Trong hình học phẳng, chúng ta đã làm quen với hai đối tượng cơ bản là điểm và đường thẳng. Khi chuyển sang hình học không gian, một đối tượng mới xuất hiện: mặt phẳng. Bài học này sẽ giúp các em hiểu rõ về mặt phẳng và mối quan hệ giữa điểm, đường thẳng với mặt phẳng trong không gian.

1. Khái niệm mở đầu

1.1. Mặt phẳng là gì?

Mặt bàn, màn hình máy tính, mặt nước yên tĩnh… là những hình ảnh về một phần của mặt phẳng.

Đặc điểm của mặt phẳng:

• Không có bề dày
• Không có giới hạn (trải rộng vô tận về mọi phía)

1.2. Cách biểu diễn mặt phẳng

Để biểu diễn mặt phẳng, ta thường dùng:

• Một hình bình hành và viết tên mặt phẳng vào một góc
• Hoặc một góc và viết tên mặt phẳng ở bên trong

1.3. Ký hiệu mặt phẳng

Mặt phẳng được ký hiệu bằng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hy Lạp đặt trong dấu ngoặc đơn:

$$\text{Ví dụ: } (P), \ (Q), \ (\alpha), \ (ABC), \ (ABCD)…$$

1.4. Điểm thuộc mặt phẳng

1.5. Quy tắc vẽ hình biểu diễn

Khi vẽ hình không gian trên mặt phẳng (giấy, bảng), ta cần tuân thủ các quy tắc sau:

2. Các tính chất thừa nhận

Đây là những tính chất cơ bản được thừa nhận mà không cần chứng minh, làm nền tảng cho toàn bộ hình học không gian.

Tính chất 1: Đường thẳng qua hai điểm

Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.

Ý nghĩa: Hai điểm phân biệt xác định duy nhất một đường thẳng.

Tính chất 2: Mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng

Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

Ký hiệu: Mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng $A$, $B$, $C$ được ký hiệu là $(ABC)$.

Hệ quả quan trọng:

• Nếu có nhiều điểm cùng thuộc một mặt phẳng → các điểm đó đồng phẳng
• Nếu không có mặt phẳng nào chứa tất cả các điểm → các điểm đó không đồng phẳng

❓ Câu hỏi: Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba điểm thẳng hàng?

Trả lời: Có vô số mặt phẳng đi qua ba điểm thẳng hàng.

Tính chất 3: Tồn tại bốn điểm không đồng phẳng

Tính chất 3: Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.

Ý nghĩa: Không gian có “chiều sâu”, không phải mọi điểm đều nằm trên cùng một mặt phẳng.

Ví dụ 1: Cho bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ không đồng phẳng. Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba trong số bốn điểm đã cho?

Giải:

Chọn 3 điểm trong 4 điểm, ta được các bộ ba điểm:

• Bộ 1: $D$, $A$, $B$ → mặt phẳng $(DAB)$
• Bộ 2: $D$, $A$, $C$ → mặt phẳng $(DAC)$
• Bộ 3: $D$, $B$, $C$ → mặt phẳng $(DBC)$
• Bộ 4: $A$, $B$, $C$ → mặt phẳng $(ABC)$

Vậy có 4 mặt phẳng đi qua ba trong số bốn điểm đã cho.

Tính chất 4: Đường thẳng nằm trong mặt phẳng

Tính chất 4: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì tất cả các điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

Ký hiệu:

• $d \subset (P)$ hoặc $(P) \supset d$: đường thẳng $d$ nằm trong mặt phẳng $(P)$
• Còn nói: $(P)$ chứa $d$

Mẹo quan trọng: Muốn chứng minh đường thẳng $d$ nằm trong mặt phẳng $(P)$, ta chỉ cần chỉ ra 2 điểm của $d$ thuộc $(P)$.

Ví dụ 2: Cho tam giác $ABC$ và một điểm $M$ thuộc đường thẳng $BC$.

a) Điểm $M$ có thuộc mặt phẳng $(ABC)$ hay không?

b) Đường thẳng $AM$ có nằm trong mặt phẳng $(ABC)$ hay không?

Giải:

a) Ta cần chứng minh $M \in (ABC)$.

• Đường thẳng $BC$ có hai điểm phân biệt $B$, $C$ thuộc mặt phẳng $(ABC)$
• Theo tính chất 4, đường thẳng $BC$ nằm trong mặt phẳng $(ABC)$
• Vì $M$ thuộc đường thẳng $BC$ nên $M$ thuộc mặt phẳng $(ABC)$

Kết luận: Điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(ABC)$.

b) Ta cần chứng minh $AM \subset (ABC)$.

• Điểm $A$ thuộc mặt phẳng $(ABC)$ (hiển nhiên)
• Điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(ABC)$ (đã chứng minh ở câu a)
• Đường thẳng $AM$ có hai điểm phân biệt $A$, $M$ thuộc mặt phẳng $(ABC)$
• Theo tính chất 4, đường thẳng $AM$ nằm trong mặt phẳng $(ABC)$

Kết luận: Đường thẳng $AM$ nằm trong mặt phẳng $(ABC)$.

Tính chất 5: Giao tuyến của hai mặt phẳng

Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì các điểm chung của hai mặt phẳng là một đường thẳng đi qua điểm chung đó.

Ký hiệu: Đường thẳng chung của hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ gọi là giao tuyến, ký hiệu:

$$d = (P) \cap (Q)$$

Mẹo xác định giao tuyến: Tìm 2 điểm chung của hai mặt phẳng → nối lại được giao tuyến.

Ví dụ 3: Cho tam giác $ABC$ và một điểm $S$ không thuộc mặt phẳng $(ABC)$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $AB$, $AC$.

a) Chỉ ra một điểm chung của hai mặt phẳng $(SBN)$, $(SCM)$ khác điểm $S$.

b) Giao tuyến của hai mặt phẳng $(SBN)$ và $(SCM)$ có đi qua trọng tâm của tam giác $ABC$ hay không?

Giải:

a) Tìm điểm chung của $(SBN)$ và $(SCM)$ khác $S$:

• Trong tam giác $ABC$, $BN$ và $CM$ là hai đường trung tuyến
• Hai đường trung tuyến cắt nhau tại trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$

Xét điểm $G$:

• $G$ thuộc $BN$ mà $BN \subset (SBN)$ → $G \in (SBN)$
• $G$ thuộc $CM$ mà $CM \subset (SCM)$ → $G \in (SCM)$

Kết luận: $G$ là một điểm chung của hai mặt phẳng $(SBN)$ và $(SCM)$.

b) Xác định giao tuyến của $(SBN)$ và $(SCM)$:

• $S$ là điểm chung của $(SBN)$ và $(SCM)$
• $G$ là điểm chung của $(SBN)$ và $(SCM)$ (đã chứng minh ở câu a)
• Hai điểm $S$, $G$ cùng thuộc cả hai mặt phẳng

→ Giao tuyến của $(SBN)$ và $(SCM)$ là đường thẳng $SG$.

Kết luận: Giao tuyến có đi qua trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.

Tính chất 6: Áp dụng hình học phẳng

Tính chất 6: Trên mỗi mặt phẳng, tất cả các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.

Ý nghĩa: Khi làm việc trong một mặt phẳng cố định, ta có thể sử dụng tất cả các định lý, tính chất của hình học phẳng đã học.

3. Cách xác định một mặt phẳng

Có ba cách để xác định một mặt phẳng:

Cách 1: Qua ba điểm không thẳng hàng

Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.

Ký hiệu: $(ABC)$ – mặt phẳng đi qua ba điểm $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng.

Cách 2: Qua một điểm và chứa một đường thẳng

Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó.

Ký hiệu: $mp(A, d)$ – mặt phẳng đi qua điểm $A$ và chứa đường thẳng $d$ (với $A \notin d$).

Cách 3: Chứa hai đường thẳng cắt nhau

Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.

Ký hiệu: $mp(a, b)$ – mặt phẳng chứa hai đường thẳng $a$ và $b$ cắt nhau.

