Phép chiếu vuông góc

Vào khoảng thời gian giữa mùa hè, ở phía bắc của vòng Bắc Cực (như một số vùng phía bắc của Na Uy, Phần Lan, Nga,…), Mặt Trời có thể được nhìn thấy trong suốt 24 giờ của ngày. Hình học giải thích hiện tượng này như thế nào?

1.1. Định nghĩa

Trên sân phẳng có một cây cột thẳng vuông góc với mặt sân. Dưới ánh sáng mặt trời, bóng của cây cột trên sân có thể được nhìn như là hình chiếu của cây cột qua phép chiếu song song. Khi tia sáng mặt trời vuông góc với mặt sân, ta sẽ không quan sát được bóng của cây cột (bóng thu về một điểm).

Định nghĩa: Phép chiếu song song lên mặt phẳng $(P)$ theo phương $\Delta$ vuông góc với $(P)$ được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng $(P)$.

1.2. Các chú ý quan trọng

Chú ý 1: Vì phép chiếu vuông góc lên một mặt phẳng là một trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song nên nó có mọi tính chất của phép chiếu song song.

Chú ý 2: Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng $(P)$ còn được gọi đơn giản là phép chiếu lên mặt phẳng $(P)$. Hình chiếu vuông góc $\mathcal{H}’$ của hình $\mathcal{H}$ trên mặt phẳng $(P)$ còn được gọi là hình chiếu của $\mathcal{H}$ trên mặt phẳng $(P)$.

1.3. Tính chất cơ bản

Tính chất 1: Nếu $A$ là một điểm không thuộc mặt phẳng $(P)$ và $A’$ là hình chiếu của $A$ trên $(P)$ thì đường thẳng $AA’$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$.

$$A’ \text{ là hình chiếu của } A \text{ trên } (P) \Rightarrow AA’ \perp (P)$$

Tính chất 2: Nếu đường thẳng $a$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ thì hình chiếu của $a$ trên $(P)$ là một điểm (chính là giao điểm của $a$ và $(P)$).

Định lý ba đường vuông góc

2.1. Phát biểu định lý

Cho đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(P)$ không vuông góc với nhau. Trên $a$, lấy hai điểm $M$, $N$ tùy ý. Gọi $M’$, $N’$ tương ứng là hình chiếu của $M$, $N$ trên mặt phẳng $(P)$.

Khi đó, hình chiếu của $a$ trên mặt phẳng $(P)$ là đường thẳng $a’ = M’N’$.

Định lý ba đường vuông góc:

$$\boxed{\text{Cho đường thẳng } a \text{ và mặt phẳng } (P) \text{ không vuông góc với nhau. Khi đó, một đường thẳng } b \text{ nằm trong } (P) \text{ vuông góc với } a \text{ khi và chỉ khi } b \text{ vuông góc với hình chiếu vuông góc } a’ \text{ của } a \text{ trên } (P).}$$

Cách viết gọn: Với $a$ không vuông góc $(P)$, $b \subset (P)$, $a’$ là hình chiếu của $a$ trên $(P)$:

$$b \perp a \Leftrightarrow b \perp a’$$

2.2. Ý nghĩa của định lý

Định lý ba đường vuông góc cho phép chuyển việc kiểm tra tính vuông góc giữa $a$ và $b$ (có thể chéo nhau) sang kiểm tra tính vuông góc giữa $b$ và $a’$ (cùng thuộc mặt phẳng $(P)$).

Điều này rất hữu ích vì việc kiểm tra hai đường vuông góc trong cùng một mặt phẳng thường dễ dàng hơn.

Ví dụ 1: Trên một sân phẳng nằm ngang, tại các điểm $A$, $B$, $C$, $D$, người ta dựng các cột thẳng đứng $AM$, $BN$, $CP$, $DQ$ và nối các sợi dây thẳng giữa $M$ và $P$, $N$ và $Q$ như Hình 7.35.

a) Hãy chỉ ra hình chiếu của các dây $MP$ và $NQ$ trên sân.

b) Chứng minh rằng nếu $BD \perp AC$ thì $BD \perp MP$.

c) Chứng minh rằng nếu $ABCD$ là một hình bình hành thì các trung điểm $E$, $F$ tương ứng của các đoạn thẳng $MP$ và $NQ$ có cùng hình chiếu trên sân.

Giải:

a) Xác định hình chiếu của $MP$ và $NQ$ trên sân:

Do các cột có phương thẳng đứng và sân thuộc mặt phẳng nằm ngang nên các cột vuông góc với sân.

Vậy $A$, $B$, $C$, $D$ tương ứng là hình chiếu của $M$, $N$, $P$, $Q$ trên sân.

Do đó:

• Hình chiếu của $MP$ trên sân là $AC$
• Hình chiếu của $NQ$ trên sân là $BD$

b) Chứng minh nếu $BD \perp AC$ thì $BD \perp MP$:

Ta có: $AC$ là hình chiếu của $MP$ trên sân và $BD$ thuộc sân.

Nếu $BD \perp AC$, theo định lý ba đường vuông góc, ta có:

$$BD \perp MP$$

c) Chứng minh $E$ và $F$ có cùng hình chiếu trên sân:

Nếu $ABCD$ là một hình bình hành thì các đoạn thẳng $AC$, $BD$ có chung trung điểm $O$.

Xét hình thang $ACPM$ (có $AM \parallel CP$ vì cùng vuông góc với sân):

• $E$ là trung điểm của $MP$
• $O$ là trung điểm của $AC$

Do đó $EO$ là đường trung bình của hình thang $ACPM$, suy ra $EO \parallel MA$.

Mặt khác, $MA$ vuông góc với sân nên $EO$ cũng vuông góc với sân.

Vậy $O$ là hình chiếu của $E$ trên sân.

Tương tự, $O$ cũng là hình chiếu của $F$ trên sân.

Kết luận: $E$ và $F$ có cùng hình chiếu trên sân là điểm $O$.

Bài Luyện tập 1: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA = SB = SC$. Gọi $O$ là hình chiếu của $S$ trên mặt phẳng $(ABC)$ (Hình 7.36).

a) Chứng minh rằng $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

b) Xác định hình chiếu của đường thẳng $SA$ trên mặt phẳng $(ABC)$.

c) Chứng minh rằng nếu $AO \perp BC$ thì $SA \perp BC$.

d) Xác định hình chiếu của các tam giác $SBC$, $SCA$, $SAB$ trên mặt phẳng $(ABC)$.

Giải:

a) Chứng minh $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$:

Vì $O$ là hình chiếu của $S$ trên $(ABC)$ nên $SO \perp (ABC)$.

Suy ra: $SO \perp OA$, $SO \perp OB$, $SO \perp OC$.

Xét tam giác $SOA$ và tam giác $SOB$:

• $SO$ chung
• $\widehat{SOA} = \widehat{SOB} = 90°$
• $SA = SB$ (giả thiết)

Theo định lý Pythagore: $OA = \sqrt{SA^2 – SO^2} = \sqrt{SB^2 – SO^2} = OB$

Tương tự: $OA = OC$.

Vậy $OA = OB = OC$, tức là $O$ cách đều ba đỉnh $A$, $B$, $C$.

Kết luận: $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

b) Xác định hình chiếu của đường thẳng $SA$ trên $(ABC)$:

Hình chiếu của $S$ trên $(ABC)$ là $O$.

Hình chiếu của $A$ trên $(ABC)$ là chính $A$ (vì $A \in (ABC)$).

Vậy hình chiếu của đường thẳng $SA$ trên mặt phẳng $(ABC)$ là đường thẳng $OA$.

c) Chứng minh nếu $AO \perp BC$ thì $SA \perp BC$:

Ta có: $OA$ là hình chiếu của $SA$ trên $(ABC)$ và $BC \subset (ABC)$.

Nếu $AO \perp BC$, theo định lý ba đường vuông góc, ta có:

$$SA \perp BC$$

d) Xác định hình chiếu của các tam giác trên $(ABC)$:

• Hình chiếu của $\triangle SBC$: Các đỉnh $S$, $B$, $C$ có hình chiếu là $O$, $B$, $C$ → Hình chiếu là $\triangle OBC$
• Hình chiếu của $\triangle SCA$: Các đỉnh $S$, $C$, $A$ có hình chiếu là $O$, $C$, $A$ → Hình chiếu là $\triangle OCA$
• Hình chiếu của $\triangle SAB$: Các đỉnh $S$, $A$, $B$ có hình chiếu là $O$, $A$, $B$ → Hình chiếu là $\triangle OAB$

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

3.1. Định nghĩa

Một máy bay giữ vận tốc không đổi, với độ lớn 240 km/h trong suốt 2 phút đầu kể từ khi cất cánh. Hỏi thông tin trên có đủ để ta xác định độ cao của máy bay so với mặt đất phẳng, tại thời điểm 1 phút kể từ khi máy bay cất cánh không?

Câu trả lời là không đủ, vì ta còn cần biết góc cất cánh – chính là góc giữa đường thẳng chứa quỹ đạo bay và mặt phẳng nằm ngang.

Định nghĩa:

Trường hợp 1: Nếu đường thẳng $a$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(P)$ bằng $90°$.

Trường hợp 2: Nếu đường thẳng $a$ không vuông góc với mặt phẳng $(P)$ thì góc giữa $a$ và hình chiếu $a’$ của nó trên $(P)$ được gọi là góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(P)$.

3.2. Chú ý và nhận xét

Chú ý: Nếu $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(P)$ thì:

$$\boxed{0° \leq \alpha \leq 90°}$$

Nhận xét quan trọng: Cho điểm $A$ có hình chiếu $H$ trên mặt phẳng $(P)$. Lấy điểm $O$ thuộc mặt phẳng $(P)$, $O$ không trùng $H$. Khi đó:

$$\text{Góc giữa đường thẳng } AO \text{ và mặt phẳng } (P) = \widehat{AOH}$$

Ví dụ 2: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$, $SA = a$, $CA = CB = a\sqrt{7}$, $AB = 2a$.

a) Gọi $\alpha$ là góc giữa $SB$ và $(ABC)$. Tính $\tan\alpha$.

b) Tính góc giữa $SC$ và $(SAB)$.

Giải:

a) Tính $\tan\alpha$:

Do $SA \perp (ABC)$ nên hình chiếu của $S$ trên $(ABC)$ là $A$.

Suy ra hình chiếu của đường thẳng $SB$ trên $(ABC)$ là đường thẳng $AB$.

Vậy góc giữa $SB$ và $(ABC)$ là góc $\widehat{SBA}$, tức là $\alpha = \widehat{SBA}$.

Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ nên:

$$\tan\alpha = \tan\widehat{SBA} = \dfrac{SA}{AB} = \dfrac{a}{2a} = \dfrac{1}{2}$$

b) Tính góc giữa $SC$ và $(SAB)$:

Bước 1: Tìm đường thẳng vuông góc với $(SAB)$.

Gọi $M$ là trung điểm của $AB$.

Tam giác $ABC$ có $CA = CB = a\sqrt{7}$ nên tam giác $ABC$ cân tại $C$.

Do đó đường trung tuyến $CM$ đồng thời là đường cao: $CM \perp AB$.

Mặt khác, từ $SA \perp (ABC)$ ta có $CM \perp SA$ (vì $CM \subset (ABC)$).

Vì $CM$ vuông góc với hai đường thẳng $AB$ và $SA$ cắt nhau tại $A$ nên:

$$CM \perp (SAB)$$

Bước 2: Xác định hình chiếu của $SC$ trên $(SAB)$.

Vì $CM \perp (SAB)$ nên hình chiếu của $C$ trên $(SAB)$ là $M$.

Hình chiếu của $S$ trên $(SAB)$ là chính $S$ (vì $S \in (SAB)$).

Vậy hình chiếu của $SC$ trên $(SAB)$ là $SM$.

Bước 3: Tính góc $\widehat{CSM}$.

Góc giữa $SC$ và $(SAB)$ bằng $\widehat{CSM}$.

Tính $SC$: Tam giác $SAC$ vuông tại $A$ nên:

$$SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{a^2 + 7a^2} = \sqrt{8a^2} = a\sqrt{8}$$

Tính $SM$: Ta có $AM = \dfrac{1}{2}AB = a$.

Tam giác $SAM$ vuông tại $A$ (vì $SA \perp (ABC)$) có $SA = AM = a$ nên là tam giác vuông cân.

$$SM = \sqrt{SA^2 + AM^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$$

Tính góc: Tam giác $CMS$ vuông tại $M$ (vì $CM \perp (SAB)$) nên:

$$\cos\widehat{CSM} = \dfrac{SM}{SC} = \dfrac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{8}} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}} = \dfrac{1}{2}$$

Vậy $\widehat{CSM} = 60°$.

Kết luận: Góc giữa $SC$ và $(SAB)$ bằng $60°$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Xác định hình chiếu của điểm, đường thẳng, tam giác

Phương pháp:

1. Hình chiếu của điểm $A$: Là chân đường vuông góc hạ từ $A$ xuống mặt phẳng $(P)$
2. Hình chiếu của đường thẳng $a$:
   • Nếu $a \perp (P)$: Hình chiếu là một điểm
   • Nếu $a$ không vuông góc $(P)$: Hình chiếu là đường thẳng đi qua các hình chiếu của các điểm trên $a$
3. Hình chiếu của tam giác: Là tam giác tạo bởi hình chiếu của ba đỉnh

Nhận dạng: Đề bài yêu cầu xác định hình chiếu của các đối tượng hình học.

Mẹo quan trọng:

• Nếu $SA \perp (ABC)$ thì hình chiếu của $S$ trên $(ABC)$ là $A$
• Hình chiếu của $SB$ trên $(ABC)$ là $AB$
• Hình chiếu của $\triangle SBC$ trên $(ABC)$ là $\triangle ABC$ (với đỉnh $S$ chiếu xuống $A$)

Ví dụ 1: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$.

a) Xác định hình chiếu của điểm $S$ trên mặt phẳng $(ABC)$.

b) Xác định hình chiếu của tam giác $SBC$ trên mặt phẳng $(ABC)$.

c) Xác định hình chiếu của tam giác $SBC$ trên mặt phẳng $(SAB)$.

Giải chi tiết:

a) Hình chiếu của điểm $S$ trên $(ABC)$:

Bước 1: Xác định đường thẳng qua $S$ vuông góc với $(ABC)$.

Theo giả thiết, $SA \perp (ABC)$, tức là đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$.

Bước 2: Tìm giao điểm của đường thẳng đó với $(ABC)$.

Đường thẳng $SA$ cắt mặt phẳng $(ABC)$ tại điểm $A$.

Kết luận: Hình chiếu của điểm $S$ trên mặt phẳng $(ABC)$ là điểm $A$.

b) Hình chiếu của tam giác $SBC$ trên $(ABC)$:

Bước 1: Tìm hình chiếu của từng đỉnh của tam giác $SBC$.

• Hình chiếu của $S$ trên $(ABC)$ là $A$ (từ câu a)
• Hình chiếu của $B$ trên $(ABC)$ là $B$ (vì $B \in (ABC)$)
• Hình chiếu của $C$ trên $(ABC)$ là $C$ (vì $C \in (ABC)$)

Bước 2: Nối các hình chiếu.

Hình chiếu của tam giác $SBC$ trên $(ABC)$ là tam giác có ba đỉnh $A$, $B$, $C$.

Kết luận: Hình chiếu của tam giác $SBC$ trên mặt phẳng $(ABC)$ là tam giác $ABC$.

c) Hình chiếu của tam giác $SBC$ trên $(SAB)$:

Bước 1: Tìm đường thẳng vuông góc với $(SAB)$.

Vì $SA \perp (ABC)$ nên $SA \perp BC$.

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $BC \perp AB$.

Vì $BC$ vuông góc với hai đường thẳng $SA$ và $AB$ cắt nhau tại $A$ nên:

$$BC \perp (SAB)$$

Bước 2: Tìm hình chiếu của từng đỉnh của tam giác $SBC$.

• Hình chiếu của $S$ trên $(SAB)$ là $S$ (vì $S \in (SAB)$)
• Hình chiếu của $B$ trên $(SAB)$ là $B$ (vì $B \in (SAB)$)
• Hình chiếu của $C$ trên $(SAB)$: Vì $BC \perp (SAB)$, nên hình chiếu của $C$ là $B$

Bước 3: Xác định hình chiếu.

Ba đỉnh $S$, $B$, $C$ có hình chiếu lần lượt là $S$, $B$, $B$.

Kết luận: Hình chiếu của tam giác $SBC$ trên mặt phẳng $(SAB)$ là đoạn thẳng $SB$.

Dạng 2: Áp dụng định lý ba đường vuông góc

Phương pháp:

1. Xác định đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(P)$ (không vuông góc)
2. Xác định hình chiếu $a’$ của $a$ trên $(P)$
3. Áp dụng: $b \subset (P)$, thì $b \perp a \Leftrightarrow b \perp a’$

Nhận dạng: Cần chứng minh hai đường thẳng vuông góc, trong đó một đường nằm trong mặt phẳng và đường kia có thể chéo với nó.

Hai chiều áp dụng:

• Chiều thuận: Biết $b \perp a’$ → suy ra $b \perp a$
• Chiều đảo: Biết $b \perp a$ → suy ra $b \perp a’$

Ví dụ 2: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$. Tam giác $ABC$ cân tại $A$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh rằng $BC \perp SM$.

Giải chi tiết:

Bước 1: Xác định hình chiếu của $SM$ trên $(ABC)$.

Vì $SA \perp (ABC)$ nên hình chiếu của $S$ trên $(ABC)$ là $A$.

Hình chiếu của $M$ trên $(ABC)$ là $M$ (vì $M \in (ABC)$).

Vậy hình chiếu của $SM$ trên $(ABC)$ là $AM$.

Bước 2: Kiểm tra $BC \perp AM$ trong mặt phẳng $(ABC)$.

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên đường trung tuyến $AM$ đồng thời là đường cao.

Do đó: $AM \perp BC$.

Bước 3: Áp dụng định lý ba đường vuông góc.

Ta có:

• $AM$ là hình chiếu của $SM$ trên $(ABC)$
• $BC \subset (ABC)$
• $BC \perp AM$

Theo định lý ba đường vuông góc:

$$BC \perp SM$$

Kết luận: $BC$ vuông góc với $SM$.

Dạng 3: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng đáy

Phương pháp:

1. Bước 1: Xác định hình chiếu của đường thẳng trên mặt phẳng
2. Bước 2: Góc cần tìm là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó
3. Bước 3: Tính góc bằng các tỉ số lượng giác trong tam giác vuông

Nhận dạng: Đề bài yêu cầu tính góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy.

Công thức hay dùng: Nếu $SA \perp (ABC)$, điểm $B \in (ABC)$, thì:

• Góc giữa $SB$ và $(ABC)$ là $\widehat{SBA}$
• $\tan(\text{góc}) = \dfrac{SA}{AB}$

Ví dụ 3: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông $ABCD$ cạnh $a$, $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a\sqrt{2}$. Tính góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$.

Giải chi tiết:

Bước 1: Xác định hình chiếu của $SC$ trên $(ABCD)$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên hình chiếu của $S$ trên $(ABCD)$ là $A$.

Hình chiếu của $C$ trên $(ABCD)$ là $C$ (vì $C \in (ABCD)$).

Vậy hình chiếu của $SC$ trên $(ABCD)$ là $AC$.

Bước 2: Xác định góc cần tính.

Góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là góc $\widehat{SCA}$.

Bước 3: Tính các cạnh cần thiết.

Tính $AC$: Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên:

$$AC = a\sqrt{2}$$

Ta có: $SA = a\sqrt{2}$ (giả thiết).

Bước 4: Tính góc trong tam giác vuông.

Tam giác $SAC$ vuông tại $A$ (vì $SA \perp (ABCD)$ nên $SA \perp AC$).

$$\tan\widehat{SCA} = \dfrac{SA}{AC} = \dfrac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}} = 1$$

$$\widehat{SCA} = 45°$$

Kết luận: Góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $45°$.

Dạng 4: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (mặt bên)

Phương pháp:

1. Bước 1: Xác định đường thẳng vuông góc với mặt phẳng cần xét
2. Bước 2: Xác định hình chiếu của đường thẳng trên mặt phẳng đó
3. Bước 3: Tính góc giữa đường thẳng và hình chiếu

Nhận dạng: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng $(SAB)$, $(SAC)$,… (mặt bên)

Mẹo tìm đường vuông góc mặt bên:

• Nếu $SA \perp (ABCD)$ và $ABCD$ là hình vuông, để tìm đường vuông góc $(SAC)$:
  • $BD \perp AC$ (đường chéo hình vuông)
  • $BD \perp SA$ (vì $SA \perp (ABCD)$)
  • Suy ra $BD \perp (SAC)$

Ví dụ 4: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông $ABCD$ cạnh $a$, $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a\sqrt{2}$. Tính góc giữa $BD$ và mặt phẳng $(SAC)$.

Giải chi tiết:

Bước 1: Xác định đường thẳng vuông góc với $(SAC)$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên $SA \perp BD$ (vì $BD \subset (ABCD)$).

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AC \perp BD$ (hai đường chéo hình vuông vuông góc).

Vì $BD$ vuông góc với hai đường thẳng $SA$ và $AC$ cắt nhau tại $A$ nên:

$$BD \perp (SAC)$$

Bước 2: Xác định góc cần tính.

Vì $BD \perp (SAC)$ nên góc giữa $BD$ và mặt phẳng $(SAC)$ bằng $90°$.

Kết luận: Góc giữa $BD$ và mặt phẳng $(SAC)$ bằng $90°$.

Ví dụ 5: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$, $SA = AB = BC = a$. Tính góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$.

Giải chi tiết:

Bước 1: Xác định hình chiếu của $SC$ trên $(ABC)$.

Vì $SA \perp (ABC)$ nên hình chiếu của $S$ trên $(ABC)$ là $A$.

Vậy hình chiếu của $SC$ trên $(ABC)$ là $AC$.

Bước 2: Xác định góc cần tính.

Góc giữa $SC$ và $(ABC)$ là góc $\widehat{SCA}$.

Bước 3: Tính các cạnh cần thiết.

Tính $AC$: Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ với $AB = BC = a$ nên:

$$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$$

Ta có: $SA = a$ (giả thiết).

Bước 4: Tính góc trong tam giác vuông.

Tam giác $SAC$ vuông tại $A$ nên:

$$\tan\widehat{SCA} = \dfrac{SA}{AC} = \dfrac{a}{a\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$$

$$\widehat{SCA} = \arctan\dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 35,26°$$

Kết luận: Góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $\arctan\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ (khoảng 35°16′).

Dạng 5: Tìm hình chiếu của đường thẳng trên mặt phẳng (mặt bên)

Phương pháp:

1. Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng (nếu có) – đó là một điểm thuộc hình chiếu
2. Tìm đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
3. Xác định hình chiếu của các điểm trên đường thẳng
4. Nối các hình chiếu được hình chiếu của đường thẳng

Nhận dạng: Đề bài yêu cầu tìm hình chiếu của cạnh bên trên một mặt phẳng khác.

Ví dụ 6: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông $ABCD$ cạnh $a$, $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a\sqrt{2}$. Tìm hình chiếu của $SB$ trên mặt phẳng $(SAC)$.

Giải chi tiết:

Bước 1: Xác định đường thẳng vuông góc với $(SAC)$.

Từ Ví dụ 4, ta đã chứng minh: $BD \perp (SAC)$.

Bước 2: Tìm hình chiếu của các điểm $S$, $B$ trên $(SAC)$.

• Hình chiếu của $S$ trên $(SAC)$ là $S$ (vì $S \in (SAC)$)
• Tìm hình chiếu của $B$ trên $(SAC)$:

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ (tâm hình vuông $ABCD$).

Vì $BD \perp (SAC)$ nên hình chiếu của $B$ trên $(SAC)$ nằm trên đường thẳng qua $B$ và song song với $BD$, cắt $(SAC)$.

Thực ra, vì $O \in AC \subset (SAC)$ và $BO \perp (SAC)$ (vì $BO$ là một phần của $BD$), nên hình chiếu của $B$ trên $(SAC)$ là $O$.

Bước 3: Kết luận.

Hình chiếu của $S$ là $S$, hình chiếu của $B$ là $O$.

Vậy hình chiếu của $SB$ trên mặt phẳng $(SAC)$ là đoạn thẳng $SO$.

Dạng 6: Xác định hình chiếu của điểm trên mặt phẳng (mặt bên)

Phương pháp:

1. Tìm đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm cần chiếu
2. Tìm giao điểm của $d$ với $(P)$ – đó là hình chiếu

Nhận dạng: Đề bài yêu cầu xác định hình chiếu của một đỉnh trên mặt phẳng mặt bên.

Ví dụ 7: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$, $SA = AB = BC = a$. Xác định hình chiếu của $A$ trên mặt phẳng $(SBC)$.

Giải chi tiết:

Bước 1: Tìm đường thẳng vuông góc với $(SBC)$.

Vì $SA \perp (ABC)$ nên $SA \perp BC$.

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $AB \perp BC$.

Vì $BC$ vuông góc với hai đường thẳng $SA$ và $AB$ cắt nhau tại $A$ nên:

$$BC \perp (SAB)$$

Suy ra $BC \perp SB$.

Bước 2: Xác định hình chiếu của $A$ trên $(SBC)$.

Ta cần tìm đường thẳng qua $A$ vuông góc với $(SBC)$.

Trong mặt phẳng $(SAB)$, kẻ $AH \perp SB$ ($H \in SB$).

Vì $BC \perp (SAB)$ nên $BC \perp AH$.

Vậy $AH$ vuông góc với cả $SB$ và $BC$ (hai đường cắt nhau trong $(SBC)$), nên:

$$AH \perp (SBC)$$

Bước 3: Kết luận.

Hình chiếu của $A$ trên mặt phẳng $(SBC)$ là điểm $H$ (với $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $A$ xuống $SB$).

Dạng 7: Bài toán về đường xiên và hình chiếu

Phương pháp:

1. Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $SHM$ (với $H$ là hình chiếu của $S$ trên $(P)$)
2. So sánh đường xiên thông qua so sánh hình chiếu

Tính chất:

$$\boxed{SM = SM’ \Leftrightarrow HM = HM’}$$

$$\boxed{SM > SM’ \Leftrightarrow HM > HM’}$$

Ví dụ 8: Cho điểm $S$ nằm ngoài mặt phẳng $(P)$, có hình chiếu $H$ trên $(P)$. Với mỗi điểm $M$ bất kỳ (không trùng $H$) trên mặt phẳng $(P)$, ta gọi đoạn thẳng $SM$ là đường xiên, đoạn thẳng $HM$ là hình chiếu trên $(P)$ của đường xiên đó.

Chứng minh rằng hai đường xiên $SM$ và $SM’$ bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu $HM$ và $HM’$ tương ứng của chúng bằng nhau.

Giải chi tiết:

Bước 1: Thiết lập mối quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu.

Vì $H$ là hình chiếu của $S$ trên $(P)$ nên $SH \perp (P)$.

Suy ra $SH \perp HM$ và $SH \perp HM’$.

Vậy tam giác $SHM$ vuông tại $H$ và tam giác $SHM’$ vuông tại $H$.

Bước 2: Áp dụng định lý Pythagore.

Trong tam giác $SHM$ vuông tại $H$:

$$SM^2 = SH^2 + HM^2$$

Trong tam giác $SHM’$ vuông tại $H$:

$$SM’^2 = SH^2 + HM’^2$$

Bước 3: Chứng minh tương đương.

$SM = SM’$

$\Leftrightarrow SM^2 = SM’^2$

$\Leftrightarrow SH^2 + HM^2 = SH^2 + HM’^2$

$\Leftrightarrow HM^2 = HM’^2$

$\Leftrightarrow HM = HM’$ (vì $HM, HM’ > 0$)

Kết luận: Hai đường xiên $SM = SM’$ khi và chỉ khi hai hình chiếu $HM = HM’$.

Dạng 8: Bài toán thực tế (góc cất cánh, góc Mặt Trời)

Phương pháp:

1. Mô hình hóa bài toán: đường bay là đường thẳng, mặt đất là mặt phẳng
2. Góc cất cánh = góc giữa đường bay và mặt phẳng nằm ngang
3. Độ cao = khoảng cách từ điểm đến hình chiếu trên mặt đất

Công thức: Nếu máy bay bay được quãng đường $d$ với góc cất cánh $\alpha$ thì:

$$\text{Độ cao} = d \cdot \sin\alpha$$

Ví dụ 9: Hai máy bay cất cánh và bay thẳng với cùng độ lớn vận tốc trong 5 phút đầu, với các góc cất cánh lần lượt là $10°$, $15°$. Hỏi sau 1 phút kể từ khi cất cánh, máy bay nào ở độ cao so với mặt đất (phẳng, nằm ngang) lớn hơn?

Giải chi tiết:

Bước 1: Mô hình hóa bài toán.

Gọi $v$ là vận tốc của hai máy bay (cùng độ lớn).

Sau 1 phút, cả hai máy bay đều bay được quãng đường: $d = v \times 1$ (phút).

Bước 2: Tính độ cao của từng máy bay.

Gọi $h_1$ là độ cao của máy bay thứ nhất (góc cất cánh $10°$):

$$h_1 = d \cdot \sin 10°$$

Gọi $h_2$ là độ cao của máy bay thứ hai (góc cất cánh $15°$):

$$h_2 = d \cdot \sin 15°$$

Bước 3: So sánh.

Vì $0° < 10° < 15° < 90°$ nên $\sin 10° < \sin 15°$.

Do đó: $h_1 = d \cdot \sin 10° < d \cdot \sin 15° = h_2$

Kết luận: Sau 1 phút kể từ khi cất cánh, máy bay có góc cất cánh $15°$ ở độ cao so với mặt đất lớn hơn.

Ví dụ 10: Hãy nêu cách đo góc giữa đường thẳng chứa tia sáng mặt trời và mặt phẳng nằm ngang tại một vị trí và một thời điểm.

Giải:

Cách thực hiện:

Bước 1: Dựng một cây cọc thẳng đứng (vuông góc với mặt đất nằm ngang) tại vị trí cần đo.

Bước 2: Đo chiều cao của cọc, gọi là $h$.

Bước 3: Đo chiều dài bóng của cọc trên mặt đất, gọi là $l$.

Bước 4: Tính góc Mặt Trời.

Gọi $\alpha$ là góc giữa tia sáng mặt trời và mặt phẳng nằm ngang.

Ta có: $\tan\alpha = \dfrac{h}{l}$

Suy ra: $\alpha = \arctan\dfrac{h}{l}$

Giải thích: Vì cọc vuông góc với mặt đất, nên cọc chính là đường vuông góc từ đỉnh cọc xuống mặt đất. Bóng của cọc chính là hình chiếu của cọc trên mặt đất theo phương tia sáng. Góc giữa tia sáng và mặt đất là góc có tang bằng tỉ số giữa chiều cao cọc và chiều dài bóng.

Tổng kết

Bảng công thức cần nhớ

Bảng hình chiếu thường gặp

Phương pháp tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

$$\boxed{\text{Góc giữa } a \text{ và } (P) = \text{Góc giữa } a \text{ và hình chiếu } a’ \text{ của } a \text{ trên } (P)}$$

Mẹo ghi nhớ

• Xác định hình chiếu: Nếu $SA \perp (ABC)$ thì hình chiếu của mọi điểm trên $SA$ đều là $A$
• Định lý ba đường vuông góc: Chuyển việc kiểm tra vuông góc trong không gian về vuông góc trong mặt phẳng
• Tính góc: Luôn xác định hình chiếu trước, sau đó dùng tam giác vuông để tính
• Góc giữa $SB$ và $(ABC)$: Nếu $SA \perp (ABC)$ thì góc cần tìm là $\widehat{SBA}$
• Tìm đường vuông góc mặt bên: Sử dụng tính chất đường chéo hình vuông, tam giác cân,…

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh