1. Số gần đúng

Trong nhiều trường hợp, ta không biết hoặc khó biết số đúng (kí hiệu là $\bar{a}$) mà chỉ tìm được giá trị khác xấp xỉ nó. Giá trị này được gọi là số gần đúng, kí hiệu là $a$.

Chẳng hạn, đỉnh Everest có chiều cao được đo nhiều lần với các kết quả khác nhau: $8\,848$ m; $8\,848{,}13$ m; $8\,844{,}43$ m; $8\,850$ m;… Các kết quả đo này đều là các số gần đúng cho chiều cao thực của đỉnh Everest.

Ví dụ 1. Gọi $d$ là độ dài đường chéo của hình vuông cạnh bằng $1$. Trong hai số $\sqrt{2}$ và $1{,}41$, số nào là số đúng, số nào là số gần đúng của $d$?

Lời giải:

Hình vuông cạnh bằng $1$ có đường chéo $d = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$.

Vậy $\sqrt{2}$ là số đúng; $1{,}41$ là số gần đúng của $d$.

Chú ý. Ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để tìm giá trị gần đúng của các biểu thức chứa các số vô tỉ như $\pi$, $\sqrt{a}$, $\sqrt[3]{a}$,…

2. Sai số tuyệt đối và sai số tương đối

a. Sai số tuyệt đối

Giá trị $\Delta_a = |a – \bar{a}|$ phản ánh mức độ sai lệch giữa số đúng $\bar{a}$ và số gần đúng $a$, được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng $a$.

Chú ý:

• Trên thực tế, nhiều khi ta không biết $\bar{a}$ nên cũng không biết $\Delta_a$. Tuy nhiên, ta có thể đánh giá được $\Delta_a$ không vượt quá một số dương $d$ nào đó.
• Nếu $\Delta_a \leq d$ thì $a – d \leq \bar{a} \leq a + d$, khi đó ta viết $\bar{a} = a \pm d$ và hiểu là số đúng $\bar{a}$ nằm trong đoạn $[a – d;\ a + d]$.
• Do $d$ càng nhỏ thì $a$ càng gần $\bar{a}$ nên $d$ được gọi là độ chính xác của số gần đúng.

Ví dụ 2. Một công ty sử dụng dây chuyền A để đóng gạo vào bao với khối lượng mong muốn là $5$ kg. Trên bao bì ghi thông tin khối lượng là $5 \pm 0{,}2$ kg. Gọi $\bar{a}$ là khối lượng thực của một bao gạo.

a) Xác định số đúng, số gần đúng và độ chính xác.

b) Giá trị của $\bar{a}$ nằm trong đoạn nào?

Lời giải:

a) Khối lượng thực $\bar{a}$ là số đúng. Ta xem khối lượng bao gạo là $5$ kg nên $5$ là số gần đúng cho $\bar{a}$. Độ chính xác là $d = 0{,}2$ (kg).

b) Giá trị của $\bar{a}$ nằm trong đoạn $[5 – 0{,}2;\ 5 + 0{,}2]$ hay $[4{,}8;\ 5{,}2]$.

Chú ý. Trong các phép đo, độ chính xác $d$ của số gần đúng bằng một nửa đơn vị của thước đo. Chẳng hạn, thước đo có chia vạch đến centimét thì mọi giá trị đo nằm giữa $6{,}5$ cm và $7{,}5$ cm đều được coi là $7$ cm. Vì vậy, thước đo có thang đo càng nhỏ thì cho giá trị đo càng chính xác.

b. Sai số tương đối

Mặc dù độ chính xác (sai số tuyệt đối) giúp đánh giá mức độ sai lệch, nhưng khi so sánh hai phép đo có giá trị chênh lệch lớn, ta cần dùng sai số tương đối để so sánh.

Sai số tương đối của số gần đúng $a$, kí hiệu là $\delta_a$, là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và $|a|$:

$$\delta_a = \dfrac{\Delta_a}{|a|}$$

Nhận xét. Nếu $\bar{a} = a \pm d$ thì $\Delta_a \leq d$, do đó:

$$\delta_a \leq \dfrac{d}{|a|}$$

Nếu $\dfrac{d}{|a|}$ càng nhỏ thì chất lượng của phép đo hay tính toán càng cao. Người ta thường viết sai số tương đối dưới dạng phần trăm.

Ví dụ 3. Trong một cuộc điều tra dân số, người ta viết dân số của một tỉnh là: $3\,574\,625$ người $\pm,50\,000$ người. Hãy đánh giá sai số tương đối của số gần đúng này.

Lời giải:

Ta có $a = 3\,574\,625$ và $d = 50\,000$, do đó sai số tương đối là:

$$\delta_a \leq \dfrac{d}{|a|} = \dfrac{50\,000}{3\,574\,625} \approx 1{,}4%$$

3. Quy tròn số gần đúng

Trong thực tế đo đạc và tính toán, nhiều khi ta chỉ cần biết giá trị gần đúng với một độ chính xác nào đó. Khi đó, để cho gọn, các số thường được làm tròn (còn gọi là quy tròn). Số thu được sau khi thực hiện làm tròn số được gọi là số quy tròn.

Quy tắc làm tròn

Đối với chữ số hàng làm tròn:

• Giữ nguyên nếu chữ số ngay bên phải nó nhỏ hơn $5$.
• Tăng $1$ đơn vị nếu chữ số ngay bên phải nó lớn hơn hoặc bằng $5$.

Đối với các chữ số sau hàng làm tròn:

• Bỏ đi nếu ở phần thập phân.
• Thay bởi các chữ số $0$ nếu ở phần số nguyên.

Ví dụ 4.

a) Làm tròn số $2\,359{,}3$ đến hàng chục, số $18{,}693$ đến hàng phần trăm và số đúng $d \in [5{,}5;\ 6{,}5)$ đến hàng đơn vị.

b) Cho số gần đúng $a = 2{,}53$ với độ chính xác $d = 0{,}01$. Số đúng $\bar{a}$ thuộc đoạn nào? Nếu làm tròn số $a$ thì nên làm tròn đến hàng nào?

Lời giải:

a) Số quy tròn của $2\,359{,}3$ đến hàng chục là $2\,360$. Số quy tròn của $18{,}693$ đến hàng phần trăm là $18{,}69$. Mọi số đúng $d \in [5{,}5;\ 6{,}5)$ khi làm tròn đến hàng đơn vị đều thu được số quy tròn là $6$ và sai số tuyệt đối $|d – 6| \leq 0{,}5$.

b) Số đúng $\bar{a}$ thuộc đoạn $[2{,}53 – 0{,}01;\ 2{,}53 + 0{,}01]$ hay $[2{,}52;\ 2{,}54]$. Khi làm tròn số gần đúng $a$ ta nên làm tròn đến hàng phần chục do chữ số hàng phần trăm của $a$ là chữ số không chắc chắn đúng.

Nhận xét:

• Khi thay số đúng bởi số quy tròn đến một hàng nào đó thì sai số tuyệt đối của số quy tròn không vượt quá nửa đơn vị của hàng làm tròn.
• Cho số gần đúng $a$ với độ chính xác $d$. Khi được yêu cầu làm tròn số $a$ mà không nói rõ làm tròn đến hàng nào thì ta làm tròn số $a$ đến hàng thấp nhất mà $d$ nhỏ hơn $1$ đơn vị của hàng đó.

Ví dụ 5. Cho số gần đúng $a = 581\,268$ với độ chính xác $d = 200$. Hãy viết số quy tròn của số $a$.

Lời giải:

Vì độ chính xác đến hàng trăm ($d = 200$) nên ta làm tròn $a$ đến hàng nghìn theo quy tắc làm tròn. Số quy tròn của $a$ là $581\,000$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1. Nhận biết số gần đúng

Phương pháp:

Một số là số gần đúng khi nó thu được từ phép đo, phép ước lượng hoặc phép tính gần đúng, không phải giá trị chính xác tuyệt đối. Hầu hết các kết quả đo đạc trong thực tế đều là số gần đúng vì dụng cụ đo luôn có sai số.

Ví dụ (Bài 5.1 SGK). Trong các số sau, những số nào là số gần đúng?

a) Cân một túi gạo cho kết quả là $10{,}2$ kg.

b) Bán kính Trái Đất là $6\,371$ km.

c) Trái Đất quay một vòng quanh Mặt Trời mất $365$ ngày.

Lời giải chi tiết:

a) Kết quả $10{,}2$ kg thu được từ phép cân — luôn có sai số do cân → số gần đúng.

b) Bán kính Trái Đất $6\,371$ km là kết quả đo lường, không hoàn toàn chính xác → số gần đúng.

c) Trái Đất quay quanh Mặt Trời thực tế mất khoảng $365{,}25$ ngày (nên có năm nhuận), giá trị $365$ ngày chỉ là con số gần đúng → số gần đúng.

Đáp án: Cả ba số đều là số gần đúng.

Dạng 2. Xác định số đúng thuộc đoạn nào — quy tròn số gần đúng

Phương pháp:

• Từ $\bar{a} = a \pm d$, suy ra $\bar{a} \in [a – d;\ a + d]$.
• Xác định hàng làm tròn: tìm hàng thấp nhất mà $d$ nhỏ hơn $1$ đơn vị của hàng đó, rồi áp dụng quy tắc làm tròn.

Ví dụ (Bài 5.2 SGK). Giải thích kết quả “Đo độ cao của một ngọn núi cho kết quả là $1\,235 \pm 5$ m” và thực hiện làm tròn số gần đúng.

Lời giải chi tiết:

Số gần đúng $a = 1\,235$ m, độ chính xác $d = 5$ m.

Chiều cao thực $\bar{a}$ thuộc đoạn $[1\,235 – 5;\ 1\,235 + 5]$ hay $[1\,230;\ 1\,240]$ (đơn vị mét).

Vì $d = 5$ nên hàng làm tròn là hàng chục ($d = 5 < 10$). Chữ số hàng chục là $3$, chữ số ngay bên phải là $5$ (bằng $5$) nên tăng lên $1$ đơn vị.

Số quy tròn là $\mathbf{1\,240}$.

Dạng 3. Tìm số gần đúng bằng máy tính cầm tay với độ chính xác cho trước

Phương pháp:

• Dùng máy tính cầm tay để tính giá trị biểu thức.
• Độ chính xác $d$ quyết định hàng làm tròn: làm tròn đến hàng thấp nhất mà $d$ nhỏ hơn $1$ đơn vị của hàng đó.

Ví dụ (Bài 5.3 SGK). Sử dụng máy tính cầm tay tìm số gần đúng cho $\sqrt[3]{7}$ với độ chính xác $0{,}0005$.

Lời giải chi tiết:

Dùng máy tính cầm tay: $\sqrt[3]{7} \approx 1{,}91293…$

Độ chính xác $d = 0{,}0005$ nên hàng làm tròn là hàng phần nghìn ($d = 0{,}0005 < 0{,}001$).

Chữ số hàng phần nghìn là $2$, chữ số bên phải là $9 \geq 5$ nên tăng lên.

Số gần đúng của $\sqrt[3]{7}$ là $\mathbf{1{,}913}$.

Dạng 4. Đánh giá sai số tương đối — so sánh độ chính xác giữa các phương pháp

Phương pháp:

• Tính sai số tương đối: $\delta_a \leq \dfrac{d}{|a|}$.
• Viết dưới dạng phần trăm.
• Phương pháp có sai số tương đối nhỏ nhất là phương pháp chính xác nhất.

Ví dụ (Bài 5.4 SGK). Các nhà vật lí sử dụng ba phương pháp đo hằng số Hubble lần lượt cho kết quả:

$67{,}31 \pm 0{,}96$; $\quad$ $67{,}90 \pm 0{,}55$; $\quad$ $67{,}74 \pm 0{,}46$.

Phương pháp nào chính xác nhất tính theo sai số tương đối?

Lời giải chi tiết:

Phương pháp 1: $\delta \leq \dfrac{0{,}96}{67{,}31} \approx 1{,}4%$.

Phương pháp 2: $\delta \leq \dfrac{0{,}55}{67{,}90} \approx 0{,}81%$.

Phương pháp 3: $\delta \leq \dfrac{0{,}46}{67{,}74} \approx 0{,}68%$.

Phương pháp 3 ($67{,}74 \pm 0{,}46$) có sai số tương đối nhỏ nhất nên chính xác nhất.

Dạng 5. So sánh độ chính xác của các phép tính gần đúng

Phương pháp:

• Xác định giá trị đúng (hoặc ước lượng giá trị đúng).
• Tính sai số tuyệt đối của mỗi kết quả: $\Delta = |a – \bar{a}|$.
• Kết quả có sai số tuyệt đối nhỏ hơn là chính xác hơn.

Ví dụ (Bài 5.5 SGK). An và Bình cùng tính chu vi của hình tròn bán kính $2$ cm với hai kết quả:

Kết quả của An: $S_1 = 2\pi R \approx 2 \cdot 3{,}14 \cdot 2 = 12{,}56$ cm.

Kết quả của Bình: $S_2 = 2\pi R \approx 2 \cdot 3{,}1 \cdot 2 = 12{,}4$ cm.

a) Hai giá trị tính được có phải là các số gần đúng không?

b) Giá trị nào chính xác hơn?

Lời giải chi tiết:

a) Cả hai giá trị đều là số gần đúng, vì đã lấy giá trị số $\pi$ gần đúng ($3{,}14$ và $3{,}1$ đều là số gần đúng của $\pi$).

b) Chu vi đúng là $2\pi R = 4\pi$.

Vì $\pi > 3{,}14 > 3{,}1$ nên $2\pi R > S_1 > S_2$.

Do đó $2\pi R – S_1 < 2\pi R – S_2$, tức sai số tuyệt đối của $S_1$ nhỏ hơn sai số tuyệt đối của $S_2$.

Vậy kết quả của An chính xác hơn.

Dạng 6. Làm tròn số và tính sai số tuyệt đối của số quy tròn

Phương pháp:

• Áp dụng quy tắc làm tròn đến hàng được yêu cầu.
• Tính sai số tuyệt đối: $\Delta = |\text{số quy tròn} – \text{số ban đầu}|$.

Ví dụ (Bài 5.6 SGK). Làm tròn số $8\,316{,}4$ đến hàng chục và $9{,}754$ đến hàng phần trăm rồi tính sai số tuyệt đối của số quy tròn.

Lời giải chi tiết:

Làm tròn $8\,316{,}4$ đến hàng chục:

Chữ số hàng chục là $1$, chữ số bên phải là $6 \geq 5$ → tăng lên. Số quy tròn là $8\,320$.

Sai số tuyệt đối: $|8\,320 – 8\,316{,}4| = 3{,}6$.

Làm tròn $9{,}754$ đến hàng phần trăm:

Chữ số hàng phần trăm là $5$, chữ số bên phải là $4 < 5$ → giữ nguyên. Số quy tròn là $9{,}75$.

Sai số tuyệt đối: $|9{,}754 – 9{,}75| = 0{,}004$.

Sai lầm thường gặp

Tổng kết

Số gần đúng: Giá trị xấp xỉ số đúng $\bar{a}$, thu được từ phép đo hoặc phép tính.

Sai số tuyệt đối và độ chính xác:

Quy tắc làm tròn:

Sai số tuyệt đối của số quy tròn không vượt quá nửa đơn vị của hàng làm tròn.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh