1. Tích của một vectơ với một số

Định nghĩa

Trường hợp $k > 0$: Tích của một vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$ với một số thực $k > 0$ là một vectơ, kí hiệu $k\vec{a}$, cùng hướng với $\vec{a}$ và có độ dài bằng $k|\vec{a}|$.

Trường hợp $k < 0$: Tích của một vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$ với một số thực $k < 0$ là một vectơ, kí hiệu $k\vec{a}$, ngược hướng với $\vec{a}$ và có độ dài bằng $(-k)|\vec{a}|$.

Quy ước: $k\vec{a} = \vec{0}$ nếu $\vec{a} = \vec{0}$ hoặc $k = 0$.

Phép lấy tích của vectơ với một số được gọi là phép nhân vectơ với một số.

Nhận xét tổng quát

Vectơ $k\vec{a}$ có độ dài bằng $|k| \cdot |\vec{a}|$ và:

• Cùng hướng với $\vec{a}$ nếu $k > 0$.
• Ngược hướng với $\vec{a}$ nếu $\vec{a} \neq \vec{0}$ và $k < 0$.

Đặc biệt: $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$ và $(-1)\vec{a} = -\vec{a}$ (vectơ đối).

Điều kiện cùng phương

Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ($\vec{b} \neq \vec{0}$) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số $k$ sao cho $\vec{a} = k\vec{b}$.

Chứng minh:

• Nếu $\vec{a} = k\vec{b}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương (theo định nghĩa phép nhân).
• Ngược lại, nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương: lấy $k = \dfrac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|}$ nếu cùng hướng, lấy $k = -\dfrac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|}$ nếu ngược hướng. Khi đó $\vec{a} = k\vec{b}$.

2. Các tính chất của phép nhân vectơ với một số

Với hai vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$ và hai số thực $k$, $t$:

$$k(t\vec{a}) = (kt)\vec{a}$$

$$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$$

$$k(\vec{a} – \vec{b}) = k\vec{a} – k\vec{b}$$

$$(k + t)\vec{a} = k\vec{a} + t\vec{a}$$

$$1 \cdot \vec{a} = \vec{a}, \qquad (-1)\vec{a} = -\vec{a}$$

Đẳng thức trung điểm

$I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$.

Với điểm $O$ tuỳ ý:

$$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OI}$$

Chứng minh: Vì $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$ nên:

$$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = (\overrightarrow{OI} + \overrightarrow{IA}) + (\overrightarrow{OI} + \overrightarrow{IB}) = 2\overrightarrow{OI} + (\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}) = 2\overrightarrow{OI}$$

Đẳng thức trọng tâm

$G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$.

Với điểm $O$ tuỳ ý:

$$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OG}$$

Phân tích vectơ theo hai vectơ không cùng phương

Cho hai vectơ không cùng phương $\vec{a}$, $\vec{b}$. Khi đó, mọi vectơ $\vec{u}$ đều biểu thị (phân tích) được một cách duy nhất theo $\vec{a}$, $\vec{b}$: tồn tại duy nhất cặp số $(x;\ y)$ sao cho $\vec{u} = x\vec{a} + y\vec{b}$.

Điểm khối tâm

Điểm khối tâm $M$ của hệ các chất điểm $A_1, A_2, \ldots, A_n$ với khối lượng tương ứng $m_1, m_2, \ldots, m_n$ được xác định bởi:

$$m_1\overrightarrow{MA_1} + m_2\overrightarrow{MA_2} + \cdots + m_n\overrightarrow{MA_n} = \vec{0}$$

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1. Biểu thị vectơ theo hai vectơ cho trước

Phương pháp:

• Dùng quy tắc ba điểm để nối vectơ cần tìm qua các điểm trung gian.
• Thay các vectơ bằng nhau (ví dụ: $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ trong hình bình hành).
• Dùng tính chất trung điểm: $\overrightarrow{BM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ khi $M$ là trung điểm $BC$.

Ví dụ (Bài 4.11 SGK): Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Biểu thị $\overrightarrow{AM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$.

Lời giải chi tiết:

Do $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$.

Do $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{BM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}$.

Theo quy tắc ba điểm:

$$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}$$

$$\boxed{\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}}$$

Dạng 2. Chứng minh đẳng thức vectơ bằng phép nhân với số

Phương pháp:

• Dùng tính chất trung điểm ($\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \vec{0}$) và trọng tâm ($\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$).
• Dùng quy tắc ba điểm, thay vectơ rồi nhóm lại.
• Cộng vế theo vế khi cần.

Ví dụ (Bài 4.12 SGK): Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $M$, $N$ tương ứng là trung điểm $AB$, $CD$. Chứng minh:

$$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}$$

Lời giải chi tiết:

Vì $M$ là trung điểm $AB$: $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \vec{0}$ … (1)

Vì $N$ là trung điểm $CD$: $\overrightarrow{CN} + \overrightarrow{DN} = \vec{0}$ … (2)

Chứng minh $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{MN}$:

Ta có: $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN}$ … (3)

và: $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN}$ … (4)

Cộng vế theo vế (3) và (4):

$$2\overrightarrow{MN} = (\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}) + (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}) + (\overrightarrow{CN} + \overrightarrow{DN})$$

$$= \vec{0} + (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}) + \vec{0} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}$$

Chứng minh $2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}$:

Tương tự, viết: $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CN}$ và $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DN}$.

Cộng vế theo vế:

$$2\overrightarrow{MN} = (\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}) + (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}) + (\overrightarrow{CN} + \overrightarrow{DN}) = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}$$

Vậy $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}$. $\quad \square$

Dạng 3. Xác định điểm thoả mãn đẳng thức vectơ có hệ số

Phương pháp:

• Biểu thị tất cả vectơ về cùng gốc (thường chọn một đỉnh hoặc điểm cần tìm).
• Dùng $\overrightarrow{KA} = -\overrightarrow{AK}$, $\overrightarrow{KB} = \overrightarrow{KA} + \overrightarrow{AB}$,… để chuyển về dạng $n\overrightarrow{KX} + \ldots = \vec{0}$.
• Giải ra vị trí điểm cần tìm.
• Chứng minh đẳng thức với điểm $O$ tuỳ ý: thay $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MA}$,…

Ví dụ 1 (Bài 4.13 SGK): Cho hai điểm phân biệt $A$ và $B$.

a) Xác định điểm $K$ sao cho $\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} = \vec{0}$.

b) Chứng minh với mọi điểm $O$: $\overrightarrow{OK} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{OB}$.

Lời giải chi tiết:

a) Từ $\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} = \vec{0}$, ta có $\overrightarrow{KA} = -2\overrightarrow{KB}$.

Suy ra $\overrightarrow{KA}$ và $\overrightarrow{KB}$ cùng phương, ngược hướng và $KA = 2KB$.

Vậy $K$ thuộc đoạn $AB$ sao cho $KA = 2KB$, tức $K$ chia đoạn $AB$ theo tỉ số $2 : 1$ kể từ $A$.

b) Với điểm $O$ bất kì:

$$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OK} + \overrightarrow{KA} \quad (1)$$

$$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OK} + \overrightarrow{KB} \quad (2)$$

Từ (1) và (2):

$$\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} = (\overrightarrow{OK} + \overrightarrow{KA}) + 2(\overrightarrow{OK} + \overrightarrow{KB}) = 3\overrightarrow{OK} + (\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB}) = 3\overrightarrow{OK}$$

$$\boxed{\overrightarrow{OK} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{OB}}$$

Ví dụ 2 (Bài 4.14 SGK): Cho tam giác $ABC$.

a) Xác định điểm $M$ để $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} = \vec{0}$.

b) Chứng minh với mọi điểm $O$: $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC} = 4\overrightarrow{OM}$.

Lời giải chi tiết:

a) Gọi $I$ là trung điểm $AB$. Khi đó $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}$.

Đẳng thức trở thành:

$$2\overrightarrow{MI} + 2\overrightarrow{MC} = \vec{0} \quad \Rightarrow \quad \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{MC} = \vec{0}$$

Vậy $M$ là trung điểm của $IC$ (với $I$ là trung điểm $AB$).

b) Với điểm $O$ bất kì:

$$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MA}, \quad \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MB}, \quad \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MC}$$

$$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC} = 4\overrightarrow{OM} + (\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}) = 4\overrightarrow{OM} + \vec{0} = 4\overrightarrow{OM}$$

$$\boxed{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC} = 4\overrightarrow{OM}}$$

Dạng 4. Bài toán tổng hợp lực — trạng thái cân bằng

Phương pháp:

• Ba lực cân bằng: $\vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} = \vec{0}$, tức $\vec{F_1} = -(\vec{F_2} + \vec{F_3})$.
• Hợp lực $\vec{F} = \vec{F_2} + \vec{F_3}$ có cùng độ lớn và ngược hướng với $\vec{F_1}$.
• Dựng hình, xác định góc, dùng hệ thức lượng giác để tính.

Ví dụ (Bài 4.15 SGK): Chất điểm $A$ chịu tác động ba lực $\vec{F_1}$, $\vec{F_2}$, $\vec{F_3}$ như Hình 4.30 và ở trạng thái cân bằng ($\vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} = \vec{0}$). Tính độ lớn $\vec{F_2}$, $\vec{F_3}$, biết $|\vec{F_1}| = 20$ N.

(Hình 4.30: $\vec{F_1}$ hướng xuống, $\vec{F_2}$ hướng ngang, $\vec{F_3}$ tạo với $\vec{F_2}$ góc $120°$.)

Lời giải chi tiết:

Gọi $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$ biểu diễn $\vec{F_1}$, $\vec{F_2}$, $\vec{F_3}$. Gọi $\overrightarrow{AE}$ biểu diễn hợp lực $\vec{F} = \vec{F_2} + \vec{F_3}$.

Do cân bằng nên $\vec{F_1}$ và $\vec{F}$ đối nhau: $|\vec{F}| = |\vec{F_1}| = 20$ N, và $\overrightarrow{AE}$ ngược hướng $\overrightarrow{AB}$.

Từ hình: $\vec{F_2}$ vuông góc với $\vec{F_1}$, và $\vec{F_3}$ tạo với $\vec{F_2}$ góc $120°$. Suy ra $\vec{F_3}$ tạo với phương đứng góc $30°$.

Chiếu lên phương của $\overrightarrow{AE}$ ($\perp \overrightarrow{AC}$):

$$|\vec{F}| = AE = 20$$

$$AD = \dfrac{AE}{\cos 30°} = \dfrac{20}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{40\sqrt{3}}{3}$$

$$AC = AE \cdot \tan 30° = 20 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{20\sqrt{3}}{3}$$

$$\boxed{|\vec{F_2}| = \dfrac{20\sqrt{3}}{3} \text{ (N)}, \quad |\vec{F_3}| = \dfrac{40\sqrt{3}}{3} \text{ (N)}}$$

Sai lầm thường gặp

Tổng kết

Phép nhân vectơ với một số:

Tính chất:

Điều kiện cùng phương: $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ($\vec{b} \neq \vec{0}$) cùng phương $\Leftrightarrow$ tồn tại $k$ sao cho $\vec{a} = k\vec{b}$.

Đẳng thức quan trọng:

Phân tích vectơ: Cho $\vec{a}$, $\vec{b}$ không cùng phương, mọi $\vec{u}$ phân tích duy nhất thành $\vec{u} = x\vec{a} + y\vec{b}$.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh