Menu Học Tập

Bài tập Toán 12 Bài 14: Phương trình mặt phẳng (27 bài tập)

Lớp 12 · Toán Bài 14

Phương Trình Mặt Phẳng

Vectơ pháp tuyến · Tích có hướng · PT tổng quát · Vị trí tương đối · Khoảng cách

1
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
▼
Định nghĩa – Vectơ pháp tuyến
Một vectơ $\vec{n} \neq \vec{0}$ được gọi là vectơ pháp tuyến (viết tắt VTPT) của mặt phẳng $(\alpha)$ nếu giá của $\vec{n}$ vuông góc với $(\alpha)$.
Mặt phẳng và vectơ pháp tuyến n
Hình 1: Vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$
Chú ý quan trọng
• Một mặt phẳng được xác định duy nhất khi biết một điểm thuộc mặt phẳng và một VTPT của nó. Đây là "cặp đôi" cốt lõi để viết phương trình mặt phẳng.
• Nếu $\vec{n}$ là VTPT của $(\alpha)$ thì với mọi $k \neq 0$, vectơ $k\vec{n}$ cũng là VTPT. Một mặt phẳng có vô số VTPT, tất cả cùng phương với nhau.
💡 Ví dụ 1 – Nhận biết VTPT trong hình lập phương
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Xét các khẳng định:
a) $\vec{AA'}$ và $2\vec{BB'}$ đều là VTPT của $(ABCD)$.
b) $\vec{BD}$ là một VTPT của $(ACC'A')$.
c) $\vec{A'C'}$ là một VTPT của $(ABCD)$.
Hình lập phương ABCD.A'B'C'D'
Hình 2: Hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$
a)ĐÚNG. Cạnh bên $AA'$, $BB'$ đều vuông góc với mặt đáy nên $\vec{AA'}$ và $2\vec{BB'}$ đều là VTPT của $(ABCD)$. b)ĐÚNG. $BD \perp AC$ (hình vuông) và $BD \perp AA'$ (vì $AA' \perp (ABCD)$). $BD$ vuông góc hai đường cắt nhau trong $(ACC'A')$ nên $BD \perp (ACC'A')$. c)SAI. $A'C'$ nằm trong $(A'B'C'D') \parallel (ABCD)$, không vuông góc với $(ABCD)$ nên $\vec{A'C'}$ không phải VTPT của $(ABCD)$.
2
Tích có hướng & cặp vectơ chỉ phương
▼
Định nghĩa – Tích có hướng
Trong $Oxyz$, cho $\vec{u} = (a; b; c)$ và $\vec{v} = (a'; b'; c')$. Vectơ
$[\vec{u}, \vec{v}] = (bc' - b'c;\ ca' - c'a;\ ab' - a'b)$
vuông góc với cả hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$, gọi là tích có hướng của $\vec{u}$ và $\vec{v}$.
Chú ý & mẹo nhớ
• $[\vec{u}, \vec{v}] = \vec{0}$ khi và chỉ khi $\vec{u}, \vec{v}$ cùng phương.
• Viết gọn bằng định thức cấp hai $\begin{vmatrix} x & y \\ x' & y' \end{vmatrix} = xy' - x'y$:
$[\vec{u}, \vec{v}] = \left(\begin{vmatrix} b & c \\ b' & c' \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} c & a \\ c' & a' \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} a & b \\ a' & b' \end{vmatrix}\right)$
• Mẹo: định thức $=$ "tích chéo xuống" trừ "tích chéo lên".
💡 Ví dụ 2 – Tính tích có hướng
Cho $\vec{u} = (1; -2; 0)$, $\vec{v} = (3; 1; -4)$. Tính $[\vec{u}, \vec{v}]$.
$[\vec{u}, \vec{v}] = \left(\begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 1 & -4 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -4 & 3 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}\right)$ B1.$\begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} = (-2)(-4) - 0\cdot1 = 8$ B2.$\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -4 & 3 \end{vmatrix} = 0\cdot3 - 1\cdot(-4) = 4$ B3.$\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 1\cdot1 - (-2)\cdot3 = 7$ Vậy $[\vec{u}, \vec{v}] = (8; 4; 7)$.
Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng
Hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ là cặp vectơ chỉ phương (cặp VTCP) của mặt phẳng $(P)$ nếu chúng không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với $(P)$.

Tính chất then chốt: Nếu $\vec{u}, \vec{v}$ là cặp VTCP của $(P)$ thì $[\vec{u}, \vec{v}]$ là một VTPT của $(P)$. Đây là cầu nối từ "cặp VTCP" sang "VTPT".
💡 Ví dụ 3 – Từ cặp VTCP sang VTPT
Cho $\vec{u} = (2; -1; 0)$, $\vec{v} = (1; -1; 2)$. Mặt phẳng $(\alpha)$ song song với giá của $\vec{u}, \vec{v}$. Tìm một VTPT của $(\alpha)$.
$\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}] = \left(\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ -1 & 2 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}\right) = (-2; -4; -1)$ Vì $\vec{n} \neq \vec{0}$ nên $\vec{u}, \vec{v}$ không cùng phương — chúng là cặp VTCP của $(\alpha)$. Vậy $\vec{n} = (-2; -4; -1)$ là một VTPT của $(\alpha)$.
3
Phương trình tổng quát của mặt phẳng
▼
Định nghĩa
Trong $Oxyz$, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng:
$Ax + By + Cz + D = 0$
với $A, B, C$ không đồng thời bằng $0$. Đây gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Hệ quả & cách nhận biết nhanh
• Mỗi phương trình $Ax + By + Cz + D = 0$ (với $A, B, C$ không đồng thời bằng $0$) đều xác định một mặt phẳng nhận $\vec{n} = (A; B; C)$ làm VTPT.
• Nhìn vào phương trình: các hệ số của $x, y, z$ chính là tọa độ VTPT.
💡 Ví dụ 4 – Nhận biết phương trình mặt phẳng
PT nào là PT mặt phẳng?   a) $x + 2y - 3z^2 + 1 = 0$   b) $\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{y} + \dfrac{3}{z} + 2 = 0$   c) $y + 1 = 0$
a)KHÔNG — chứa $z^2$ (bậc hai theo $z$). PT mặt phẳng phải bậc nhất theo cả ba biến. b)KHÔNG — có $x, y, z$ ở mẫu số, không phải dạng bậc nhất. c)LÀ PT mặt phẳng: viết được $0\cdot x + 1\cdot y + 0\cdot z + 1 = 0$, có $B = 1 \neq 0$.
💡 Ví dụ 5 – VTPT và điểm thuộc mặt phẳng
Cho $(\alpha): x + 2y - z + 1 = 0$. a) Tìm một VTPT. b) $\vec{m} = (2; 4; -2)$ có là VTPT không? c) Trong $A(1; 3; 2)$, $B(1; 1; 4)$, điểm nào thuộc $(\alpha)$?
a)Hệ số của $x, y, z$ là $1, 2, -1$ nên $\vec{n} = (1; 2; -1)$ là một VTPT. b)$\vec{m} = (2; 4; -2) = 2\vec{n}$ cùng phương $\vec{n}$ nên $\vec{m}$ cũng là VTPT. c)$A$: $1 + 6 - 2 + 1 = 6 \neq 0 \Rightarrow A \notin (\alpha)$.   $B$: $1 + 2 - 4 + 1 = 0 \Rightarrow B \in (\alpha)$. Kiểm tra điểm thuộc mặt phẳng: thay tọa độ vào vế trái, được $0$ thì điểm thuộc mặt phẳng.
4
Lập phương trình mặt phẳng
▼
Có 4 tình huống thường gặp. Cốt lõi: luôn quy về 1 điểm + 1 VTPT.
① Đi qua $M(x_0; y_0; z_0)$ và biết VTPT $\vec{n} = (A; B; C)$
Phương trình:
$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$
Khai triển ra $Ax + By + Cz + D = 0$ với $D = -(Ax_0 + By_0 + Cz_0)$.
💡 Ví dụ 6
Viết PT mặt phẳng qua $M(2; -1; 0)$, VTPT $\vec{n} = (3; -4; 6)$.
$3(x - 2) - 4(y + 1) + 6(z - 0) = 0 \Leftrightarrow 3x - 4y + 6z - 10 = 0$.
② Đi qua một điểm và biết cặp VTCP $\vec{u}, \vec{v}$
Bước 1: Tính VTPT $\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}]$.
Bước 2: Áp dụng công thức ① với điểm đã cho.
💡 Ví dụ 7
Lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có $A(1;2;3)$, $B(4;3;5)$, $C(2;3;2)$, $A'(1;1;1)$. Viết PT mặt phẳng $(A'B'C')$.
B1.$(A'B'C') \parallel (ABC)$ nên dùng cặp VTCP của đáy: $\vec{AB} = (3;1;2)$, $\vec{AC} = (1;1;-1)$. B2.$\vec{n} = [\vec{AB}, \vec{AC}] = (-3; 5; 2)$. B3.Qua $A'(1;1;1)$: $-3(x-1) + 5(y-1) + 2(z-1) = 0 \Leftrightarrow 3x - 5y - 2z + 4 = 0$.
③ Đi qua ba điểm không thẳng hàng $A, B, C$
Bước 1: Tìm cặp VTCP $\vec{AB}, \vec{AC}$.   Bước 2: $\vec{n} = [\vec{AB}, \vec{AC}]$.   Bước 3: Lập PT qua $A$ với VTPT $\vec{n}$.
💡 Ví dụ 8
Cho $A(2;1;-1)$, $B(3;2;1)$, $C(3;1;4)$. Viết PT mặt phẳng $(ABC)$.
B1.$\vec{AB} = (1;1;2)$, $\vec{AC} = (1;0;5)$ (không cùng phương nên $A,B,C$ không thẳng hàng). B2.$\vec{n} = [\vec{AB}, \vec{AC}] = (5; -3; -1)$. B3.Qua $A(2;1;-1)$: $5(x-2) - 3(y-1) - (z+1) = 0 \Leftrightarrow 5x - 3y - z - 8 = 0$.
④ Phương trình theo đoạn chắn
Nếu $(\alpha)$ không qua gốc tọa độ và cắt ba trục $Ox, Oy, Oz$ lần lượt tại $A(a;0;0)$, $B(0;b;0)$, $C(0;0;c)$ (với $a, b, c \neq 0$) thì:
$\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1$
Rất tiện khi đề cho biết giao điểm của mặt phẳng với các trục tọa độ.
🔑 Mẹo nhận dạng để tìm VTPT
• "Nằm trong / song song mặt phẳng" → là vectơ chỉ phương.
• "Vuông góc mặt phẳng" → là vectơ pháp tuyến.
• Qua $M$, vuông góc đường thẳng $d$: lấy VTCP $\vec{u}$ của $d$ làm VTPT.
• Qua $M$, song song mặt phẳng $(\beta)$: lấy VTPT của $(\beta)$ làm VTPT.
• Chứa $d$ và vuông góc $(\beta)$: $\vec{n} = [\vec{u}_d, \vec{n}_\beta]$.
• Qua $M$, vuông góc hai mặt phẳng cắt nhau $(\beta), (\gamma)$: $\vec{n} = [\vec{n}_\beta, \vec{n}_\gamma]$.
5
Hai mặt phẳng vuông góc & song song
▼
Điều kiện hai mặt phẳng vuông góc
Cho $(\alpha): Ax + By + Cz + D = 0$ và $(\beta): A'x + B'y + C'z + D' = 0$ với VTPT $\vec{n} = (A;B;C)$, $\vec{n'} = (A';B';C')$. Khi đó:
$(\alpha) \perp (\beta) \Leftrightarrow \vec{n} \perp \vec{n'} \Leftrightarrow AA' + BB' + CC' = 0$
Chỉ cần tính tích vô hướng hai VTPT — bằng $0$ thì hai mặt phẳng vuông góc.
Chú ý hay dùng
Nếu $(\alpha) \perp (\beta)$ thì VTPT của mặt phẳng này có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng kia. Tính chất này dùng để viết PT mặt phẳng có điều kiện vuông góc.
💡 Ví dụ 9 & Ví dụ 10
VD9: CMR $(\alpha): x - 3y + 2z + 1 = 0$ và $(\beta): 5x + y - z + 2 = 0$ vuông góc.
VD10: Viết PT $(P)$ qua $A(1;2;-2)$, $B(2;4;1)$ và vuông góc $(Q): x + 3y + z - 1 = 0$.
VD9.$\vec{n}\cdot\vec{n'} = 1\cdot5 + (-3)\cdot1 + 2\cdot(-1) = 0 \Rightarrow (\alpha) \perp (\beta)$. VD10.$\vec{AB} = (1;2;3)$ và $\vec{n_Q} = (1;3;1)$ là cặp VTCP của $(P)$. $\vec{n_P} = [\vec{AB}, \vec{n_Q}] = (-7; 2; 1)$. Qua $A$: $-7(x-1) + 2(y-2) + (z+2) = 0 \Leftrightarrow 7x - 2y - z - 5 = 0$.
Điều kiện hai mặt phẳng song song
$(\alpha) \parallel (\beta) \Leftrightarrow \begin{cases} \vec{n'} = k\vec{n} \\ D' \neq kD \end{cases}$ với $k$ nào đó
• Hai mặt phẳng song song thì VTPT của mặt này cũng là VTPT của mặt kia.
• Hai mặt phẳng trùng nhau khi tồn tại $k \neq 0$ sao cho $A'=kA, B'=kB, C'=kC, D'=kD$.
🔧 Quy trình kiểm tra vị trí tương đối
Bước 1: Xét $\vec{n}, \vec{n'}$ có cùng phương không (tìm $k$ với $\vec{n'} = k\vec{n}$). Không cùng phương → hai mặt phẳng cắt nhau.
Bước 2: Nếu cùng phương, kiểm tra $D' = kD$ hay không. Có → trùng nhau; không → song song.
⭐ Dấu hiệu theo tỉ số (khi mẫu khác $0$)
Với $(P): A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ và $(Q): A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$:
• Song song: $\dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{B_1}{B_2} = \dfrac{C_1}{C_2} \neq \dfrac{D_1}{D_2}$.
• Trùng nhau: $\dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{B_1}{B_2} = \dfrac{C_1}{C_2} = \dfrac{D_1}{D_2}$.
• Vuông góc: $A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0$.
⚠ Lưu ý: nếu có hệ số ở mẫu bằng $0$, không dùng tỉ số mà quay về $\vec{n_1} = k\vec{n_2}$.
💡 Ví dụ 11 – Kiểm tra song song
$(\alpha): 3x - y + z + \sqrt{2} = 0$ và $(\beta): 3\sqrt{2}x - \sqrt{2}y + \sqrt{2}z + 1 = 0$. Hai mặt phẳng có song song không?
B1.$\vec{n_\alpha} = (3; -1; 1)$, $\vec{n_\beta} = (3\sqrt{2}; -\sqrt{2}; \sqrt{2}) = \sqrt{2}\,\vec{n_\alpha}$ → cùng phương với $k = \sqrt{2}$. B2.Nếu trùng nhau thì $D_\beta = \sqrt{2}\cdot D_\alpha$, tức $1 = \sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 2$ — sai. Vậy $(\alpha) \parallel (\beta)$ (song song, không trùng nhau).
6
Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
▼
Công thức khoảng cách
Khoảng cách từ điểm $M(x_0; y_0; z_0)$ đến mặt phẳng $(P): Ax + By + Cz + D = 0$:
$d(M, (P)) = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
Cách nhớ
• Tử số: thay tọa độ $M$ vào vế trái phương trình mặt phẳng rồi lấy trị tuyệt đối.
• Mẫu số: căn của tổng bình phương các hệ số của $x, y, z$ — chính là độ dài VTPT.
💡 Ví dụ 12
Tính $d(M, (P))$ với $M(1; 2; -1)$ và $(P): x + 2y - 2z + 5 = 0$.
B1.Tử số: $|1 + 2\cdot2 - 2\cdot(-1) + 5| = |1 + 4 + 2 + 5| = 12$. B2.Mẫu số: $\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3$. Vậy $d(M, (P)) = \dfrac{12}{3} = 4$.
🔧 Ứng dụng – Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Khi $(P) \parallel (Q)$: Bước 1 chọn một điểm bất kỳ thuộc $(P)$ (thường cho $x = 0, y = 0$ rồi tìm $z$). Bước 2 tính khoảng cách từ điểm đó đến $(Q)$ — đó chính là $d((P),(Q))$.
Nếu hai mặt phẳng cùng VTPT: $(P): Ax+By+Cz+D = 0$, $(Q): Ax+By+Cz+D' = 0$ thì
$d((P),(Q)) = \dfrac{|D - D'|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
🔧 Viết PT mặt phẳng liên quan khoảng cách
• $(P) \parallel (Q)$ và cách điểm $M$ một khoảng $k$: viết $(P): Ax+By+Cz+D' = 0$ (giữ nguyên $A,B,C$), dùng $d(M,(P)) = k$ tìm $D'$.
• ⚠ Lưu ý: khi giải $|X| = k$ phải xét cả $X = k$ và $X = -k$ — thường cho hai mặt phẳng thỏa mãn.
6+
Vận dụng — Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
▼

Nhiều bài thực tế (tia sáng/tia nước chạm màn, đường đi cắt một mặt phẳng…) quy về: cho một đường thẳng và một mặt phẳng, tìm giao điểm của chúng. Phần đường thẳng dưới đây là bước đệm sang bài Phương trình đường thẳng, dùng kèm công thức mặt phẳng đã học.

Phương trình tham số của đường thẳng
Đường thẳng $d$ đi qua $M(x_0; y_0; z_0)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ gồm các điểm:
$\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$
Mỗi giá trị $t$ cho một điểm trên $d$; viết gọn điểm chạy trên $d$ là $\big(x_0 + at;\ y_0 + bt;\ z_0 + ct\big)$.
Tìm giao điểm $N = d \cap (\alpha)$ — kĩ thuật "thế tham số"
Giao điểm $N$ vừa thuộc $d$ vừa thuộc $(\alpha)$. Thay toạ độ điểm chạy của $d$ vào PT mặt phẳng $(\alpha): Ax + By + Cz + D = 0$ sẽ được một phương trình bậc nhất theo $t$; giải ra $t$ rồi thay lại để có $N$.
🔧 Quy trình 3 bước
B1. Viết điểm chạy của $d$: $\big(x_0 + at;\ y_0 + bt;\ z_0 + ct\big)$.
B2. Thế vào $Ax + By + Cz + D = 0$, giải tìm $t$.
B3. Thay $t$ vừa tìm vào điểm chạy → toạ độ $N$. (Cần độ dài thì tính $MN = |\overrightarrow{MN}|$.)
Biện luận số giao điểm (qua hệ số của $t$)
Sau khi thế, phương trình có dạng $(\vec{u}\cdot\vec{n})\,t + (\ldots) = 0$:
• $\vec{u}\cdot\vec{n} \neq 0$ → đúng một giao điểm ($d$ cắt $(\alpha)$).
• $\vec{u}\cdot\vec{n} = 0$ và phần còn lại $\neq 0$ → vô nghiệm: $d \parallel (\alpha)$.
• $\vec{u}\cdot\vec{n} = 0$ và phần còn lại $= 0$ → vô số nghiệm: $d \subset (\alpha)$.
💡 Ví dụ – Tia chạm mặt phẳng
Đường thẳng $d$ qua $M(0; 1; 2)$, VTCP $\vec{u} = (1; 1; 2)$, cắt $(\alpha): x + y + z - 9 = 0$ tại $N$. Tìm $N$ và tính $MN$.
B1.Điểm chạy của $d$: $\big(t;\ 1 + t;\ 2 + 2t\big)$. B2.Thế vào $(\alpha)$: $t + (1 + t) + (2 + 2t) - 9 = 0 \Leftrightarrow 4t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{3}{2}$. B3.$N = \left(\dfrac{3}{2};\ 1 + \dfrac{3}{2};\ 2 + 3\right) = \left(\dfrac{3}{2};\ \dfrac{5}{2};\ 5\right)$. →$\overrightarrow{MN} = \left(\dfrac{3}{2};\ \dfrac{3}{2};\ 3\right) \Rightarrow MN = \sqrt{\dfrac{9}{4} + \dfrac{9}{4} + 9} = \sqrt{\dfrac{27}{2}} = \dfrac{3\sqrt{6}}{2}$. Vậy $N\left(\dfrac{3}{2}; \dfrac{5}{2}; 5\right)$ và $MN = \dfrac{3\sqrt{6}}{2} \approx 3{,}7$.
⚠ Lưu ý
• Phải dùng cùng một $t$ cho cả ba toạ độ — đừng đặt ba tham số khác nhau.
• Khoảng cách $MN$ ở đây là độ dài đoạn dọc theo đường thẳng, khác với $d(M, (\alpha))$ (đường vuông góc). Hai số này chỉ bằng nhau khi $d \perp (\alpha)$.
8
Tổng kết
▼
📋 Bảng tổng hợp công thức Phương trình mặt phẳng
Nội dungCông thức / Cách dùng
VTPT từ phương trình$Ax+By+Cz+D=0 \Rightarrow \vec{n}=(A;B;C)$
Tích có hướng$[\vec{u},\vec{v}]=(bc'-b'c;\ ca'-c'a;\ ab'-a'b)$, vuông góc cả $\vec{u},\vec{v}$
PT qua $M$ + VTPT$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$
PT qua 3 điểm$\vec{n}=[\vec{AB},\vec{AC}]$ rồi viết PT qua $A$
PT theo đoạn chắn$\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$ (cắt trục tại $a,b,c$)
Hai mặt phẳng $\perp$$AA'+BB'+CC'=0$
Hai mặt phẳng $\parallel$$\vec{n'}=k\vec{n}$ và $D' \neq kD$
Khoảng cách điểm – mặt phẳng$d=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$
Khoảng cách 2 mặt $\parallel$$d=\dfrac{|D-D'|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ (cùng VTPT)
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
📚 Ôn lại đầy đủ Lý thuyết, các dạng toán, công thức & mẹo giải nhanh Bài 14 Phương trình mặt phẳng trên edus.vn →
1
—
Điểm: 0/27
🎯

Luyện tập Phương trình mặt phẳng!

27 câu · 6 dạng từ dễ đến khó

💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh

Bài tập Toán 12 Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes (25 bài tập) ( 21/05 )

Bài tập Toán 12 Bài 18: Xác suất có điều kiện (26 bài tập) ( 21/05 )

Bài tập Toán 12 Bài 17: Phương trình mặt cầu (26 bài tập) ( 21/05 )

Bài tập Toán 12 Bài 16: Công thức tính góc trong không gian (25 bài tập) ( 21/05 )

Bài tập Toán 12 Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian (27 bài tập) ( 21/05 )