Bảng tổng hợp 3 cách xác định mặt phẳng

Mẹo nhớ: “3 điểm — 1 điểm 1 đường — 2 đường cắt”

Ví dụ 4: Cho hai đường thẳng cắt nhau $a$, $b$ và gọi $S$ là một điểm không thuộc $mp(a, b)$. Xác định giao tuyến của $mp(S, a)$ và $mp(S, b)$.

Giải:

Bước 1: Tìm điểm chung thứ nhất

• Điểm $S$ thuộc $mp(S, a)$ (theo định nghĩa)
• Điểm $S$ thuộc $mp(S, b)$ (theo định nghĩa)

→ $S$ là điểm chung thứ nhất.

Bước 2: Tìm điểm chung thứ hai

• Gọi $M$ là giao điểm của $a$ và $b$
• $M$ thuộc $a$ mà $a \subset mp(S, a)$ → $M \in mp(S, a)$
• $M$ thuộc $b$ mà $b \subset mp(S, b)$ → $M \in mp(S, b)$

→ $M$ là điểm chung thứ hai.

Bước 3: Kết luận

Hai điểm $S$, $M$ cùng thuộc cả $mp(S, a)$ và $mp(S, b)$.

Vậy giao tuyến của $mp(S, a)$ và $mp(S, b)$ là đường thẳng $SM$.

4. Hình chóp và hình tứ diện

4.1. Hình chóp

Định nghĩa:

Cho đa giác lồi $A_1A_2…A_n$ và một điểm $S$ nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó.

Nối $S$ với các đỉnh $A_1$, $A_2$, …, $A_n$ ta được $n$ tam giác: $SA_1A_2$, $SA_2A_3$, …, $SA_nA_1$.

Hình gồm $n$ tam giác đó và đa giác $A_1A_2…A_n$ được gọi là hình chóp, ký hiệu $S.A_1A_2…A_n$.

Các yếu tố của hình chóp:

Tên gọi: Hình chóp được gọi theo tên đa giác đáy:

• Đáy tam giác → Hình chóp tam giác
• Đáy tứ giác → Hình chóp tứ giác
• Đáy ngũ giác → Hình chóp ngũ giác
• …

Công thức đếm nhanh cho hình chóp có đáy $n$ cạnh:

Ví dụ 5: Cho hình chóp $S.ABCD$. Hình chóp đó có bao nhiêu cạnh?

Giải:

Hình chóp $S.ABCD$ có đáy là tứ giác (4 cạnh).

• Các cạnh bên: $SA$, $SB$, $SC$, $SD$ → 4 cạnh
• Các cạnh đáy: $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ → 4 cạnh

Vậy hình chóp $S.ABCD$ có 8 cạnh.

(Kiểm tra bằng công thức: $2n = 2 \times 4 = 8$ ✓)

4.2. Hình tứ diện

Định nghĩa:

Cho bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác $ABC$, $ACD$, $ABD$ và $BCD$ được gọi là hình tứ diện, ký hiệu $ABCD$.

Các yếu tố của hình tứ diện:

Khái niệm đặc biệt:

Nhận xét quan trọng:

• Hình tứ diện có 3 cặp cạnh đối diện
• Hình tứ diện là hình chóp tam giác, mặt nào cũng có thể coi là mặt đáy
• Hình tứ diện đều: 4 mặt đều là tam giác đều

Ví dụ 6: Cho hình tứ diện $ABCD$ và $E$ là một điểm nằm trong tam giác $BCD$. Gọi $F$ là một điểm nằm giữa $A$ và $E$. Xác định giao điểm của đường thẳng $BF$ và mặt phẳng $(ACD)$.

Giải:

Phân tích: Ta cần tìm giao điểm của đường thẳng $BF$ với mặt phẳng $(ACD)$. Ý tưởng là đưa bài toán về tìm giao điểm của hai đường thẳng trong cùng một mặt phẳng.

Bước 1: Xác định vị trí điểm $M$ trên $CD$

• Vì $E$ nằm trong tam giác $BCD$ nên đường thẳng $BE$ cắt cạnh $CD$ tại một điểm $M$

Bước 2: Chứng minh các điểm $A$, $B$, $E$, $F$, $M$ đồng phẳng

• $A$, $E$ thuộc mặt phẳng $(ABM)$ → đường thẳng $AE \subset (ABM)$
• $F$ nằm trên $AE$ → $F \in (ABM)$
• Vậy các điểm $A$, $B$, $E$, $F$, $M$ cùng thuộc mặt phẳng $(ABM)$

Bước 3: Tìm giao điểm trong mặt phẳng $(ABM)$

• Trong tam giác $ABM$, đường thẳng $BF$ cắt cạnh $AM$ tại điểm $N$

Bước 4: Chứng minh $N$ thuộc mặt phẳng $(ACD)$

• $N$ thuộc $AM$
• $A \in (ACD)$ và $M \in CD \subset (ACD)$ → $AM \subset (ACD)$
• Vậy $N \in (ACD)$

Kết luận: $N$ là giao điểm của đường thẳng $BF$ và mặt phẳng $(ACD)$.

5. Phương pháp giải các dạng toán

Trong toàn bộ phần này, hai thao tác nền tảng được sử dụng liên tục là:

Dạng 1: Sử dụng kiến thức để giải quyết một số bài toán thực tế

Phương pháp

Sử dụng các tính chất về mặt phẳng để giải thích các hiện tượng trong thực tế.

Ví dụ minh họa 1

Bài toán: Chấm phạt đền trên sân bóng đá cho ta hình ảnh về một điểm thuộc một mặt phẳng. Hãy tìm thêm các ví dụ khác cũng gợi cho ta hình ảnh đó.

Lời giải:

• Một cục nam châm tròn nhỏ gắn trên mặt bảng cho ta hình ảnh về một điểm thuộc mặt phẳng.
• Một chiếc đầu đinh được gắn vào mặt bàn khi đinh đóng vào bàn cho ta hình ảnh về một điểm thuộc mặt phẳng.

Ví dụ minh họa 2

Bài toán: Chiếc xà ngang đặt tựa lên hai điểm $A$, $B$ của trụ nhảy thể hiện hình ảnh của một đường thẳng đi qua hai điểm đó. Có thể tìm được một đường thẳng khác cũng đi qua hai điểm $A$, $B$ hay không?

Lời giải:

Không thể tìm được đường thẳng nào khác đi qua hai điểm $A$, $B$ đã cho ngoài đường thẳng tạo bởi xà ngang.

Cơ sở lý thuyết: Theo Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.

Ví dụ minh họa 3

Bài toán: Hãy giải thích tại sao trong thực tiễn có nhiều đồ vật được thiết kế gồm ba chân như chân đỡ máy ảnh, giá treo tranh, kiềng ba chân treo nồi…

Lời giải:

Theo Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

Do đó, khi thiết kế các đồ vật gồm ba chân như chân đỡ máy ảnh, giá treo tranh, kiềng ba chân treo nồi…, ta thấy các đồ vật này có thể đứng thẳng mà không bị đổ trên các bề mặt bởi vì ba chân của các đồ vật này giống như 3 điểm không thẳng hàng — chúng luôn cùng nằm trên một mặt phẳng (mặt đất).

So sánh với đồ vật 4 chân: Bốn chân tạo thành 4 điểm, có thể không đồng phẳng → khi mặt đất không hoàn toàn phẳng, có thể có 1 chân không chạm đất, gây hiện tượng “bập bênh”.

Dạng 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Phương pháp

Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung thuộc cả hai mặt phẳng. Nối hai điểm chung đó được giao tuyến cần tìm.

Ghi nhớ: Giao tuyến là đường thẳng chung của hai mặt phẳng, nghĩa là đường thẳng vừa thuộc mặt phẳng này vừa thuộc mặt phẳng kia. Giao tuyến tìm được ở câu trước thường được sử dụng để tìm giao điểm ở các câu sau.

Ví dụ minh họa 1

Bài toán: Cho tam giác $ABC$ và một điểm $S$ không thuộc mặt phẳng $(ABC)$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $AB$, $AC$. Hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(SBM)$ và $(SCN)$.

Lời giải:

Bước 1: Tìm điểm chung thứ nhất.

• $S \in (SBM)$ (hiển nhiên)
• $S \in (SCN)$ (hiển nhiên)

→ $S$ là điểm chung thứ nhất.

Bước 2: Tìm điểm chung thứ hai.

• Vì $M$ là trung điểm $AB$ nên $M \in AB$, do đó đường thẳng $BM$ chính là đường thẳng $AB$.
• Vì $N$ là trung điểm $AC$ nên $N \in AC$, do đó đường thẳng $CN$ chính là đường thẳng $AC$.
• Hai đường thẳng $AB$ và $AC$ cắt nhau tại $A$, tức là $BM$ và $CN$ cắt nhau tại $A$.

Do đó:

• $A \in BM \subset (SBM)$ → $A \in (SBM)$
• $A \in CN \subset (SCN)$ → $A \in (SCN)$

→ $A$ là điểm chung thứ hai.

Bước 3: Vì $S$ và $A$ là hai điểm chung của hai mặt phẳng $(SBM)$ và $(SCN)$ nên giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng $SA$.

$$\boxed{SA = (SBM) \cap (SCN)}$$

Ví dụ minh họa 2

Bài toán: Cho tam giác $ABC$ và điểm $S$ không thuộc mặt phẳng $(ABC)$. Lấy $D$, $E$ là các điểm lần lượt thuộc các cạnh $SA$, $SB$ và $D$, $E$ khác $S$.

a) Đường thẳng $DE$ có nằm trong mặt phẳng $(SAB)$ không?

b) Giả sử $DE$ cắt $AB$ tại $F$. Chứng minh rằng $F$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(CDE)$.

Lời giải:

a) Chứng minh $DE \subset (SAB)$

• Vì $D$ thuộc cạnh $SA$ nên $D$ thuộc mặt phẳng $(SAB)$.
• Vì $E$ thuộc cạnh $SB$ nên $E$ thuộc mặt phẳng $(SAB)$.
• Vì $D$ và $E$ cùng thuộc mặt phẳng $(SAB)$ nên đường thẳng $DE$ nằm trong mặt phẳng $(SAB)$ (Tính chất 4).

b) Chứng minh $F$ là điểm chung của $(SAB)$ và $(CDE)$

• Vì $F \in AB$ mà $AB \subset (SAB)$ nên $F \in (SAB)$.
• Vì $F \in DE$ mà $DE \subset (CDE)$ nên $F \in (CDE)$.

Do đó, $F$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(CDE)$.

Dạng 3: Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng

Phương pháp

Muốn tìm giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(\alpha)$, có hai cách:

Cách 1: Những bài đơn giản — có sẵn một mặt phẳng $(\beta)$ chứa đường thẳng $d$ và một đường thẳng $a$ thuộc mặt phẳng $(\alpha)$. Giao điểm của hai đường thẳng không song song $d$ và $a$ chính là giao điểm của $d$ và mặt phẳng $(\alpha)$.

Cách 2: Tìm một mặt phẳng $(\beta)$ chứa đường thẳng $d$, sao cho dễ dàng tìm giao tuyến $a$ với mặt phẳng $(\alpha)$. Khi đó giao điểm của $d$ và $(\alpha)$ chính là giao điểm của $d$ với giao tuyến $a$ vừa tìm.

Nguyên tắc cốt lõi: Đưa bài toán “giao điểm đường thẳng với mặt phẳng” về bài toán “giao điểm hai đường thẳng trong cùng một mặt phẳng”.

Ví dụ minh họa 1

Bài toán: Cho hình tứ diện $ABCD$ và $E$ là một điểm nằm trong tam giác $BCD$. Gọi $F$ là một điểm nằm giữa $A$ và $E$. Xác định giao điểm của đường thẳng $DF$ và mặt phẳng $(ABC)$.

Lời giải:

Bước 1: Chọn mặt phẳng chứa $DF$.

Vì điểm $E$ nằm trong tam giác $BCD$ nên đường thẳng $DE$ cắt cạnh $BC$ tại một điểm $K$.

Các điểm $A$, $E$ cùng thuộc mặt phẳng $(ADK)$ nên đường thẳng $AE$ nằm trong $(ADK)$, do đó điểm $F$ thuộc $(ADK)$.

Như vậy các điểm $A$, $D$, $E$, $F$, $K$ cùng thuộc mặt phẳng $(ADK)$. Chọn $(\beta) = (ADK)$ chứa $DF$.

Bước 2: Xác định giao tuyến của $(ADK)$ và $(ABC)$.

• $A \in (ADK)$ và $A \in (ABC)$ → $A$ là điểm chung.
• $K \in BC \subset (ABC)$ và $K \in (ADK)$ → $K$ là điểm chung.

→ Giao tuyến $(ADK) \cap (ABC) = AK$.

Bước 3: Tìm giao điểm.

Trong mặt phẳng $(ADK)$, đường thẳng $DF$ cắt $AK$ tại $G$.

Vì $G \in AK \subset (ABC)$ nên $G \in (ABC)$.

$$\boxed{G = DF \cap (ABC)}$$

Ví dụ minh họa 2

Bài toán: Cho hình tứ diện $ABCD$. Trên các cạnh $AC$, $BC$, $BD$ lần lượt lấy các điểm $M$, $N$, $P$ sao cho $AM = CM$, $BN = CN$, $BP = 2DP$.

a) Xác định giao điểm của đường thẳng $CD$ và mặt phẳng $(MNP)$.

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(MNP)$.

Lời giải:

a) Tìm giao điểm của $CD$ và $(MNP)$:

Trong tam giác $BCD$:

• $N$ là trung điểm của $BC$ (vì $BN = CN$).
• $P$ thuộc cạnh $BD$ sao cho $BP = 2DP$.

Khi đó, đường thẳng $NP$ cắt $CD$ tại một điểm $E$.

• Vì $E \in NP$ mà $NP \subset (MNP)$ nên $E \in (MNP)$.
• $E \in CD$ (theo cách dựng).

Vậy $E$ là giao điểm của đường thẳng $CD$ và mặt phẳng $(MNP)$.

$$\boxed{E = CD \cap (MNP)}$$

b) Tìm giao tuyến của $(ACD)$ và $(MNP)$:

• $M$ thuộc cạnh $AC$ nên $M \in (ACD)$; mặt khác $M \in (MNP)$ → $M$ là điểm chung thứ nhất.
• $E \in CD \subset (ACD)$ nên $E \in (ACD)$; mặt khác $E \in (MNP)$ (theo câu a) → $E$ là điểm chung thứ hai.

Vậy đường thẳng $ME$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(MNP)$.

$$\boxed{ME = (ACD) \cap (MNP)}$$

Dạng 4: Tìm thiết diện

Khái niệm

Thiết diện của hình $(H)$ và hình $(Q)$ là phần chung nhau giữa 2 hình đó.

Thiết diện của mặt phẳng $(\alpha)$ với hình chóp $(H)$ là phần chung giữa mặt phẳng $(\alpha)$ và hình chóp $(H)$.

Đặc điểm của thiết diện:

• Thiết diện là đa giác kín.
• Các cạnh của thiết diện nằm trên các mặt của hình chóp.
• Cạnh của thiết diện được hình thành từ những đoạn giao tuyến của mặt phẳng cắt với các mặt của hình chóp.
• Trong giới hạn hình chóp, thiết diện có thể cắt hoặc không cắt tất cả các mặt của hình chóp.

Phương pháp tìm thiết diện

Ví dụ minh họa 1

Bài toán: Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M$, $N$, $I$ là ba điểm trên $AD$, $CD$, $SO$. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng $(MNI)$.

Lời giải:

Bước 1: Tìm giao điểm trong mặt phẳng đáy $(ABCD)$.

Gọi:

• $J = BD \cap MN$
• $K = MN \cap AB$
• $H = MN \cap BC$

Bước 2: Tìm giao điểm trên các mặt bên.

• Trong mặt phẳng $(SBD)$: Gọi $Q = IJ \cap SB$.
• Trong mặt phẳng $(SAB)$: Gọi $R = KQ \cap SA$.
• Trong mặt phẳng $(SBC)$: Gọi $P = QH \cap SC$.

Bước 3: Kết luận.

Thiết diện cần tìm là ngũ giác $MNPQR$.

Ví dụ minh họa 2

Bài toán: Cho hình chóp $S.ABCD$. Trong tam giác $SBC$, lấy một điểm $M$. Trong tam giác $SCD$, lấy một điểm $N$.

a) Tìm giao điểm của $MN$ và $(SAC)$.

b) Tìm giao điểm của $SC$ với $(AMN)$.

c) Tìm thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ với mặt phẳng $(AMN)$.

Lời giải:

a) Tìm giao điểm của $MN$ và $(SAC)$:

• Gọi $SM \cap BC = P$ và $SN \cap CD = Q$.
• Khi đó $PQ \cap AC = J$.
• Gọi $I = SJ \cap MN$.

Vậy $I = MN \cap (SAC)$.

b) Tìm giao điểm của $SC$ với $(AMN)$:

Gọi $AI \cap SC = K$. Khi đó $K = SC \cap (AMN)$.

c) Tìm thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ với mặt phẳng $(AMN)$:

• Gọi $KM \cap SB = F$.
• Gọi $KN \cap SD = E$.

Vậy thiết diện là tứ giác $AFKE$.

Dạng 5: Chứng minh ba điểm thẳng hàng

Phương pháp

Để chứng minh ba điểm (hay nhiều điểm) thẳng hàng, ta chứng minh chúng là điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt. Khi đó chúng nằm trên đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng nên thẳng hàng.

Ví dụ minh họa 1

Bài toán: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Mặt phẳng $(\alpha)$ qua $MN$ cắt $AD$, $BC$ lần lượt tại $P$ và $Q$. Biết $MP$ cắt $NQ$ tại $I$. Chứng minh ba điểm $I$, $B$, $D$ thẳng hàng.

Lời giải:

Xét hai mặt phẳng $(ABD)$ và $(BCD)$:

$$(ABD) \cap (BCD) = BD$$

Ta có: $$\begin{cases} I \in MP \subset (ABD) \ I \in NQ \subset (BCD) \end{cases} \Rightarrow I \text{ thuộc giao tuyến của } (ABD) \text{ và } (BCD)$$

Do đó $I \in BD$.

Vậy ba điểm $I$, $B$, $D$ thẳng hàng.

Giải thích chi tiết:

• $M \in AB \subset (ABD)$ và $P \in AD \subset (ABD)$ → $MP \subset (ABD)$.
• $N \in CD \subset (BCD)$ và $Q \in BC \subset (BCD)$ → $NQ \subset (BCD)$.

Ví dụ minh họa 2

Bài toán: Cho tứ diện $SABC$. Trên $SA$, $SB$ và $SC$ lấy các điểm $D$, $E$ và $F$ sao cho $DE$ cắt $AB$ tại $I$, $EF$ cắt $BC$ tại $J$, $FD$ cắt $CA$ tại $K$. Chứng minh ba điểm $I$, $J$, $K$ thẳng hàng.

Lời giải:

Xét hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(DEF)$.

Với điểm $I$: $$I = DE \cap AB \Rightarrow \begin{cases} I \in DE \subset (DEF) \Rightarrow I \in (DEF) \ I \in AB \subset (ABC) \Rightarrow I \in (ABC) \end{cases} \quad (1)$$

Với điểm $J$: $$J = EF \cap BC \Rightarrow \begin{cases} J \in EF \subset (DEF) \Rightarrow J \in (DEF) \ J \in BC \subset (ABC) \Rightarrow J \in (ABC) \end{cases} \quad (2)$$

Với điểm $K$: $$K = DF \cap CA \Rightarrow \begin{cases} K \in DF \subset (DEF) \Rightarrow K \in (DEF) \ K \in CA \subset (ABC) \Rightarrow K \in (ABC) \end{cases} \quad (3)$$

Từ $(1)$, $(2)$ và $(3)$: $I$, $J$, $K$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(DEF)$ nên chúng cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng này.

Vậy $I$, $J$, $K$ thẳng hàng.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh