1. Phương trình đường tròn

Dạng chính tắc

Đường tròn tâm $I$, bán kính $R$ là tập hợp tất cả các điểm $M$ sao cho $IM = R$. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, điểm $M(x;\ y)$ nằm trên đường tròn $(C)$ tâm $I(a;\ b)$, bán kính $R$ khi và chỉ khi:

$$(x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2 \qquad (1)$$

Phương trình $(1)$ được gọi là phương trình của đường tròn $(C)$.

Ví dụ 1 (SGK). Tìm tâm và bán kính của đường tròn $(C)$: $(x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$. Viết phương trình đường tròn $(C’)$ có tâm $J(2;\ -1)$ và bán kính gấp đôi bán kính $(C)$.

Giải:

Viết lại: $(x – 2)^2 + (y – (-3))^2 = 4^2$.

Vậy $(C)$ có tâm $I(2;\ -3)$, bán kính $R = 4$.

$(C’)$ có tâm $J(2;\ -1)$, bán kính $R’ = 2R = 8$:

$$(x – 2)^2 + (y + 1)^2 = 64$$

Dạng khai triển (tổng quát)

Khai triển phương trình $(1)$, ta được dạng tương đương:

$$x^2 + y^2 – 2ax – 2by + c = 0 \qquad (2)$$

trong đó $c = a^2 + b^2 – R^2$.

Phương trình $(2)$ là phương trình của một đường tròn khi và chỉ khi $a^2 + b^2 – c > 0$. Khi đó, đường tròn có:

• Tâm $I(a;\ b)$
• Bán kính $R = \sqrt{a^2 + b^2 – c}$

Chú ý. Để nhận dạng phương trình đường tròn ở dạng $(2)$:

• Hệ số của $x^2$ và $y^2$ phải bằng nhau (và bằng 1 sau khi chia).
• Không có số hạng $xy$.
• Điều kiện $a^2 + b^2 – c > 0$ phải được thoả mãn.

Ví dụ 2 (SGK). Cho phương trình $x^2 + y^2 – 2ax – 2by + c = 0$. Tìm tập hợp điểm $M(x;\ y)$ thoả mãn.

Giải:

Phương trình tương đương: $(x – a)^2 + (y – b)^2 = a^2 + b^2 – c$.

• Nếu $a^2 + b^2 – c > 0$: tập hợp là đường tròn tâm $I(a;\ b)$, bán kính $R = \sqrt{a^2 + b^2 – c}$.
• Nếu $a^2 + b^2 – c = 0$: tập hợp chỉ gồm một điểm $I(a;\ b)$.
• Nếu $a^2 + b^2 – c < 0$: tập hợp là tập rỗng (không có điểm nào thoả mãn).

2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho điểm $M(x_0;\ y_0)$ nằm trên đường tròn $(C)\colon (x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2$ (tâm $I(a;\ b)$, bán kính $R$).

Tiếp tuyến $\Delta$ của $(C)$ tại $M$ vuông góc với bán kính $IM$, nên $\Delta$ nhận $\vec{MI} = (a – x_0;\ b – y_0)$ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình tiếp tuyến:

$$(a – x_0)(x – x_0) + (b – y_0)(y – y_0) = 0$$

Ví dụ 4 (SGK). Cho $(C)\colon (x + 1)^2 + (y – 3)^2 = 5$. Điểm $M(0;\ 1)$ có thuộc $(C)$ không? Nếu có, viết phương trình tiếp tuyến tại $M$.

Giải:

Kiểm tra: $(0 + 1)^2 + (1 – 3)^2 = 1 + 4 = 5$ ✓. Vậy $M$ thuộc $(C)$.

$(C)$ có tâm $I(-1;\ 3)$. Vectơ pháp tuyến tiếp tuyến tại $M$: $\vec{MI} = (-1 – 0;\ 3 – 1) = (-1;\ 2)$.

Phương trình tiếp tuyến:

$$-1(x – 0) + 2(y – 1) = 0 \Leftrightarrow x – 2y + 2 = 0$$

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1. Tìm tâm và bán kính của đường tròn

Phương pháp:

• Nếu phương trình ở dạng chính tắc $(x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2$: đọc trực tiếp tâm $I(a;\ b)$ và bán kính $R$.
• Nếu phương trình ở dạng khai triển $x^2 + y^2 – 2ax – 2by + c = 0$:
  • Xác định $a$, $b$, $c$ (lưu ý dấu: hệ số của $x$ là $-2a$, hệ số của $y$ là $-2b$).
  • Kiểm tra $a^2 + b^2 – c > 0$.
  • Tâm $I(a;\ b)$, bán kính $R = \sqrt{a^2 + b^2 – c}$.

Bài 7.13. Tìm tâm và tính bán kính của đường tròn $(x + 3)^2 + (y – 3)^2 = 36$.

Lời giải chi tiết:

Viết lại: $(x – (-3))^2 + (y – 3)^2 = 6^2$.

Vậy đường tròn có tâm $I(-3;\ 3)$ và bán kính $R = 6$.

Bài 7.14. Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình đường tròn và tìm tâm, bán kính tương ứng.

a) $x^2 + y^2 + xy + 4x – 2 = 0$

b) $x^2 + y^2 – 2x – 4y + 5 = 0$

c) $x^2 + y^2 + 6x – 8y + 1 = 0$

Lời giải chi tiết:

a) Phương trình chứa số hạng $xy$ nên không phải dạng tổng quát của phương trình đường tròn.

Kết luận: Không phải phương trình đường tròn.

b) $x^2 + y^2 – 2x – 4y + 5 = 0$.

So sánh với $x^2 + y^2 – 2ax – 2by + c = 0$:

$-2a = -2 \Rightarrow a = 1$; $\quad$ $-2b = -4 \Rightarrow b = 2$; $\quad$ $c = 5$.

Kiểm tra: $a^2 + b^2 – c = 1 + 4 – 5 = 0$.

Vì $a^2 + b^2 – c = 0$ nên tập hợp chỉ gồm một điểm $I(1;\ 2)$.

Kết luận: Không phải phương trình đường tròn.

c) $x^2 + y^2 + 6x – 8y + 1 = 0$.

$-2a = 6 \Rightarrow a = -3$; $\quad$ $-2b = -8 \Rightarrow b = 4$; $\quad$ $c = 1$.

Kiểm tra: $a^2 + b^2 – c = 9 + 16 – 1 = 24 > 0$. ✓

Kết luận: Là phương trình đường tròn, tâm $I(-3;\ 4)$, bán kính $R = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.

Dạng 2. Viết phương trình đường tròn

Phương pháp:

Tuỳ theo dữ kiện đề bài, ta có các cách tiếp cận:

• Biết tâm $I(a;\ b)$ và bán kính $R$: Viết trực tiếp $(x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2$.
• Biết tâm $I$ và đi qua điểm $A$: Tính $R = IA$, rồi viết phương trình.
• Biết đường kính $AB$: Tâm $I$ là trung điểm $AB$, bán kính $R = \dfrac{AB}{2}$.
• Biết tâm $I$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$: Bán kính $R = d(I,\ \Delta)$.
• Đi qua ba điểm: Tâm $I$ cách đều ba điểm, tìm $I$ bằng hệ phương trình từ $IA = IB = IC$.

Bài 7.15. Viết phương trình đường tròn trong mỗi trường hợp sau:

a) Có tâm $I(-2;\ 5)$ và bán kính $R = 7$.

b) Có tâm $I(1;\ -2)$ và đi qua điểm $A(-2;\ 2)$.

c) Có đường kính $AB$, với $A(-1;\ -3)$, $B(-3;\ 5)$.

d) Có tâm $I(1;\ 3)$ và tiếp xúc với đường thẳng $x + 2y + 3 = 0$.

Lời giải chi tiết:

a) Tâm $I(-2;\ 5)$, bán kính $R = 7$:

$$(x + 2)^2 + (y – 5)^2 = 49$$

b) Tâm $I(1;\ -2)$, đi qua $A(-2;\ 2)$.

Tính bán kính:

$$R = IA = \sqrt{(-2 – 1)^2 + (2 – (-2))^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Phương trình đường tròn:

$$(x – 1)^2 + (y + 2)^2 = 25$$

c) Đường kính $AB$ với $A(-1;\ -3)$, $B(-3;\ 5)$.

Tâm $I$ là trung điểm $AB$:

$$I\left(\dfrac{-1 + (-3)}{2};\ \dfrac{-3 + 5}{2}\right) = I(-2;\ 1)$$

Bán kính:

$$R = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{\sqrt{(-3 + 1)^2 + (5 + 3)^2}}{2} = \dfrac{\sqrt{4 + 64}}{2} = \dfrac{\sqrt{68}}{2} = \sqrt{17}$$

Phương trình đường tròn:

$$(x + 2)^2 + (y – 1)^2 = 17$$

d) Tâm $I(1;\ 3)$, tiếp xúc với $\Delta\colon x + 2y + 3 = 0$.

Bán kính bằng khoảng cách từ $I$ đến $\Delta$:

$$R = d(I,\ \Delta) = \dfrac{|1 + 2 \cdot 3 + 3|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \dfrac{|1 + 6 + 3|}{\sqrt{5}} = \dfrac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}$$

Phương trình đường tròn:

$$(x – 1)^2 + (y – 3)^2 = 20$$

Dạng 3. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác (đi qua ba điểm)

Phương pháp:

Tâm $I(x;\ y)$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ cách đều ba đỉnh: $IA = IB = IC$.

Từ $IA^2 = IB^2$ và $IB^2 = IC^2$, ta lập hệ hai phương trình bậc nhất (các số hạng bậc hai triệt tiêu), giải hệ tìm toạ độ $I$. Sau đó tính $R = IA$.

Bài 7.16. Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác $ABC$ với $A(6;\ -2)$, $B(4;\ 2)$, $C(5;\ -5)$. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Lời giải chi tiết:

Bước 1. Gọi $I(x;\ y)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp. Ta có $IA = IB = IC$.

Tính:

$$IA^2 = (x – 6)^2 + (y + 2)^2$$

$$IB^2 = (x – 4)^2 + (y – 2)^2$$

$$IC^2 = (x – 5)^2 + (y + 5)^2$$

Bước 2. Từ $IA^2 = IB^2$:

$$(x – 6)^2 + (y + 2)^2 = (x – 4)^2 + (y – 2)^2$$

$$x^2 – 12x + 36 + y^2 + 4y + 4 = x^2 – 8x + 16 + y^2 – 4y + 4$$

$$-12x + 4y + 40 = -8x – 4y + 20$$

$$-4x + 8y + 20 = 0$$

$$-x + 2y + 5 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x = 2y + 5 \quad (*)$$

Bước 3. Từ $IB^2 = IC^2$:

$$(x – 4)^2 + (y – 2)^2 = (x – 5)^2 + (y + 5)^2$$

$$x^2 – 8x + 16 + y^2 – 4y + 4 = x^2 – 10x + 25 + y^2 + 10y + 25$$

$$-8x – 4y + 20 = -10x + 10y + 50$$

$$2x – 14y – 30 = 0$$

$$x – 7y – 15 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x = 7y + 15 \quad (**)$$

Bước 4. Từ $(*)$ và $(**)$:

$$2y + 5 = 7y + 15 \Rightarrow -5y = 10 \Rightarrow y = -2$$

$$x = 2(-2) + 5 = 1$$

Vậy $I(1;\ -2)$.

Bước 5. Tính bán kính:

$$R = IA = \sqrt{(1 – 6)^2 + (-2 + 2)^2} = \sqrt{25} = 5$$

Phương trình đường tròn ngoại tiếp:

$$(x – 1)^2 + (y + 2)^2 = 25$$

Dạng 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm

Phương pháp:

• Bước 1. Kiểm tra điểm $M(x_0;\ y_0)$ có thuộc đường tròn $(C)$ hay không (thay toạ độ vào phương trình).
• Bước 2. Xác định tâm $I(a;\ b)$ của $(C)$.
• Bước 3. Tính vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến: $\vec{MI} = (a – x_0;\ b – y_0)$.
• Bước 4. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua $M$ với vectơ pháp tuyến $\vec{MI}$:

$$(a – x_0)(x – x_0) + (b – y_0)(y – y_0) = 0$$

Bài 7.17. Cho đường tròn $(C)\colon x^2 + y^2 + 2x – 4y + 4 = 0$. Viết phương trình tiếp tuyến $d$ của $(C)$ tại điểm $M(0;\ 2)$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1. Kiểm tra $M(0;\ 2)$ thuộc $(C)$:

$$0^2 + 2^2 + 2 \cdot 0 – 4 \cdot 2 + 4 = 0 + 4 + 0 – 8 + 4 = 0 \quad \checkmark$$

Vậy $M$ thuộc $(C)$.

Bước 2. Xác định tâm.

$-2a = 2 \Rightarrow a = -1$; $\quad$ $-2b = -4 \Rightarrow b = 2$; $\quad$ $c = 4$.

Tâm $I(-1;\ 2)$.

Bước 3. Vectơ pháp tuyến tiếp tuyến tại $M(0;\ 2)$:

$$\vec{MI} = (-1 – 0;\ 2 – 2) = (-1;\ 0)$$

Bước 4. Phương trình tiếp tuyến:

$$-1(x – 0) + 0(y – 2) = 0 \Leftrightarrow -x = 0 \Leftrightarrow x = 0$$

Vậy tiếp tuyến tại $M$ có phương trình $x = 0$.

Dạng 5. Bài toán thực tế và quỹ đạo chuyển động

Phương pháp:

• Từ toạ độ biểu diễn theo tham số $t$, khử tham số để tìm phương trình quỹ đạo (dạng đường tròn hoặc một phần đường tròn).
• Xác định miền giá trị của $x$, $y$ theo $t$ để xác định phần quỹ đạo thực tế.

Bài 7.18. Chuyển động của một vật thể trong khoảng thời gian 180 phút được thể hiện trong mặt phẳng toạ độ. Tại thời điểm $t$ ($0 \leq t \leq 180$), vật thể ở vị trí có toạ độ $(2 + \sin t°;\ 4 + \cos t°)$.

a) Tìm vị trí ban đầu và vị trí kết thúc của vật thể.

b) Tìm quỹ đạo chuyển động của vật thể.

Lời giải chi tiết:

a) Vị trí ban đầu (khi $t = 0$):

$$x = 2 + \sin 0° = 2, \quad y = 4 + \cos 0° = 5$$

Vị trí ban đầu: $(2;\ 5)$.

Vị trí kết thúc (khi $t = 180$):

$$x = 2 + \sin 180° = 2, \quad y = 4 + \cos 180° = 4 + (-1) = 3$$

Vị trí kết thúc: $(2;\ 3)$.

b) Gọi $M(x;\ y)$ là vị trí vật thể tại thời điểm $t$. Ta có:

$$x – 2 = \sin t° \quad \text{và} \quad y – 4 = \cos t°$$

Áp dụng hệ thức lượng giác $\sin^2 t° + \cos^2 t° = 1$:

$$(x – 2)^2 + (y – 4)^2 = 1$$

Đây là phương trình đường tròn tâm $I(2;\ 4)$, bán kính $R = 1$.

Khi $t$ thay đổi trên đoạn $[0;\ 180]$:

• $\sin t°$ thay đổi trên $[0;\ 1]$ (tăng từ 0 đến 1 rồi giảm về 0) → $x = 2 + \sin t° \in [2;\ 3]$.
• $\cos t°$ thay đổi trên $[-1;\ 1]$ (giảm từ 1 đến $-1$) → $y = 4 + \cos t° \in [3;\ 5]$.

Gọi $A(2;\ 5)$ (vị trí ban đầu) và $B(2;\ 3)$ (vị trí kết thúc). Khi $t = 90$: $M(3;\ 4)$ là điểm nằm bên phải tâm.

Vậy quỹ đạo của vật thể là nửa đường tròn đường kính $AB$ nằm bên phải đường thẳng $AB$ (phía chứa điểm $(3;\ 4)$), thuộc đường tròn $(x – 2)^2 + (y – 4)^2 = 1$.

Sai lầm thường gặp

Tổng kết

Phương trình đường tròn:

Phương trình tiếp tuyến tại $M(x_0;\ y_0)$ thuộc $(C)$:

$$(a – x_0)(x – x_0) + (b – y_0)(y – y_0) = 0$$

Các bài toán viết phương trình đường tròn:

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh