Lớp 12 · Toán
Bài 8
Biểu Thức Toạ Độ Của Các Phép Toán Vectơ
Cộng – trừ – nhân số · Trung điểm, trọng tâm · Tích vô hướng
1
Toạ độ phép cộng, trừ, nhân số
▼
Công thức các phép toán
Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{a} = (x; y; z)$, $\vec{b} = (x'; y'; z')$ và số thực $k$. Khi đó:
$\vec{a} + \vec{b} = (x + x';\ y + y';\ z + z')$
$\vec{a} - \vec{b} = (x - x';\ y - y';\ z - z')$
$k\vec{a} = (kx;\ ky;\ kz)$
$\vec{a} - \vec{b} = (x - x';\ y - y';\ z - z')$
$k\vec{a} = (kx;\ ky;\ kz)$
Cách nhớ & vectơ đối
• Cộng/trừ vectơ: cộng/trừ các toạ độ tương ứng.
• Nhân số với vectơ: nhân số đó với cả ba thành phần.
• Vectơ đối: nếu $\vec{a} = (x; y; z)$ thì $-\vec{a} = (-x; -y; -z)$.
• Nhân số với vectơ: nhân số đó với cả ba thành phần.
• Vectơ đối: nếu $\vec{a} = (x; y; z)$ thì $-\vec{a} = (-x; -y; -z)$.
Điều kiện hai vectơ cùng phương
$\vec{a} = (x; y; z)$ và $\vec{b} = (x'; y'; z') \neq \vec{0}$ cùng phương ⟺ tồn tại số thực $k$ sao cho:
$x = kx',\quad y = ky',\quad z = kz'$
Khi cả ba toạ độ $x', y', z'$ đều khác $0$, điều kiện này tương đương: $\dfrac{x}{x'} = \dfrac{y}{y'} = \dfrac{z}{z'}$.
⚠ Lưu ý: nếu có thành phần bằng $0$ thì không được viết tỉ số (vì chia cho $0$), phải dùng dạng ba phương trình.
⚠ Lưu ý: nếu có thành phần bằng $0$ thì không được viết tỉ số (vì chia cho $0$), phải dùng dạng ba phương trình.
💡 Ví dụ 1 – Cộng, trừ, nhân số
Cho $\vec{a} = (2; 1; 5)$, $\vec{b} = (2; 2; 1)$. Tìm $\vec{a} - \vec{b}$ và $3\vec{a} + 2\vec{b}$.
a)$\vec{a} - \vec{b} = (2-2;\ 1-2;\ 5-1) = (0; -1; 4)$.
b)$3\vec{a} = (6; 3; 15)$; $2\vec{b} = (4; 4; 2)$.
→$3\vec{a} + 2\vec{b} = (6+4;\ 3+4;\ 15+2) = (10; 7; 17)$.
Nhân số với vectơ trước, rồi cộng các thành phần tương ứng.
2
Trung điểm & Trọng tâm
▼
Toạ độ trung điểm
Trung điểm $M$ của đoạn $AB$ với $A(x_A;y_A;z_A)$, $B(x_B;y_B;z_B)$:
$M\left(\dfrac{x_A + x_B}{2};\ \dfrac{y_A + y_B}{2};\ \dfrac{z_A + z_B}{2}\right)$
Toạ độ trọng tâm tam giác
Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$:
$G\left(\dfrac{x_A + x_B + x_C}{3};\ \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3};\ \dfrac{z_A + z_B + z_C}{3}\right)$
⚠ Phân biệt
Trung điểm chia mẫu cho 2 (lấy trung bình của 2 điểm). Trọng tâm chia mẫu cho 3 (lấy trung bình của 3 đỉnh). Rất dễ nhầm nếu không để ý.
💡 Ví dụ 2 – Trung điểm & trọng tâm
Cho $A(1;2;3)$, $B(3;2;1)$, $C(2;-1;5)$. Tìm trung điểm $M$ của $AB$ và trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.
→$M\left(\dfrac{1+3}{2};\ \dfrac{2+2}{2};\ \dfrac{3+1}{2}\right) = M(2; 2; 2)$.
→$G\left(\dfrac{1+3+2}{3};\ \dfrac{2+2-1}{3};\ \dfrac{3+1+5}{3}\right) = G(2; 1; 3)$.
3
Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
▼
Công thức tích vô hướng
Cho $\vec{a} = (x; y; z)$ và $\vec{b} = (x'; y'; z')$. Tích vô hướng:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = xx' + yy' + zz'$
Nhân từng cặp toạ độ tương ứng rồi cộng lại. Kết quả là một số thực (không phải vectơ).
📐 Ba hệ quả quan trọng
(1) Vuông góc: $\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow xx' + yy' + zz' = 0$.
(2) Độ dài vectơ: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
(3) Góc giữa hai vectơ:
$\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \dfrac{xx' + yy' + zz'}{\sqrt{x^2+y^2+z^2} \cdot \sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}}$
(2) Độ dài vectơ: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
(3) Góc giữa hai vectơ:
$\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \dfrac{xx' + yy' + zz'}{\sqrt{x^2+y^2+z^2} \cdot \sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}}$
Độ dài đoạn thẳng
Cho $A(x_A;y_A;z_A)$, $B(x_B;y_B;z_B)$. Độ dài $AB$ là độ dài vectơ $\overrightarrow{AB}$:
$AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}$
Đặc biệt, $OA = \sqrt{x_A^2 + y_A^2 + z_A^2}$.
💡 Ví dụ 3 – Tích vô hướng & độ dài
Cho $\vec{a} = (1; 4; 2)$, $\vec{b} = (-4; 1; 0)$. Tính $\vec{a} \cdot \vec{b}$ (có vuông góc không?) và $|\vec{a}|$.
a)$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot (-4) + 4 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = -4 + 4 + 0 = 0$.
→Vì $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ nên $\vec{a} \perp \vec{b}$.
b)$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21}$.
💡 Ví dụ 4 – Gắn toạ độ vào hình chóp
Hình chóp $S.ABCD$ đáy chữ nhật, $SA \perp (ABCD)$, $SA = 2$, $AB = 3$, $AD = 4$. Gắn $O \equiv A$, $Ox \equiv AB$, $Oy \equiv AD$, $Oz \equiv AS$. Tính $BD$, $SC$ và góc $(\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{SC})$.
Hình 1: Hình chóp $S.ABCD$ với hệ trục $Oxyz$ gắn tại $A$
B1.Toạ độ: $A(0;0;0)$, $B(3;0;0)$, $D(0;4;0)$, $S(0;0;2)$, $C(3;4;0)$.
B2.$\overrightarrow{BD} = (-3; 4; 0) \Rightarrow BD = \sqrt{9+16+0} = 5$.
B3.$\overrightarrow{SC} = (3; 4; -2) \Rightarrow SC = \sqrt{9+16+4} = \sqrt{29}$.
B4.$\cos(\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{SC}) = \dfrac{(-3)(3) + 4 \cdot 4 + 0 \cdot (-2)}{5 \cdot \sqrt{29}} = \dfrac{7}{5\sqrt{29}}$.
$BD = 5$; $SC = \sqrt{29}$; $(\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{SC}) \approx 74{,}9°$.
4
Vận dụng — Cực trị của biểu thức bằng toạ độ
▼
Dạng quen thuộc: cho vài điểm cố định và một điểm $M$ di động trên một mặt phẳng (hoặc trục), tìm $M$ để một biểu thức (tổng bình phương khoảng cách, tích vô hướng…) đạt GTNN/GTLN. Ý tưởng: đưa mọi đại lượng về toạ độ (Card 3), rồi tối ưu bằng đại số.
① Tham số hoá điểm $M$ theo ràng buộc
• $M \in (Oxy)$ ⟹ cao độ $= 0$: $M(x;\ y;\ 0)$.
• $M \in (Oyz)$ ⟹ $M(0;\ y;\ z)$; $M \in (Oxz)$ ⟹ $M(x;\ 0;\ z)$.
• $M \in Ox$ ⟹ $M(x;\ 0;\ 0)$ (tương tự với $Oy$, $Oz$).
→ Số ẩn còn lại chính là số "bậc tự do" của $M$.
• $M \in (Oyz)$ ⟹ $M(0;\ y;\ z)$; $M \in (Oxz)$ ⟹ $M(x;\ 0;\ z)$.
• $M \in Ox$ ⟹ $M(x;\ 0;\ 0)$ (tương tự với $Oy$, $Oz$).
→ Số ẩn còn lại chính là số "bậc tự do" của $M$.
② Công cụ từ Bài 8 để biểu diễn biểu thức
Với $M(x;y;z)$ và điểm $A(x_A;y_A;z_A)$:
$MA^2 = (x-x_A)^2 + (y-y_A)^2 + (z-z_A)^2$
$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (x_A-x)(x_B-x) + (y_A-y)(y_B-y) + (z_A-z)(z_B-z)$
$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (x_A-x)(x_B-x) + (y_A-y)(y_B-y) + (z_A-z)(z_B-z)$
Thay vào biểu thức $P$, khai triển và gộp lại theo $x, y, z$.
③ Công cụ đại số — GTNN của tam thức bậc hai
Với $a > 0$, hoàn chỉnh bình phương:
$ax^2 + bx + c = a\Big(x + \dfrac{b}{2a}\Big)^2 + \Big(c - \dfrac{b^2}{4a}\Big) \;\geq\; c - \dfrac{b^2}{4a}$
Vì $a(x-x_0)^2 \geq 0$, biểu thức đạt GTNN tại $x = -\dfrac{b}{2a}$. (Nếu $a < 0$ thì có GTLN.)
🔧 Quy trình 4 bước
B1. Tham số hoá $M$ theo ràng buộc (vd trên $(Oxy)$: $M(x;y;0)$).
B2. Biểu diễn $P$ theo $x, y$ bằng công thức toạ độ ở mục ②.
B3. Nhóm thành tổng các tam thức tách biến: $P = a(x-x_0)^2 + b(y-y_0)^2 + (\text{hằng})$.
B4. Mỗi bình phương $\geq 0$ ⟹ đọc GTNN và toạ độ $M$ (dấu "=").
B2. Biểu diễn $P$ theo $x, y$ bằng công thức toạ độ ở mục ②.
B3. Nhóm thành tổng các tam thức tách biến: $P = a(x-x_0)^2 + b(y-y_0)^2 + (\text{hằng})$.
B4. Mỗi bình phương $\geq 0$ ⟹ đọc GTNN và toạ độ $M$ (dấu "=").
⚠ Lưu ý quan trọng
• Cách "tách theo từng biến" chỉ dùng được khi biểu thức không có số hạng chéo $xy$ — điều này luôn đúng với tổng các $MA^2$ và tích vô hướng dạng này.
• Hệ số bình phương $a > 0$ ⟹ chỉ có GTNN (không có GTLN trên miền vô hạn), và ngược lại.
• Hệ số bình phương $a > 0$ ⟹ chỉ có GTNN (không có GTLN trên miền vô hạn), và ngược lại.
💡 Ví dụ 5 – GTNN của tổng bình phương khoảng cách
Cho $A(0;0;3)$, $B(4;0;1)$. Điểm $M$ di động trên $(Oxy)$. Tìm $M$ để $P = MA^2 + MB^2$ nhỏ nhất.
B1.$M \in (Oxy)$ nên $M(x; y; 0)$.
B2.$MA^2 = x^2 + y^2 + 9$; $MB^2 = (x-4)^2 + y^2 + 1$.
→$P = x^2 + (x-4)^2 + 2y^2 + 10 = 2x^2 - 8x + 2y^2 + 26$.
B3.Tách: $2x^2 - 8x = 2(x-2)^2 - 8$; $2y^2 \geq 0$.
→$P = 2(x-2)^2 + 2y^2 + 18 \geq 18$.
B4.Dấu "=" khi $x = 2,\ y = 0$.
Vậy $M(2; 0; 0)$ và $P_{\min} = 18$.
🎯 Mở rộng & mẹo nhanh
• Biểu thức chứa tích vô hướng (vd $P = \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} + 2MD^2$): khai triển $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}$ bằng $xx'+yy'+zz'$, cộng với các $MD^2$ rồi tách tam thức như trên — phương pháp không đổi.
• Mẹo riêng cho $MA^2 + MB^2$: dùng hằng đẳng thức $MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + \dfrac{AB^2}{2}$ ($I$ là trung điểm $AB$). $P$ nhỏ nhất khi $MI$ nhỏ nhất, tức $M$ là hình chiếu của $I$ trên mặt phẳng đang xét.
• Mẹo riêng cho $MA^2 + MB^2$: dùng hằng đẳng thức $MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + \dfrac{AB^2}{2}$ ($I$ là trung điểm $AB$). $P$ nhỏ nhất khi $MI$ nhỏ nhất, tức $M$ là hình chiếu của $I$ trên mặt phẳng đang xét.
5
Tổng kết
▼
📋 Bảng công thức trọng tâm
| Đối tượng | Công thức |
|---|---|
| Cộng vectơ | $(x+x';\ y+y';\ z+z')$ |
| Trừ vectơ | $(x-x';\ y-y';\ z-z')$ |
| Nhân số $k$ | $(kx;\ ky;\ kz)$ |
| Cùng phương | $\vec{a} = k\vec{b}$ (từng thành phần) |
| Trung điểm $AB$ | trung bình toạ độ, chia $2$ |
| Trọng tâm $\triangle ABC$ | trung bình toạ độ, chia $3$ |
| Tích vô hướng | $\vec{a}\cdot\vec{b} = xx'+yy'+zz'$ |
| Vuông góc | $xx'+yy'+zz' = 0$ |
| Độ dài vectơ | $|\vec{a}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ |
| Độ dài đoạn $AB$ | $\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$ |
| Góc hai vectơ | $\cos = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
⚠ Sai lầm thường gặp
• Nhầm trung điểm (chia 2) với trọng tâm (chia 3).
• Khi tìm $D$ để $ABCD$ là hình bình hành, dùng sai cặp cạnh: phải là $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ (không phải $\overrightarrow{CD}$). Luôn đọc kỹ thứ tự đỉnh.
• Viết tỉ số cùng phương khi có toạ độ bằng $0$ (chia cho $0$) — phải dùng dạng ba phương trình.
• Quên rằng góc trong tam giác có thể là góc tù (cos âm), khác với góc giữa hai đường thẳng luôn $\leq 90°$.
• Trong bài máy bay/tàu, nhầm tỉ lệ thời gian: vế nào gấp $k$ lần thì nhân $k$, đừng chia.
• Khi tìm $D$ để $ABCD$ là hình bình hành, dùng sai cặp cạnh: phải là $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ (không phải $\overrightarrow{CD}$). Luôn đọc kỹ thứ tự đỉnh.
• Viết tỉ số cùng phương khi có toạ độ bằng $0$ (chia cho $0$) — phải dùng dạng ba phương trình.
• Quên rằng góc trong tam giác có thể là góc tù (cos âm), khác với góc giữa hai đường thẳng luôn $\leq 90°$.
• Trong bài máy bay/tàu, nhầm tỉ lệ thời gian: vế nào gấp $k$ lần thì nhân $k$, đừng chia.
1
—
Điểm: 0/25
🎯
Luyện tập Biểu thức toạ độ phép toán vectơ!
25 câu · 6 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh