Vận Tốc, Gia Tốc Trong Dao Động Điều Hòa
Phương trình $v(t)$ và $a(t)$ — Công thức liên hệ $v$–$x$, $a$–$x$ — Mối quan hệ pha
Trong dao động điều hòa, vận tốc tức thời của vật được xác định bằng đạo hàm của li độ theo thời gian. Nếu li độ có dạng:
Thì vận tốc được tính: $v = \dfrac{dx}{dt}$. Áp dụng quy tắc đạo hàm hàm cosin, ta thu được:
Hoặc dạng cosin: $v = \omega A \cos\left(\omega t + \varphi + \dfrac{\pi}{2}\right)$
▸ Vận tốc cực đại
(Đạt được khi vật qua vị trí cân bằng)
▸ Đặc điểm quan trọng của vận tốc
| Vị trí | Li độ $x$ | Vận tốc $v$ | Giải thích |
|---|---|---|---|
| VTCB | $0$ | $|v| = v_{\max} = \omega A$ | Vận tốc cực đại |
| Biên dương | $+A$ | $0$ | Vật dừng tức thời |
| Biên âm | $-A$ | $0$ | Vật dừng tức thời |
② Vận tốc sớm pha $\dfrac{\pi}{2}$ so với li độ — pha của $v$ luôn lớn hơn pha của $x$ một góc $\dfrac{\pi}{2}$.
▸ Dấu của vận tốc và chiều chuyển động
- $v > 0$: vật đang chuyển động theo chiều dương.
- $v < 0$: vật đang chuyển động theo chiều âm.
- $v = 0$: vật dừng tức thời tại biên (chuẩn bị đổi chiều).
Giải: $A = 4$ cm, $\omega = 2\pi$ rad/s.
$v_{\max} = \omega A = 2\pi \cdot 4 = \mathbf{8\pi} \approx 25{,}13$ cm/s.
Giải: $A = 5$ cm, $\omega = \pi$ rad/s.
$v = -\omega A \sin(\omega t + \varphi) = -\pi \cdot 5 \cdot \sin\left(\pi t + \dfrac{\pi}{3}\right)$.
$\Rightarrow \boxed{v = -5\pi \sin\left(\pi t + \dfrac{\pi}{3}\right) \text{ cm/s}}$.
Gia tốc tức thời của vật được tính bằng đạo hàm của vận tốc theo thời gian (hoặc đạo hàm cấp hai của li độ).
Từ $v = -\omega A \sin(\omega t + \varphi)$, lấy đạo hàm theo $t$:
Nhận thấy $A\cos(\omega t + \varphi) = x$, nên ta có công thức rất quan trọng:
Gia tốc tỉ lệ thuận với li độ và luôn ngược dấu với li độ
▸ Gia tốc cực đại
(Đạt được khi vật ở vị trí biên $x = \pm A$)
▸ Đặc điểm quan trọng của gia tốc
| Vị trí | Li độ $x$ | Gia tốc $a$ | Hướng |
|---|---|---|---|
| VTCB | $0$ | $0$ | — |
| Biên dương | $+A$ | $-\omega^2 A$ | Về VTCB (âm) |
| Biên âm | $-A$ | $+\omega^2 A$ | Về VTCB (dương) |
• Gia tốc ngược pha với li độ (lệch pha $\pi$).
• Gia tốc sớm pha $\dfrac{\pi}{2}$ so với vận tốc.
• Vectơ gia tốc luôn hướng về VTCB và độ lớn tỉ lệ với độ lớn li độ.
▸ Chuyển động nhanh dần & chậm dần
Giải: $a_{\max} = \omega^2 A = (4\pi)^2 \cdot 5 = 80\pi^2 \approx \mathbf{789{,}6}$ cm/s².
(Lấy $\pi^2 \approx 9{,}87$.)
Giải: $a = -\omega^2 x = -\pi^2 \cdot (-3) = 3\pi^2 \approx \mathbf{29{,}6}$ cm/s².
Gia tốc dương → hướng về VTCB (phía dương). Phù hợp vì vật đang ở phía âm.
Đây là phần kiến thức cốt lõi để giải nhanh các bài tập trắc nghiệm về dao động điều hòa.
| Đại lượng | Phương trình | So với $x$ | So với $v$ |
|---|---|---|---|
| Li độ $x$ | $A\cos(\omega t + \varphi)$ | — | Trễ pha $\dfrac{\pi}{2}$ |
| Vận tốc $v$ | $-\omega A\sin(\omega t + \varphi)$ | Sớm pha $\dfrac{\pi}{2}$ | — |
| Gia tốc $a$ | $-\omega^2 A\cos(\omega t + \varphi)$ | Ngược pha ($\pi$) | Sớm pha $\dfrac{\pi}{2}$ |
$x \xrightarrow{+\pi/2} v \xrightarrow{+\pi/2} a$
$\Rightarrow$ $x$ và $a$ lệch pha $\pi$ (ngược pha).
▸ Bảng giá trị tại các vị trí đặc biệt
| Vị trí | $x$ | $v$ | $a$ |
|---|---|---|---|
| Biên dương | $+A$ | $0$ | $-\omega^2 A$ |
| VTCB (đi chiều âm) | $0$ | $-\omega A$ | $0$ |
| Biên âm | $-A$ | $0$ | $+\omega^2 A$ |
| VTCB (đi chiều dương) | $0$ | $+\omega A$ | $0$ |
• Gia tốc cực đại ($a_{\max} = \omega^2 A$) tại biên — vì $a = -\omega^2 x$ nên $|a|$ lớn khi $|x|$ lớn.
Giải: Tại biên dương: $x = +A = 6$ cm.
• $v = 0$ (vật dừng tức thời).
• $a = -\omega^2 x = -2^2 \cdot 6 = \mathbf{-24}$ cm/s² (hướng về VTCB).
Từ phương trình $x$ và $v$, ta có thể loại bỏ thời gian $t$ để thu được công thức liên hệ trực tiếp giữa $v$ và $x$ — rất hữu ích khi không biết $t$.
▸ Cách thiết lập
- Từ $x = A\cos(\omega t + \varphi)$: $\cos(\omega t + \varphi) = \dfrac{x}{A}$.
- Từ $v = -\omega A \sin(\omega t + \varphi)$: $\sin(\omega t + \varphi) = -\dfrac{v}{\omega A}$.
- Áp dụng $\sin^2 + \cos^2 = 1$ → công thức liên hệ.
Tương đương: $v = \pm \omega \sqrt{A^2 - x^2}$
▸ Quy tắc xác định dấu của vận tốc
- Vật chuyển động theo chiều dương → $v > 0$.
- Vật chuyển động theo chiều âm → $v < 0$.
- Nếu đề chỉ hỏi tốc độ (độ lớn) thì chỉ cần $|v| = \omega\sqrt{A^2 - x^2}$.
Giải: $|v| = \omega\sqrt{A^2 - x^2} = 4\pi\sqrt{25 - 9} = 4\pi \cdot 4 = \mathbf{16\pi}$ cm/s $\approx 50{,}3$ cm/s.
Giải: $A = \sqrt{x^2 + \dfrac{v^2}{\omega^2}} = \sqrt{9 + \dfrac{400}{25}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = \mathbf{5}$ cm.
▸ Các công thức hữu ích khác
Giải:
• $\omega = \dfrac{a_{\max}}{v_{\max}} = \dfrac{80}{20} = \mathbf{4}$ rad/s.
• $A = \dfrac{v_{\max}}{\omega} = \dfrac{20}{4} = \mathbf{5}$ cm.
Một dạng bài tập SGK rất hay gặp: cho đồ thị li độ – thời gian, yêu cầu xác định $v$, $a$ tại các thời điểm khác nhau.
▸ Quy trình 4 bước
| Bước | Thao tác | Công thức/Cách làm |
|---|---|---|
| ① | Đọc $A$, $T$ | $A$ = đỉnh đồ thị ; $T$ = giữa hai đỉnh liên tiếp |
| ② | Tính $\omega$ | $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$ |
| ③ | Tính $v_{\max}$, $a_{\max}$ | $v_{\max} = \omega A$ ; $a_{\max} = \omega^2 A$ |
| ④ | Tính $v$, $a$ tại $t$ | Đọc $x$ từ đồ thị, dùng $|v| = \omega\sqrt{A^2-x^2}$ và $a = -\omega^2 x$ |
Bước 1, 2: $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}$ rad/s.
Bước 3:
• $v_{\max} = \omega A = \dfrac{\pi}{2} \cdot 40 = 20\pi$ mm/s $\approx 62{,}8$ mm/s.
• $a_{\max} = \omega^2 A = \dfrac{\pi^2}{4} \cdot 40 = 10\pi^2 \approx 98{,}7$ mm/s².
Bước 4 — Tại $t = 0$ (vật ở VTCB): $|v| = v_{\max} = 20\pi$ mm/s ; $a = -\omega^2 \cdot 0 = 0$.
Tại $t = 1$ s (vật ở biên dương, $x = 40$ mm): $v = 0$ ; $a = -\omega^2 x = -\dfrac{\pi^2}{4} \cdot 40 = -10\pi^2 \approx \mathbf{-98{,}7}$ mm/s².
• Phương trình $a$: $a = -\omega^2 A\cos(\omega t + \varphi) = -\omega^2 x$.
• Giá trị cực đại: $v_{\max} = \omega A$ (tại VTCB) ; $a_{\max} = \omega^2 A$ (tại biên).
• Liên hệ pha: $v$ sớm $\pi/2$ so $x$ ; $a$ sớm $\pi/2$ so $v$ ; $a$ ngược pha $x$.
• Công thức độc lập $t$: $\dfrac{x^2}{A^2} + \dfrac{v^2}{\omega^2 A^2} = 1$ và $v = \pm\omega\sqrt{A^2-x^2}$.
• Biên độ từ $x, v$: $A = \sqrt{x^2 + \dfrac{v^2}{\omega^2}}$.
• Tính nhanh: $\omega = \dfrac{a_{\max}}{v_{\max}}$ ; $A = \dfrac{v_{\max}^2}{a_{\max}}$.
• Nhanh dần/Chậm dần: nhanh dần khi $v \cdot a > 0$ ; chậm dần khi $v \cdot a < 0$.
Để xem lý thuyết đầy đủ (kèm các dạng bài tập tính toán, mẹo nhớ & sai lầm thường gặp), hãy tham khảo bài viết bên dưới:
📚 Xem thêm: Lý thuyết trọng tâm + Công thức + PP giải các dạng + Mẹo & sai lầm thường gặp tại Edus.vnSau khi đã nắm vững lý thuyết, các em hãy chuyển sang tab Bài Tập để luyện 25 câu bám sát chương trình SGK Vật Lí 11!
Cùng luyện Bài 3 — Vận tốc, gia tốc DĐĐH!
25 câu: 19 trắc nghiệm · 2 đúng/sai · 4 tự luận
Tuyệt vời!
Thầy Phạm Trần Quốc Anh
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Vật Lý THPT
Trình độ: Cử nhân Sư phạm Vật lý, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ STEM, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 9+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lê Quí Đôn