Tình huống thực tiễn: Một quả đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu có độ lớn $v_0$ không đổi. Tìm góc bắn $\alpha$ để quả đạn pháo bay xa nhất, bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất.

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần biết cách giải phương trình lượng giác!

1. Khái niệm phương trình tương đương

Định nghĩa: Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

Ký hiệu: Nếu phương trình $f(x) = 0$ tương đương với phương trình $g(x) = 0$ thì ta viết: $$f(x) = 0 \Leftrightarrow g(x) = 0$$

Chú ý: Hai phương trình vô nghiệm là tương đương (vì cùng có tập nghiệm rỗng).

Ví dụ 1: Hai phương trình sau có tương đương không?

$$2x + 6 = 0 \quad \text{và} \quad x^2 + 6x + 9 = 0$$

Giải:

• Phương trình $2x + 6 = 0$ có tập nghiệm $S_1 = {-3}$
• Phương trình $x^2 + 6x + 9 = 0 \Leftrightarrow (x + 3)^2 = 0$ có tập nghiệm $S_2 = {-3}$

Vì $S_1 = S_2$ nên hai phương trình trên tương đương.

Các phép biến đổi tương đương

Nếu thực hiện các phép biến đổi sau mà không làm thay đổi điều kiện của phương trình, ta được phương trình mới tương đương với phương trình đã cho:

a) Cộng hoặc trừ hai vế với cùng một số hoặc biểu thức:

$$f(x) = g(x) \Leftrightarrow f(x) + h(x) = g(x) + h(x)$$

b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc biểu thức luôn khác 0:

$$f(x) = g(x) \Leftrightarrow f(x) \cdot h(x) = g(x) \cdot h(x) \quad \text{với } h(x) \neq 0$$

2. Phương trình $\sin x = m$

Điều kiện có nghiệm

Phương trình $\sin x = m$ có nghiệm khi và chỉ khi $|m| \leq 1$.

• Nếu $|m| > 1$: phương trình vô nghiệm (vì $|\sin x| \leq 1$ với mọi $x$).
• Nếu $|m| \leq 1$: tồn tại duy nhất $\alpha \in \left[-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right]$ thỏa mãn $\sin\alpha = m$.

Công thức nghiệm

$$\boxed{\sin x = m \Leftrightarrow \sin x = \sin\alpha \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi – \alpha + k2\pi \end{bmatrix} \quad (k \in \mathbb{Z})}$$

với $\alpha \in \left[-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right]$ thỏa mãn $\sin\alpha = m$.

Chú ý:

a) Nếu góc $\alpha$ cho bằng đơn vị độ:

$$\sin x = \sin\alpha° \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = \alpha° + k \cdot 360° \\ x = 180° – \alpha° + k \cdot 360° \end{bmatrix} \quad (k \in \mathbb{Z})$$

b) Các trường hợp đặc biệt:

Mẹo nhớ: Phương trình sin có 2 họ nghiệm: góc gốc $\alpha$ và góc bù $\pi – \alpha$.

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) $\sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

b) $\sin x = \dfrac{1}{3}$

Giải:

a) Ta có $-\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)$

$$\sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = -\dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\ x = \pi – \left(-\dfrac{\pi}{3}\right) + k2\pi \end{bmatrix}$$

$$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = -\dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\ x = \dfrac{4\pi}{3} + k2\pi \end{bmatrix} \quad (k \in \mathbb{Z})$$

b) Gọi $\alpha \in \left[-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right]$ là góc thỏa mãn $\sin\alpha = \dfrac{1}{3}$.

$$\sin x = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow \sin x = \sin\alpha \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi – \alpha + k2\pi \end{bmatrix} \quad (k \in \mathbb{Z})$$

(Có thể dùng máy tính để tìm $\alpha \approx 0.3398$ rad $\approx 19°28’$)

Ví dụ 3: Giải phương trình $\sin 2x = \sin(60° – 3x)$

Giải:

$$\sin 2x = \sin(60° – 3x) \Leftrightarrow \begin{bmatrix} 2x = 60° – 3x + k \cdot 360° \\ 2x = 180° – (60° – 3x) + k \cdot 360° \end{bmatrix}$$

$$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} 5x = 60° + k \cdot 360° \\ -x = 120° + k \cdot 360° \end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = 12° + k \cdot 72° \\ x = -120° – k \cdot 360° \end{bmatrix} \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 12° + k \cdot 72°$ và $x = -120° + k \cdot 360°$ $(k \in \mathbb{Z})$.

Ví dụ 4 (Giải bài toán mở đầu):

Giải:

Trong Vật lý, quỹ đạo của quả đạn pháo có phương trình:

$$y = \dfrac{-g}{2v_0^2\cos^2\alpha} x^2 + x\tan\alpha$$

Cho $y = 0$, ta được $x = 0$ hoặc $x = \dfrac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}$

Quả đạn chạm đất khi $x = \dfrac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}$.

Ta có: $x = \dfrac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g} \leq \dfrac{v_0^2}{g}$

Dấu bằng xảy ra khi $\sin 2\alpha = 1$.

Giải phương trình $\sin 2\alpha = 1$:

$$\sin 2\alpha = 1 \Leftrightarrow 2\alpha = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow \alpha = \dfrac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Do $0 \leq \alpha \leq \dfrac{\pi}{2}$ nên $\alpha = \dfrac{\pi}{4}$ hay $\alpha = 45°$.

Kết luận: Quả đạn pháo bay xa nhất khi góc bắn bằng 45°.

3. Phương trình $\cos x = m$

Điều kiện có nghiệm

Phương trình $\cos x = m$ có nghiệm khi và chỉ khi $|m| \leq 1$.

Công thức nghiệm

$$\boxed{\cos x = m \Leftrightarrow \cos x = \cos\alpha \Leftrightarrow x = \pm\alpha + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})}$$

với $\alpha \in [0; \pi]$ thỏa mãn $\cos\alpha = m$.

Chú ý:

a) Nếu góc $\alpha$ cho bằng đơn vị độ:

$$\cos x = \cos\alpha° \Leftrightarrow x = \pm\alpha° + k \cdot 360° \quad (k \in \mathbb{Z})$$

b) Các trường hợp đặc biệt:

Mẹo nhớ: Phương trình cos có nghiệm đối nhau: $+\alpha$ và $-\alpha$.

Ví dụ 5: Giải các phương trình sau:

a) $\cos x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

b) $\cos x = 0.1$

Giải:

a) Ta có $-\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \cos\dfrac{5\pi}{6}$

$$\cos x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos\dfrac{5\pi}{6} \Leftrightarrow x = \pm\dfrac{5\pi}{6} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

b) Gọi $\alpha \in [0; \pi]$ là góc thỏa mãn $\cos\alpha = 0.1$. Khi đó:

$$\cos x = 0.1 \Leftrightarrow \cos x = \cos\alpha \Leftrightarrow x = \pm\alpha + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

(Dùng máy tính: $\alpha \approx 1.4706$ rad $\approx 84°16’$)

Ví dụ 6: Giải phương trình $\cos 2x = \cos(45° – x)$

Giải:

$$\cos 2x = \cos(45° – x) \Leftrightarrow \begin{bmatrix} 2x = 45° – x + k \cdot 360° \\ 2x = -(45° – x) + k \cdot 360° \end{bmatrix}$$

$$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} 3x = 45° + k \cdot 360° \\ x = -45° + k \cdot 360° \end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = 15° + k \cdot 120° \\ x = -45° + k \cdot 360° \end{bmatrix} \quad (k \in \mathbb{Z})$$

4. Phương trình $\tan x = m$

Điều kiện có nghiệm

Phương trình $\tan x = m$ có nghiệm với mọi $m \in \mathbb{R}$.

Công thức nghiệm

$$\boxed{\tan x = m \Leftrightarrow \tan x = \tan\alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})}$$

với $\alpha \in \left(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right)$ thỏa mãn $\tan\alpha = m$.

Chú ý: Nếu góc $\alpha$ cho bằng đơn vị độ:

$$\tan x = \tan\alpha° \Leftrightarrow x = \alpha° + k \cdot 180° \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Mẹo nhớ: Phương trình tan chỉ có 1 họ nghiệm, chu kỳ $\pi$.

Ví dụ 7: Giải các phương trình sau:

a) $\tan x = -\sqrt{3}$

b) $\tan x = 2$

Giải:

a) Ta có $-\sqrt{3} = \tan\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)$

$$\tan x = -\sqrt{3} \Leftrightarrow \tan x = \tan\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) \Leftrightarrow x = -\dfrac{\pi}{3} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

b) Gọi $\alpha \in \left(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right)$ là góc thỏa mãn $\tan\alpha = 2$. Khi đó:

$$\tan x = 2 \Leftrightarrow \tan x = \tan\alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

(Dùng máy tính: $\alpha \approx 1.1071$ rad $\approx 63°26’$)

5. Phương trình $\cot x = m$

Điều kiện có nghiệm

Phương trình $\cot x = m$ có nghiệm với mọi $m \in \mathbb{R}$.

Công thức nghiệm

$$\boxed{\cot x = m \Leftrightarrow \cot x = \cot\alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})}$$

với $\alpha \in (0; \pi)$ thỏa mãn $\cot\alpha = m$.

Chú ý: Nếu góc $\alpha$ cho bằng đơn vị độ:

$$\cot x = \cot\alpha° \Leftrightarrow x = \alpha° + k \cdot 180° \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Mẹo nhớ: Phương trình cot giống tan – chỉ có 1 họ nghiệm, chu kỳ $\pi$.

Ví dụ 8: Giải các phương trình sau:

a) $\cot x = -\sqrt{3}$

b) $\cot x = 5$

Giải:

a) Ta có $-\sqrt{3} = \cot\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \cot\dfrac{5\pi}{6}$

$$\cot x = -\sqrt{3} \Leftrightarrow \cot x = \cot\dfrac{5\pi}{6} \Leftrightarrow x = \dfrac{5\pi}{6} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

b) Gọi $\alpha \in (0; \pi)$ là góc thỏa mãn $\cot\alpha = 5$. Khi đó:

$$\cot x = 5 \Leftrightarrow \cot x = \cot\alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

6. Sử dụng máy tính cầm tay tìm góc khi biết giá trị lượng giác

Các phím sử dụng

Các phím $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$ dùng để tìm số đo (độ hoặc radian) của góc khi biết giá trị lượng giác.

Các bước thực hiện

Bước 1: Chọn đơn vị đo góc

Bước 2: Tìm số đo góc

Bấm SHIFT + phím (sin, cos hoặc tan) + nhập giá trị $m$ + =

Kết quả trả về

Chú ý:

• Với $\sin^{-1}$ và $\cos^{-1}$: yêu cầu $|m| \leq 1$
• Khi có kết quả (chế độ độ), bấm phím °'" để đưa về dạng độ – phút – giây

Ví dụ 9: Sử dụng máy tính cầm tay, tìm số đo độ và radian của góc $\alpha$, biết $\sin\alpha = 0.58$.

Giải:

Số đo độ:

Số đo radian:

7. Bảng tổng hợp công thức nghiệm

Bảng các trường hợp đặc biệt

8. Phương pháp giải các dạng toán

Dạng 1: Phương trình lượng giác cơ bản

Phương pháp:

Bảng góc đặc biệt thường dùng:

Mẹo: Với giá trị âm, lấy đối của góc tương ứng với giá trị dương.

Ví dụ 10: Giải phương trình $2\cos x = -\sqrt{2}$

Giải:

$$2\cos x = -\sqrt{2} \Leftrightarrow \cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \cos\dfrac{3\pi}{4}$$

$$\Leftrightarrow x = \pm\dfrac{3\pi}{4} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Dạng 2: Phương trình $\sin u = \sin v$, $\cos u = \cos v$, $\tan u = \tan v$, $\cot u = \cot v$

Công thức:

$$\boxed{\sin u = \sin v \Leftrightarrow \begin{bmatrix} u = v + k2\pi \\ u = \pi – v + k2\pi \end{bmatrix}}$$

$$\boxed{\cos u = \cos v \Leftrightarrow u = \pm v + k2\pi}$$

$$\boxed{\tan u = \tan v \Leftrightarrow u = v + k\pi}$$

$$\boxed{\cot u = \cot v \Leftrightarrow u = v + k\pi}$$

Ví dụ 11: Giải phương trình $\sin 3x = -\sin 5x$

Giải:

$$\sin 3x = -\sin 5x \Leftrightarrow \sin 3x = \sin(-5x)$$

$$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} 3x = -5x + k2\pi \\ 3x = \pi – (-5x) + k2\pi \end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} 8x = k2\pi \\ -2x = \pi + k2\pi \end{bmatrix}$$

$$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = \dfrac{k\pi}{4} \\ x = -\dfrac{\pi}{2} – k\pi \end{bmatrix} \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Ví dụ 12: Giải phương trình $\cos 3x – \sin 5x = 0$

Giải:

$$\cos 3x = \sin 5x \Leftrightarrow \cos 3x = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} – 5x\right)$$

$$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} 3x = \dfrac{\pi}{2} – 5x + k2\pi \\ 3x = -\left(\dfrac{\pi}{2} – 5x\right) + k2\pi \end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} 8x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \\ -2x = -\dfrac{\pi}{2} + k2\pi \end{bmatrix}$$

$$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = \dfrac{\pi}{16} + \dfrac{k\pi}{4} \\ x = \dfrac{\pi}{4} – k\pi \end{bmatrix} \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Dạng 3: Phương trình đưa về dạng cơ bản

Phương pháp:

• Biến đổi phương trình về dạng $\sin f(x) = m$, $\cos f(x) = m$, $\tan f(x) = m$, $\cot f(x) = m$
• Áp dụng công thức nghiệm

Ví dụ 13: Giải phương trình $\sqrt{3}\tan\left(\dfrac{x}{2} + 15°\right) = 1$

Giải:

$$\sqrt{3}\tan\left(\dfrac{x}{2} + 15°\right) = 1 \Leftrightarrow \tan\left(\dfrac{x}{2} + 15°\right) = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} = \tan 30°$$

$$\Leftrightarrow \dfrac{x}{2} + 15° = 30° + k \cdot 180° \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = 15° + k \cdot 180°$$

$$\Leftrightarrow x = 30° + k \cdot 360° \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Dạng 4: Phương trình chứa nhiều hàm lượng giác

Phương pháp: Dùng công thức biến đổi để đưa về cùng một hàm, cùng một góc.

Các công thức hỗ trợ:

Ví dụ 14: Giải phương trình $\cos 3x = -\cos 7x$

Giải:

$$\cos 3x = -\cos 7x \Leftrightarrow \cos 3x = \cos(\pi – 7x)$$

$$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} 3x = \pi – 7x + k2\pi \\ 3x = -(\pi – 7x) + k2\pi \end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} 10x = \pi + k2\pi \\ -4x = -\pi + k2\pi \end{bmatrix}$$

$$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = \dfrac{\pi}{10} + \dfrac{k\pi}{5} \\ x = \dfrac{\pi}{4} – \dfrac{k\pi}{2} \end{bmatrix} \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Dạng 5: Bài toán thực tế

Phương pháp:

Ví dụ 15 (Pha Mặt Trăng): Tỉ lệ $F$ của phần Mặt Trăng được chiếu sáng cho bởi công thức $F = \dfrac{1}{2}(1 – \cos\alpha)$ với $0° \leq \alpha \leq 360°$. Tìm góc $\alpha$ khi:

a) $F = 0$ (trăng mới)

b) $F = 0.5$ (trăng bán nguyệt)

Giải:

a) $F = 0$:

$$\dfrac{1}{2}(1 – \cos\alpha) = 0 \Leftrightarrow \cos\alpha = 1 \Leftrightarrow \alpha = 0°$$

b) $F = 0.5$:

$$\dfrac{1}{2}(1 – \cos\alpha) = 0.5 \Leftrightarrow 1 – \cos\alpha = 1 \Leftrightarrow \cos\alpha = 0$$

$$\Leftrightarrow \alpha = 90° \text{ hoặc } \alpha = 270°$$

Ví dụ 16 (Dao động điều hòa): Một vật dao động theo phương trình $x = 2\cos\left(5t – \dfrac{\pi}{6}\right)$ (cm). Trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?

Giải:

Vật qua vị trí cân bằng khi $x = 0$:

$$2\cos\left(5t – \dfrac{\pi}{6}\right) = 0 \Leftrightarrow \cos\left(5t – \dfrac{\pi}{6}\right) = 0$$

$$\Leftrightarrow 5t – \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow 5t = \dfrac{2\pi}{3} + k\pi$$

$$\Leftrightarrow t = \dfrac{2\pi}{15} + \dfrac{k\pi}{5} \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Với $0 \leq t \leq 6$:

$$0 \leq \dfrac{2\pi}{15} + \dfrac{k\pi}{5} \leq 6 \Leftrightarrow -\dfrac{2}{3} \leq k \leq \dfrac{90 – 2\pi}{3\pi} \approx 9.12$$

Vậy $k \in {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ → có 10 lần vật đi qua vị trí cân bằng.

Tổng hợp mẹo nhớ

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh