Khái niệm lôgarit

1.1. Định nghĩa

Cho $a$ là một số thực dương khác 1 và $M$ là một số thực dương. Số thực $\alpha$ sao cho $a^\alpha = M$ được gọi là lôgarit cơ số $a$ của $M$, ký hiệu là $\log_a M$.

$$\boxed{\alpha = \log_a M \Leftrightarrow a^\alpha = M}$$

Chú ý quan trọng:

• Không có lôgarit của số âm và số 0
• Cơ số của lôgarit phải dương và khác 1
• Điều kiện: $0 < a \neq 1$, $M > 0$

Ví dụ 1: Tìm $x$, biết:

a) $2^x = 8$

b) $2^x = \dfrac{1}{4}$

c) $2^x = \sqrt{2}$

Giải:

a) $2^x = 8 = 2^3$ nên $x = 3$. Ta viết: $x = \log_2 8 = 3$

b) $2^x = \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2^2} = 2^{-2}$ nên $x = -2$. Ta viết: $x = \log_2 \dfrac{1}{4} = -2$

c) $2^x = \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$ nên $x = \dfrac{1}{2}$. Ta viết: $x = \log_2 \sqrt{2} = \dfrac{1}{2}$

1.2. Các tính chất cơ bản

Từ định nghĩa lôgarit, ta có các tính chất sau:

Với $0 < a \neq 1$, $M > 0$ và $\alpha$ là số thực tùy ý, ta có:

Ví dụ 2: Tính:

a) $\log_2 \dfrac{1}{8}$

b) $\log_{\sqrt{3}} 9$

Giải:

a) Ta biến đổi $\dfrac{1}{8}$ về dạng lũy thừa của cơ số 2:

$$\dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{2^3} = 2^{-3}$$

Do đó: $\log_2 \dfrac{1}{8} = \log_2 2^{-3} = -3$

b) Ta biến đổi 9 về dạng lũy thừa của cơ số $\sqrt{3}$:

$$9 = 3^2 = \left((\sqrt{3})^2\right)^2 = (\sqrt{3})^4$$

Do đó: $\log_{\sqrt{3}} 9 = \log_{\sqrt{3}} (\sqrt{3})^4 = 4$

Ví dụ 3: Tính:

a) $\log_3 (3\sqrt{3})$

b) $\log_{\frac{1}{2}} 32$

Giải:

a) Ta biến đổi $3\sqrt{3}$ về dạng lũy thừa của cơ số 3:

$$3\sqrt{3} = 3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{1 + \frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$$

Do đó: $\log_3 (3\sqrt{3}) = \log_3 3^{\frac{3}{2}} = \dfrac{3}{2}$

b) Ta biến đổi cơ số $\dfrac{1}{2}$ và số 32:

$$32 = 2^5 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-5}$$

Do đó: $\log_{\frac{1}{2}} 32 = \log_{\frac{1}{2}} \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-5} = -5$

Tính chất của lôgarit

2.1. Quy tắc tính lôgarit

Giả sử $a$ là số thực dương khác 1, $M$ và $N$ là các số thực dương, $\alpha$ là số thực tùy ý. Khi đó:

Mẹo nhớ:

• Nhân trong → Cộng ngoài: Lôgarit của tích bằng tổng các lôgarit
• Chia trong → Trừ ngoài: Lôgarit của thương bằng hiệu các lôgarit
• Số mũ trong → Nhân ra ngoài: Số mũ đưa ra làm hệ số

Ví dụ 4: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\log_4 2 + \log_4 32$

b) $\log_2 80 – \log_2 5$

Giải:

a) Áp dụng quy tắc lôgarit của tích:

$$\log_4 2 + \log_4 32 = \log_4 (2 \cdot 32) = \log_4 64$$

Biến đổi: $64 = 4^3$

$$= \log_4 4^3 = 3 \cdot \log_4 4 = 3 \cdot 1 = 3$$

b) Áp dụng quy tắc lôgarit của thương:

$$\log_2 80 – \log_2 5 = \log_2 \dfrac{80}{5} = \log_2 16$$

Biến đổi: $16 = 2^4$

$$= \log_2 2^4 = 4 \cdot \log_2 2 = 4 \cdot 1 = 4$$

Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức:

$$A = \log_2(x^3 – x) – \log_2(x + 1) – \log_2(x – 1) \quad (x > 1)$$

Giải:

Bước 1: Áp dụng quy tắc lôgarit của thương.

$$A = \log_2(x^3 – x) – \log_2(x + 1) – \log_2(x – 1)$$

$$= \log_2(x^3 – x) – [\log_2(x + 1) + \log_2(x – 1)]$$

$$= \log_2(x^3 – x) – \log_2[(x + 1)(x – 1)]$$

Bước 2: Tiếp tục áp dụng quy tắc lôgarit của thương.

$$= \log_2 \dfrac{x^3 – x}{(x + 1)(x – 1)}$$

Bước 3: Rút gọn biểu thức trong lôgarit.

Tử số: $x^3 – x = x(x^2 – 1) = x(x – 1)(x + 1)$

Mẫu số: $(x + 1)(x – 1) = x^2 – 1$

$$= \log_2 \dfrac{x(x – 1)(x + 1)}{(x + 1)(x – 1)} = \log_2 x$$

Vậy $A = \log_2 x$

2.2. Công thức đổi cơ số

Trong nhiều vấn đề lý thuyết và ứng dụng, chúng ta cần đổi từ lôgarit theo một cơ số này sang lôgarit theo một cơ số khác.

Với các cơ số lôgarit $a$ và $b$ bất kỳ ($0 < a \neq 1$, $0 < b \neq 1$) và $M$ là số thực dương tùy ý, ta luôn có:

$$\boxed{\log_a M = \dfrac{\log_b M}{\log_b a}}$$

Các hệ quả quan trọng:

Ví dụ 6: Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính $\log_4 8$.

Giải:

Áp dụng công thức đổi cơ số với cơ số mới là 2:

$$\log_4 8 = \dfrac{\log_2 8}{\log_2 4}$$

Tính từng lôgarit:

• $\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3$
• $\log_2 4 = \log_2 2^2 = 2$

Do đó: $\log_4 8 = \dfrac{3}{2}$

Ví dụ 7: Chứng minh rằng:

a) Nếu $a$ và $b$ là hai số dương khác 1 thì $\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}$

b) Nếu $a$ là số dương khác 1, $M$ là số dương và $\alpha \neq 0$, thì $\log_{a^\alpha} M = \dfrac{1}{\alpha} \cdot \log_a M$

Giải:

a) Theo công thức đổi cơ số:

$$\log_a b = \dfrac{\log_b b}{\log_b a} = \dfrac{1}{\log_b a}$$

(Vì $\log_b b = 1$)

b) Theo công thức đổi cơ số:

$$\log_{a^\alpha} M = \dfrac{\log_a M}{\log_a a^\alpha} = \dfrac{\log_a M}{\alpha \cdot \log_a a} = \dfrac{\log_a M}{\alpha \cdot 1} = \dfrac{1}{\alpha} \cdot \log_a M$$

Ví dụ 8: Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính $\log_9 \dfrac{1}{27}$.

Giải:

Cách 1: Đổi cơ số về cơ số 3.

$$\log_9 \dfrac{1}{27} = \dfrac{\log_3 \dfrac{1}{27}}{\log_3 9}$$

Tính từng lôgarit:

• $\log_3 \dfrac{1}{27} = \log_3 3^{-3} = -3$
• $\log_3 9 = \log_3 3^2 = 2$

Do đó: $\log_9 \dfrac{1}{27} = \dfrac{-3}{2} = -\dfrac{3}{2}$

Cách 2: Dùng hệ quả $\log_{a^2} M = \dfrac{1}{2}\log_a M$.

$$\log_9 \dfrac{1}{27} = \log_{3^2} \dfrac{1}{27} = \dfrac{1}{2} \log_3 \dfrac{1}{27} = \dfrac{1}{2} \cdot (-3) = -\dfrac{3}{2}$$

Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên

3.1. Lôgarit thập phân

Trong thực hành, ta hay dùng hệ đếm thập phân (hệ đếm cơ số 10); lôgarit cơ số 10 đóng vai trò quan trọng trong tính toán.

Định nghĩa: Lôgarit cơ số 10 của một số dương $M$ gọi là lôgarit thập phân của $M$.

Ký hiệu: $\log M$ hoặc $\lg M$ (đọc là “lốc của M”)

$$\log M = \log_{10} M$$

Ví dụ 9 (Ứng dụng – Độ pH): Độ pH của một dung dịch hóa học được tính theo công thức:

$$\text{pH} = -\log[\text{H}^+]$$

trong đó $[\text{H}^+]$ là nồng độ (tính theo mol/lít) của các ion hydrogen. Giá trị pH nằm trong khoảng từ 0 đến 14:

• Nếu pH < 7: dung dịch có tính acid
• Nếu pH = 7: dung dịch trung tính
• Nếu pH > 7: dung dịch có tính base

a) Tính độ pH của dung dịch có nồng độ ion hydrogen bằng 0,01 mol/lít.

b) Xác định nồng độ ion hydrogen của một dung dịch có độ pH bằng 7,4.

Giải:

a) Khi $[\text{H}^+] = 0{,}01 = 10^{-2}$, ta có:

$$\text{pH} = -\log 0{,}01 = -\log 10^{-2} = -(-2) = 2$$

b) Từ công thức $\text{pH} = -\log[\text{H}^+]$, ta có:

$$7{,}4 = -\log[\text{H}^+]$$

$$\log[\text{H}^+] = -7{,}4$$

$$[\text{H}^+] = 10^{-7{,}4} \text{ mol/lít}$$

3.2. Số e và lôgarit tự nhiên

Bài toán lãi kép liên tục và số e

Ta đã biết: Nếu đem gửi ngân hàng một số vốn ban đầu là $P$ theo thể thức lãi kép với lãi suất hằng năm không đổi là $r$ và chia mỗi năm thành $m$ kỳ tính lãi thì sau $t$ năm (tức là sau $tm$ kỳ), số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là:

$$A_m = P\left(1 + \dfrac{r}{m}\right)^{tm}$$

Nếu kỳ tính lãi được chia càng ngày càng nhỏ (tính lãi hằng ngày, hằng giờ, hằng phút, hằng giây,…) thì dẫn đến việc tính giới hạn của dãy số $A_m$ khi $m \to +\infty$.

Ta có:

$$A_m = P\left(1 + \dfrac{r}{m}\right)^{tm} = P\left[\left(1 + \dfrac{1}{\frac{m}{r}}\right)^{\frac{m}{r}}\right]^{rt}$$

Để tính giới hạn $\lim_{m \to +\infty} A_m$, ta cần xét giới hạn $\lim_{x \to +\infty}\left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x$.

Người ta chứng minh được giới hạn trên tồn tại, nó là một số vô tỉ có giá trị bằng $2{,}718281828…$ và ký hiệu là $e$.

$$\boxed{e = \lim_{x \to +\infty}\left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x \approx 2{,}7183}$$

Từ đó suy ra: $\lim_{m \to +\infty} A_m = Pe^{rt}$

Thể thức tính lãi khi $m \to +\infty$ theo cách trên gọi là thể thức lãi kép liên tục.

Công thức lãi kép liên tục:

$$\boxed{A = P \cdot e^{rt}}$$

Trong đó:

• $P$: Vốn ban đầu
• $r$: Lãi suất hằng năm (dạng thập phân)
• $t$: Thời gian gửi (năm)
• $A$: Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi)

Lôgarit tự nhiên

Định nghĩa: Lôgarit cơ số $e$ của một số dương $M$ gọi là lôgarit tự nhiên của $M$.

Ký hiệu: $\ln M$ (đọc là “lôgarit Nêpe của M”)

$$\ln M = \log_e M$$

Ví dụ 10: Biết thời gian cần thiết (tính theo năm) để tăng gấp đôi số tiền đầu tư theo thể thức lãi kép liên tục với lãi suất không đổi $r$ mỗi năm được cho bởi công thức:

$$t = \dfrac{\ln 2}{r}$$

Tính thời gian cần thiết để tăng gấp đôi một khoản đầu tư khi lãi suất là 6% mỗi năm (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Giải:

Ta có: $r = 6\% = 0{,}06$

Thời gian cần thiết để tăng gấp đôi khoản đầu tư là:

$$t = \dfrac{\ln 2}{r} = \dfrac{\ln 2}{0{,}06} \approx \dfrac{0{,}6931}{0{,}06} \approx 11{,}6 \text{ (năm)}$$

3.3. Tính lôgarit bằng máy tính cầm tay

Có thể dùng máy tính cầm tay để tính lôgarit của một số dương.

Ví dụ 11 (Giải bài toán mở đầu): Bác An gửi tiết kiệm ngân hàng 100 triệu đồng kỳ hạn 12 tháng, với lãi suất không đổi là 6% một năm. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm, tổng số tiền bác An thu được là không dưới 150 triệu đồng?

Giải:

Ta có: $A = 100 \cdot (1 + 0{,}06)^n = 100 \cdot 1{,}06^n$ (triệu đồng)

Với $A = 150$, ta có:

$$100 \cdot 1{,}06^n = 150$$

$$1{,}06^n = \dfrac{150}{100} = 1{,}5$$

Lấy lôgarit cơ số $1{,}06$ hai vế:

$$n = \log_{1{,}06} 1{,}5$$

Dùng công thức đổi cơ số và máy tính:

$$n = \dfrac{\log 1{,}5}{\log 1{,}06} = \dfrac{\ln 1{,}5}{\ln 1{,}06} \approx \dfrac{0{,}4055}{0{,}0583} \approx 6{,}96$$

Vì gửi tiết kiệm kỳ hạn 12 tháng (tức là 1 năm) nên $n$ phải là số nguyên.

Do đó ta chọn $n = 7$.

Kết luận: Sau ít nhất 7 năm thì bác An nhận được số tiền ít nhất là 150 triệu đồng.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Tính giá trị biểu thức lôgarit cơ bản

Phương pháp:

1. Biến đổi số trong lôgarit về dạng lũy thừa của cơ số
2. Áp dụng tính chất $\log_a a^\alpha = \alpha$
3. Với biểu thức có nhiều lôgarit: dùng quy tắc tích, thương, lũy thừa

Nhận dạng: Biểu thức chứa $\log_a b$, $\ln$, $\log$ với các số cụ thể.

Mẹo biến đổi nhanh:

• $\log_a \dfrac{1}{M} = \log_a M^{-1} = -\log_a M$
• $\log_a \sqrt[n]{M} = \log_a M^{\frac{1}{n}} = \dfrac{1}{n}\log_a M$
• $\ln e^k = k$ và $\log 10^k = k$

Ví dụ 1: Tính:

a) $\log_2 2^{-13}$

b) $\ln e^{\sqrt{2}}$

c) $\log_8 16 – \log_8 2$

d) $\log_2 6 \cdot \log_6 8$

Giải chi tiết:

a) $\log_2 2^{-13}$

Bước 1: Nhận dạng – đây là lôgarit của lũy thừa cơ số.

Bước 2: Áp dụng tính chất $\log_a a^\alpha = \alpha$.

$$\log_2 2^{-13} = -13$$

b) $\ln e^{\sqrt{2}}$

Bước 1: Nhận dạng – $\ln$ là lôgarit cơ số $e$.

Bước 2: Áp dụng tính chất $\log_a a^\alpha = \alpha$ với $a = e$.

$$\ln e^{\sqrt{2}} = \log_e e^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$$

c) $\log_8 16 – \log_8 2$

Bước 1: Áp dụng quy tắc lôgarit của thương.

$$\log_8 16 – \log_8 2 = \log_8 \dfrac{16}{2} = \log_8 8$$

Bước 2: Áp dụng tính chất $\log_a a = 1$.

$$= 1$$

d) $\log_2 6 \cdot \log_6 8$

Bước 1: Sử dụng công thức đổi cơ số.

Ta có: $\log_2 6 = \dfrac{\ln 6}{\ln 2}$ và $\log_6 8 = \dfrac{\ln 8}{\ln 6}$

Bước 2: Nhân hai biểu thức.

$$\log_2 6 \cdot \log_6 8 = \dfrac{\ln 6}{\ln 2} \cdot \dfrac{\ln 8}{\ln 6} = \dfrac{\ln 8}{\ln 2}$$

Bước 3: Đưa về lôgarit cơ số 2.

$$= \log_2 8 = \log_2 2^3 = 3$$

Mẹo: Với tích dây chuyền $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$ (số ở giữa triệt tiêu).

Dạng 2: Viết biểu thức thành lôgarit của một biểu thức đơn

Phương pháp:

1. Áp dụng quy tắc ngược:
   • $\log_a M + \log_a N = \log_a(MN)$
   • $\log_a M – \log_a N = \log_a\dfrac{M}{N}$
   • $\alpha \cdot \log_a M = \log_a M^\alpha$
2. Gộp tất cả thành một lôgarit duy nhất

Nhận dạng: Tổng/hiệu nhiều lôgarit cùng cơ số, yêu cầu viết gọn.

Mẹo: Xử lý hệ số trước bằng cách đưa vào số mũ, sau đó gộp tích/thương.

Ví dụ 2: Viết mỗi biểu thức sau thành lôgarit của một biểu thức (giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):

a) $A = \ln\dfrac{x}{x-1} + \ln\dfrac{x+1}{x} – \ln(x^2-1)$

b) $B = 2\log_3\sqrt[3]{x} + \log_3(9x^2) – \log_3 9$

Giải chi tiết:

a) $A = \ln\dfrac{x}{x-1} + \ln\dfrac{x+1}{x} – \ln(x^2-1)$

Bước 1: Gộp hai lôgarit đầu bằng quy tắc lôgarit của tích.

$$\ln\dfrac{x}{x-1} + \ln\dfrac{x+1}{x} = \ln\left(\dfrac{x}{x-1} \cdot \dfrac{x+1}{x}\right) = \ln\dfrac{x+1}{x-1}$$

Bước 2: Trừ lôgarit thứ ba bằng quy tắc lôgarit của thương.

$$A = \ln\dfrac{x+1}{x-1} – \ln(x^2-1)$$

$$= \ln\dfrac{\dfrac{x+1}{x-1}}{x^2-1} = \ln\dfrac{x+1}{(x-1)(x^2-1)}$$

Bước 3: Phân tích và rút gọn.

Vì $x^2 – 1 = (x-1)(x+1)$, ta có:

$$A = \ln\dfrac{x+1}{(x-1)(x-1)(x+1)} = \ln\dfrac{1}{(x-1)^2}$$

Bước 4: Viết gọn (nếu cần).

$$A = \ln(x-1)^{-2} = -2\ln(x-1)$$

Hoặc viết: $A = \ln\dfrac{1}{(x-1)^2}$

b) $B = 2\log_3\sqrt[3]{x} + \log_3(9x^2) – \log_3 9$

Bước 1: Xử lý hệ số và căn.

$$2\log_3\sqrt[3]{x} = 2\log_3 x^{\frac{1}{3}} = 2 \cdot \dfrac{1}{3}\log_3 x = \dfrac{2}{3}\log_3 x = \log_3 x^{\frac{2}{3}}$$

Bước 2: Gộp các lôgarit.

$$B = \log_3 x^{\frac{2}{3}} + \log_3(9x^2) – \log_3 9$$

$$= \log_3\left(x^{\frac{2}{3}} \cdot 9x^2\right) – \log_3 9$$

$$= \log_3\left(9x^{\frac{2}{3} + 2}\right) – \log_3 9$$

$$= \log_3\left(9x^{\frac{8}{3}}\right) – \log_3 9$$

Bước 3: Áp dụng quy tắc lôgarit của thương.

$$B = \log_3\dfrac{9x^{\frac{8}{3}}}{9} = \log_3 x^{\frac{8}{3}}$$

Bước 4: Viết gọn.

$$B = \dfrac{8}{3}\log_3 x$$

Hoặc viết: $B = \log_3 x^{\frac{8}{3}} = \log_3\sqrt[3]{x^8}$

Dạng 3: Rút gọn biểu thức lôgarit khác cơ số

Phương pháp:

1. Sử dụng công thức đổi cơ số để đưa về cùng một cơ số
2. Áp dụng các hệ quả đặc biệt
3. Thực hiện phép tính và rút gọn

Nhận dạng: Biểu thức có nhiều lôgarit với các cơ số khác nhau nhưng liên quan (như $a$, $a^2$, $\sqrt{a}$, $\dfrac{1}{a}$).

Bảng công thức đổi cơ số đặc biệt:

Ví dụ 3: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A = \log_{\frac{1}{3}} 5 + 2\log_9 25 – \log_{\sqrt{3}} \dfrac{1}{5}$

b) $B = \log_a M^2 + \log_{a^2} M^4$

Giải chi tiết:

a) $A = \log_{\frac{1}{3}} 5 + 2\log_9 25 – \log_{\sqrt{3}} \dfrac{1}{5}$

Bước 1: Đổi tất cả về cơ số 3.

Số hạng 1: $\log_{\frac{1}{3}} 5 = \log_{3^{-1}} 5 = \dfrac{1}{-1}\log_3 5 = -\log_3 5$

Số hạng 2: $\log_9 25 = \log_{3^2} 25 = \dfrac{1}{2}\log_3 25 = \dfrac{1}{2}\log_3 5^2 = \dfrac{1}{2} \cdot 2\log_3 5 = \log_3 5$

Nên: $2\log_9 25 = 2\log_3 5$

Số hạng 3: $\log_{\sqrt{3}} \dfrac{1}{5} = \log_{3^{\frac{1}{2}}} 5^{-1} = \dfrac{1}{\frac{1}{2}}\log_3 5^{-1} = 2 \cdot (-1) \cdot \log_3 5 = -2\log_3 5$

Bước 2: Thay vào biểu thức.

$$A = -\log_3 5 + 2\log_3 5 – (-2\log_3 5)$$

$$= -\log_3 5 + 2\log_3 5 + 2\log_3 5$$

$$= (-1 + 2 + 2)\log_3 5 = 3\log_3 5$$

Bước 3: Viết gọn (nếu cần).

$$A = 3\log_3 5 = \log_3 5^3 = \log_3 125$$

b) $B = \log_a M^2 + \log_{a^2} M^4$

Bước 1: Xử lý từng số hạng.

Số hạng 1: $\log_a M^2 = 2\log_a M$

Số hạng 2: $\log_{a^2} M^4 = \dfrac{1}{2}\log_a M^4 = \dfrac{1}{2} \cdot 4\log_a M = 2\log_a M$

Bước 2: Cộng lại.

$$B = 2\log_a M + 2\log_a M = 4\log_a M$$

Dạng 4: Tính giá trị tích dây chuyền các lôgarit

Phương pháp:

1. Sử dụng công thức đổi cơ số: $\log_a b = \dfrac{\ln b}{\ln a}$
2. Viết tích dưới dạng phân số
3. Rút gọn theo kiểu “triệt tiêu dây chuyền”

Nhận dạng: Tích nhiều lôgarit có dạng $\log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c d \cdots$

Công thức tổng quát:

$$\boxed{\log_{a_1} a_2 \cdot \log_{a_2} a_3 \cdot \log_{a_3} a_4 \cdots \log_{a_{n-1}} a_n = \log_{a_1} a_n}$$

Mẹo nhận dạng: “Số” của lôgarit trước = “Cơ số” của lôgarit sau → triệt tiêu được.

Ví dụ 4: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $A = \log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 5 \cdot \log_5 6 \cdot \log_6 7 \cdot \log_7 8$

b) $B = \log_2 2 \cdot \log_2 4 \cdot \log_2 8 \cdots \log_2 2^n$

Giải chi tiết:

a) $A = \log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 5 \cdot \log_5 6 \cdot \log_6 7 \cdot \log_7 8$

Bước 1: Đổi tất cả về cùng cơ số (ví dụ cơ số $e$ hoặc 10).

$$\log_2 3 = \dfrac{\ln 3}{\ln 2}; \quad \log_3 4 = \dfrac{\ln 4}{\ln 3}; \quad \log_4 5 = \dfrac{\ln 5}{\ln 4}$$

$$\log_5 6 = \dfrac{\ln 6}{\ln 5}; \quad \log_6 7 = \dfrac{\ln 7}{\ln 6}; \quad \log_7 8 = \dfrac{\ln 8}{\ln 7}$$

Bước 2: Nhân tất cả lại.

$$A = \dfrac{\ln 3}{\ln 2} \cdot \dfrac{\ln 4}{\ln 3} \cdot \dfrac{\ln 5}{\ln 4} \cdot \dfrac{\ln 6}{\ln 5} \cdot \dfrac{\ln 7}{\ln 6} \cdot \dfrac{\ln 8}{\ln 7}$$

Bước 3: Rút gọn (các số hạng triệt tiêu dây chuyền).

$$A = \dfrac{\cancel{\ln 3}}{\ln 2} \cdot \dfrac{\cancel{\ln 4}}{\cancel{\ln 3}} \cdot \dfrac{\cancel{\ln 5}}{\cancel{\ln 4}} \cdot \dfrac{\cancel{\ln 6}}{\cancel{\ln 5}} \cdot \dfrac{\cancel{\ln 7}}{\cancel{\ln 6}} \cdot \dfrac{\ln 8}{\cancel{\ln 7}}$$

$$A = \dfrac{\ln 8}{\ln 2} = \log_2 8 = \log_2 2^3 = 3$$

b) $B = \log_2 2 \cdot \log_2 4 \cdot \log_2 8 \cdots \log_2 2^n$

Bước 1: Tính từng lôgarit.

$$\log_2 2 = 1; \quad \log_2 4 = \log_2 2^2 = 2; \quad \log_2 8 = \log_2 2^3 = 3$$

Tổng quát: $\log_2 2^k = k$

Bước 2: Viết lại biểu thức.

$$B = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n = n!$$

(Đây là giai thừa của $n$)

Dạng 5: Bài toán thực tế ứng dụng lôgarit

Các công thức thường gặp:

Phương pháp:

1. Xác định công thức cần dùng
2. Thay số vào công thức
3. Giải phương trình lôgarit (nếu cần tìm biến)
4. Sử dụng máy tính để tính giá trị (nếu cần)

Ví dụ 5: Biết rằng khi độ cao tăng lên, áp suất không khí sẽ giảm và công thức tính áp suất dựa trên độ cao là:

$$a = 15500(5 – \log p)$$

trong đó $a$ là độ cao so với mực nước biển (tính bằng mét) và $p$ là áp suất không khí (tính bằng pascal).

Tính áp suất không khí ở đỉnh Everest có độ cao khoảng 8850 m so với mực nước biển.

Giải chi tiết:

Bước 1: Xác định các đại lượng.

• Độ cao: $a = 8850$ m
• Cần tìm: áp suất $p$

Bước 2: Thay vào công thức.

$$8850 = 15500(5 – \log p)$$

Bước 3: Giải phương trình tìm $\log p$.

$$\dfrac{8850}{15500} = 5 – \log p$$

$$\dfrac{8850}{15500} = \dfrac{177}{310} \approx 0{,}571$$

$$0{,}571 = 5 – \log p$$

$$\log p = 5 – 0{,}571 = 4{,}429$$

Bước 4: Tìm $p$.

$$p = 10^{4{,}429} \approx 26853 \text{ (pascal)}$$

Kết luận: Áp suất không khí ở đỉnh Everest khoảng 26853 pascal (hay khoảng 0,265 atm).

Ví dụ 6: Mức cường độ âm $L$ đo bằng deciben (dB) của âm thanh có cường độ $I$ (đo bằng W/m²) được định nghĩa như sau:

$$L(I) = 10\log\dfrac{I}{I_0}$$

trong đó $I_0 = 10^{-12}$ W/m² là cường độ âm thanh nhỏ nhất mà tai người có thể phát hiện được (gọi là ngưỡng nghe).

Xác định mức cường độ âm của mỗi âm sau:

a) Cuộc trò chuyện bình thường có cường độ $I = 10^{-7}$ W/m²

b) Giao thông thành phố đông đúc có cường độ $I = 10^{-3}$ W/m²

Giải chi tiết:

a) Cuộc trò chuyện bình thường: $I = 10^{-7}$ W/m²

Bước 1: Thay vào công thức.

$$L = 10\log\dfrac{I}{I_0} = 10\log\dfrac{10^{-7}}{10^{-12}}$$

Bước 2: Tính phân số trong lôgarit.

$$\dfrac{10^{-7}}{10^{-12}} = 10^{-7-(-12)} = 10^{-7+12} = 10^5$$

Bước 3: Tính lôgarit.

$$L = 10\log 10^5 = 10 \cdot 5 = 50 \text{ (dB)}$$

b) Giao thông thành phố đông đúc: $I = 10^{-3}$ W/m²

Bước 1: Thay vào công thức.

$$L = 10\log\dfrac{I}{I_0} = 10\log\dfrac{10^{-3}}{10^{-12}}$$

Bước 2: Tính phân số trong lôgarit.

$$\dfrac{10^{-3}}{10^{-12}} = 10^{-3-(-12)} = 10^{-3+12} = 10^9$$

Bước 3: Tính lôgarit.

$$L = 10\log 10^9 = 10 \cdot 9 = 90 \text{ (dB)}$$

Kết luận:

• Cuộc trò chuyện bình thường: 50 dB
• Giao thông thành phố đông đúc: 90 dB

Tổng kết

Bảng công thức lôgarit cần nhớ

Ký hiệu đặc biệt

Mẹo ghi nhớ quy tắc tính

• Nhân trong → Cộng ngoài: $\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N$
• Chia trong → Trừ ngoài: $\log_a\dfrac{M}{N} = \log_a M – \log_a N$
• Số mũ trong → Nhân ra ngoài: $\log_a M^\alpha = \alpha \cdot \log_a M$
• Tích dây chuyền triệt tiêu: $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh