Tình huống thực tiễn: Để giải quyết vấn đề tắc đường ở các thành phố lớn, nhiều giải pháp đã được đưa ra. Trong đó, việc xây dựng các hệ thống cầu vượt, đường trên cao, đường sắt trên cao đã và đang được triển khai tại Việt Nam.

Quan sát hình ảnh trên, ta thấy:

• Có những tuyến đường giao nhau
• Có những tuyến đường không giao nhau nhưng song song
• Có những tuyến đường không giao nhau và cũng không song song

💡 Vậy toán học mô tả vị trí tương quan giữa các tuyến đường như thế nào? Bài học này sẽ giúp chúng ta trả lời câu hỏi đó.

1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

1.1. Hai đường thẳng đồng phẳng

Định nghĩa: Hai đường thẳng $a$ và $b$ được gọi là đồng phẳng nếu chúng cùng nằm trong một mặt phẳng.

Khi hai đường thẳng $a$ và $b$ đồng phẳng, có ba trường hợp xảy ra:

1.2. Hai đường thẳng chéo nhau

Định nghĩa: Hai đường thẳng $a$ và $b$ được gọi là chéo nhau nếu chúng không cùng nằm trong bất kỳ mặt phẳng nào.

Khi $a$ và $b$ chéo nhau, ta còn nói “$a$ chéo với $b$” hoặc “$b$ chéo với $a$”.

Hình ảnh thực tế:

• Dệt vải bằng khung cửi: các sợi dọc và sợi ngang chéo nhau
• Hành lang với các tia laser an ninh đôi một không cắt nhau

1.3. Bảng tổng hợp vị trí tương đối

1.4. Các nhận xét quan trọng

Nhận xét 1: Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng đồng phẳng và không có điểm chung.

Nhận xét 2: Hai đường thẳng không có điểm chung thì có thể song song hoặc chéo nhau.

Nhận xét 3: Có đúng một mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song.

Mẹo phân biệt song song và chéo nhau:

→ Cùng không giao nhau, nhưng song song thì đồng phẳng, chéo nhau thì không đồng phẳng.

Ví dụ 1: Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng.

a) Quan sát bốn đường thẳng $AB$, $BC$, $CD$, $DA$. Chỉ ra các cặp đường thẳng cắt nhau, các cặp đường thẳng song song.

b) Trong ba đường thẳng $AB$, $AF$, $BE$ có hai đường thẳng nào chéo nhau hay không?

Giải:

a) Xét bốn đường thẳng $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ trong hình bình hành $ABCD$:

Các cặp đường thẳng cắt nhau:

• $AB$ và $BC$ cắt nhau tại $B$
• $AB$ và $DA$ cắt nhau tại $A$
• $BC$ và $CD$ cắt nhau tại $C$
• $CD$ và $DA$ cắt nhau tại $D$

Các cặp đường thẳng song song:

• $AB \parallel CD$ (hai cạnh đối của hình bình hành)
• $DA \parallel BC$ (hai cạnh đối của hình bình hành)

b) Xét ba đường thẳng $AB$, $AF$, $BE$:

• Điểm $A$ thuộc cả $AB$ và $AF$ → $AB$, $AF$ cắt nhau tại $A$
• Điểm $B$ thuộc cả $AB$ và $BE$ → $AB$, $BE$ cắt nhau tại $B$
• $AF$ và $BE$ cùng nằm trong mặt phẳng $(ABEF)$

→ Ba đường thẳng $AB$, $AF$, $BE$ cùng nằm trong mặt phẳng $(ABEF)$

Kết luận: Trong ba đường thẳng đó không có hai đường thẳng nào chéo nhau.

Ví dụ 2: Cho hình tứ diện $ABCD$. Hai đường thẳng $AB$ và $CD$ có chéo nhau hay không? Chỉ ra các cặp đường thẳng chéo nhau có trong hình tứ diện đó.

Giải:

Chứng minh $AB$ và $CD$ chéo nhau:

Giả sử hai đường thẳng $AB$ và $CD$ không chéo nhau.

→ Hai đường thẳng $AB$ và $CD$ cùng thuộc một mặt phẳng.

→ Bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ đồng phẳng.

Điều này mâu thuẫn với giả thiết $ABCD$ là hình tứ diện (bốn đỉnh của tứ diện không đồng phẳng).

Vậy hai đường thẳng $AB$ và $CD$ chéo nhau.

Các cặp đường thẳng chéo nhau trong tứ diện:

Lập luận tương tự, ta có:

• $AB$ và $CD$ chéo nhau
• $AC$ và $BD$ chéo nhau
• $AD$ và $BC$ chéo nhau

Nhận xét: Trong hình tứ diện, ba cặp cạnh đối diện đều chéo nhau.

2. Tính chất của hai đường thẳng song song

Tính chất 1: Tồn tại và duy nhất đường thẳng song song

Tính chất 1: Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Ý nghĩa: Tính chất này giống với tiên đề Euclid trong hình học phẳng, và vẫn đúng trong không gian.

Tính chất 2: Tính bắc cầu của quan hệ song song

Tính chất 2: Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

$$\text{Nếu } a \parallel c \text{ và } b \parallel c \text{ thì } a \parallel b$$

Tính chất 3: Định lí ba giao tuyến

Tính chất 3 (Định lí ba giao tuyến): Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song với nhau thì giao tuyến của chúng (nếu có):

• Song song với hai đường thẳng đó, hoặc
• Trùng với một trong hai đường thẳng đó

Ứng dụng: Tính chất này rất hữu ích khi xác định giao tuyến của hai mặt phẳng có chứa hai đường thẳng song song.

Ví dụ 3: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$, $R$, $S$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $AB$, $CD$, $AD$, $BC$, $AC$, $BD$.

a) Chứng minh rằng tứ giác $MPNQ$ là hình bình hành.

b) Chứng minh rằng các đoạn thẳng $MN$, $PQ$, $RS$ cùng đi qua trung điểm của mỗi đoạn.

Giải:

a) Chứng minh $MPNQ$ là hình bình hành:

Bước 1: Xét tam giác $ABC$

• $M$ là trung điểm của $AB$
• $Q$ là trung điểm của $BC$

→ $MQ$ là đường trung bình của tam giác $ABC$

→ $MQ \parallel AC$ và $MQ = \dfrac{1}{2}AC$

Bước 2: Xét tam giác $ACD$

• $P$ là trung điểm của $AD$
• $N$ là trung điểm của $CD$

→ $PN$ là đường trung bình của tam giác $ACD$

→ $PN \parallel AC$ và $PN = \dfrac{1}{2}AC$

Bước 3: So sánh $MQ$ và $PN$

Từ Bước 1 và Bước 2:

• $MQ \parallel AC$ và $PN \parallel AC$ → $MQ \parallel PN$
• $MQ = \dfrac{1}{2}AC$ và $PN = \dfrac{1}{2}AC$ → $MQ = PN$

Bước 4: Kết luận

Tứ giác $MPNQ$ có một cặp cạnh đối ($MQ$ và $PN$) vừa song song vừa bằng nhau.

Vậy tứ giác $MPNQ$ là hình bình hành.

b) Chứng minh $MN$, $PQ$, $RS$ đồng quy:

Bước 1: Từ câu a), $MPNQ$ là hình bình hành

→ Hai đường chéo $MN$ và $PQ$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.

Gọi $I$ là giao điểm của $MN$ và $PQ$.

→ $I$ là trung điểm của $MN$ và cũng là trung điểm của $PQ$.

Bước 2: Chứng minh tương tự với $MRNS$

• Xét tam giác $ABD$: $M$ là trung điểm $AB$, $S$ là trung điểm $BD$→ $MS \parallel AD$ và $MS = \dfrac{1}{2}AD$
• Xét tam giác $ACD$: $R$ là trung điểm $AC$, $N$ là trung điểm $CD$→ $RN \parallel AD$ và $RN = \dfrac{1}{2}AD$

→ $MS \parallel RN$ và $MS = RN$

→ Tứ giác $MRNS$ là hình bình hành.

→ Hai đường chéo $MN$ và $RS$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.

Bước 3: Kết luận

• $MN$ và $PQ$ cắt nhau tại trung điểm của $MN$
• $MN$ và $RS$ cắt nhau tại trung điểm của $MN$

→ Cả ba giao điểm đều là trung điểm của $MN$.

Vậy các đoạn thẳng $MN$, $PQ$, $RS$ cùng đi qua trung điểm của mỗi đoạn.

Ví dụ 4: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$.

Giải:

Bước 1: Tìm điểm chung của $(SAB)$ và $(SCD)$

• Điểm $S$ thuộc mặt phẳng $(SAB)$
• Điểm $S$ thuộc mặt phẳng $(SCD)$

→ $S$ là điểm chung của hai mặt phẳng.

Bước 2: Xét hai đường thẳng $AB$ và $CD$

• $ABCD$ là hình bình hành → $AB \parallel CD$
• $AB \subset (SAB)$
• $CD \subset (SCD)$

→ Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ chứa hai đường thẳng song song $AB$ và $CD$.

Bước 3: Áp dụng hệ quả của định lí ba giao tuyến

Giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ phải song song với $AB$ và $CD$.

Mà giao tuyến đi qua điểm chung $S$.

Kết luận: Giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng $m$ đi qua $S$ và song song với $AB$, $CD$.

Phân dạng bài tập và phương pháp giải

DẠNG 1. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

Phương pháp

Để chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian, ta thường sử dụng một trong ba cách sau:

Cách 1: Tính chất đường trung bình của tam giác

$M$, $N$ là trung điểm của $AB$, $AC$. Khi đó:

$$MN \parallel BC \quad \text{và} \quad MN = \dfrac{1}{2}BC$$

Cách 2: Định lí Ta-lét (đảo)

$$MN \parallel BC ;\Leftrightarrow; \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$$

Cách 3: Tính chất cạnh đối của hình bình hành

Hai phương pháp để chứng minh tứ giác là hình bình hành:

• Chứng minh: $\begin{cases} AB \parallel CD \\ AB = CD \end{cases}$
• Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Khi tứ giác $ABCD$ là hình bình hành thì $AB \parallel CD$ và $AD \parallel BC$.

Cách 4 (bổ sung): Tính bắc cầu

$$\begin{cases} a \parallel c \\ b \parallel c \end{cases} \Rightarrow a \parallel b \text{ (với } a \not\equiv b\text{)}$$

Ví dụ minh họa 1

Bài toán: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành.

a) Trong các đường thẳng $AB$, $AC$, $CD$, hai đường thẳng nào song song, hai đường thẳng nào cắt nhau?

b) Gọi $M$, $N$ lần lượt là hai điểm thuộc hai cạnh $SA$, $SB$. Trong các đường thẳng $SA$, $MN$, $AB$ có hai đường thẳng nào chéo nhau hay không?

Lời giải:

a) Xét ba đường thẳng $AB$, $AC$, $CD$:

• Hai đường thẳng $AB$ và $AC$ cắt nhau tại giao điểm $A$.
• Hai đường thẳng $AB$ và $CD$ song song với nhau (do $ABCD$ là hình bình hành).
• Hai đường thẳng $AC$ và $CD$ cắt nhau tại giao điểm $C$.

b) Vì hai điểm $M$, $N$ lần lượt thuộc hai cạnh $SA$, $SB$ nên $M$, $N$ thuộc mặt phẳng $(SAB)$.

Do đó các điểm $S$, $A$, $B$, $M$, $N$ cùng thuộc một mặt phẳng, nên ba đường thẳng $SA$, $MN$, $AB$ đồng phẳng.

Khi đó, lấy bất kì 2 trong 3 đường thẳng này thì chúng có thể cắt nhau, song song hoặc trùng nhau — không có hai đường thẳng nào chéo nhau.

Vậy trong các đường thẳng $SA$, $MN$, $AB$, không có hai đường thẳng nào chéo nhau.

Ví dụ minh họa 2

Bài toán: Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$, $AC \cap BD = O$. $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $A’B’$, $BC$. Chứng minh $MN \parallel A’O$.

Lời giải:

Bước 1: Xét tam giác $ABC$.

Ta có:

• $O$ là giao điểm hai đường chéo của hình vuông $ABCD$ nên $O$ là trung điểm của $AC$.
• $N$ là trung điểm của $BC$ (giả thiết).

→ $ON$ là đường trung bình của tam giác $ABC$:

$$ON \parallel AB \quad \text{và} \quad ON = \dfrac{1}{2}AB \qquad (1)$$

Bước 2: Áp dụng tính chất hình lập phương.

Trong hình lập phương: $AB \parallel A’B’$ và $AB = A’B’$.

Vì $M$ là trung điểm $A’B’$ nên:

$$A’M \parallel AB \quad \text{và} \quad A’M = \dfrac{1}{2}A’B’ = \dfrac{1}{2}AB \qquad (2)$$

Bước 3: So sánh $ON$ và $A’M$.

Từ $(1)$ và $(2)$:

$$\begin{cases} ON \parallel A’M \\ ON = A’M \end{cases}$$

→ Tứ giác $A’MNO$ có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.

→ $A’MNO$ là hình bình hành.

Bước 4: Kết luận.

Trong hình bình hành $A’MNO$, hai cạnh đối $A’O$ và $MN$ song song với nhau.

$$\boxed{A’O \parallel MN} \quad \text{(đpcm)}$$

DẠNG 2. TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG (có yếu tố song song)

Phương pháp

Có 2 phương pháp tìm giao tuyến của $(P)$ và $(Q)$:

✦ Phương pháp 1: Tìm 2 điểm chung (đã học ở bài trước).

✦ Phương pháp 2: Dùng định lí giao tuyến (khi có 2 đường thẳng song song).

Nếu:

$$\begin{cases} a \subset (P), \; b \subset (Q) \\ a \parallel b \\ (P) \cap (Q) = c \end{cases} \Rightarrow c \parallel a \parallel b$$

Ghi nhớ: Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song với nhau thì giao tuyến của chúng (nếu có) hoặc song song với hai đường thẳng đó, hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

Bài toán tổng quát: Dựng $(P)$ qua $M$ và song song với $a$, $b$

• Qua $M$ dựng $a’ \parallel a$ (Đúng + Đủ)
• Qua $M$ dựng $b’ \parallel b$ (Đúng + Đủ)

$$\Rightarrow (P) \equiv (a’, b’)$$

Ví dụ minh họa 1

Bài toán: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$.

Lời giải:

Bước 1: Tìm điểm chung.

• $S \in (SAD)$ và $S \in (SBC)$ → $S$ là điểm chung của hai mặt phẳng.

Bước 2: Xét hai đường thẳng $AD$ và $BC$.

• $ABCD$ là hình bình hành nên $AD \parallel BC$.
• $AD \subset (SAD)$.
• $BC \subset (SBC)$.

→ Hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ chứa hai đường thẳng song song là $AD$ và $BC$.

Bước 3: Áp dụng định lí giao tuyến.

Giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ phải đi qua $S$ và song song với $AD$, $BC$.

Kết luận: Giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ là đường thẳng $n$ đi qua $S$ và song song với $AD$, $BC$.

$$\boxed{(SAD) \cap (SBC) = n \ni S, ; n \parallel AD \parallel BC}$$

Ví dụ minh họa 2

Bài toán: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC$, $CD$ và $P$ là một điểm thuộc cạnh $AC$. Xác định giao tuyến $d$ của hai mặt phẳng $(AMN)$ và $(BPD)$ và chứng minh giao tuyến đó song song với $BD$.

Lời giải:

Bước 1: Tìm hai điểm chung của $(AMN)$ và $(BPD)$.

Trong mặt phẳng $(ABC)$: gọi $E$ là giao điểm của hai đường thẳng $BP$ và $AM$.

• $E \in AM \subset (AMN)$ → $E \in (AMN)$.
• $E \in BP \subset (BPD)$ → $E \in (BPD)$.

→ $E$ là điểm chung thứ nhất.

Trong mặt phẳng $(ACD)$: gọi $F$ là giao điểm của hai đường thẳng $DP$ và $AN$.

• $F \in AN \subset (AMN)$ → $F \in (AMN)$.
• $F \in DP \subset (BPD)$ → $F \in (BPD)$.

→ $F$ là điểm chung thứ hai.

Bước 2: Xác định giao tuyến.

Vì $E$ và $F$ cùng thuộc cả hai mặt phẳng $(AMN)$ và $(BPD)$ nên:

$$(AMN) \cap (BPD) = EF$$

Vậy giao tuyến $d$ cần tìm chính là đường thẳng $EF$.

Bước 3: Chứng minh $d \parallel BD$.

Xét tam giác $BCD$:

• $M$ là trung điểm $BC$.
• $N$ là trung điểm $CD$.

→ $MN$ là đường trung bình của tam giác $BCD$, do đó $MN \parallel BD$.

Bước 4: Áp dụng định lí giao tuyến.

Hai mặt phẳng $(AMN)$ và $(BPD)$ chứa hai đường thẳng song song là $MN$ và $BD$:

• $MN \subset (AMN)$
• $BD \subset (BPD)$
• $MN \parallel BD$

Do đó, giao tuyến $d$ của hai mặt phẳng $(AMN)$ và $(BPD)$ song song với $MN$ và $BD$.

$$\boxed{d \equiv EF \parallel BD}$$

DẠNG 3. THIẾT DIỆN CHỨA ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI ĐƯỜNG THẲNG KHÁC

Phương pháp

Thiết diện của mặt phẳng $(P)$ với hình chóp là phần mặt phẳng $(P)$ bị giới hạn bởi các mặt của hình chóp — luôn là một đa giác phẳng khép kín.

Cách tìm thiết diện:

Kỹ thuật then chốt: Khi $(P)$ chứa một đường thẳng song song với một cạnh của hình chóp, ta dùng định lí giao tuyến để xác định đoạn giao tuyến trên mặt chứa cạnh đó mà không cần tìm 2 điểm chung.

Ví dụ minh họa 1

Bài toán: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$, $R$, $S$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $AB$, $CD$, $AD$, $BC$, $AC$, $BD$.

a) Chứng minh rằng tứ giác $MPNQ$ là hình bình hành.

b) Chứng minh rằng các đoạn thẳng $MN$, $PQ$, $RS$ cùng đi qua trung điểm của mỗi đoạn.

Lời giải:

a) Chứng minh $MPNQ$ là hình bình hành

Bước 1: Xét tam giác $ABC$.

• $M$ là trung điểm của $AB$.
• $Q$ là trung điểm của $BC$.

→ $MQ$ là đường trung bình của tam giác $ABC$:

$$MQ \parallel AC \quad \text{và} \quad MQ = \dfrac{1}{2}AC \qquad (1)$$

Bước 2: Xét tam giác $ACD$.

• $P$ là trung điểm của $AD$.
• $N$ là trung điểm của $CD$.

→ $PN$ là đường trung bình của tam giác $ACD$:

$$PN \parallel AC \quad \text{và} \quad PN = \dfrac{1}{2}AC \qquad (2)$$

Bước 3: Kết luận.

Từ $(1)$ và $(2)$:

$$\begin{cases} MQ \parallel PN \\ MQ = PN \end{cases}$$

→ Tứ giác $MPNQ$ có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.

Vậy $MPNQ$ là hình bình hành.

b) Chứng minh $MN$, $PQ$, $RS$ cùng đi qua trung điểm của mỗi đoạn

Bước 1: Từ câu a), $MPNQ$ là hình bình hành.

→ Hai đường chéo $MN$ và $PQ$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.

Gọi $I$ là giao điểm của $MN$ và $PQ$ → $I$ là trung điểm chung của $MN$ và $PQ$.

Bước 2: Lập luận tương tự, xét hai tam giác $ABD$ và $ACD$ (hoặc $ABD$ và $ABC$):

• Trong tam giác $ABD$: $MS$ là đường trung bình ($M$ trung điểm $AB$, $S$ trung điểm $BD$) → $MS \parallel AD$ và $MS = \dfrac{1}{2}AD$.
• Trong tam giác $ACD$: $RN$ là đường trung bình ($R$ trung điểm $AC$, $N$ trung điểm $CD$) → $RN \parallel AD$ và $RN = \dfrac{1}{2}AD$.

→ $MS \parallel RN$ và $MS = RN$ → Tứ giác $MRNS$ là hình bình hành.

→ Hai đường chéo $MN$ và $RS$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.

Bước 3: Kết luận.

• $MN$ và $PQ$ cắt nhau tại trung điểm $I$ của $MN$.
• $MN$ và $RS$ cắt nhau tại trung điểm $I$ của $MN$.

→ Cả ba đoạn thẳng $MN$, $PQ$, $RS$ đều đi qua $I$ — là trung điểm của mỗi đoạn.

Vậy các đoạn thẳng $MN$, $PQ$, $RS$ cùng đi qua trung điểm của mỗi đoạn. (đpcm)

Ví dụ minh họa 2

Bài toán: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh bên $SA$, $SB$, $SC$, $SD$. Chứng minh rằng tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành.

Lời giải:

Bước 1: Xét tam giác $SAB$.

• $M$ là trung điểm của $SA$.
• $N$ là trung điểm của $SB$.

→ $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAB$:

$$MN \parallel AB \quad \text{và} \quad MN = \dfrac{1}{2}AB \qquad (1)$$

Bước 2: Xét tam giác $SCD$.

• $P$ là trung điểm của $SC$.
• $Q$ là trung điểm của $SD$.

→ $PQ$ là đường trung bình của tam giác $SCD$:

$$PQ \parallel CD \quad \text{và} \quad PQ = \dfrac{1}{2}CD \qquad (2)$$

Bước 3: Áp dụng tính chất hình bình hành $ABCD$.

Đáy $ABCD$ là hình bình hành nên:

$$AB \parallel CD \quad \text{và} \quad AB = CD \qquad (3)$$

Bước 4: So sánh $MN$ và $PQ$.

Từ $(1)$, $(2)$, $(3)$:

• $MN \parallel AB$ và $PQ \parallel CD$, mà $AB \parallel CD$ → $MN \parallel PQ$ (tính bắc cầu).
• $MN = \dfrac{1}{2}AB$ và $PQ = \dfrac{1}{2}CD$, mà $AB = CD$ → $MN = PQ$.

Bước 5: Kết luận.

Tứ giác $MNPQ$ có:

$$\begin{cases} MN \parallel PQ \\ MN = PQ \end{cases}$$

Vậy tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành. (đpcm)

Ba định lí “xương sống” cần thuộc

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh