Đếm là một bài toán cổ xưa nhất của nhân loại. Trong khoa học và trong cuộc sống, người ta cần đếm các đối tượng để giải quyết các vấn đề khác nhau. Chẳng hạn như bài toán sau:

Mỗi mật khẩu của một trang web là một dãy có từ 2 tới 3 kí tự, trong đó kí tự đầu tiên là một trong 26 chữ cái in thường trong bảng chữ cái tiếng Anh (từ a đến z), mỗi kí tự còn lại là một chữ số từ 0 đến 9. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu mật khẩu khác nhau?

Bài học này sẽ giúp em hiểu và áp dụng hai quy tắc đếm cơ bản để giải quyết bài toán trên.

1. Quy tắc cộng và sơ đồ hình cây

Quy tắc cộng

Giả sử một công việc có thể thực hiện theo một trong hai phương án khác nhau:

• Phương án một có $n_1$ cách thực hiện,
• Phương án hai có $n_2$ cách thực hiện (không trùng với bất kì cách thực hiện nào của phương án một).

Khi đó số cách thực hiện công việc sẽ là: $n_1 + n_2$ cách.

Chú ý. Ta áp dụng quy tắc cộng cho một công việc có nhiều phương án khi các phương án đó phải rời nhau, không phụ thuộc vào nhau (độc lập với nhau).

Sơ đồ hình cây

Sơ đồ minh hoạ cách phân chia trường hợp được gọi là sơ đồ hình cây. Trong các bài toán đếm, người ta thường dùng sơ đồ hình cây để minh hoạ, giúp cho việc đếm thuận tiện và không bỏ sót trường hợp.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1 (SGK). Một quán phục vụ ăn sáng có bán phở và bún. Phở có 2 loại là phở bò và phở gà. Bún có 3 loại là bún bò, bún riêu cua và bún cá. Một khách hàng muốn chọn một món để ăn sáng. Vẽ sơ đồ hình cây minh hoạ và cho biết khách hàng đó có bao nhiêu cách lựa chọn một món ăn sáng.

Giải:

Ta có sơ đồ hình cây:

• Phở: phở bò, phở gà → 2 cách.
• Bún: bún bò, bún riêu cua, bún cá → 3 cách.

Theo quy tắc cộng, số cách chọn một món ăn sáng là: $2 + 3 = 5$ (cách).

Ví dụ 2 (SGK). Một bộ cờ vua có 32 quân cờ.

a) Bạn Nam lấy ra tất cả các quân tốt. Hãy đếm xem Nam lấy ra bao nhiêu quân cờ.

b) Bạn Nam lấy ra tất cả các quân cờ trắng và tất cả các quân tốt. Hãy đếm số quân cờ Nam lấy ra.

Giải:

a) Quân cờ bạn Nam lấy ra có thể thuộc hai loại: màu trắng hoặc màu đen.

• Số quân tốt trắng: 8 quân.
• Số quân tốt đen: 8 quân.

Nam lấy ra: $8 + 8 = 16$ (quân cờ).

b) Nam lấy tất cả các quân trắng và tất cả các quân tốt.

• Đầu tiên ta đếm tất cả các quân cờ trắng, có 16 quân.
• Tiếp theo ta đếm tất cả các quân tốt, có 16 quân tốt.

Vì trong 16 quân tốt có 8 quân tốt trắng đã được đếm nên số quân cờ Nam lấy ra là:

$$16 + 16 – 8 = 24 \text{ (quân cờ)}$$

Nhận xét. Ở câu b), nếu gọi $A$ là tập hợp gồm tất cả các quân cờ trắng, $B$ là tập hợp gồm tất cả các quân tốt thì các quân cờ Nam lấy ra chính là các phần tử của tập hợp $A \cup B$. Nếu ta áp dụng quy tắc cộng: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) = 32$ (quân cờ) thì kết luận đó là sai, vì $A \cap B \neq \varnothing$ nên ta không thể áp dụng quy tắc cộng để tính trong trường hợp này.

2. Quy tắc nhân

Quy tắc nhân

Giả sử một công việc phải hoàn thành qua hai công đoạn liên tiếp nhau:

• Công đoạn một có $m_1$ cách thực hiện,
• Với mỗi cách thực hiện công đoạn một, có $m_2$ cách thực hiện công đoạn hai.

Khi đó số cách thực hiện công việc là: $m_1 \cdot m_2$ cách.

Chú ý. Quy tắc nhân áp dụng để tính số cách thực hiện một công việc có nhiều công đoạn nối tiếp nhau và những công đoạn này độc lập với nhau.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 3 (SGK). Một người muốn mua vé tàu ngồi đi từ Hà Nội vào Vinh. Có ba chuyến tàu là SE5, SE7 và SE35. Trên mỗi tàu có 2 loại vé ngồi khác nhau: ngồi cứng hoặc ngồi mềm. Hỏi có bao nhiêu loại vé ngồi khác nhau để người đó lựa chọn?

Giải:

Để mua được vé tàu, người đó phải thực hiện hai công đoạn:

$$\text{Chọn chuyến tàu} \longrightarrow \text{Chọn loại vé}$$

• Có 3 cách chọn chuyến tàu.
• Với mỗi chuyến tàu có 2 cách chọn loại vé ngồi.

Áp dụng quy tắc nhân, ta có số cách chọn loại vé là: $3 \cdot 2 = 6$ (cách).

Chú ý. Ta cũng có thể dùng quy tắc cộng: Người mua vé có thể lựa chọn một trong ba trường hợp: SE5, SE7 hoặc SE35. Mỗi trường hợp có hai loại vé. Tổng cộng có: $2 + 2 + 2 = 6$ (cách chọn loại vé).

3. Kết hợp quy tắc cộng và quy tắc nhân

Trong các ví dụ trước, chúng ta chỉ cần áp dụng một quy tắc đếm. Tuy nhiên, hầu hết các bài toán đếm trong thực tế sẽ phức tạp hơn và thường phải áp dụng cả hai quy tắc.

Phân biệt:

• Quy tắc cộng được áp dụng khi công việc được chia thành các phương án phân biệt (thực hiện một trong các phương án để hoàn thành công việc).
• Quy tắc nhân được áp dụng khi công việc có nhiều công đoạn nối tiếp nhau (phải thực hiện tất cả các công đoạn để hoàn thành công việc).

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 4 (SGK). Để tổ chức bữa tiệc, người ta chọn thực đơn gồm một món khai vị, một món chính và một món tráng miệng. Nhà hàng đưa ra danh sách: khai vị có 2 loại súp và 3 loại sa lát; món chính có 4 loại thịt, 3 loại cá và 3 loại tôm; tráng miệng có 5 loại kem và 3 loại bánh. Hỏi có thể thiết kế bao nhiêu thực đơn khác nhau?

Giải:

Để chọn thực đơn, ta chia thành 3 công đoạn chọn món:

$$\text{Chọn món khai vị} \longrightarrow \text{Chọn món chính} \longrightarrow \text{Chọn món tráng miệng}$$

Công đoạn 1, chọn món khai vị: vì có hai phương án là súp hoặc sa lát nên ta áp dụng quy tắc cộng. Số cách chọn là: $2 + 3 = 5$ (cách).

Công đoạn 2, chọn món chính: tương tự, ta có số cách chọn là: $4 + 3 + 3 = 10$ (cách).

Công đoạn 3, chọn món tráng miệng: tương tự, ta có số cách chọn là: $5 + 3 = 8$ (cách).

Tổng kết, theo quy tắc nhân, số cách chọn thực đơn là: $5 \cdot 10 \cdot 8 = 400$ (cách).

Ví dụ 5 (SGK – Tình huống mở đầu). Mỗi mật khẩu của một trang web là một dãy có từ 2 tới 3 kí tự, trong đó kí tự đầu tiên là một trong 26 chữ cái in thường tiếng Anh (từ a đến z), mỗi kí tự còn lại là một chữ số từ 0 đến 9. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu mật khẩu khác nhau?

Giải:

Ta thấy có hai trường hợp: độ dài của mật khẩu là 2 hoặc 3 kí tự.

Trường hợp 1: Độ dài mật khẩu là 2 kí tự. Chọn từng kí tự và áp dụng quy tắc nhân.

• Kí tự đầu tiên có 26 cách chọn trong các chữ cái in thường tiếng Anh.
• Kí tự thứ hai có 10 cách chọn trong các chữ số từ 0 đến 9.

Vậy, theo quy tắc nhân, ta có $26 \cdot 10 = 260$ cách chọn mật khẩu trong trường hợp 1.

Trường hợp 2: Độ dài mật khẩu là 3 kí tự.

Tương tự như trường hợp 1, ta có $26 \cdot 10^2 = 2\,600$ cách chọn mật khẩu.

Vì có hai trường hợp rời nhau, mật khẩu có thể rơi vào một trong hai trường hợp, nên ta áp dụng quy tắc cộng. Tổng số mật khẩu có thể là $260 + 2\,600 = 2\,860$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1. Áp dụng quy tắc cộng và sơ đồ hình cây

Phương pháp:

• Xác định công việc cần thực hiện.
• Chia công việc thành các phương án rời nhau (thực hiện một trong các phương án).
• Đếm số cách thực hiện của mỗi phương án.
• Áp dụng quy tắc cộng: tổng số cách = $n_1 + n_2 + \ldots$
• Có thể vẽ sơ đồ hình cây để minh hoạ, giúp đếm không bỏ sót.

Bài 8.1. Trên giá sách có 8 cuốn truyện ngắn, 7 cuốn tiểu thuyết và 5 tập thơ (tất cả đều khác nhau). Vẽ sơ đồ hình cây minh hoạ và cho biết bạn Phong có bao nhiêu cách chọn một cuốn để đọc vào ngày cuối tuần.

Lời giải chi tiết:

Bạn Phong chọn một cuốn để đọc, có ba phương án:

• Phương án 1: Chọn truyện ngắn → có 8 cách.
• Phương án 2: Chọn tiểu thuyết → có 7 cách.
• Phương án 3: Chọn tập thơ → có 5 cách.

Sơ đồ hình cây:

                  ┌── Truyện ngắn (8 cuốn)
Chọn sách ────────┼── Tiểu thuyết (7 cuốn)
                  └── Tập thơ (5 cuốn)

Ba phương án rời nhau (mỗi cuốn sách chỉ thuộc một thể loại). Áp dụng quy tắc cộng:

$$\text{Số cách chọn} = 8 + 7 + 5 = 20 \text{ (cách)}$$

Dạng 2. Áp dụng quy tắc nhân

Phương pháp:

• Xác định công việc cần thực hiện.
• Chia công việc thành các công đoạn nối tiếp nhau (phải thực hiện tất cả các công đoạn).
• Đếm số cách thực hiện của mỗi công đoạn.
• Áp dụng quy tắc nhân: tổng số cách = $m_1 \cdot m_2 \cdot \ldots$

Bài 8.2. Một người gieo đồng xu hai mặt, sau mỗi lần gieo thì ghi lại kết quả là sấp hay ngửa. Hỏi nếu người đó gieo 3 lần thì có thể có bao nhiêu khả năng xảy ra?

Lời giải chi tiết:

Gieo đồng xu 3 lần gồm 3 công đoạn nối tiếp:

$$\text{Lần gieo 1} \longrightarrow \text{Lần gieo 2} \longrightarrow \text{Lần gieo 3}$$

• Lần gieo 1: có 2 khả năng (sấp hoặc ngửa).
• Lần gieo 2: có 2 khả năng (sấp hoặc ngửa).
• Lần gieo 3: có 2 khả năng (sấp hoặc ngửa).

Áp dụng quy tắc nhân:

$$\text{Số khả năng xảy ra} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \text{ (khả năng)}$$

Bài 8.3. Ở một loài thực vật, A là gene trội quy định tính trạng hoa kép, a là gene lặn quy định tính trạng hoa đơn.

a) Sự tổ hợp giữa hai gene trên tạo ra mấy kiểu gene? Viết các kiểu gene đó.

b) Khi giao phối ngẫu nhiên, có bao nhiêu kiểu giao phối khác nhau từ các kiểu gene đó?

Lời giải chi tiết:

a) Mỗi kiểu gene gồm 2 gene được chọn từ tập ${A, a}$.

Các kiểu gene có thể tạo ra là: AA, Aa và aa.

Vậy sự tổ hợp giữa hai gene tạo ra 3 kiểu gene.

b) Mỗi kiểu giao phối là một cặp gồm 2 kiểu gene. Ta liệt kê theo thứ tự, tránh trùng lặp (cặp AB và BA coi là một):

• Với kiểu gene AA: có 3 kiểu giao phối (AA × AA, AA × Aa, AA × aa).
• Với kiểu gene Aa: có 2 kiểu giao phối chưa đếm (Aa × Aa, Aa × aa).
• Với kiểu gene aa: có 1 kiểu giao phối chưa đếm (aa × aa).

Áp dụng quy tắc cộng:

$$\text{Tổng số kiểu giao phối} = 3 + 2 + 1 = 6 \text{ (kiểu)}$$

Dạng 3. Kết hợp quy tắc cộng và quy tắc nhân

Phương pháp:

• Phân tích xem công việc có chia phương án (→ quy tắc cộng) hay chia công đoạn (→ quy tắc nhân).
• Trong mỗi phương án có thể có nhiều công đoạn → dùng quy tắc nhân bên trong mỗi phương án.
• Cộng kết quả của các phương án → dùng quy tắc cộng giữa các phương án.
• Lưu ý: Khi lập số có nhiều chữ số, nên chọn chữ số bị ràng buộc trước (chữ số hàng đầu ≠ 0, chữ số cuối chia hết cho 2 hoặc 5,…).

Bài 8.4. Có bao nhiêu số tự nhiên

a) có 3 chữ số khác nhau?

b) là số lẻ có 3 chữ số khác nhau?

c) là số có 3 chữ số và chia hết cho 5?

d) là số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5?

Lời giải chi tiết:

a) Số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau có dạng $\overline{abc}$ với $a \neq 0$ và $a, b, c$ đôi một khác nhau.

Ta chọn lần lượt từng chữ số:

• Chọn chữ số hàng trăm $a$: có 9 cách (từ 1 đến 9, vì $a \neq 0$).
• Chọn chữ số hàng chục $b$: có 9 cách (từ 0 đến 9, trừ chữ số đã chọn cho $a$).
• Chọn chữ số hàng đơn vị $c$: có 8 cách (từ 0 đến 9, trừ 2 chữ số đã chọn).

Áp dụng quy tắc nhân:

$$\text{Số các số} = 9 \cdot 9 \cdot 8 = 648 \text{ (số)}$$

b) Số lẻ có 3 chữ số khác nhau: chữ số hàng đơn vị phải là số lẻ.

Ta chọn chữ số bị ràng buộc trước:

• Chọn chữ số hàng đơn vị $c$: có 5 cách (1, 3, 5, 7, 9).
• Chọn chữ số hàng trăm $a$: có 8 cách (từ 1 đến 9, trừ chữ số đã chọn cho $c$; $a \neq 0$).
• Chọn chữ số hàng chục $b$: có 8 cách (từ 0 đến 9, trừ 2 chữ số đã chọn).

Áp dụng quy tắc nhân:

$$\text{Số các số} = 5 \cdot 8 \cdot 8 = 320 \text{ (số)}$$

c) Số có 3 chữ số chia hết cho 5: chữ số hàng đơn vị là 0 hoặc 5. Các chữ số không yêu cầu khác nhau.

• Chọn chữ số hàng đơn vị $c$: có 2 cách (0 hoặc 5).
• Chọn chữ số hàng trăm $a$: có 9 cách (từ 1 đến 9, vì $a \neq 0$).
• Chọn chữ số hàng chục $b$: có 10 cách (từ 0 đến 9).

Áp dụng quy tắc nhân:

$$\text{Số các số} = 2 \cdot 9 \cdot 10 = 180 \text{ (số)}$$

d) Số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5: chữ số hàng đơn vị là 0 hoặc 5.

Vì ràng buộc khác nhau nên cần chia trường hợp theo chữ số hàng đơn vị:

Trường hợp 1: Chữ số hàng đơn vị $c = 0$.

• Chọn chữ số hàng trăm $a$: có 9 cách (1 đến 9).
• Chọn chữ số hàng chục $b$: có 8 cách (0 đến 9, trừ $a$ và 0).

Số cách: $9 \cdot 8 = 72$.

Trường hợp 2: Chữ số hàng đơn vị $c = 5$.

• Chọn chữ số hàng trăm $a$: có 8 cách (1 đến 9, trừ 5 vì $a \neq c = 5$).
• Chọn chữ số hàng chục $b$: có 8 cách (0 đến 9, trừ $a$ và 5).

Số cách: $8 \cdot 8 = 64$.

Hai trường hợp rời nhau. Áp dụng quy tắc cộng:

$$\text{Số các số} = 72 + 64 = 136 \text{ (số)}$$

Bài 8.5. a) Mật khẩu của chương trình máy tính quy định gồm 3 kí tự, mỗi kí tự là một chữ số. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu mật khẩu khác nhau?

b) Nếu chương trình máy tính quy định mới mật khẩu vẫn gồm 3 kí tự, nhưng kí tự đầu tiên phải là một chữ cái in hoa trong bảng chữ cái tiếng Anh gồm 26 chữ (từ A đến Z) và 2 kí tự sau là các chữ số (từ 0 đến 9). Hỏi quy định mới có thể tạo được nhiều hơn quy định cũ bao nhiêu mật khẩu khác nhau?

Lời giải chi tiết:

a) Mật khẩu gồm 3 kí tự, mỗi kí tự là một chữ số (từ 0 đến 9).

Ta chọn lần lượt từng kí tự:

• Kí tự thứ 1: có 10 cách chọn (0 đến 9).
• Kí tự thứ 2: có 10 cách chọn.
• Kí tự thứ 3: có 10 cách chọn.

Áp dụng quy tắc nhân:

$$\text{Số mật khẩu} = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1\,000 \text{ (mật khẩu)}$$

b) Theo quy định mới: kí tự đầu là chữ cái in hoa, 2 kí tự sau là chữ số.

• Kí tự thứ 1: có 26 cách chọn (A đến Z).
• Kí tự thứ 2: có 10 cách chọn (0 đến 9).
• Kí tự thứ 3: có 10 cách chọn (0 đến 9).

Áp dụng quy tắc nhân:

$$\text{Số mật khẩu mới} = 26 \cdot 10 \cdot 10 = 2\,600 \text{ (mật khẩu)}$$

Quy định mới tạo được nhiều hơn quy định cũ:

$$2\,600 – 1\,000 = 1\,600 \text{ (mật khẩu)}$$

Sai lầm thường gặp

Tổng kết

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh