Tình huống thực tiễn: Trong Thuyết tương đối của Einstein, khối lượng của vật chuyển động với vận tốc $v$ cho bởi công thức:

$$m = \dfrac{m_0}{\sqrt{1 – \dfrac{v^2}{c^2}}}$$

trong đó $m_0$ là khối lượng của vật khi nó đứng yên, $c$ là vận tốc ánh sáng.

Chuyện gì xảy ra với khối lượng của vật khi vận tốc của vật gần với vận tốc ánh sáng? Khi $v \to c^-$, ta có $\sqrt{1 – \dfrac{v^2}{c^2}} \to 0$, do đó $m \to +\infty$. Nghĩa là khối lượng của vật trở nên vô cùng lớn khi vận tốc tiến gần vận tốc ánh sáng!

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

1.1. Định nghĩa

Giả sử $(a; b)$ là một khoảng chứa điểm $x_0$ và hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; b)$, có thể trừ điểm $x_0$.

Định nghĩa: Ta nói hàm số $f(x)$ có giới hạn là số $L$ khi $x$ dần tới $x_0$ nếu với dãy số $(x_n)$ bất kì, $x_n \in (a; b)$, $x_n \neq x_0$ và $x_n \to x_0$, ta có $f(x_n) \to L$.

Kí hiệu: $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ hay $f(x) \to L$ khi $x \to x_0$

Ví dụ 1: Cho hàm số $f(x) = \dfrac{x – 1}{x^2 – 1}$. Chứng tỏ rằng $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = \dfrac{1}{2}$.

Giải:

Lấy dãy số $(x_n)$ bất kì sao cho $x_n \neq 1$ và $x_n \to 1$.

Ta có: $$f(x_n) = \dfrac{x_n – 1}{x_n^2 – 1} = \dfrac{x_n – 1}{(x_n – 1)(x_n + 1)} = \dfrac{1}{x_n + 1}$$

Do đó: $$\lim_{n \to +\infty} f(x_n) = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{x_n + 1} = \dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{1}{2}$$

Vậy $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = \dfrac{1}{2}$.

1.2. Các quy tắc tính giới hạn

Tương tự đối với dãy số, ta có các quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm.

a) Quy tắc bốn phép tính:

Nếu $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ và $\displaystyle\lim_{x \to x_0} g(x) = M$ thì:

b) Quy tắc căn:

Nếu $f(x) \geq 0$ với mọi $x \in (a; b) \setminus {x_0}$ và $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ thì:

$$L \geq 0 \quad \text{và} \quad \displaystyle\lim_{x \to x_0} \sqrt{f(x)} = \sqrt{L}$$

c) Giới hạn cơ bản:

• $\displaystyle\lim_{x \to x_0} c = c$ với $c$ là hằng số
• $\displaystyle\lim_{x \to x_0} x^n = x_0^n$ với $n \in \mathbb{N}$

Ví dụ 2: Cho $f(x) = x – 1$ và $g(x) = x^3$. Tính các giới hạn sau:

a) $\displaystyle\lim_{x \to 1} [3f(x) – g(x)]$

b) $\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{[f(x)]^2}{g(x)}$

Giải:

Ta có: $$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x – 1) = \lim_{x \to 1} x – \lim_{x \to 1} 1 = 1 – 1 = 0$$

$$\lim_{x \to 1} g(x) = \lim_{x \to 1} x^3 = 1^3 = 1$$

a) Áp dụng quy tắc tính giới hạn:

$$\lim_{x \to 1} [3f(x) – g(x)] = \lim_{x \to 1} [3f(x)] – \lim_{x \to 1} g(x)$$

$$= 3 \cdot \lim_{x \to 1} f(x) – \lim_{x \to 1} g(x) = 3 \cdot 0 – 1 = -1$$

b) Áp dụng quy tắc tính giới hạn:

$$\lim_{x \to 1} \dfrac{[f(x)]^2}{g(x)} = \dfrac{\displaystyle\lim_{x \to 1} [f(x)]^2}{\displaystyle\lim_{x \to 1} g(x)} = \dfrac{\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) \cdot \lim_{x \to 1} f(x)}{\displaystyle\lim_{x \to 1} g(x)} = \dfrac{0 \cdot 0}{1} = 0$$

Ví dụ 3: Tính $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 9} – 3}{x}$.

Giải:

Nhận xét: Khi $x \to 0$, tử số $\sqrt{x + 9} – 3 \to 0$ và mẫu số $x \to 0$. Đây là dạng vô định $\dfrac{0}{0}$.

Do mẫu thức có giới hạn là 0 khi $x \to 0$ nên ta không thể áp dụng ngay quy tắc tính giới hạn của thương hai hàm số.

Phương pháp: Nhân liên hợp.

$$\dfrac{\sqrt{x + 9} – 3}{x} = \dfrac{(\sqrt{x + 9} – 3)(\sqrt{x + 9} + 3)}{x(\sqrt{x + 9} + 3)}$$

$$= \dfrac{(\sqrt{x + 9})^2 – 3^2}{x(\sqrt{x + 9} + 3)} = \dfrac{(x + 9) – 9}{x(\sqrt{x + 9} + 3)} = \dfrac{x}{x(\sqrt{x + 9} + 3)}$$

$$= \dfrac{1}{\sqrt{x + 9} + 3}$$

Do đó:

$$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 9} – 3}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{\sqrt{x + 9} + 3} = \dfrac{1}{\displaystyle\lim_{x \to 0} [\sqrt{x + 9} + 3]}$$

$$= \dfrac{1}{\sqrt{0 + 9} + 3} = \dfrac{1}{3 + 3} = \dfrac{1}{6}$$

1.3. Giới hạn một phía

a) Định nghĩa

Giới hạn bên phải: Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(x_0; b)$. Ta nói số $L$ là giới hạn bên phải của $f(x)$ khi $x \to x_0$ nếu với dãy số $(x_n)$ bất kì thỏa mãn $x_0 < x_n < b$ và $x_n \to x_0$, ta có $f(x_n) \to L$.

Kí hiệu: $\displaystyle\lim_{x \to x_0^+} f(x) = L$

Giới hạn bên trái: Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; x_0)$. Ta nói số $L$ là giới hạn bên trái của $f(x)$ khi $x \to x_0$ nếu với dãy số $(x_n)$ bất kì thỏa mãn $a < x_n < x_0$ và $x_n \to x_0$, ta có $f(x_n) \to L$.

Kí hiệu: $\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f(x) = L$

b) Điều kiện tồn tại giới hạn

Định lí: $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ khi và chỉ khi $\displaystyle\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f(x) = L$

Ý nghĩa: Giới hạn tại $x_0$ tồn tại khi và chỉ khi giới hạn trái bằng giới hạn phải.

Ví dụ 4: Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{nếu } 0 < x < 1 \\ x + 1 & \text{nếu } 1 \leq x < 2 \end{cases}$

Tính $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x)$ và $\displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x)$.

Giải:

Tính giới hạn trái $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x)$:

Với dãy số $(x_n)$ bất kì sao cho $0 < x_n < 1$ và $x_n \to 1$, ta có $f(x_n) = x_n^2$.

Do đó: $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{n \to +\infty} f(x_n) = \lim_{n \to +\infty} x_n^2 = 1^2 = 1$

Tính giới hạn phải $\displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x)$:

Với dãy số $(x_n)$ bất kì sao cho $1 < x_n < 2$ và $x_n \to 1$, ta có $f(x_n) = x_n + 1$.

Do đó: $\displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{n \to +\infty} f(x_n) = \lim_{n \to +\infty} (x_n + 1) = 1 + 1 = 2$

Nhận xét: Vì $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1 \neq 2 = \displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x)$ nên không tồn tại $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x)$.

Ví dụ 5: Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} -x & \text{nếu } x < 0 \\ \sqrt{x} & \text{nếu } x \geq 0 \end{cases}$

Tính $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x)$, $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} f(x)$ và $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$.

Giải:

Giới hạn phải: Khi $x > 0$, ta có $f(x) = \sqrt{x}$.

$$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = \sqrt{0} = 0$$

Giới hạn trái: Khi $x < 0$, ta có $f(x) = -x$.

$$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x) = -0 = 0$$

Giới hạn tại 0: Vì $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = \displaystyle\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$ nên:

$$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$$

2. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

2.1. Định nghĩa

Giới hạn khi $x \to +\infty$: Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; +\infty)$. Ta nói hàm số $f(x)$ có giới hạn là số $L$ khi $x \to +\infty$ nếu với dãy số $(x_n)$ bất kì, $x_n > a$ và $x_n \to +\infty$, ta có $f(x_n) \to L$.

Kí hiệu: $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ hay $f(x) \to L$ khi $x \to +\infty$

Giới hạn khi $x \to -\infty$: Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(-\infty; b)$. Ta nói hàm số $f(x)$ có giới hạn là số $L$ khi $x \to -\infty$ nếu với dãy số $(x_n)$ bất kì, $x_n < b$ và $x_n \to -\infty$, ta có $f(x_n) \to L$.

Kí hiệu: $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$ hay $f(x) \to L$ khi $x \to -\infty$

2.2. Các quy tắc và giới hạn cơ bản

Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.

Giới hạn cơ bản:

Ví dụ 6: Cho $f(x) = 2 + \dfrac{4}{x – 1}$. Sử dụng định nghĩa, tìm $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$ và $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$.

Giải:

Tính $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$:

Lấy dãy $(x_n)$ bất kì sao cho $x_n > 1$ và $x_n \to +\infty$.

Ta có: $f(x_n) = 2 + \dfrac{4}{x_n – 1}$

Khi $x_n \to +\infty$, ta có $x_n – 1 \to +\infty$, do đó $\dfrac{4}{x_n – 1} \to 0$.

Suy ra: $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} f(x_n) = 2 + 0 = 2$

Vậy $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$.

Tính $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$:

Lí luận tương tự, ta cũng có $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = 2$.

2.3. Lưu ý quan trọng với căn thức

Công thức quan trọng:

$$a\sqrt{b} = \begin{cases} \sqrt{a^2 b} & \text{nếu } a \geq 0 \\ -\sqrt{a^2 b} & \text{nếu } a < 0 \end{cases}$$

Đặc biệt: $\sqrt{x^2} = |x| = \begin{cases} x & \text{nếu } x \geq 0 \\ -x & \text{nếu } x < 0 \end{cases}$

Ví dụ 7: Tính $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{x}$.

Giải:

Lưu ý: Khi $x \to -\infty$, ta có $x < 0$, nên $\sqrt{x^2} = |x| = -x$.

Do đó:

$$\dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} = \dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{x}$$

Ta nhân cả tử và mẫu với $\dfrac{1}{|x|} = \dfrac{1}{-x}$ (vì $x < 0$):

$$= \dfrac{\dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{-x}}{\dfrac{x}{-x}} = \dfrac{-\dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2}}}{-1} = \dfrac{-\sqrt{\dfrac{x^2 + 1}{x^2}}}{-1}$$

$$= -\sqrt{\dfrac{x^2 + 1}{x^2}} = -\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}}$$

Khi $x \to -\infty$:

$$\lim_{x \to -\infty} \dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} = -\sqrt{\lim_{x \to -\infty} \left(1 + \dfrac{1}{x^2}\right)} = -\sqrt{1 + 0} = -1$$

3. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

3.1. Định nghĩa

Giả sử khoảng $(a; b)$ chứa $x_0$ và hàm số $y = f(x)$ xác định trên $(a; b) \setminus {x_0}$.

Giới hạn $+\infty$: Ta nói hàm số $f(x)$ có giới hạn $+\infty$ khi $x \to x_0$ nếu với dãy số $(x_n)$ bất kì, $x_n \in (a; b) \setminus {x_0}$ và $x_n \to x_0$, ta có $f(x_n) \to +\infty$.

Kí hiệu: $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty$

Giới hạn $-\infty$: Ta nói hàm số $f(x)$ có giới hạn $-\infty$ khi $x \to x_0$ nếu $\displaystyle\lim_{x \to x_0} [-f(x)] = +\infty$.

Kí hiệu: $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty$

Ví dụ 8: Tính $\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{1}{|x – 1|}$.

Giải:

Xét hàm số $f(x) = \dfrac{1}{|x – 1|}$.

Lấy dãy số $(x_n)$ bất kì sao cho $x_n \neq 1$ và $x_n \to 1$.

Khi đó: $|x_n – 1| \to 0$ (và $|x_n – 1| > 0$).

Do đó: $f(x_n) = \dfrac{1}{|x_n – 1|} \to +\infty$

Vậy $\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{1}{|x – 1|} = +\infty$.

3.2. Giới hạn vô cực một phía

Định nghĩa:

• $\displaystyle\lim_{x \to x_0^+} f(x) = +\infty$: Hàm số có giới hạn $+\infty$ khi $x \to x_0$ về bên phải
• $\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f(x) = +\infty$: Hàm số có giới hạn $+\infty$ khi $x \to x_0$ về bên trái
• Các giới hạn $\displaystyle\lim_{x \to x_0^+} f(x) = -\infty$ và $\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f(x) = -\infty$ được định nghĩa tương tự.

3.3. Một số giới hạn đặc biệt tại vô cực

3.4. Quy tắc tính giới hạn vô cực

Chú ý: Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn không còn đúng cho giới hạn vô cực.

Ta có một số quy tắc tính giới hạn của tích và thương hai hàm số khi một trong hai hàm số đó có giới hạn vô cực.

a) Quy tắc tìm giới hạn của tích $f(x) \cdot g(x)$

Giả sử $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = L \neq 0$ và $\displaystyle\lim_{x \to x_0} g(x) = +\infty$ (hoặc $-\infty$).

Mẹo nhớ: “Cùng dấu → dương vô cực, khác dấu → âm vô cực”

b) Quy tắc tìm giới hạn của thương $\dfrac{f(x)}{g(x)}$

Mẹo nhớ:

• $\dfrac{L}{\pm\infty} = 0$
• $\dfrac{L \neq 0}{0}$ → Xét dấu mẫu để suy ra $\pm\infty$

Lưu ý: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp $x \to x_0^+$, $x \to x_0^-$, $x \to +\infty$ và $x \to -\infty$.

Ví dụ 9: Tính $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{x + 1}{x^2}$.

Giải:

Ta sử dụng quy tắc tìm giới hạn của thương.

Bước 1: Tính giới hạn của tử số.

$$\lim_{x \to 0} (x + 1) = 0 + 1 = 1 > 0$$

Bước 2: Xét mẫu số.

Mẫu số $x^2$ nhận giá trị dương với mọi $x \neq 0$ và $\displaystyle\lim_{x \to 0} x^2 = 0$.

Bước 3: Áp dụng quy tắc.

Theo quy tắc: $\dfrac{L > 0}{0^+} = +\infty$.

Do vậy: $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{x + 1}{x^2} = +\infty$

Ví dụ 10: Tính $\displaystyle\lim_{x \to 1^+} \dfrac{1}{x(1 – x)}$ và $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} \dfrac{1}{x(1 – x)}$.

Giải:

Viết $\dfrac{1}{x(1 – x)} = \dfrac{1}{x} \cdot \dfrac{1}{1 – x}$

Tính $\displaystyle\lim_{x \to 1^+} \dfrac{1}{x(1 – x)}$:

Bước 1: Tính giới hạn của $\dfrac{1}{x}$.

$$\lim_{x \to 1^+} \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{1} = 1 > 0$$

Bước 2: Xét $\dfrac{1}{1 – x}$ khi $x \to 1^+$.

Khi $x > 1$, ta có $1 – x < 0$, nên $\dfrac{1}{1 – x} < 0$.

Khi $x \to 1^+$, ta có $1 – x \to 0^-$, nên $\dfrac{1}{1 – x} \to -\infty$.

Bước 3: Áp dụng quy tắc tích.

$$\lim_{x \to 1^+} \dfrac{1}{x(1 – x)} = \lim_{x \to 1^+} \dfrac{1}{x} \cdot \lim_{x \to 1^+} \dfrac{1}{1 – x} = (1) \cdot (-\infty) = -\infty$$

Tính $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} \dfrac{1}{x(1 – x)}$:

Khi $x < 1$, ta có $1 – x > 0$, nên khi $x \to 1^-$, ta có $\dfrac{1}{1 – x} \to +\infty$.

$$\lim_{x \to 1^-} \dfrac{1}{x(1 – x)} = (1) \cdot (+\infty) = +\infty$$

Ví dụ 11 (Giải bài toán mở đầu): Khối lượng của vật chuyển động với vận tốc $v$:

$$m = \dfrac{m_0}{\sqrt{1 – \dfrac{v^2}{c^2}}}$$

Tìm $\displaystyle\lim_{v \to c^-} m$.

Giải:

Ta thấy $m$ là một hàm số của $v$, với tập xác định là nửa khoảng $[0; c)$.

Bước 1: Xét tử số.

Tử số $m_0$ là hằng số dương (khối lượng nghỉ).

Bước 2: Xét mẫu số khi $v \to c^-$.

Khi $v$ tiến gần tới vận tốc ánh sáng $c$ (từ bên trái), tức là $v \to c^-$, ta có:

$$\dfrac{v^2}{c^2} \to 1^- \Rightarrow 1 – \dfrac{v^2}{c^2} \to 0^+$$

Do đó: $\sqrt{1 – \dfrac{v^2}{c^2}} \to 0^+$

Bước 3: Áp dụng quy tắc.

$$\lim_{v \to c^-} m = \lim_{v \to c^-} \dfrac{m_0}{\sqrt{1 – \dfrac{v^2}{c^2}}} = \dfrac{m_0}{0^+} = +\infty$$

Kết luận: Khối lượng $m$ của vật trở nên vô cùng lớn khi vận tốc của vật gần với vận tốc ánh sáng.

4. Phương pháp giải các dạng toán

Dạng 1: Tính giới hạn dạng $\dfrac{0}{0}$ (phân tích nhân tử)

Phương pháp:

1. Phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử
2. Rút gọn thừa số chung $(x – x_0)$
3. Tính giới hạn sau khi rút gọn

Nhận dạng: Khi $x \to x_0$ mà cả tử và mẫu đều có giới hạn bằng 0.

Ví dụ 12: Tính $\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 – 4}{x – 2}$.

Giải:

Bước 1: Kiểm tra dạng vô định.

Khi $x \to 2$:

• Tử số: $x^2 – 4 \to 4 – 4 = 0$
• Mẫu số: $x – 2 \to 0$

Đây là dạng $\dfrac{0}{0}$.

Bước 2: Phân tích nhân tử.

$$\dfrac{x^2 – 4}{x – 2} = \dfrac{(x – 2)(x + 2)}{x – 2}$$

Bước 3: Rút gọn (với $x \neq 2$).

$$= x + 2$$

Bước 4: Tính giới hạn.

$$\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 – 4}{x – 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4$$

Ví dụ 13: Tính $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{(x + 2)^2 – 4}{x}$.

Giải:

Bước 1: Kiểm tra dạng vô định.

Khi $x \to 0$:

• Tử số: $(0 + 2)^2 – 4 = 4 – 4 = 0$
• Mẫu số: $x \to 0$

Đây là dạng $\dfrac{0}{0}$.

Bước 2: Khai triển và phân tích tử số.

$$(x + 2)^2 – 4 = x^2 + 4x + 4 – 4 = x^2 + 4x = x(x + 4)$$

Bước 3: Rút gọn.

$$\dfrac{(x + 2)^2 – 4}{x} = \dfrac{x(x + 4)}{x} = x + 4 \quad (\text{với } x \neq 0)$$

Bước 4: Tính giới hạn.

$$\lim_{x \to 0} \dfrac{(x + 2)^2 – 4}{x} = \lim_{x \to 0} (x + 4) = 0 + 4 = 4$$

Dạng 2: Tính giới hạn chứa căn thức (nhân liên hợp)

Phương pháp:

Nhân và chia cho biểu thức liên hợp:

$$\dfrac{\sqrt{A} – B}{C} = \dfrac{(\sqrt{A} – B)(\sqrt{A} + B)}{C(\sqrt{A} + B)} = \dfrac{A – B^2}{C(\sqrt{A} + B)}$$

Nhận dạng: Biểu thức có dạng $\sqrt{f(x)} – g(x)$ ở tử hoặc mẫu.

Ví dụ 14: Tính $\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{x – 1}{\sqrt{x} – 1}$.

Giải:

Bước 1: Kiểm tra dạng vô định.

Khi $x \to 1$:

• Tử số: $1 – 1 = 0$
• Mẫu số: $\sqrt{1} – 1 = 0$

Đây là dạng $\dfrac{0}{0}$.

Bước 2: Nhân liên hợp mẫu số.

$$\dfrac{x – 1}{\sqrt{x} – 1} = \dfrac{(x – 1)(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} – 1)(\sqrt{x} + 1)}$$

Bước 3: Rút gọn mẫu số.

$$= \dfrac{(x – 1)(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x})^2 – 1^2} = \dfrac{(x – 1)(\sqrt{x} + 1)}{x – 1}$$

Bước 4: Rút gọn (với $x \neq 1$).

$$= \sqrt{x} + 1$$

Bước 5: Tính giới hạn.

$$\lim_{x \to 1} \dfrac{x – 1}{\sqrt{x} – 1} = \lim_{x \to 1} (\sqrt{x} + 1) = \sqrt{1} + 1 = 2$$

Ví dụ 15: Tính $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x^2 + 9} – 3}{x^2}$.

Giải:

Bước 1: Kiểm tra dạng vô định.

Khi $x \to 0$:

• Tử số: $\sqrt{0 + 9} – 3 = 3 – 3 = 0$
• Mẫu số: $x^2 \to 0$

Đây là dạng $\dfrac{0}{0}$.

Bước 2: Nhân liên hợp tử số.

$$\dfrac{\sqrt{x^2 + 9} – 3}{x^2} = \dfrac{(\sqrt{x^2 + 9} – 3)(\sqrt{x^2 + 9} + 3)}{x^2(\sqrt{x^2 + 9} + 3)}$$

Bước 3: Rút gọn tử số.

$$= \dfrac{(x^2 + 9) – 9}{x^2(\sqrt{x^2 + 9} + 3)} = \dfrac{x^2}{x^2(\sqrt{x^2 + 9} + 3)}$$

Bước 4: Rút gọn (với $x \neq 0$).

$$= \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 9} + 3}$$

Bước 5: Tính giới hạn.

$$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x^2 + 9} – 3}{x^2} = \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 9} + 3} = \dfrac{1}{\sqrt{9} + 3} = \dfrac{1}{6}$$

Dạng 3: Tính giới hạn một phía

Phương pháp:

1. Xác định công thức của $f(x)$ khi $x > x_0$ (giới hạn phải) hoặc $x < x_0$ (giới hạn trái)
2. Tính giới hạn theo công thức tương ứng
3. So sánh giới hạn trái và phải để kết luận

Nhận dạng: Hàm cho bởi nhiều công thức, hàm chứa giá trị tuyệt đối $|x – a|$.

Mẹo xử lý giá trị tuyệt đối:

$$|x – a| = \begin{cases} x – a & \text{nếu } x \geq a \\ -(x – a) = a – x & \text{nếu } x < a \end{cases}$$

Ví dụ 16: Cho hàm số $g(x) = \dfrac{x^2 – 5x + 6}{|x – 2|}$. Tìm $\displaystyle\lim_{x \to 2^+} g(x)$ và $\displaystyle\lim_{x \to 2^-} g(x)$.

Giải:

Bước 1: Phân tích tử số.

$$x^2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)$$

Bước 2: Xử lý giá trị tuyệt đối.

• Khi $x > 2$: $|x – 2| = x – 2$
• Khi $x < 2$: $|x – 2| = -(x – 2) = 2 – x$

Bước 3: Tính giới hạn phải ($x \to 2^+$, tức $x > 2$).

$$g(x) = \dfrac{(x – 2)(x – 3)}{x – 2} = x – 3 \quad (\text{với } x > 2)$$

$$\lim_{x \to 2^+} g(x) = \lim_{x \to 2^+} (x – 3) = 2 – 3 = -1$$

Bước 4: Tính giới hạn trái ($x \to 2^-$, tức $x < 2$).

$$g(x) = \dfrac{(x – 2)(x – 3)}{-(x – 2)} = -(x – 3) = 3 – x \quad (\text{với } x < 2)$$

$$\lim_{x \to 2^-} g(x) = \lim_{x \to 2^-} (3 – x) = 3 – 2 = 1$$

Kết luận: $\displaystyle\lim_{x \to 2^+} g(x) = -1$ và $\displaystyle\lim_{x \to 2^-} g(x) = 1$.

Ví dụ 17: Cho hàm số Heaviside $H(t) = \begin{cases} 0 & \text{nếu } t < 0 \\ 1 & \text{nếu } t \geq 0 \end{cases}$

(Hàm này thường được dùng để mô tả việc chuyển trạng thái tắt/mở của dòng điện tại thời điểm $t = 0$.)

Tính $\displaystyle\lim_{t \to 0^+} H(t)$ và $\displaystyle\lim_{t \to 0^-} H(t)$.

Giải:

Giới hạn phải: Khi $t > 0$, ta có $H(t) = 1$.

$$\lim_{t \to 0^+} H(t) = 1$$

Giới hạn trái: Khi $t < 0$, ta có $H(t) = 0$.

$$\lim_{t \to 0^-} H(t) = 0$$

Nhận xét: Vì $\displaystyle\lim_{t \to 0^+} H(t) \neq \displaystyle\lim_{t \to 0^-} H(t)$ nên không tồn tại $\displaystyle\lim_{t \to 0} H(t)$.

Dạng 4: Tính giới hạn tại vô cực của phân thức

Phương pháp: Chia cả tử và mẫu cho $x^k$ (bậc cao nhất).

Quy tắc nhanh (so sánh bậc):

Mẹo nhớ: “Tử nhỏ → 0, Tử bằng → tỉ số, Tử lớn → vô cực”

Ví dụ 18: Tính $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1 – 2x}{\sqrt{x^2 + 1}}$.

Giải:

Bước 1: Xác định bậc.

• Tử số: bậc 1 (số hạng $-2x$)
• Mẫu số: $\sqrt{x^2 + 1} \approx \sqrt{x^2} = |x| = x$ khi $x \to +\infty$, nên bậc là 1

Bậc tử = Bậc mẫu.

Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho $x$ (với $x > 0$).

$$\dfrac{1 – 2x}{\sqrt{x^2 + 1}} = \dfrac{\dfrac{1 – 2x}{x}}{\dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{x}} = \dfrac{\dfrac{1}{x} – 2}{\dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2}}}$$

$$= \dfrac{\dfrac{1}{x} – 2}{\sqrt{\dfrac{x^2 + 1}{x^2}}} = \dfrac{\dfrac{1}{x} – 2}{\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}}}$$

Bước 3: Tính giới hạn.

Khi $x \to +\infty$: $\dfrac{1}{x} \to 0$ và $\dfrac{1}{x^2} \to 0$.

$$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1 – 2x}{\sqrt{x^2 + 1}} = \dfrac{0 – 2}{\sqrt{1 + 0}} = \dfrac{-2}{1} = -2$$

Dạng 5: Tính giới hạn tại vô cực có căn thức (dạng $\infty – \infty$)

Phương pháp: Nhân liên hợp để khử dạng vô định.

Ví dụ 19: Tính $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + x + 2} – x\right)$.

Giải:

Bước 1: Nhận dạng.

Khi $x \to +\infty$: $\sqrt{x^2 + x + 2} \to +\infty$ và $x \to +\infty$.

Đây là dạng $\infty – \infty$.

Bước 2: Nhân liên hợp.

$$\sqrt{x^2 + x + 2} – x = \dfrac{(\sqrt{x^2 + x + 2} – x)(\sqrt{x^2 + x + 2} + x)}{\sqrt{x^2 + x + 2} + x}$$

Bước 3: Rút gọn tử số.

$$= \dfrac{(x^2 + x + 2) – x^2}{\sqrt{x^2 + x + 2} + x} = \dfrac{x + 2}{\sqrt{x^2 + x + 2} + x}$$

Bước 4: Chia cả tử và mẫu cho $x$ (với $x > 0$).

$$= \dfrac{1 + \dfrac{2}{x}}{\dfrac{\sqrt{x^2 + x + 2}}{x} + 1} = \dfrac{1 + \dfrac{2}{x}}{\sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{x^2}} + 1}$$

Bước 5: Tính giới hạn.

Khi $x \to +\infty$:

$$\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + x + 2} – x\right) = \dfrac{1 + 0}{\sqrt{1 + 0 + 0} + 1} = \dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{1}{2}$$

Dạng 6: Tính giới hạn vô cực (dạng $\dfrac{L}{0}$)

Phương pháp:

1. Xác định $\displaystyle\lim f(x) = L \neq 0$
2. Xác định $\displaystyle\lim g(x) = 0$ và dấu của $g(x)$ gần $x_0$
3. Áp dụng quy tắc thương

Ví dụ 20: Tính $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{2}{|x|}$.

Giải:

Bước 1: Xác định giới hạn tử số.

$$\lim_{x \to 0} 2 = 2 > 0$$

Bước 2: Xét mẫu số.

$|x| > 0$ với mọi $x \neq 0$ và $\displaystyle\lim_{x \to 0} |x| = 0$.

Bước 3: Áp dụng quy tắc.

Theo quy tắc: $\dfrac{L > 0}{0^+} = +\infty$.

$$\lim_{x \to 0} \dfrac{2}{|x|} = +\infty$$

Ví dụ 21: Tính $\displaystyle\lim_{x \to 2^-} \dfrac{1}{\sqrt{2 – x}}$.

Giải:

Bước 1: Xác định giới hạn tử số.

$$\lim_{x \to 2^-} 1 = 1 > 0$$

Bước 2: Xét mẫu số khi $x \to 2^-$.

Khi $x < 2$: $2 – x > 0$, nên $\sqrt{2 – x} > 0$.

Khi $x \to 2^-$: $2 – x \to 0^+$, nên $\sqrt{2 – x} \to 0^+$.

Bước 3: Áp dụng quy tắc.

$$\lim_{x \to 2^-} \dfrac{1}{\sqrt{2 – x}} = \dfrac{1}{0^+} = +\infty$$

Dạng 7: Tính giới hạn vô cực một phía

Phương pháp:

1. Viết $f(x)$ thành tích hoặc thương
2. Xác định giới hạn và dấu của từng thành phần
3. Áp dụng quy tắc tích hoặc thương

Ví dụ 22: Cho hàm số $f(x) = \dfrac{2}{(x – 1)(x – 2)}$. Tìm $\displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x)$ và $\displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x)$.

Giải:

Tính $\displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x)$:

Bước 1: Xét tử số.

$$\lim_{x \to 2^+} 2 = 2 > 0$$

Bước 2: Xét mẫu số khi $x \to 2^+$ (tức $x > 2$).

• $x – 1 \to 2 – 1 = 1 > 0$
• $x – 2 \to 0^+$ (vì $x > 2$ nên $x – 2 > 0$)

Do đó: $(x – 1)(x – 2) \to 1 \cdot 0^+ = 0^+$

Bước 3: Áp dụng quy tắc.

$$\lim_{x \to 2^+} \dfrac{2}{(x – 1)(x – 2)} = \dfrac{2}{0^+} = +\infty$$

Tính $\displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x)$:

Bước 1: Tử số vẫn là $2 > 0$.

Bước 2: Xét mẫu số khi $x \to 2^-$ (tức $x < 2$).

• $x – 1 \to 1 > 0$
• $x – 2 \to 0^-$ (vì $x < 2$ nên $x – 2 < 0$)

Do đó: $(x – 1)(x – 2) \to 1 \cdot 0^- = 0^-$

Bước 3: Áp dụng quy tắc.

$$\lim_{x \to 2^-} \dfrac{2}{(x – 1)(x – 2)} = \dfrac{2}{0^-} = -\infty$$

Ví dụ 23: Tính $\displaystyle\lim_{x \to 2^+} \dfrac{2x – 1}{x – 2}$ và $\displaystyle\lim_{x \to 2^-} \dfrac{2x – 1}{x – 2}$.

Giải:

Tính $\displaystyle\lim_{x \to 2^+} \dfrac{2x – 1}{x – 2}$:

Bước 1: Giới hạn tử số.

$$\lim_{x \to 2^+} (2x – 1) = 2 \cdot 2 – 1 = 3 > 0$$

Bước 2: Xét mẫu số khi $x \to 2^+$.

Khi $x > 2$: $x – 2 > 0$ và $x – 2 \to 0^+$.

Bước 3: Áp dụng quy tắc.

$$\lim_{x \to 2^+} \dfrac{2x – 1}{x – 2} = \dfrac{3}{0^+} = +\infty$$

Tính $\displaystyle\lim_{x \to 2^-} \dfrac{2x – 1}{x – 2}$:

Bước 1: Giới hạn tử số vẫn là $3 > 0$.

Bước 2: Xét mẫu số khi $x \to 2^-$.

Khi $x < 2$: $x – 2 < 0$ và $x – 2 \to 0^-$.

Bước 3: Áp dụng quy tắc.

$$\lim_{x \to 2^-} \dfrac{2x – 1}{x – 2} = \dfrac{3}{0^-} = -\infty$$

Tổng kết

Bảng tóm tắt các dạng giới hạn

Quy tắc xét dấu giới hạn vô cực

Mẹo ghi nhớ

Dạng $\dfrac{0}{0}$: Phân tích, rút gọn, tính lại

Căn thức: “Liên hợp khử căn”

Giá trị tuyệt đối: Chia trường hợp theo dấu

Xét dấu $\dfrac{L}{0}$: “Cùng dấu → $+\infty$, khác dấu → $-\infty$”

Khi $x \to -\infty$: Nhớ $\sqrt{x^2} = |x| = -x$

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh