Lớp 12 · Toán
Bài 12
Tích Phân
Khái niệm · Ý nghĩa hình học · Tính chất · Các dạng toán cơ bản
1
Khái niệm tích phân & ý nghĩa hình học
▼
Diện tích hình thang cong
Cho hàm số $f(x)$ liên tục và không âm trên đoạn $[a;b]$. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng đứng $x=a$, $x=b$ được gọi là một hình thang cong. Diện tích $S$ của nó tính bởi:
$S = F(b) - F(a)$
trong đó $F(x)$ là một nguyên hàm bất kỳ của $f(x)$ trên $[a;b]$. Đây chính là cầu nối giữa bài toán diện tích (hình học) và phép nguyên hàm (giải tích).
Hình thang cong giới hạn bởi $y=f(x)$, trục hoành và hai đường $x=a$, $x=b$
💡 Ví dụ mở đầu
Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi $y = x^2 + 1$, trục hoành và hai đường $x = 0$, $x = 2$.
→Một nguyên hàm của $f(x)=x^2+1$ là $F(x)=\dfrac{x^3}{3}+x$.
→$S = F(2)-F(0) = \left(\dfrac{8}{3}+2\right) - 0 = \dfrac{14}{3}$.
Định nghĩa tích phân
Cho $f(x)$ liên tục trên $[a;b]$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Hiệu $F(b)-F(a)$ được gọi là tích phân từ $a$ đến $b$ của $f(x)$ (công thức Newton – Leibniz):
$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(x)\Big|_a^b = F(b) - F(a)$
$a$ là cận dưới, $b$ là cận trên; kết quả là một số thực, không có hằng số $C$. Tích phân không phụ thuộc nguyên hàm được chọn (vì $C$ triệt tiêu) và không phụ thuộc tên biến: $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(t)\,dt$.
📌 Hai quy ước về cận
$\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx = 0$ (cận trên bằng cận dưới);
$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx$ (đổi chỗ hai cận thì đổi dấu).
$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx$ (đổi chỗ hai cận thì đổi dấu).
💡 Ví dụ 1 – Tính theo định nghĩa
Tính $\displaystyle\int_0^2 x^3\,dx$.
→Nguyên hàm của $x^3$ là $\dfrac{x^4}{4}$.
→$\displaystyle\int_0^2 x^3\,dx = \dfrac{x^4}{4}\Big|_0^2 = \dfrac{2^4}{4} - 0 = 4$.
Ý nghĩa hình học
Nếu $f(x)$ liên tục và không âm trên $[a;b]$ thì tích phân chính là diện tích hình thang cong:
$S = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \quad (f(x) \geq 0)$
Nhờ đó, một số tích phân có thể tính bằng công thức diện tích hình học quen thuộc (hình thang, tam giác, nửa hình tròn…) mà không cần tìm nguyên hàm.
💡 Ví dụ 2 – Dùng ý nghĩa hình học
a) $\displaystyle\int_0^2 (x+2)\,dx$; b) $\displaystyle\int_{-2}^{2} \sqrt{4-x^2}\,dx$.
a)$y=x+2$ là đường thẳng → hình thang vuông có đáy nhỏ $=2$ (tại $x=0$), đáy lớn $=4$ (tại $x=2$), cao $=2$.
→$\displaystyle\int_0^2 (x+2)\,dx = \dfrac{(2+4)\cdot 2}{2} = 6$.
b)$y=\sqrt{4-x^2}$ là nửa trên đường tròn tâm $O$, bán kính $2$.
→$\displaystyle\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^2}\,dx = \dfrac{1}{2}\pi\cdot 2^2 = 2\pi$.
Lưu ý: ý nghĩa "tích phân = diện tích" chỉ đúng khi $f(x)\geq 0$ trên cả đoạn lấy tích phân.
2
Tính chất của tích phân
▼
Ba tính chất cơ bản
$\displaystyle\int_a^b k\,f(x)\,dx = k\int_a^b f(x)\,dx$
$\displaystyle\int_a^b [f(x) \pm g(x)]\,dx = \int_a^b f(x)\,dx \pm \int_a^b g(x)\,dx$
$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$
$\displaystyle\int_a^b [f(x) \pm g(x)]\,dx = \int_a^b f(x)\,dx \pm \int_a^b g(x)\,dx$
$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$
Tính chất 1 (đưa hằng số ra ngoài) và 2 (tách tổng – hiệu) giống nguyên hàm. Tính chất 3 (tách cận tại điểm $c$ giữa $a$ và $b$) là đặc trưng riêng của tích phân, rất hữu ích khi gặp hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối hoặc hàm cho theo từng khoảng.
💡 Ví dụ 3 – Dùng giả thiết cho sẵn
Cho $\displaystyle\int_0^3 f(x)\,dx = 5$ và $\displaystyle\int_0^3 g(x)\,dx = 2$. Tính $\displaystyle\int_0^3 [2f(x) - 3g(x)]\,dx$.
→$\displaystyle\int_0^3 [2f - 3g]\,dx = 2\int_0^3 f\,dx - 3\int_0^3 g\,dx$.
→$= 2\cdot 5 - 3\cdot 2 = 10 - 6 = 4$.
💡 Ví dụ 4 – Tách cận khi có dấu trị tuyệt đối
Tính $\displaystyle\int_0^4 |x - 3|\,dx$.
→Phá dấu: $|x-3| = 3-x$ khi $x<3$; $|x-3| = x-3$ khi $x\geq 3$. Biểu thức đổi dấu tại $x=3$ nên tách cận tại đó.
→$\displaystyle\int_0^3 (3-x)\,dx = \left(3x - \dfrac{x^2}{2}\right)\Big|_0^3 = 9 - \dfrac{9}{2} = \dfrac{9}{2}$.
→$\displaystyle\int_3^4 (x-3)\,dx = \left(\dfrac{x^2}{2} - 3x\right)\Big|_3^4 = (8-12) - \left(\dfrac{9}{2}-9\right) = \dfrac{1}{2}$.
→Vậy $\displaystyle\int_0^4 |x-3|\,dx = \dfrac{9}{2} + \dfrac{1}{2} = 5$.
Quy tắc: gặp $|f(x)|$ phải tìm nghiệm để biết nơi đổi dấu, rồi tách cận — không được tính thẳng.
3
Tích phân đa thức, lũy thừa & hàm mũ
▼
Tìm một nguyên hàm rồi thay cận theo Newton – Leibniz. Bảng dùng nhiều nhất:
| $f(x)$ | Một nguyên hàm $F(x)$ |
|---|---|
| $x^n\ (n \neq -1)$ | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $e^{ax+b}\ (a\neq 0)$ | $\dfrac{1}{a}e^{ax+b}$ |
$a^x\ (0| $\dfrac{a^x}{\ln a}$ | |
📌 Công thức lũy thừa & mũ
$\displaystyle\int_a^b x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}\Big|_a^b = \dfrac{b^{n+1}-a^{n+1}}{n+1}\ (n\neq -1)$;
$\displaystyle\int_a^b e^{kx}\,dx = \dfrac{1}{k}e^{kx}\Big|_a^b = \dfrac{e^{kb}-e^{ka}}{k}$ — đừng quên hệ số $\dfrac{1}{k}$.
$\displaystyle\int_a^b e^{kx}\,dx = \dfrac{1}{k}e^{kx}\Big|_a^b = \dfrac{e^{kb}-e^{ka}}{k}$ — đừng quên hệ số $\dfrac{1}{k}$.
💡 Ví dụ 5 – Đa thức
Tính $\displaystyle\int_0^2 (2x - 1)\,dx$.
→Nguyên hàm: $x^2 - x$.
→$\displaystyle\int_0^2 (2x-1)\,dx = (x^2 - x)\Big|_0^2 = (4-2) - 0 = 2$.
💡 Ví dụ 6 – Hàm mũ
a) $\displaystyle\int_0^1 e^x\,dx$; b) $\displaystyle\int_0^1 e^{3x}\,dx$.
a)$\displaystyle\int_0^1 e^x\,dx = e^x\Big|_0^1 = e - 1$.
b)$\displaystyle\int_0^1 e^{3x}\,dx = \dfrac{1}{3}e^{3x}\Big|_0^1 = \dfrac{e^3 - 1}{3}$.
Câu b) phải nhân thêm $\dfrac{1}{3}$ vì hệ số của $x$ trong số mũ là $3$.
4
Tích phân hàm lượng giác
▼
Công thức cơ bản
$\displaystyle\int \cos x\,dx = \sin x + C; \quad \int \sin x\,dx = -\cos x + C$
$\displaystyle\int \dfrac{1}{\cos^2 x}\,dx = \tan x + C; \quad \int \dfrac{1}{\sin^2 x}\,dx = -\cot x + C$
$\displaystyle\int \dfrac{1}{\cos^2 x}\,dx = \tan x + C; \quad \int \dfrac{1}{\sin^2 x}\,dx = -\cot x + C$
📌 Khi gặp $\sin^2 x$, $\cos^2 x$ — dùng công thức hạ bậc
$\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}; \qquad \sin^2 x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}$.
Một đồng nhất thức hữu ích khác: $\tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x} - 1$.
Một đồng nhất thức hữu ích khác: $\tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x} - 1$.
💡 Ví dụ 7 – Tích phân cơ bản
Tính $\displaystyle\int_0^{\pi/2} (1 + \sin x)\,dx$.
→Nguyên hàm: $x - \cos x$.
→$\displaystyle\int_0^{\pi/2}(1+\sin x)\,dx = (x - \cos x)\Big|_0^{\pi/2} = \left(\dfrac{\pi}{2} - 0\right) - (0 - 1) = \dfrac{\pi}{2} + 1$.
💡 Ví dụ 8 – Hạ bậc
Tính $\displaystyle\int_0^{\pi/4} \cos^2 x\,dx$.
→Hạ bậc: $\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}$.
→$I = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\pi/4}(1 + \cos 2x)\,dx = \dfrac{1}{2}\left(x + \dfrac{\sin 2x}{2}\right)\Big|_0^{\pi/4}$.
→$= \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{\pi + 2}{8}$.
5
Tích phân hàm hữu tỉ & ứng dụng thực tế
▼
Tích phân hàm hữu tỉ đơn giản
$\displaystyle\int_a^b \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x|\,\Big|_a^b; \qquad \int \dfrac{1}{px+q}\,dx = \dfrac{1}{p}\ln|px+q| + C$
Lưu ý đoạn lấy tích phân không được chứa điểm làm mẫu bằng 0 (hàm phải liên tục). Với phân thức phức tạp hơn có thể tách thành tổng các phân thức đơn giản.
💡 Ví dụ 9 – Hữu tỉ
Tính $\displaystyle\int_0^2 \dfrac{2}{2x + 1}\,dx$.
→Vì $d(2x+1) = 2\,dx$ nên $\displaystyle\int_0^2 \dfrac{2}{2x+1}\,dx = \ln|2x+1|\,\Big|_0^2$.
→$= \ln 5 - \ln 1 = \ln 5$.
📌 Ứng dụng thực tế của tích phân
• Quãng đường – chuyển động: nếu vận tốc là $v(t)$ thì độ dịch chuyển từ $t_1$ đến $t_2$ là $\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$, còn tổng quãng đường đi được là $\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} |v(t)|\,dt$.
• Tốc độ trung bình: $v_{tb} = \dfrac{1}{t_2 - t_1}\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$.
• Chi phí / lợi nhuận biên: nếu $f'(x)$ là tốc độ thay đổi thì lượng thay đổi từ $x_1$ đến $x_2$ là $f(x_2) - f(x_1) = \displaystyle\int_{x_1}^{x_2} f'(x)\,dx$.
• Tốc độ trung bình: $v_{tb} = \dfrac{1}{t_2 - t_1}\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$.
• Chi phí / lợi nhuận biên: nếu $f'(x)$ là tốc độ thay đổi thì lượng thay đổi từ $x_1$ đến $x_2$ là $f(x_2) - f(x_1) = \displaystyle\int_{x_1}^{x_2} f'(x)\,dx$.
💡 Ví dụ 10 – Chuyển động
Một ô tô đang chạy với tốc độ $20$ m/s thì hãm phanh, tốc độ là $v(t) = 20 - 5t$ (m/s). Tính quãng đường từ lúc hãm đến khi dừng.
→Xe dừng khi $v(t) = 0 \Leftrightarrow t = 4$ (giây). Trên $[0;4]$ thì $v(t)\geq 0$.
→$s = \displaystyle\int_0^4 (20 - 5t)\,dt = \left(20t - \dfrac{5t^2}{2}\right)\Big|_0^4 = 80 - 40 = 40$ (m).
6
Tổng kết & sai lầm thường gặp
▼
⚠ Sai lầm thường gặp
• Lấy $F(a) - F(b)$ thay vì $F(b) - F(a)$ (sai dấu).
• Viết thêm $+C$ vào kết quả tích phân xác định (kết quả là một số, không có $C$).
• Gặp $|f(x)|$ hay $\min/\max$ mà tính thẳng, quên tách cận tại điểm đổi dấu.
• Quên hệ số $\dfrac{1}{k}$ khi tính $\displaystyle\int e^{kx}\,dx$ hoặc $\displaystyle\int \dfrac{1}{px+q}\,dx$.
• Dùng "tích phân $=$ diện tích" khi $f(x)$ nhận giá trị âm trên đoạn đó.
• Lấy tích phân $\dfrac{1}{x}$ trên đoạn chứa $x = 0$ (hàm không liên tục).
• Nhầm $\displaystyle\int_a^b k\,f(x)\,dx = k + \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ (phải là NHÂN $k$).
• Viết thêm $+C$ vào kết quả tích phân xác định (kết quả là một số, không có $C$).
• Gặp $|f(x)|$ hay $\min/\max$ mà tính thẳng, quên tách cận tại điểm đổi dấu.
• Quên hệ số $\dfrac{1}{k}$ khi tính $\displaystyle\int e^{kx}\,dx$ hoặc $\displaystyle\int \dfrac{1}{px+q}\,dx$.
• Dùng "tích phân $=$ diện tích" khi $f(x)$ nhận giá trị âm trên đoạn đó.
• Lấy tích phân $\dfrac{1}{x}$ trên đoạn chứa $x = 0$ (hàm không liên tục).
• Nhầm $\displaystyle\int_a^b k\,f(x)\,dx = k + \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ (phải là NHÂN $k$).
1
—
Điểm: 0/25
🎯
Luyện tập Tích phân!
25 câu · 6 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh