Tình huống thực tiễn: Năm 2020, số dân của một thành phố trực thuộc tỉnh là khoảng 500 nghìn người. Người ta ước tính rằng số dân của thành phố đó sẽ tăng trưởng với tốc độ khoảng 2% mỗi năm. Khi đó số dân $P_n$ (nghìn người) của thành phố đó sau $n$ năm, kể từ năm 2020, được tính bằng công thức:

$$P_n = 500(1 + 0.02)^n$$

Hỏi nếu tăng trưởng theo quy luật như vậy thì vào năm 2030, số dân của thành phố đó là khoảng bao nhiêu nghìn người?

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu về khái niệm dãy số!

1. Định nghĩa dãy số

Dãy số vô hạn

Ví dụ dẫn nhập: Viết năm số chính phương đầu tiên theo thứ tự tăng dần:

$$1, 4, 9, 16, 25, \ldots$$

Ta nhận thấy số chính phương thứ $n$ là $n^2$. Từ công thức này, ta có thể viết được dãy gồm tất cả các số chính phương.

Định nghĩa: Mỗi hàm số $u$ xác định trên tập các số nguyên dương $\mathbb{N}^*$ được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số), ký hiệu là $u = u(n)$.

Cách viết và ký hiệu:

• Ta thường viết $u_n$ thay cho $u(n)$
• Ký hiệu dãy số: $(u_n)$
• Dạng khai triển: $u_1, u_2, u_3, \ldots, u_n, \ldots$

Thuật ngữ:

Chú ý: Nếu $u_n = c$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$ (với $c$ là hằng số) thì $(u_n)$ được gọi là dãy số không đổi (dãy hằng).

Ví dụ 1: Xác định số hạng đầu và số hạng tổng quát của mỗi dãy số sau:

a) Dãy số $(u_n)$ các số tự nhiên lẻ theo thứ tự tăng dần: $1, 3, 5, 7, \ldots$

b) Dãy số $(v_n)$ các số nguyên dương chia hết cho 5, sắp xếp từ bé đến lớn: $5, 10, 15, 20, \ldots$

Giải:

a) Quan sát dãy số: $1, 3, 5, 7, \ldots$

• Số hạng thứ 1: $u_1 = 1 = 2 \cdot 1 – 1$
• Số hạng thứ 2: $u_2 = 3 = 2 \cdot 2 – 1$
• Số hạng thứ 3: $u_3 = 5 = 2 \cdot 3 – 1$
• Số hạng thứ $n$: $u_n = 2n – 1$

Vậy dãy $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 1$ và số hạng tổng quát $u_n = 2n – 1$.

b) Quan sát dãy số: $5, 10, 15, 20, \ldots$

• Số hạng thứ 1: $v_1 = 5 = 5 \cdot 1$
• Số hạng thứ 2: $v_2 = 10 = 5 \cdot 2$
• Số hạng thứ 3: $v_3 = 15 = 5 \cdot 3$
• Số hạng thứ $n$: $v_n = 5n$

Vậy dãy $(v_n)$ có số hạng đầu $v_1 = 5$ và số hạng tổng quát $v_n = 5n$.

Dãy số hữu hạn

Định nghĩa: Mỗi hàm số $u$ xác định trên tập $M = {1; 2; 3; \ldots; m}$ với $m \in \mathbb{N}^*$ được gọi là một dãy số hữu hạn.

Dạng khai triển: $u_1, u_2, \ldots, u_m$

Thuật ngữ:

Ví dụ 2: Xét dãy số hữu hạn gồm các số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 20, sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn.

a) Liệt kê tất cả các số hạng của dãy số hữu hạn này.

b) Tìm số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số đó.

Giải:

a) Các số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 20 là: $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19$.

b) Số hạng đầu của dãy số là $u_1 = 1$ và số hạng cuối của dãy số là $u_{10} = 19$.

2. Các cách cho một dãy số

Một dãy số có thể được cho bằng một trong các cách sau:

Chú ý: Cách liệt kê chỉ dùng cho các dãy số hữu hạn và có ít số hạng.

Cho dãy số bằng công thức số hạng tổng quát

Ví dụ 3: Tìm năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của dãy số $(u_n)$ cho bởi công thức số hạng tổng quát sau:

a) $u_n = 2n$

b) $u_n = \dfrac{(-1)^n}{n}$

Giải:

a) Với $u_n = 2n$:

• $u_1 = 2 \cdot 1 = 2$
• $u_2 = 2 \cdot 2 = 4$
• $u_3 = 2 \cdot 3 = 6$
• $u_4 = 2 \cdot 4 = 8$
• $u_5 = 2 \cdot 5 = 10$

Vậy năm số hạng đầu của dãy số là: $2, 4, 6, 8, 10$.

Số hạng thứ 100: $u_{100} = 2 \cdot 100 = 200$.

b) Với $u_n = \dfrac{(-1)^n}{n}$:

• $u_1 = \dfrac{(-1)^1}{1} = \dfrac{-1}{1} = -1$
• $u_2 = \dfrac{(-1)^2}{2} = \dfrac{1}{2}$
• $u_3 = \dfrac{(-1)^3}{3} = \dfrac{-1}{3} = -\dfrac{1}{3}$
• $u_4 = \dfrac{(-1)^4}{4} = \dfrac{1}{4}$
• $u_5 = \dfrac{(-1)^5}{5} = \dfrac{-1}{5} = -\dfrac{1}{5}$

Vậy năm số hạng đầu của dãy số là: $-1, \dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{4}, -\dfrac{1}{5}$.

Số hạng thứ 100: $u_{100} = \dfrac{(-1)^{100}}{100} = \dfrac{1}{100}$ (vì $(-1)^{100} = 1$).

Cho dãy số bằng phương pháp mô tả

Ví dụ 4: Xét dãy số gồm tất cả các số nguyên tố theo thứ tự tăng dần. Viết năm số hạng đầu của dãy số đó.

Giải:

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 mà chỉ có hai ước số là 1 và chính nó.

Các số nguyên tố theo thứ tự tăng dần: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, \ldots$

Vậy năm số hạng đầu của dãy số là: $2, 3, 5, 7, 11$.

Chú ý: Dãy số các số nguyên tố được cho bằng phương pháp mô tả (số hạng thứ $n$ là số nguyên tố thứ $n$). Cho đến nay, người ta vẫn chưa tìm được công thức tính số nguyên tố thứ $n$ theo $n$.

Cho dãy số bằng hệ thức truy hồi

Định nghĩa: Hệ thức truy hồi là hệ thức biểu thị số hạng thứ $n$ của dãy số qua một hoặc vài số hạng đứng trước nó.

Ví dụ 5: Cho dãy số $(u_n)$ xác định bằng hệ thức truy hồi:

$$\begin{cases} u_1 = 1 \\ u_n = 3u_{n-1} + 2 \quad \text{với } n \geq 2 \end{cases}$$

Viết ba số hạng đầu của dãy số này.

Giải:

• Số hạng đầu: $u_1 = 1$ (đã cho)
• Số hạng thứ 2: Thay $n = 2$ vào hệ thức truy hồi: $$u_2 = 3u_1 + 2 = 3 \cdot 1 + 2 = 5$$
• Số hạng thứ 3: Thay $n = 3$ vào hệ thức truy hồi: $$u_3 = 3u_2 + 2 = 3 \cdot 5 + 2 = 17$$

Vậy ba số hạng đầu của dãy số là: $1, 5, 17$.

Ví dụ 6 (Dãy Fibonacci): Viết năm số hạng đầu của dãy số Fibonacci $(F_n)$ cho bởi hệ thức truy hồi:

$$\begin{cases} F_1 = 1, \quad F_2 = 1 \\ F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \quad \text{với } n \geq 3 \end{cases}$$

Giải:

• $F_1 = 1$ (đã cho)
• $F_2 = 1$ (đã cho)
• $F_3 = F_2 + F_1 = 1 + 1 = 2$
• $F_4 = F_3 + F_2 = 2 + 1 = 3$
• $F_5 = F_4 + F_3 = 3 + 2 = 5$

Vậy năm số hạng đầu của dãy Fibonacci là: $1, 1, 2, 3, 5$.

Thông tin thêm: Dãy Fibonacci xuất hiện rất nhiều trong tự nhiên như: số cánh hoa, cách sắp xếp lá trên cành, hình xoắn ốc của vỏ sò, …

Ví dụ 7 (Giải bài toán mở đầu):

Giải:

Ta có công thức tính số dân sau $n$ năm: $P_n = 500 \cdot (1.02)^n$

Năm 2030 cách năm 2020 là: $n = 2030 – 2020 = 10$ năm.

Thay $n = 10$ vào công thức:

$$P_{10} = 500 \cdot (1.02)^{10} \approx 500 \cdot 1.219 \approx 609 \text{ (nghìn người)}$$

Kết luận: Vào năm 2030, số dân của thành phố đó là khoảng 609 nghìn người.

Biểu diễn dãy số trên trục số

Để có hình ảnh trực quan về dãy số, ta thường biểu diễn các số hạng của nó trên trục số.

Ví dụ: Xét dãy số $(u_n)$ với $u_n = \dfrac{(-1)^n}{2^n}$

Năm số hạng đầu:

• $u_1 = \dfrac{(-1)^1}{2^1} = -\dfrac{1}{2}$
• $u_2 = \dfrac{(-1)^2}{2^2} = \dfrac{1}{4}$
• $u_3 = \dfrac{(-1)^3}{2^3} = -\dfrac{1}{8}$
• $u_4 = \dfrac{(-1)^4}{2^4} = \dfrac{1}{16}$
• $u_5 = \dfrac{(-1)^5}{2^5} = -\dfrac{1}{32}$

3. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn

Dãy số tăng, dãy số giảm

Định nghĩa:

• Dãy số $(u_n)$ được gọi là dãy số tăng nếu $u_{n+1} > u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.
• Dãy số $(u_n)$ được gọi là dãy số giảm nếu $u_{n+1} < u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.

Cách xét tính tăng, giảm:

Ví dụ 8: Xét tính tăng, giảm của dãy số $(u_n)$ với $u_n = -2n + 5$.

Giải:

Bước 1: Tính $u_{n+1}$

Thay $n$ bởi $n + 1$ vào công thức $u_n = -2n + 5$:

$$u_{n+1} = -2(n + 1) + 5 = -2n – 2 + 5 = -2n + 3$$

Bước 2: Tính hiệu $u_{n+1} – u_n$

$$u_{n+1} – u_n = (-2n + 3) – (-2n + 5) = -2n + 3 + 2n – 5 = -2$$

Bước 3: Xét dấu và kết luận

Ta có $u_{n+1} – u_n = -2 < 0$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.

Suy ra $u_{n+1} < u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.

Kết luận: Dãy số $(u_n)$ là dãy số giảm.

Dãy số bị chặn

Định nghĩa:

• Dãy số $(u_n)$ được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số $M$ sao cho $u_n \leq M$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.
• Dãy số $(u_n)$ được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số $m$ sao cho $u_n \geq m$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.
• Dãy số $(u_n)$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số $m, M$ sao cho $m \leq u_n \leq M$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.

Ví dụ 9: Xét tính bị chặn của dãy số $(u_n)$ với $u_n = \dfrac{n – 1}{n}$.

Giải:

Bước 1: Biến đổi $u_n$

$$u_n = \dfrac{n – 1}{n} = \dfrac{n}{n} – \dfrac{1}{n} = 1 – \dfrac{1}{n}$$

Bước 2: Xét tính bị chặn trên

Với mọi $n \in \mathbb{N}^*$, ta có $\dfrac{1}{n} > 0$.

Suy ra: $u_n = 1 – \dfrac{1}{n} < 1$.

Vậy dãy số $(u_n)$ bị chặn trên bởi $M = 1$.

Bước 3: Xét tính bị chặn dưới

Với mọi $n \in \mathbb{N}^*$, ta có $n – 1 \geq 0$ và $n > 0$.

Suy ra: $u_n = \dfrac{n – 1}{n} \geq 0$.

Vậy dãy số $(u_n)$ bị chặn dưới bởi $m = 0$.

Kết luận: Dãy số $(u_n)$ bị chặn vì $0 \leq u_n < 1$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.

4. Phương pháp giải các dạng toán

Dạng 1: Viết các số hạng từ công thức tổng quát

Phương pháp:

Ví dụ 10: Viết năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n = 3n – 2$.

Giải:

Tìm năm số hạng đầu:

• Với $n = 1$: $u_1 = 3 \cdot 1 – 2 = 3 – 2 = 1$
• Với $n = 2$: $u_2 = 3 \cdot 2 – 2 = 6 – 2 = 4$
• Với $n = 3$: $u_3 = 3 \cdot 3 – 2 = 9 – 2 = 7$
• Với $n = 4$: $u_4 = 3 \cdot 4 – 2 = 12 – 2 = 10$
• Với $n = 5$: $u_5 = 3 \cdot 5 – 2 = 15 – 2 = 13$

Vậy năm số hạng đầu là: $1, 4, 7, 10, 13$.

Tìm số hạng thứ 100:

Với $n = 100$: $u_{100} = 3 \cdot 100 – 2 = 300 – 2 = 298$.

Ví dụ 11: Viết năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n = 3 \cdot 2^n$.

Giải:

Tìm năm số hạng đầu:

• Với $n = 1$: $u_1 = 3 \cdot 2^1 = 3 \cdot 2 = 6$
• Với $n = 2$: $u_2 = 3 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12$
• Với $n = 3$: $u_3 = 3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = 24$
• Với $n = 4$: $u_4 = 3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48$
• Với $n = 5$: $u_5 = 3 \cdot 2^5 = 3 \cdot 32 = 96$

Vậy năm số hạng đầu là: $6, 12, 24, 48, 96$.

Tìm số hạng thứ 100:

Với $n = 100$: $u_{100} = 3 \cdot 2^{100}$.

Ví dụ 12: Viết năm số hạng đầu của dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$.

Giải:

• Với $n = 1$: $u_1 = \left(1 + \dfrac{1}{1}\right)^1 = 2^1 = 2$
• Với $n = 2$: $u_2 = \left(1 + \dfrac{1}{2}\right)^2 = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4} = 2.25$
• Với $n = 3$: $u_3 = \left(1 + \dfrac{1}{3}\right)^3 = \left(\dfrac{4}{3}\right)^3 = \dfrac{64}{27} \approx 2.37$
• Với $n = 4$: $u_4 = \left(1 + \dfrac{1}{4}\right)^4 = \left(\dfrac{5}{4}\right)^4 = \dfrac{625}{256} \approx 2.44$
• Với $n = 5$: $u_5 = \left(1 + \dfrac{1}{5}\right)^5 = \left(\dfrac{6}{5}\right)^5 = \dfrac{7776}{3125} \approx 2.49$

Vậy năm số hạng đầu là: $2; \dfrac{9}{4}; \dfrac{64}{27}; \dfrac{625}{256}; \dfrac{7776}{3125}$.

Nhận xét: Dãy số này tiến dần đến số $e \approx 2.718$ khi $n$ tiến đến vô cùng.

Dạng 2: Viết các số hạng từ hệ thức truy hồi

Phương pháp:

Lưu ý: Phải tính theo thứ tự từ số hạng đầu tiên, không thể tính “nhảy cóc”.

Ví dụ 13: Dãy số $(u_n)$ cho bởi hệ thức truy hồi:

$$\begin{cases} u_1 = 1 \\ u_n = n \cdot u_{n-1} \quad \text{với } n \geq 2 \end{cases}$$

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát $u_n$.

Giải:

a) Tìm năm số hạng đầu:

• $u_1 = 1$ (đã cho)
• Với $n = 2$: $u_2 = 2 \cdot u_1 = 2 \cdot 1 = 2$
• Với $n = 3$: $u_3 = 3 \cdot u_2 = 3 \cdot 2 = 6$
• Với $n = 4$: $u_4 = 4 \cdot u_3 = 4 \cdot 6 = 24$
• Với $n = 5$: $u_5 = 5 \cdot u_4 = 5 \cdot 24 = 120$

Vậy năm số hạng đầu của dãy số là: $1, 2, 6, 24, 120$.

b) Dự đoán công thức tổng quát:

Nhận xét:

• $u_1 = 1 = 1!$
• $u_2 = 2 = 2!$
• $u_3 = 6 = 3!$
• $u_4 = 24 = 4!$
• $u_5 = 120 = 5!$

Dự đoán: $u_n = n!$ (đọc là “$n$ giai thừa”).

(Nhắc lại: $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$)

Ví dụ 14: Viết năm số hạng đầu của dãy số $(u_n)$ với số hạng tổng quát $u_n = n!$

Giải:

• $u_1 = 1! = 1$
• $u_2 = 2! = 1 \cdot 2 = 2$
• $u_3 = 3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$
• $u_4 = 4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$
• $u_5 = 5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$

Vậy năm số hạng đầu là: $1, 2, 6, 24, 120$.

Dạng 3: Xét tính tăng, giảm của dãy số

Phương pháp:

Mẹo nhanh cho dãy $u_n = an + b$:

• Nếu $a > 0$: dãy số tăng
• Nếu $a < 0$: dãy số giảm

Ví dụ 15: Xét tính tăng, giảm của dãy số $(u_n)$ với $u_n = 2n – 1$.

Giải:

Bước 1: Tính $u_{n+1}$

$$u_{n+1} = 2(n + 1) – 1 = 2n + 2 – 1 = 2n + 1$$

Bước 2: Tính hiệu $u_{n+1} – u_n$

$$u_{n+1} – u_n = (2n + 1) – (2n – 1) = 2n + 1 – 2n + 1 = 2$$

Bước 3: Xét dấu

Ta có $u_{n+1} – u_n = 2 > 0$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.

Bước 4: Kết luận

Vì $u_{n+1} – u_n > 0$ nên $u_{n+1} > u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.

Vậy dãy số $(u_n)$ là dãy số tăng.

Ví dụ 16: Xét tính tăng, giảm của dãy số $(u_n)$ với $u_n = -3n + 2$.

Giải:

Bước 1: Tính $u_{n+1}$

$$u_{n+1} = -3(n + 1) + 2 = -3n – 3 + 2 = -3n – 1$$

Bước 2: Tính hiệu $u_{n+1} – u_n$

$$u_{n+1} – u_n = (-3n – 1) – (-3n + 2) = -3n – 1 + 3n – 2 = -3$$

Bước 3: Xét dấu

Ta có $u_{n+1} – u_n = -3 < 0$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.

Bước 4: Kết luận

Vì $u_{n+1} – u_n < 0$ nên $u_{n+1} < u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.

Vậy dãy số $(u_n)$ là dãy số giảm.

Ví dụ 17: Xét tính tăng, giảm của dãy số $(u_n)$ với $u_n = \dfrac{1}{n + 1}$.

Giải:

Bước 1: Tính $u_{n+1}$

$$u_{n+1} = \dfrac{1}{(n + 1) + 1} = \dfrac{1}{n + 2}$$

Bước 2: Tính hiệu $u_{n+1} – u_n$

$$u_{n+1} – u_n = \dfrac{1}{n + 2} – \dfrac{1}{n + 1}$$

Quy đồng mẫu số:

$$u_{n+1} – u_n = \dfrac{n + 1}{(n + 2)(n + 1)} – \dfrac{n + 2}{(n + 1)(n + 2)} = \dfrac{(n + 1) – (n + 2)}{(n + 1)(n + 2)}$$

$$= \dfrac{n + 1 – n – 2}{(n + 1)(n + 2)} = \dfrac{-1}{(n + 1)(n + 2)}$$

Bước 3: Xét dấu

Với mọi $n \in \mathbb{N}^*$:

• Tử số: $-1 < 0$
• Mẫu số: $(n + 1)(n + 2) > 0$

Suy ra: $u_{n+1} – u_n = \dfrac{-1}{(n + 1)(n + 2)} < 0$

Bước 4: Kết luận

Vì $u_{n+1} – u_n < 0$ nên $u_{n+1} < u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.

Vậy dãy số $(u_n)$ là dãy số giảm.

Dạng 4: Xét tính bị chặn của dãy số

Phương pháp:

Một số kết quả cần nhớ:

• $\dfrac{1}{n} > 0$ và $\dfrac{1}{n} \leq 1$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$
• $-1 \leq \sin n \leq 1$ và $-1 \leq \cos n \leq 1$ với mọi $n$
• Dãy tăng và không bị chặn trên → không bị chặn
• Dãy giảm và không bị chặn dưới → không bị chặn

Ví dụ 18: Xét tính bị chặn của dãy số $(u_n)$ với $u_n = n – 1$.

Giải:

Xét tính bị chặn dưới:

Với mọi $n \in \mathbb{N}^*$, ta có $n \geq 1$.

Suy ra: $u_n = n – 1 \geq 1 – 1 = 0$.

Vậy dãy số bị chặn dưới bởi $m = 0$.

Xét tính bị chặn trên:

Khi $n$ tăng, $u_n = n – 1$ cũng tăng và không bị chặn.

Cụ thể: với mọi số $M > 0$, luôn tồn tại $n$ đủ lớn sao cho $u_n = n – 1 > M$.

(Ví dụ: chọn $n > M + 1$ thì $u_n = n – 1 > M$)

Vậy dãy số không bị chặn trên.

Kết luận: Dãy số $(u_n)$ chỉ bị chặn dưới, không bị chặn.

Ví dụ 19: Xét tính bị chặn của dãy số $(u_n)$ với $u_n = \dfrac{n + 1}{n + 2}$.

Giải:

Bước 1: Biến đổi $u_n$

$$u_n = \dfrac{n + 1}{n + 2} = \dfrac{(n + 2) – 1}{n + 2} = 1 – \dfrac{1}{n + 2}$$

Bước 2: Xét tính bị chặn trên

Với mọi $n \in \mathbb{N}^*$, ta có $\dfrac{1}{n + 2} > 0$.

Suy ra: $u_n = 1 – \dfrac{1}{n + 2} < 1$.

Vậy dãy số bị chặn trên bởi $M = 1$.

Bước 3: Xét tính bị chặn dưới

Với mọi $n \in \mathbb{N}^*$, ta có:

• $n + 1 > 0$
• $n + 2 > 0$

Suy ra: $u_n = \dfrac{n + 1}{n + 2} > 0$.

Vậy dãy số bị chặn dưới bởi $m = 0$.

Kết luận: Dãy số $(u_n)$ bị chặn vì $0 < u_n < 1$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.

Ví dụ 20: Xét tính bị chặn của dãy số $(u_n)$ với $u_n = \sin n$.

Giải:

Ta biết rằng với mọi số thực $x$, ta luôn có $-1 \leq \sin x \leq 1$.

Do đó, với mọi $n \in \mathbb{N}^*$: $-1 \leq \sin n \leq 1$, tức là $-1 \leq u_n \leq 1$.

Kết luận: Dãy số $(u_n)$ bị chặn với cận dưới $m = -1$ và cận trên $M = 1$.

Ví dụ 21: Xét tính bị chặn của dãy số $(u_n)$ với $u_n = (-1)^{n-1} \cdot n^2$.

Giải:

Viết một vài số hạng đầu:

• $u_1 = (-1)^0 \cdot 1^2 = 1 \cdot 1 = 1$
• $u_2 = (-1)^1 \cdot 2^2 = -1 \cdot 4 = -4$
• $u_3 = (-1)^2 \cdot 3^2 = 1 \cdot 9 = 9$
• $u_4 = (-1)^3 \cdot 4^2 = -1 \cdot 16 = -16$
• $u_5 = (-1)^4 \cdot 5^2 = 1 \cdot 25 = 25$

Dãy số là: $1, -4, 9, -16, 25, \ldots$

Nhận xét:

• Với $n$ lẻ: $u_n = n^2 > 0$ và tăng đến vô cùng → không bị chặn trên.
• Với $n$ chẵn: $u_n = -n^2 < 0$ và giảm đến âm vô cùng → không bị chặn dưới.

Kết luận: Dãy số $(u_n)$ không bị chặn.

Dạng 5: Viết công thức số hạng tổng quát từ quy luật

Phương pháp:

Các quy luật thường gặp:

Ví dụ 22: Viết số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương chia hết cho 3.

Giải:

Bước 1: Liệt kê một vài số hạng đầu

Các số nguyên dương chia hết cho 3 theo thứ tự tăng dần: $3, 6, 9, 12, 15, \ldots$

Bước 2: Tìm quy luật

• Số hạng thứ 1: $u_1 = 3 = 3 \cdot 1$
• Số hạng thứ 2: $u_2 = 6 = 3 \cdot 2$
• Số hạng thứ 3: $u_3 = 9 = 3 \cdot 3$
• Số hạng thứ $n$: $u_n = 3 \cdot n$

Bước 3: Viết công thức

$$u_n = 3n$$

Bước 4: Kiểm tra

• $n = 1$: $u_1 = 3 \cdot 1 = 3$ ✓
• $n = 4$: $u_4 = 3 \cdot 4 = 12$ ✓

Ví dụ 23: Viết số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương khi chia cho 4 dư 1.

Giải:

Bước 1: Liệt kê một vài số hạng đầu

Các số nguyên dương chia cho 4 dư 1 theo thứ tự tăng dần: $1, 5, 9, 13, 17, \ldots$

Bước 2: Tìm quy luật

Nhận xét: Các số hạng cách nhau 4 đơn vị.

• $u_1 = 1 = 4 \cdot 1 – 3$
• $u_2 = 5 = 4 \cdot 2 – 3$
• $u_3 = 9 = 4 \cdot 3 – 3$
• $u_n = 4n – 3$

Bước 3: Viết công thức

$$u_n = 4n – 3$$

Bước 4: Kiểm tra

• $n = 1$: $u_1 = 4 \cdot 1 – 3 = 1$ ✓
• $n = 5$: $u_5 = 4 \cdot 5 – 3 = 17$ ✓

Dạng 6: Bài toán thực tế (lãi suất, tăng trưởng)

Công thức lãi kép:

$$A_n = A_0 \cdot (1 + r)^n$$

trong đó:

• $A_0$: số tiền gốc ban đầu
• $r$: lãi suất mỗi kỳ (dạng thập phân)
• $n$: số kỳ hạn
• $A_n$: số tiền sau $n$ kỳ

Công thức tăng trưởng:

$$P_n = P_0 \cdot (1 + r)^n$$

trong đó:

• $P_0$: giá trị ban đầu
• $r$: tỷ lệ tăng trưởng mỗi kỳ
• $n$: số kỳ
• $P_n$: giá trị sau $n$ kỳ

Ví dụ 24: Ông An gửi tiết kiệm 100 triệu đồng kỳ hạn 1 tháng với lãi suất 6% một năm theo hình thức tính lãi kép. Số tiền (triệu đồng) của ông An thu được sau $n$ tháng được cho bởi công thức:

$$A_n = 100 \cdot \left(1 + \dfrac{0.06}{12}\right)^n$$

a) Tìm số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất, sau tháng thứ hai.

b) Tìm số tiền ông An nhận được sau 1 năm.

Giải:

a) Tính số tiền sau tháng thứ nhất và thứ hai:

Lãi suất mỗi tháng: $r = \dfrac{0.06}{12} = 0.005$

• Sau tháng thứ nhất ($n = 1$): $$A_1 = 100 \cdot (1 + 0.005)^1 = 100 \cdot 1.005 = 100.5 \text{ (triệu đồng)}$$
• Sau tháng thứ hai ($n = 2$): $$A_2 = 100 \cdot (1.005)^2 = 100 \cdot 1.010025 \approx 101.0025 \text{ (triệu đồng)}$$

b) Tính số tiền sau 1 năm:

Sau 1 năm tức là sau 12 tháng ($n = 12$):

$$A_{12} = 100 \cdot (1.005)^{12} \approx 100 \cdot 1.0617 \approx 106.17 \text{ (triệu đồng)}$$

Ví dụ 25: Anh Thanh vừa được tuyển dụng vào một công ty công nghệ, được cam kết lương năm đầu sẽ là 200 triệu đồng và lương mỗi năm tiếp theo sẽ được tăng thêm 25 triệu đồng. Gọi $s_n$ (triệu đồng) là lương vào năm thứ $n$ mà anh Thanh làm việc cho công ty đó. Khi đó ta có:

$$\begin{cases} s_1 = 200 \\ s_n = s_{n-1} + 25 \quad \text{với } n \geq 2 \end{cases}$$

a) Tính lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty.

b) Chứng minh $(s_n)$ là dãy số tăng. Giải thích ý nghĩa thực tế của kết quả này.

Giải:

a) Tính lương năm thứ 5:

• $s_1 = 200$ (triệu đồng)
• $s_2 = s_1 + 25 = 200 + 25 = 225$ (triệu đồng)
• $s_3 = s_2 + 25 = 225 + 25 = 250$ (triệu đồng)
• $s_4 = s_3 + 25 = 250 + 25 = 275$ (triệu đồng)
• $s_5 = s_4 + 25 = 275 + 25 = 300$ (triệu đồng)

Vậy lương của anh Thanh vào năm thứ 5 là 300 triệu đồng.

b) Chứng minh $(s_n)$ là dãy số tăng:

Từ hệ thức truy hồi: $s_n = s_{n-1} + 25$

Suy ra: $s_n – s_{n-1} = 25 > 0$ với mọi $n \geq 2$.

Do đó: $s_n > s_{n-1}$ với mọi $n \geq 2$.

Vậy $(s_n)$ là dãy số tăng.

Ý nghĩa thực tế: Lương của anh Thanh tăng đều qua các năm, năm sau luôn cao hơn năm trước 25 triệu đồng.

Tổng hợp mẹo nhớ

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh