1. Khái niệm hàm số

Trong thực tế, ta thường gặp các đại lượng phụ thuộc vào nhau: quãng đường phụ thuộc vào thời gian, tiền điện phụ thuộc vào lượng điện tiêu thụ, nồng độ bụi phụ thuộc vào thời điểm trong ngày,… Mối quan hệ phụ thuộc này dẫn đến khái niệm hàm số.

Giả sử có đại lượng $y$ phụ thuộc vào đại lượng thay đổi $x$, trong đó $x$ nhận giá trị thuộc tập hợp số $D$.

Nếu với mỗi giá trị của $x$ thuộc tập hợp số $D$ có một và chỉ một giá trị tương ứng của $y$ thuộc tập số thực $\mathbb{R}$ thì ta có một hàm số.

Ta gọi $x$ là biến số và $y$ là hàm số của $x$.

Tập hợp $D$ gọi là tập xác định của hàm số.

Tập tất cả các giá trị $y$ nhận được gọi là tập giá trị của hàm số.

Khi $y$ là hàm số của $x$, ta có thể viết $y = f(x)$, $y = g(x)$,…

Ví dụ 1. Bảng cho biết nồng độ bụi PM 2.5 trong không khí theo thời gian:

Nếu gọi $x$ là thời điểm, $y$ là nồng độ bụi PM 2.5 thì $x$ là biến số và $y$ là hàm số của $x$. Đó là hàm số được cho bằng bảng.

Tập xác định: $D = {0;\ 4;\ 8;\ 12;\ 16}$.

Tập giá trị: ${74{,}27;\ 64{,}58;\ 57{,}9;\ 69{,}07;\ 81{,}78}$.

Ví dụ 2. Một vật chuyển động thẳng đều với vận tốc $v = 2$ m/s thì quãng đường đi được $S$ (mét) phụ thuộc vào thời gian $t$ (giây) theo công thức $S = 2t$, trong đó $t$ là biến số, $S = S(t)$ là hàm số của $t$.

Tập xác định: $D = [0;\ +\infty)$.

Quãng đường sau $5$ s: $S(5) = 2 \cdot 5 = 10$ (m). Sau $10$ s: $S(10) = 2 \cdot 10 = 20$ (m).

Chú ý. Khi cho hàm số bằng công thức $y = f(x)$ mà không chỉ rõ tập xác định thì ta quy ước tập xác định là tập hợp tất cả các số thực $x$ sao cho biểu thức $f(x)$ có nghĩa.

Ví dụ 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y = \sqrt{2x – 4}$

Biểu thức $\sqrt{2x – 4}$ có nghĩa khi $2x – 4 \geq 0$, tức $x \geq 2$.

Vậy tập xác định: $D = [2;\ +\infty)$.

b) $y = \dfrac{1}{x – 1}$

Biểu thức có nghĩa khi $x – 1 \neq 0$, tức $x \neq 1$.

Vậy tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus {1}$.

Nhận xét. Một hàm số có thể được cho bằng bảng, bằng biểu đồ, bằng công thức hoặc mô tả bằng lời.

2. Đồ thị của hàm số

Đồ thị của hàm số $y = f(x)$ xác định trên tập $D$ là tập hợp tất cả các điểm $M(x;\ f(x))$ trên mặt phẳng toạ độ với mọi $x \in D$.

Ví dụ. Hàm số mô tả tiền điện khi lượng điện tiêu thụ từ $0$ đến $50$ kWh (theo Bảng 6.2 SGK) có công thức $y = 1{,}678x$ với $0 \leq x \leq 50$.

Tập xác định: $D = [0;\ 50]$.

Vì $0 \leq x \leq 50$ nên $0 \leq y \leq 1{,}678 \times 50 = 83{,}9$.

Tập giá trị: $[0;\ 83{,}9]$.

Đồ thị của hàm số $y = 1{,}678x$ trên $[0;\ 50]$ là một đoạn thẳng.

Mở rộng. Nếu lượng điện tiêu thụ từ trên $50$ đến $100$ kWh ($50 < x \leq 100$), số tiền phải trả là: $y = 1{,}678 \times 50 + 1{,}734(x – 50) = 83{,}9 + 1{,}734(x – 50)$, hay $y = 1{,}734x – 2{,}8$ (nghìn đồng). Tập giá trị trên $D = (50;\ 100]$ là $(83{,}9;\ 170{,}6]$.

3. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Hàm số $y = f(x)$ được gọi là đồng biến (tăng) trên khoảng $(a;\ b)$, nếu:

$$\forall, x_1,, x_2 \in (a;\ b),\quad x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$$

Hàm số $y = f(x)$ được gọi là nghịch biến (giảm) trên khoảng $(a;\ b)$, nếu:

$$\forall, x_1,, x_2 \in (a;\ b),\quad x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$$

Chú ý.

• Đồ thị hàm số đồng biến trên $(a;\ b)$ là đường “đi lên” từ trái sang phải.
• Đồ thị hàm số nghịch biến trên $(a;\ b)$ là đường “đi xuống” từ trái sang phải.

Ví dụ. Xét hàm số $y = x^2$:

• Trên khoảng $(-\infty;\ 0)$: đồ thị “đi xuống” từ trái sang phải. Với $x_1,\ x_2 \in (-\infty;\ 0)$, $x_1 < x_2$ thì $f(x_1) > f(x_2)$. Vậy hàm số nghịch biến trên $(-\infty;\ 0)$.
• Trên khoảng $(0;\ +\infty)$: đồ thị “đi lên” từ trái sang phải. Với $x_3,\ x_4 \in (0;\ +\infty)$, $x_3 < x_4$ thì $f(x_3) < f(x_4)$. Vậy hàm số đồng biến trên $(0;\ +\infty)$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1. Nhận biết hàm số

Phương pháp:

Để kiểm tra $y$ có phải là hàm số của $x$ hay không, ta xét: với mỗi giá trị của $x$ trong tập xác định, liệu có xác định được duy nhất một giá trị $y$ tương ứng hay không.

• Nếu từ hệ thức giữa $x$ và $y$, ta biểu diễn được $y$ theo $x$ bằng một công thức duy nhất → $y$ là hàm số của $x$.
• Nếu tồn tại một giá trị $x$ mà có hai hoặc nhiều giá trị $y$ tương ứng → $y$ không là hàm số của $x$.

Bài 6.1. Xét hai đại lượng $x$, $y$ phụ thuộc vào nhau theo các hệ thức dưới đây. Những trường hợp nào thì $y$ là hàm số của $x$?

a) $x + y = 1$

b) $y = x^2$

c) $y^2 = x$

d) $x^2 – y^2 = 0$

Lời giải chi tiết:

a) $x + y = 1 \Leftrightarrow y = 1 – x$.

Với mỗi giá trị $x$ ta xác định được duy nhất một giá trị $y = 1 – x$.

→ $y$ là hàm số của $x$. ✓

b) $y = x^2$.

Với mỗi giá trị $x$ ta xác định được duy nhất một giá trị $y = x^2$.

→ $y$ là hàm số của $x$. ✓

c) $y^2 = x \Leftrightarrow y = \pm\sqrt{x}$ (với $x \geq 0$).

Ví dụ: khi $x = 4$ thì $y = 2$ hoặc $y = -2$. Một giá trị $x$ cho hai giá trị $y$.

→ $y$ không là hàm số của $x$. ✗

d) $x^2 – y^2 = 0 \Leftrightarrow (x – y)(x + y) = 0 \Leftrightarrow y = x$ hoặc $y = -x$.

Ví dụ: khi $x = 1$ thì $y = 1$ hoặc $y = -1$. Một giá trị $x$ cho hai giá trị $y$.

→ $y$ không là hàm số của $x$. ✗

Đáp án: Trường hợp a và b.

Bài 6.2. Hãy cho một ví dụ về hàm số được cho bằng bảng hoặc biểu đồ. Hãy chỉ ra tập xác định và tập giá trị của hàm số đó.

Lời giải chi tiết:

Ví dụ hàm số cho bằng bảng:

Mỗi giá trị $x$ tương ứng với duy nhất một giá trị $y$, nên bảng trên cho ta một hàm số.

Tập xác định: $D = {1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5}$.

Tập giá trị: ${-1;\ -2;\ -3;\ -4;\ -5}$.

Dạng 2. Tìm tập xác định của hàm số

Phương pháp:

Tập xác định là tập hợp tất cả các giá trị $x$ để biểu thức $f(x)$ có nghĩa. Các điều kiện thường gặp:

• Biểu thức đa thức: luôn có nghĩa → $D = \mathbb{R}$.
• Biểu thức chứa phân thức: mẫu số khác $0$.
• Biểu thức chứa căn bậc hai: biểu thức dưới dấu căn $\geq 0$.
• Nếu có nhiều điều kiện: lấy giao các tập nghiệm.

Bài 6.3. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y = 2x^3 + 3x + 1$

b) $y = \dfrac{x – 1}{x^2 – 3x + 2}$

c) $y = \sqrt{x + 1} + \sqrt{1 – x}$

Lời giải chi tiết:

a) $y = 2x^3 + 3x + 1$ là đa thức, luôn có nghĩa với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

b) Điều kiện: $x^2 – 3x + 2 \neq 0$.

Ta có $x^2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 2$.

Vậy cần $x \neq 1$ và $x \neq 2$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus {1;\ 2}$.

c) Điều kiện: **c)** Điều kiện: $\begin{cases} x + 1 \geq 0 \\ 1 – x \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \geq -1 \\ x \leq 1 \end{cases} \Leftrightarrow -1 \leq x \leq 1$.

Tập xác định: $D = [-1;\ 1]$.

Dạng 3. Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số

Phương pháp:

• Tập xác định: Tìm như Dạng 2.
• Tập giá trị: Xác định tập hợp tất cả các giá trị $y$ mà hàm số có thể nhận. Một số cách thường dùng:
  • Hàm bậc nhất $y = ax + b$ ($a \neq 0$): khi $x$ chạy trên $\mathbb{R}$, $y$ nhận mọi giá trị thực → tập giá trị là $\mathbb{R}$.
  • Hàm $y = ax^2$ ($a > 0$): vì $x^2 \geq 0$ nên $y \geq 0$ → tập giá trị là $[0;\ +\infty)$.
  • Hàm $y = ax^2$ ($a < 0$): vì $x^2 \geq 0$ nên $y \leq 0$ → tập giá trị là $(-\infty;\ 0]$.

Bài 6.4. Tìm tập xác định và tập giá trị của mỗi hàm số sau:

a) $y = 2x + 3$

b) $y = 2x^2$

Lời giải chi tiết:

a) $y = 2x + 3$ là đa thức bậc nhất, có nghĩa với mọi $x$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Vì $x$ nhận mọi giá trị thực nên $y = 2x + 3$ cũng nhận mọi giá trị thực.

Tập giá trị: $\mathbb{R}$.

b) $y = 2x^2$ có nghĩa với mọi $x$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Ta có $x^2 \geq 0$ với mọi $x$, nên $y = 2x^2 \geq 0$.

Khi $x = 0$: $y = 0$ (giá trị nhỏ nhất). Khi $x$ tăng không giới hạn: $y$ tăng không giới hạn.

Tập giá trị: $[0;\ +\infty)$.

Dạng 4. Vẽ đồ thị và xét tính đồng biến, nghịch biến

Phương pháp:

• Vẽ đồ thị: Lập bảng giá trị (chọn vài giá trị $x$, tính $y$ tương ứng), vẽ các điểm lên mặt phẳng toạ độ, nối các điểm thành đường.
  • Hàm bậc nhất $y = ax + b$: đồ thị là đường thẳng, chỉ cần xác định hai điểm.
  • Hàm $y = ax^2$: đồ thị là parabol, đỉnh tại gốc toạ độ, cần thêm vài điểm đối xứng.
• Xét tính đồng biến, nghịch biến: Quan sát đồ thị:
  • Đồ thị “đi lên” từ trái sang phải → hàm số đồng biến trên khoảng đó.
  • Đồ thị “đi xuống” từ trái sang phải → hàm số nghịch biến trên khoảng đó.
  • Hàm bậc nhất $y = ax + b$: $a > 0$ → đồng biến trên $\mathbb{R}$; $a < 0$ → nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
  • Hàm $y = ax^2$: nếu $a > 0$ → nghịch biến trên $(-\infty;\ 0)$, đồng biến trên $(0;\ +\infty)$; nếu $a < 0$ → đồng biến trên $(-\infty;\ 0)$, nghịch biến trên $(0;\ +\infty)$.

Bài 6.5. Vẽ đồ thị các hàm số sau và chỉ ra các khoảng đồng biến, nghịch biến của chúng.

a) $y = -2x + 1$

b) $y = -\dfrac{1}{2}x^2$

Lời giải chi tiết:

a) $y = -2x + 1$ là hàm bậc nhất với hệ số góc $a = -2 < 0$.

Bảng giá trị:

Đồ thị là đường thẳng đi qua hai điểm $(0;\ 1)$ và $(1;\ -1)$.

Vì $a = -2 < 0$, đồ thị “đi xuống” từ trái sang phải.

Kết luận: Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

b) $y = -\dfrac{1}{2}x^2$ là hàm bậc hai với $a = -\dfrac{1}{2} < 0$.

Bảng giá trị:

Đồ thị là parabol có đỉnh tại gốc toạ độ $O$, bề lõm quay xuống dưới.

• Trên khoảng $(-\infty;\ 0)$: đồ thị “đi lên” từ trái sang phải → hàm số đồng biến.
• Trên khoảng $(0;\ +\infty)$: đồ thị “đi xuống” từ trái sang phải → hàm số nghịch biến.

Dạng 5. Bài toán thực tế về hàm số

Phương pháp:

• Bước 1. Xác định đại lượng phụ thuộc ($y$) và đại lượng thay đổi ($x$), cùng điều kiện của $x$.
• Bước 2. Dựa vào dữ kiện bài toán, viết công thức biểu diễn $y$ theo $x$. Nếu quy tắc thay đổi theo từng khoảng giá trị của $x$, ta viết hàm số cho từng khoảng.
• Bước 3. Tính giá trị hàm số tại các điểm cụ thể, nêu ý nghĩa thực tế.

Bài 6.6. Giá thuê xe ô tô tự lái là $1{,}2$ triệu đồng một ngày cho hai ngày đầu tiên và $900$ nghìn đồng cho mỗi ngày tiếp theo. Tổng số tiền $T$ phải trả là một hàm số của số ngày $x$ mà khách thuê xe.

a) Viết công thức của hàm số $T = T(x)$.

b) Tính $T(2)$, $T(3)$, $T(5)$ và cho biết ý nghĩa của mỗi giá trị này.

Lời giải chi tiết:

a) Gọi $T$ (triệu đồng) là số tiền phải trả khi thuê $x$ ngày.

Trường hợp 1: $0 < x \leq 2$. Giá thuê $1{,}2$ triệu/ngày nên:

$$T(x) = 1{,}2x$$

Trường hợp 2: $x > 2$. Hai ngày đầu: $1{,}2 \times 2 = 2{,}4$ triệu. Các ngày tiếp theo: $0{,}9(x – 2)$ triệu.

$$T(x) = 2{,}4 + 0{,}9(x – 2) = 2{,}4 + 0{,}9x – 1{,}8 = 0{,}9x + 0{,}6$$

Vậy:

$$T(x) = \begin{cases} 1{,}2x & \text{nếu } 0 < x \leq 2 \\ 0{,}9x + 0{,}6 & \text{nếu } x > 2 \end{cases}$$

b) Tính giá trị:

$T(2) = 1{,}2 \times 2 = 2{,}4$ (triệu đồng).

$T(3) = 0{,}9 \times 3 + 0{,}6 = 2{,}7 + 0{,}6 = 3{,}3$ (triệu đồng).

$T(5) = 0{,}9 \times 5 + 0{,}6 = 4{,}5 + 0{,}6 = 5{,}1$ (triệu đồng).

Ý nghĩa: $T(2) = 2{,}4$; $T(3) = 3{,}3$; $T(5) = 5{,}1$ lần lượt là số tiền phải trả (đơn vị triệu đồng) nếu khách thuê xe $2$ ngày, $3$ ngày, $5$ ngày.

Bài tập thêm. Một lớp muốn thuê một chiếc xe khách cho chuyến tham quan với tổng đoạn đường cần di chuyển trong khoảng từ $550$ km đến $600$ km. Có hai công ty:

• Công ty A: giá khởi đầu $3{,}75$ triệu đồng cộng thêm $5\,000$ đồng cho mỗi km.
• Công ty B: giá khởi đầu $2{,}5$ triệu đồng cộng thêm $7\,500$ đồng cho mỗi km.

Lớp đó nên chọn công ty nào để chi phí thấp nhất?

Lời giải chi tiết:

Gọi $x$ (km) là tổng quãng đường di chuyển ($550 \leq x \leq 600$).

Chi phí (nghìn đồng):

• Công ty A: $y_A = 3\,750 + 5x$.
• Công ty B: $y_B = 2\,500 + 7{,}5x$.

So sánh:

$$y_A – y_B = (3\,750 + 5x) – (2\,500 + 7{,}5x) = 1\,250 – 2{,}5x$$

Vì $550 \leq x \leq 600$ nên:

$$-2{,}5 \times 600 \leq -2{,}5x \leq -2{,}5 \times 550$$

$$1\,250 – 1\,500 \leq 1\,250 – 2{,}5x \leq 1\,250 – 1\,375$$

$$-250 \leq 1\,250 – 2{,}5x \leq -125$$

Suy ra $y_A – y_B < 0$, tức $y_A < y_B$ với mọi $x \in [550;\ 600]$.

Kết luận: Lớp đó nên chọn công ty A để chi phí thấp nhất.

Sai lầm thường gặp

Tổng kết

Khái niệm hàm số: Nếu với mỗi giá trị $x \in D$ có một và chỉ một giá trị $y$ tương ứng thì $y$ là hàm số của $x$. Tập $D$ là tập xác định, tập tất cả giá trị $y$ nhận được là tập giá trị.

Tìm tập xác định (khi cho bằng công thức):

Đồ thị hàm số: Tập hợp tất cả các điểm $M(x;\ f(x))$ với $x \in D$.

Sự đồng biến, nghịch biến:

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh