Lớp 12 · Toán
Bài 17
Phương Trình Mặt Cầu
PT chính tắc & khai triển · Tâm – bán kính · Tiếp xúc · Vị trí tương đối
1
Khái niệm & phương trình chính tắc
▼
Khái niệm mặt cầu
Mặt cầu tâm $I$ bán kính $R$ ($R > 0$) là tập hợp tất cả các điểm cách $I$ một khoảng bằng $R$. Với điểm $M$ bất kỳ:
• $M$ trên mặt cầu $\Leftrightarrow IM = R$.
• $M$ trong mặt cầu $\Leftrightarrow IM < R$.
• $M$ ngoài mặt cầu $\Leftrightarrow IM > R$.
Đường kính có trung điểm là tâm, độ dài bằng $2R$.
• $M$ trên mặt cầu $\Leftrightarrow IM = R$.
• $M$ trong mặt cầu $\Leftrightarrow IM < R$.
• $M$ ngoài mặt cầu $\Leftrightarrow IM > R$.
Đường kính có trung điểm là tâm, độ dài bằng $2R$.
Phương trình chính tắc
Mặt cầu $(S)$ tâm $I(a; b; c)$ bán kính $R$ có phương trình:
$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$
Cách nhớ nhanh
Tọa độ tâm là các số trong ngoặc đổi dấu ($a, b, c$); vế phải là bình phương bán kính $R^2$. Điểm $M$ nằm trong nếu vế trái $< R^2$, nằm ngoài nếu $> R^2$.
💡 Ví dụ 1
Cho $(S): (x-2)^2 + (y+1)^2 + z^2 = 4$. a) Tìm tâm & bán kính. b) Gốc $O$ nằm trong/ngoài/trên $(S)$?
a)$(x-2)^2 + [y-(-1)]^2 + (z-0)^2 = 2^2$ → tâm $I(2; -1; 0)$, $R = 2$.
b)$OI^2 = (0-2)^2 + (0+1)^2 + 0 = 5 > 4 = R^2$ → $O$ nằm ngoài $(S)$.
💡 Ví dụ 2 – Viết PT mặt cầu
a) Tâm $I(2;-1;3)$, $R = \dfrac{5}{2}$. b) Đường kính $AB$ với $A(0;2;-1)$, $B(4;0;3)$.
a)$(x-2)^2 + (y+1)^2 + (z-3)^2 = \dfrac{25}{4}$.
b)Tâm $J$ là trung điểm $AB$: $J(2; 1; 1)$; $R = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{1}{2}\sqrt{16+4+16} = 3$.
Vậy $(S): (x-2)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = 9$.
2
Phương trình dạng khai triển
▼
Dạng khai triển
Khai triển PT chính tắc, đặt $d = a^2 + b^2 + c^2 - R^2$:
$x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$
Đây là PT mặt cầu khi và chỉ khi $a^2 + b^2 + c^2 - d > 0$. Khi đó tâm $I(a; b; c)$, bán kính $R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}$.
⚠ Ba điều kiện nhận biết PT mặt cầu
① Hệ số của $x^2, y^2, z^2$ phải bằng nhau (thường bằng $1$).
② Không có các tích chéo $xy, yz, xz$.
③ $a^2 + b^2 + c^2 - d > 0$ (để $R$ là số thực dương).
② Không có các tích chéo $xy, yz, xz$.
③ $a^2 + b^2 + c^2 - d > 0$ (để $R$ là số thực dương).
💡 Ví dụ 3 – Bình phương hóa
CMR $x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 6y - 2z - 11 = 0$ là mặt cầu. Tìm tâm & bán kính.
→$x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4$; $y^2 + 6y = (y+3)^2 - 9$; $z^2 - 2z = (z-1)^2 - 1$.
→$(x-2)^2 + (y+3)^2 + (z-1)^2 = 4 + 9 + 1 + 11 = 25$.
Vậy tâm $I(2; -3; 1)$, $R = 5$.
💡 Ví dụ 4 – Nhận biết
a) $x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z+20=0$ b) $x^2+y^2+z^2+2x-4y+6z-2=0$ c) $x^2+y^2+z^2+3xy-2x+y+5=0$
a)$a=1, b=-2, c=3, d=20$: $a^2+b^2+c^2-d = 1+4+9-20 = -6 < 0$ → không là mặt cầu.
b)$a=-1, b=2, c=-3, d=-2$: $1+4+9+2 = 16 > 0$ → mặt cầu tâm $I(-1;2;-3)$, $R = 4$.
c)Có tích chéo $3xy$ → không là mặt cầu (vi phạm điều kiện ②).
3
Xác định tâm và bán kính
▼
🔧 Phương pháp (Dạng 1)
① PT chính tắc $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$: tâm $I(a;b;c)$, bán kính $R$.
② PT khai triển: kiểm tra $a^2+b^2+c^2-d > 0$, rồi tâm $I(a;b;c)$, $R = \sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$.
Mẹo: $2a$ là hệ số của $x$ đổi dấu rồi chia $2$ (tương tự $b, c$).
② PT khai triển: kiểm tra $a^2+b^2+c^2-d > 0$, rồi tâm $I(a;b;c)$, $R = \sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$.
Mẹo: $2a$ là hệ số của $x$ đổi dấu rồi chia $2$ (tương tự $b, c$).
💡 Ví dụ minh hoạ
a) $(x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-4)^2 = 20$.
b) $x^2 + y^2 + z^2 - 8x + 2y + 1 = 0$.
b) $x^2 + y^2 + z^2 - 8x + 2y + 1 = 0$.
a)Tâm $I(1; -2; 4)$, $R = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
b)$x^2-8x = (x-4)^2-16$, $y^2+2y = (y+1)^2-1$ → $(x-4)^2 + (y+1)^2 + z^2 = 16$.
Tâm $I(4; -1; 0)$, $R = 4$.
4
Viết phương trình mặt cầu
▼
🔧 Các bài toán thường gặp (Dạng 2)
① Biết tâm $I(a;b;c)$ và $R$: viết trực tiếp $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 = R^2$.
② Biết tâm $I$ và đi qua điểm $A$: $R = IA$, rồi viết như ①.
③ Biết đường kính $AB$: tâm $I$ là trung điểm $AB$, $R = \dfrac{AB}{2}$.
④ PT có tham số $m$: giải bất phương trình $a^2+b^2+c^2-d > 0$ theo $m$.
② Biết tâm $I$ và đi qua điểm $A$: $R = IA$, rồi viết như ①.
③ Biết đường kính $AB$: tâm $I$ là trung điểm $AB$, $R = \dfrac{AB}{2}$.
④ PT có tham số $m$: giải bất phương trình $a^2+b^2+c^2-d > 0$ theo $m$.
💡 Ví dụ 1 – Tìm $m$ để là mặt cầu
Tìm $m$ để $x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y - 4z + m = 0$ là PT mặt cầu.
→$a = 1, b = 1, c = 2, d = m$.
→$a^2+b^2+c^2-d > 0 \Leftrightarrow 1+1+4-m > 0 \Leftrightarrow m < 6$.
Vậy $m < 6$.
💡 Ví dụ 2
Viết PT mặt cầu tâm $I(2;1;-2)$, $R = 2$.
$(x-2)^2 + (y-1)^2 + (z+2)^2 = 4$.
5
Mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng / mặt phẳng
▼
🔧 Phương pháp (Dạng 3)
① Tâm $I \in (P)$, đi qua 3 điểm $A, B, C$: thay $I$ vào PT $(P)$ (1 phương trình); $IA^2 = IB^2$ và $IA^2 = IC^2$ (2 phương trình). Giải hệ 3 ẩn, $R = IA$.
② Tâm $I \in d$, đi qua 2 điểm $A, B$: viết $I$ theo tham số $t$; dùng $IA^2 = IB^2$ tìm $t$, suy ra $I$, $R = IA$.
⚠ Lưu ý: Nếu là trục/mặt phẳng tọa độ thì dùng dạng đặc biệt: $I(x;0;0)$ thuộc $Ox$; $I(a;b;0)$ thuộc $(Oxy)$…
② Tâm $I \in d$, đi qua 2 điểm $A, B$: viết $I$ theo tham số $t$; dùng $IA^2 = IB^2$ tìm $t$, suy ra $I$, $R = IA$.
⚠ Lưu ý: Nếu là trục/mặt phẳng tọa độ thì dùng dạng đặc biệt: $I(x;0;0)$ thuộc $Ox$; $I(a;b;0)$ thuộc $(Oxy)$…
💡 Ví dụ 1 – Tâm trên trục $Ox$
$(S)$ qua $A(1;2;3)$, $B(2;0;-2)$, tâm trên $Ox$. Viết PT $(S)$.
B1.$I(x; 0; 0)$. $IA^2 = (x-1)^2 + 13$; $IB^2 = (x-2)^2 + 4$.
B2.$IA^2 = IB^2$: $(x-1)^2+13 = (x-2)^2+4 \Leftrightarrow 2x = -6 \Leftrightarrow x = -3$.
B3.$I(-3;0;0)$, $R^2 = (-4)^2 + 13 = 29$. Vậy $(x+3)^2 + y^2 + z^2 = 29$.
💡 Ví dụ 2 – Tâm trên đường thẳng
$(S)$ qua $A(3;-1;2)$, $B(1;1;-2)$, tâm $I \in D: \dfrac{x}{2} = \dfrac{y-1}{1} = \dfrac{z}{-1}$. Tìm $R$.
B1.$I(2t; 1+t; -t)$. $IA^2 = 6t^2 - 4t + 17$; $IB^2 = 6t^2 - 8t + 5$.
B2.$IA^2 = IB^2 \Leftrightarrow 4t = -12 \Leftrightarrow t = -3$ → $I(-6; -2; 3)$.
B3.$R = IA = \sqrt{81 + 1 + 1} = \sqrt{83}$.
6
Tiếp xúc & cắt đường thẳng / mặt phẳng
▼
Tiếp xúc (Dạng 4)
• Mặt cầu tâm $I$ tiếp xúc mặt phẳng $(P)$: $R = d(I, (P))$.
• Mặt cầu tâm $I$ tiếp xúc đường thẳng $D$: $R = d(I, D)$.
• Với mặt phẳng tọa độ: $R = |c|$ (tiếp xúc $(Oxy)$); $R = |b|$ ($(Oxz)$); $R = |a|$ ($(Oyz)$).
• Tiếp xúc tại điểm $M$: $\vec{IM}$ vuông góc mặt phẳng/đường thẳng, $R = IM$.
• Mặt cầu tâm $I$ tiếp xúc đường thẳng $D$: $R = d(I, D)$.
• Với mặt phẳng tọa độ: $R = |c|$ (tiếp xúc $(Oxy)$); $R = |b|$ ($(Oxz)$); $R = |a|$ ($(Oyz)$).
• Tiếp xúc tại điểm $M$: $\vec{IM}$ vuông góc mặt phẳng/đường thẳng, $R = IM$.
Cắt nhau (Dạng 5)
• Mặt cầu cắt mặt phẳng $(P)$ theo đường tròn bán kính $r$, với $d = d(I, (P))$:
$R^2 = d^2 + r^2$
• Mặt cầu cắt đường thẳng $D$ tại $A, B$ ($H$ là trung điểm $AB$, $d = d(I, D)$):
$R^2 = d^2 + \dfrac{AB^2}{4}$
💡 Ví dụ – Đường tròn giao tuyến
$(S): (x-2)^2 + (y+3)^2 + (z-4)^2 = 25$. Mặt phẳng $(Oxy)$ cắt $(S)$ theo đường tròn bán kính bao nhiêu?
B1.Tâm $I(2; -3; 4)$, $R = 5$. $d = d(I, (Oxy)) = |z_I| = 4$.
B2.$r^2 = R^2 - d^2 = 25 - 16 = 9 \Rightarrow r = 3$.
💡 Ví dụ – Tiếp xúc mặt phẳng tọa độ
Viết PT mặt cầu tâm $I(1;-2;1)$ tiếp xúc $(Oxy)$.
$R = d(I, (Oxy)) = |z_I| = 1$. Vậy $(x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-1)^2 = 1$.
7
Vị trí tương đối liên quan mặt cầu
▼
| Đối tượng | Điều kiện & kết luận |
|---|---|
| Điểm $M$ với $(S)$ | $IM > R$: ngoài; $IM = R$: trên; $IM < R$: trong |
| Mặt phẳng $(P)$ với $(S)$ | $d(I,(P)) > R$: không cắt; $= R$: tiếp xúc; $< R$: cắt theo đường tròn |
| Đường thẳng $d$ với $(S)$ | $d(I,d) > R$: không cắt; $= R$: tiếp xúc; $< R$: cắt tại 2 điểm |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
💡 Ví dụ 1 – Vị trí điểm
$(S): x^2+y^2+z^2-4x-2y+2z-3=0$ và $M(4;2;-2)$. Xét vị trí của $M$.
B1.$(S): (x-2)^2 + (y-1)^2 + (z+1)^2 = 9$ → $I(2;1;-1)$, $R = 3$.
B2.$IM = \sqrt{2^2+1^2+(-1)^2} = \sqrt{6} \approx 2{,}449 < 3 = R$.
Vậy $M$ nằm trong mặt cầu.
💡 Ví dụ 2 – Vị trí mặt phẳng
$(S): x^2+y^2+z^2-2x-2y+2z-1=0$ và $(P): 2x+y-2z+1=0$. Xét vị trí.
B1.$(S): (x-1)^2+(y-1)^2+(z+1)^2 = 4$ → $I(1;1;-1)$, $R = 2$.
B2.$d(I,(P)) = \dfrac{|2+1+2+1|}{\sqrt{9}} = \dfrac{6}{3} = 2 = R$.
Vậy $(P)$ tiếp xúc mặt cầu $(S)$.
🔧 Bài toán thực tế (Dạng 7)
Vùng phủ sóng (radar, điện thoại) → mặt cầu tâm là trạm phát, bán kính là phạm vi phủ sóng. Xét người dùng ở trong/ngoài bằng cách so $IM$ với $R$. Công nghệ GPS, VAR cũng dùng mô hình mặt cầu.
8
Tổng kết
▼
📋 Bảng tổng hợp công thức mặt cầu
| Nội dung | Công thức |
|---|---|
| PT chính tắc | $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 = R^2$, tâm $I(a;b;c)$ |
| PT khai triển | $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ |
| Bán kính từ khai triển | $R = \sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$ (cần $> 0$) |
| Tiếp xúc mặt phẳng | $R = d(I, (P))$ |
| Cắt mặt phẳng (đường tròn) | $R^2 = d^2 + r^2$ |
| Cắt đường thẳng (dây cung) | $R^2 = d^2 + \dfrac{AB^2}{4}$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
📚
Ôn lại đầy đủ Lý thuyết, 7 dạng bài tập, công thức & mẹo giải nhanh Bài 17 Phương trình mặt cầu trên edus.vn
→
1
—
Điểm: 0/26
🎯
Luyện tập Phương trình mặt cầu!
26 câu · 6 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/26
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh