

Ví dụ từ sách giáo khoa

Ví dụ 2 (SGK). Giải các bất phương trình sau:

a) $3x^2 + x + 5 \leq 0$

b) $-3x^2 + 2\sqrt{3},x – 1 \geq 0$

c) $-x^2 + 2x + 1 > 0$

Giải:

a) Tam thức $f(x) = 3x^2 + x + 5$ có $\Delta = 1 – 60 = -59 < 0$, hệ số $a = 3 > 0$.

Vì $\Delta < 0$ nên $f(x)$ cùng dấu với $a$, tức $f(x) > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Suy ra $3x^2 + x + 5 > 0$ với mọi $x$, nên bất phương trình $3x^2 + x + 5 \leq 0$ vô nghiệm.

b) Tam thức $f(x) = -3x^2 + 2\sqrt{3},x – 1$ có $\Delta’ = (\sqrt{3})^2 – (-3) \cdot (-1) = 3 – 3 = 0$, hệ số $a = -3 < 0$.

Vì $\Delta’ = 0$ nên $f(x)$ có nghiệm kép $x = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ và $f(x) < 0$ với mọi $x \neq \dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

Bất phương trình $f(x) \geq 0$ chỉ thoả mãn khi $f(x) = 0$, tức $x = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

Suy ra bất phương trình có nghiệm duy nhất $x = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

c) Tam thức $f(x) = -x^2 + 2x + 1$ có $\Delta’ = 1 – (-1) \cdot 1 = 2 > 0$, nên $f(x)$ có hai nghiệm $x_1 = 1 – \sqrt{2}$ và $x_2 = 1 + \sqrt{2}$.

Hệ số $a = -1 < 0$, nên ta có bảng xét dấu:

Tập nghiệm của bất phương trình $f(x) > 0$ là $S = \left(1 – \sqrt{2};\ 1 + \sqrt{2}\right)$.

Ví dụ 3 (SGK). Giải bất phương trình $2x^2 – 20x + 48 \leq 0$ (bài toán rào vườn).

Giải:

Tam thức $f(x) = 2x^2 – 20x + 48$ có hai nghiệm $x_1 = 4$, $x_2 = 6$ và hệ số $a = 2 > 0$.

Bảng xét dấu:

Tập nghiệm của bất phương trình $f(x) \leq 0$ là $S = [4;\ 6]$.

Khoảng cách từ điểm cắm cột đến bờ tường phải từ 4 m đến 6 m thì diện tích mảnh đất không nhỏ hơn $48\ m^2$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1. Xét dấu tam thức bậc hai

Phương pháp:

• Bước 1. Xác định các hệ số $a$, $b$, $c$ của tam thức $f(x) = ax^2 + bx + c$.
• Bước 2. Tính biệt thức $\Delta = b^2 – 4ac$ (hoặc $\Delta’ = b’^2 – ac$ nếu $b$ chẵn).
• Bước 3. Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai:
  • $\Delta < 0$: $f(x)$ cùng dấu với $a$ với mọi $x$.
  • $\Delta = 0$: $f(x)$ cùng dấu với $a$ với mọi $x \neq -\dfrac{b}{2a}$; $f\left(-\dfrac{b}{2a}\right) = 0$.
  • $\Delta > 0$: Tìm hai nghiệm $x_1 < x_2$, lập bảng xét dấu theo quy tắc “trong trái, ngoài cùng”.

Bài 6.15. Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) $3x^2 – 4x + 1$

b) $x^2 + 2x + 1$

c) $-x^2 + 3x – 2$

d) $-x^2 + x – 1$

Lời giải chi tiết:

a) $f(x) = 3x^2 – 4x + 1$ với $a = 3 > 0$.

Tính $\Delta = (-4)^2 – 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 – 12 = 4 > 0$.

Vì $\Delta > 0$, tam thức có hai nghiệm phân biệt:

$$x_1 = \dfrac{4 – \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \dfrac{4 – 2}{6} = \dfrac{1}{3}, \quad x_2 = \dfrac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \dfrac{4 + 2}{6} = 1$$

Vì $a = 3 > 0$, theo quy tắc “trong trái, ngoài cùng”:

Kết luận:

• $f(x) > 0$ khi $x \in \left(-\infty;\ \dfrac{1}{3}\right) \cup (1;\ +\infty)$.
• $f(x) = 0$ khi $x = \dfrac{1}{3}$ hoặc $x = 1$.
• $f(x) < 0$ khi $x \in \left(\dfrac{1}{3};\ 1\right)$.

b) $f(x) = x^2 + 2x + 1$ với $a = 1 > 0$.

Tính $\Delta = 2^2 – 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 – 4 = 0$.

Vì $\Delta = 0$, tam thức có nghiệm kép $x = -\dfrac{2}{2 \cdot 1} = -1$.

Vì $a = 1 > 0$: $f(x) \geq 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Kết luận:

• $f(x) > 0$ với mọi $x \neq -1$.
• $f(-1) = 0$.

c) $f(x) = -x^2 + 3x – 2$ với $a = -1 < 0$.

Tính $\Delta = 3^2 – 4 \cdot (-1) \cdot (-2) = 9 – 8 = 1 > 0$.

Vì $\Delta > 0$, tam thức có hai nghiệm phân biệt:

$$x_1 = \dfrac{-3 + 1}{2 \cdot (-1)} = \dfrac{-2}{-2} = 1, \quad x_2 = \dfrac{-3 – 1}{2 \cdot (-1)} = \dfrac{-4}{-2} = 2$$

Vì $a = -1 < 0$, theo quy tắc “trong trái, ngoài cùng” (dấu ngược lại so với $a > 0$):

Kết luận:

• $f(x) > 0$ khi $x \in (1;\ 2)$.
• $f(x) = 0$ khi $x = 1$ hoặc $x = 2$.
• $f(x) < 0$ khi $x \in (-\infty;\ 1) \cup (2;\ +\infty)$.

d) $f(x) = -x^2 + x – 1$ với $a = -1 < 0$.

Tính $\Delta = 1^2 – 4 \cdot (-1) \cdot (-1) = 1 – 4 = -3 < 0$.

Vì $\Delta < 0$ và $a = -1 < 0$: $f(x)$ cùng dấu với $a$ với mọi $x$.

Kết luận: $f(x) < 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Dạng 2. Giải bất phương trình bậc hai

Phương pháp:

• Bước 1. Đưa bất phương trình về dạng chuẩn $ax^2 + bx + c > 0$ (hoặc $\geq$, $<$, $\leq$).
• Bước 2. Xét dấu tam thức $f(x) = ax^2 + bx + c$: tính $\Delta$, tìm nghiệm nếu có, lập bảng xét dấu.
• Bước 3. Từ bảng xét dấu, đọc tập nghiệm của bất phương trình:
  • $f(x) > 0$: chọn các khoảng có dấu $+$.
  • $f(x) \geq 0$: chọn các khoảng có dấu $+$, kể cả các điểm $f(x) = 0$.
  • $f(x) < 0$: chọn các khoảng có dấu $-$.
  • $f(x) \leq 0$: chọn các khoảng có dấu $-$, kể cả các điểm $f(x) = 0$.

Bài 6.16. Giải các bất phương trình bậc hai:

a) $x^2 – 1 \geq 0$

b) $x^2 – 2x – 1 < 0$

c) $-3x^2 + 12x + 1 \leq 0$

d) $5x^2 + x + 1 \geq 0$

Lời giải chi tiết:

a) $f(x) = x^2 – 1$ với $a = 1 > 0$.

Tính $\Delta = 0 – 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 > 0$.

Hai nghiệm: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$.

Bảng xét dấu:

Bất phương trình $f(x) \geq 0$: chọn khoảng có dấu $+$ và các điểm $f = 0$.

Tập nghiệm: $S = (-\infty;\ -1] \cup [1;\ +\infty)$.

b) $f(x) = x^2 – 2x – 1$ với $a = 1 > 0$.

Tính $\Delta’ = (-1)^2 – 1 \cdot (-1) = 1 + 1 = 2 > 0$.

Hai nghiệm: $x_1 = 1 – \sqrt{2}$, $x_2 = 1 + \sqrt{2}$.

Bảng xét dấu:

Bất phương trình $f(x) < 0$: chọn khoảng có dấu $-$.

Tập nghiệm: $S = \left(1 – \sqrt{2};\ 1 + \sqrt{2}\right)$.

c) $f(x) = -3x^2 + 12x + 1$ với $a = -3 < 0$.

Tính $\Delta = 12^2 – 4 \cdot (-3) \cdot 1 = 144 + 12 = 156 > 0$.

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{156} = 2\sqrt{39}$.

Hai nghiệm:

$$x_1 = \dfrac{-12 + 2\sqrt{39}}{2 \cdot (-3)} = \dfrac{-12 + 2\sqrt{39}}{-6} = \dfrac{12 – 2\sqrt{39}}{6} = \dfrac{6 – \sqrt{39}}{3}$$

$$x_2 = \dfrac{-12 – 2\sqrt{39}}{2 \cdot (-3)} = \dfrac{-12 – 2\sqrt{39}}{-6} = \dfrac{12 + 2\sqrt{39}}{6} = \dfrac{6 + \sqrt{39}}{3}$$

Vì $\sqrt{39} \approx 6{,}24$, ta có $x_1 \approx -0{,}08$ và $x_2 \approx 4{,}08$.

Vì $a = -3 < 0$, bảng xét dấu:

Bất phương trình $f(x) \leq 0$: chọn khoảng có dấu $-$ kể cả điểm $f = 0$.

Tập nghiệm: $S = \left(-\infty;\ \dfrac{6 – \sqrt{39}}{3}\right] \cup \left[\dfrac{6 + \sqrt{39}}{3};\ +\infty\right)$.

d) $f(x) = 5x^2 + x + 1$ với $a = 5 > 0$.

Tính $\Delta = 1 – 20 = -19 < 0$.

Vì $\Delta < 0$ và $a = 5 > 0$: $f(x) > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Bất phương trình $f(x) \geq 0$ luôn đúng.

Tập nghiệm: $S = \mathbb{R}$.

Dạng 3. Tìm điều kiện tham số để tam thức bậc hai luôn dương (hoặc luôn âm) với mọi $x$

Phương pháp:

Để tam thức $f(x) = ax^2 + bx + c$ luôn dương với mọi $x \in \mathbb{R}$, cần:

$$\begin{cases} a > 0 \ \Delta < 0 \end{cases}$$

Để tam thức $f(x) = ax^2 + bx + c$ luôn âm với mọi $x \in \mathbb{R}$, cần:

$$\begin{cases} a < 0 \ \Delta < 0 \end{cases}$$

Bài 6.17. Tìm các giá trị của tham số $m$ để tam thức bậc hai sau dương với mọi $x \in \mathbb{R}$:

$$x^2 + (m + 1)x + 2m + 3$$

Lời giải chi tiết:

Xét $f(x) = x^2 + (m + 1)x + 2m + 3$ với $a = 1$, $b = m + 1$, $c = 2m + 3$.

Ta có $a = 1 > 0$ (điều kiện $a > 0$ đã thoả mãn).

Để $f(x) > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta cần $\Delta < 0$.

Tính $\Delta$:

$$\Delta = (m + 1)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (2m + 3)$$

$$= m^2 + 2m + 1 – 8m – 12$$

$$= m^2 – 6m – 11$$

Giải $\Delta < 0$, tức $m^2 – 6m – 11 < 0$:

Xét tam thức $g(m) = m^2 – 6m – 11$ (theo biến $m$).

$\Delta_m = (-6)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 36 + 44 = 80$.

$\sqrt{\Delta_m} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$.

Hai nghiệm: $m_1 = \dfrac{6 – 4\sqrt{5}}{2} = 3 – 2\sqrt{5}$ và $m_2 = \dfrac{6 + 4\sqrt{5}}{2} = 3 + 2\sqrt{5}$.

Vì hệ số $a_m = 1 > 0$, tam thức $g(m) < 0$ khi $m$ nằm trong khoảng hai nghiệm:

$$3 – 2\sqrt{5} < m < 3 + 2\sqrt{5}$$

Kết luận: $f(x) > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ khi $m \in \left(3 – 2\sqrt{5};\ 3 + 2\sqrt{5}\right)$.

Dạng 4. Bài toán thực tế về bất phương trình bậc hai

Phương pháp:

• Bước 1. Đọc kỹ đề, xác định đại lượng cần tìm, lập biểu thức hàm số bậc hai từ dữ kiện bài toán.
• Bước 2. Chuyển yêu cầu bài toán thành bất phương trình bậc hai.
• Bước 3. Giải bất phương trình bậc hai bằng cách xét dấu tam thức.
• Bước 4. Kết hợp điều kiện thực tế (ví dụ $t \geq 0$, $0 \leq x \leq 4$,…) để kết luận.

Bài 6.18. Một vật được ném theo phương thẳng đứng xuống dưới từ độ cao 320 m với vận tốc ban đầu $v_0 = 20$ m/s. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu giây, vật đó cách mặt đất không quá 100 m? Giả thiết sức cản của không khí là không đáng kể.

Lời giải chi tiết:

Độ cao của vật so với mặt đất được cho bởi công thức:

$$h(t) = h_0 + v_0 t – \frac{1}{2}gt^2 = 320 + 20t – 4{,}9t^2 \quad (\text{m})$$

Vật cách mặt đất không quá 100 m khi và chỉ khi $h(t) \leq 100$, tức là:

$$320 + 20t – 4{,}9t^2 \leq 100$$

$$\Leftrightarrow \quad 4{,}9t^2 – 20t – 220 \geq 0$$

Giải bất phương trình:

$$\begin{cases} t \geq \dfrac{10 + \sqrt{1178}}{4{,}9} \\[10pt] t \leq \dfrac{10 – \sqrt{1178}}{4{,}9} \end{cases}$$

Do $t > 0$, ta chọn nghiệm:

$$t \geq \frac{10 + \sqrt{1178}}{4{,}9} \approx 9{,}05 \text{ (s)}$$

Bài 6.19. Xét đường tròn đường kính $AB = 4$ và một điểm $M$ di chuyển trên đoạn $AB$, đặt $AM = x$. Xét hai đường tròn đường kính $AM$ và $MB$. Kí hiệu $S(x)$ là diện tích phần hình phẳng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ. Xác định các giá trị của $x$ để diện tích $S(x)$ không vượt quá một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ.

Lời giải chi tiết:

Bước 1. Tính các diện tích.

• Đường tròn lớn có đường kính $AB = 4$, bán kính $R = 2$. Diện tích: $S_{\text{lớn}} = \pi R^2 = 4\pi$.
• $AM = x$ (với $0 \leq x \leq 4$), suy ra $MB = 4 – x$.
• Đường tròn nhỏ 1 (đường kính $AM = x$): bán kính $r_1 = \dfrac{x}{2}$, diện tích $S_1 = \pi \cdot \dfrac{x^2}{4}$.
• Đường tròn nhỏ 2 (đường kính $MB = 4 – x$): bán kính $r_2 = \dfrac{4 – x}{2}$, diện tích $S_2 = \pi \cdot \dfrac{(4 – x)^2}{4}$.

Diện tích phần nằm trong hình tròn lớn và ngoài hai hình tròn nhỏ:

$$S(x) = S_{\text{lớn}} – S_1 – S_2 = 4\pi – \dfrac{\pi x^2}{4} – \dfrac{\pi(4 – x)^2}{4}$$

Tổng diện tích hai hình tròn nhỏ:

$$S_1 + S_2 = \dfrac{\pi x^2}{4} + \dfrac{\pi(4 – x)^2}{4}$$

Bước 2. Lập bất phương trình.

Yêu cầu $S(x) \leq \dfrac{1}{2}(S_1 + S_2)$:

$$4\pi – \dfrac{\pi x^2}{4} – \dfrac{\pi(4 – x)^2}{4} \leq \dfrac{1}{2}\left[\dfrac{\pi x^2}{4} + \dfrac{\pi(4 – x)^2}{4}\right]$$

Chia hai vế cho $\pi > 0$:

$$4 – \dfrac{x^2}{4} – \dfrac{(4 – x)^2}{4} \leq \dfrac{1}{2}\left[\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{(4 – x)^2}{4}\right]$$

Nhân hai vế với 4:

$$16 – x^2 – (4 – x)^2 \leq \dfrac{1}{2}\left[x^2 + (4 – x)^2\right]$$

Bước 3. Rút gọn.

Khai triển $(4 – x)^2 = 16 – 8x + x^2$.

Vế trái: $16 – x^2 – (16 – 8x + x^2) = 16 – x^2 – 16 + 8x – x^2 = -2x^2 + 8x$.

Vế phải: $\dfrac{1}{2}\left[x^2 + 16 – 8x + x^2\right] = \dfrac{1}{2}(2x^2 – 8x + 16) = x^2 – 4x + 8$.

Bất phương trình trở thành:

$$-2x^2 + 8x \leq x^2 – 4x + 8$$

$$0 \leq 3x^2 – 12x + 8$$

$$3x^2 – 12x + 8 \geq 0 \quad (**)$$

Bước 4. Giải bất phương trình.

Xét $f(x) = 3x^2 – 12x + 8$ với $a = 3 > 0$.

$\Delta’ = (-6)^2 – 3 \cdot 8 = 36 – 24 = 12 > 0$.

$\sqrt{\Delta’} = 2\sqrt{3}$.

Hai nghiệm:

$$x_1 = \dfrac{6 – 2\sqrt{3}}{3}, \quad x_2 = \dfrac{6 + 2\sqrt{3}}{3}$$

Vì $a = 3 > 0$: $f(x) \geq 0$ khi $x \leq x_1$ hoặc $x \geq x_2$.

Bước 5. Kết hợp điều kiện $0 \leq x \leq 4$.

Ta có $x_1 = \dfrac{6 – 2\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}85$ và $x_2 = \dfrac{6 + 2\sqrt{3}}{3} \approx 3{,}15$.

Kết hợp với $0 \leq x \leq 4$:

$$x \in \left[0;\ \dfrac{6 – 2\sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\dfrac{6 + 2\sqrt{3}}{3};\ 4\right]$$

Kết luận: Diện tích $S(x)$ không vượt quá một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ khi $x \in \left[0;\ \dfrac{6 – 2\sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\dfrac{6 + 2\sqrt{3}}{3};\ 4\right]$.

Sai lầm thường gặp

Tổng kết

Tam thức bậc hai: $f(x) = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$), với biệt thức $\Delta = b^2 – 4ac$.

Định lí về dấu của tam thức bậc hai:

Giải bất phương trình bậc hai: Xét dấu tam thức → đọc tập nghiệm từ bảng xét dấu.

Điều kiện tham số:

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh