Lớp 12 · Toán
Bài 1
Tính Đơn Điệu Và Cực Trị Của Hàm Số
Đồng biến – nghịch biến · Cực đại – cực tiểu · Đọc đồ thị
1
Hàm số đồng biến, nghịch biến
▼
Định nghĩa
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên một tập $K$ (khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng).
• Hàm số $y = f(x)$ được gọi là đồng biến trên $K$ nếu với mọi $x_1, x_2 \in K$ mà $x_1 < x_2$ thì $f(x_1) < f(x_2)$.
• Hàm số $y = f(x)$ được gọi là nghịch biến trên $K$ nếu với mọi $x_1, x_2 \in K$ mà $x_1 < x_2$ thì $f(x_1) > f(x_2)$.
• Hàm số $y = f(x)$ được gọi là đồng biến trên $K$ nếu với mọi $x_1, x_2 \in K$ mà $x_1 < x_2$ thì $f(x_1) < f(x_2)$.
• Hàm số $y = f(x)$ được gọi là nghịch biến trên $K$ nếu với mọi $x_1, x_2 \in K$ mà $x_1 < x_2$ thì $f(x_1) > f(x_2)$.
Trực quan trên đồ thị
• Hàm số đồng biến trên $K$ ⟺ đồ thị đi lên (từ trái sang phải) trên $K$.
• Hàm số nghịch biến trên $K$ ⟺ đồ thị đi xuống (từ trái sang phải) trên $K$.
• Hàm đồng biến hoặc nghịch biến trên $K$ gọi chung là hàm đơn điệu trên $K$.
• Hàm số nghịch biến trên $K$ ⟺ đồ thị đi xuống (từ trái sang phải) trên $K$.
• Hàm đồng biến hoặc nghịch biến trên $K$ gọi chung là hàm đơn điệu trên $K$.
Hình 1: Đồ thị hàm đồng biến (đi lên) và nghịch biến (đi xuống)
Định lý – Quan hệ đạo hàm & đơn điệu
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $K$. Khi đó:
• Nếu $f'(x) > 0$ với mọi $x \in K$ thì $f(x)$ đồng biến trên $K$.
• Nếu $f'(x) < 0$ với mọi $x \in K$ thì $f(x)$ nghịch biến trên $K$.
• Nếu $f'(x) > 0$ với mọi $x \in K$ thì $f(x)$ đồng biến trên $K$.
• Nếu $f'(x) < 0$ với mọi $x \in K$ thì $f(x)$ nghịch biến trên $K$.
$f'(x) > 0 \Rightarrow $ đồng biến | $f'(x) < 0 \Rightarrow $ nghịch biến
Chú ý quan trọng
• Nếu $f'(x) \geq 0$ (hoặc $f'(x) \leq 0$) với mọi $x \in K$ và dấu "$=$" chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thì hàm số vẫn đồng biến (nghịch biến) trên $K$.
• Nếu $f'(x) = 0$ với mọi $x \in K$ thì $f(x)$ là hàm hằng trên $K$.
• Nếu $f'(x) = 0$ với mọi $x \in K$ thì $f(x)$ là hàm hằng trên $K$.
🔧 Các bước xét tính đơn điệu
Bước 1: Tìm tập xác định $D$ của hàm số.
Bước 2: Tính đạo hàm $f'(x)$. Tìm các điểm $x_i$ mà $f'(x_i) = 0$ hoặc $f'(x_i)$ không xác định.
Bước 3: Lập bảng biến thiên (sắp xếp $x_i$ theo thứ tự tăng).
Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến.
Bước 2: Tính đạo hàm $f'(x)$. Tìm các điểm $x_i$ mà $f'(x_i) = 0$ hoặc $f'(x_i)$ không xác định.
Bước 3: Lập bảng biến thiên (sắp xếp $x_i$ theo thứ tự tăng).
Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến.
💡 Ví dụ 1 – Hàm bậc ba
Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = x^3 - 6x^2 + 9x - 2$
B1.Tập xác định: $D = \mathbb{R}$
B2.$y' = 3x^2 - 12x + 9$
B3.$y' = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 12x + 9 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$
B4.Xét dấu $y'$: $y' > 0$ trên $(-\infty;1)$ và $(3;+\infty)$; $y' < 0$ trên $(1;3)$
Vậy hàm số đồng biến trên $(-\infty;1)$ và $(3;+\infty)$, nghịch biến trên $(1;3)$.
Hình 2: Bảng biến thiên của hàm số $y = x^3 - 6x^2 + 9x - 2$
💡 Ví dụ 2 – Hàm phân thức
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y = \dfrac{2x + 3}{x - 1}$
B1.Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$
B2.$y' = \dfrac{2(x-1) - (2x+3) \cdot 1}{(x-1)^2} = \dfrac{-5}{(x-1)^2}$
B3.Vì $(x-1)^2 > 0$ với mọi $x \in D$ nên $y' < 0$ với mọi $x \in D$
Vậy hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty)$. Không được viết $(-\infty;1) \cup (1;+\infty)$!
2
Cực đại, cực tiểu của hàm số
▼
Định nghĩa cực đại, cực tiểu
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và liên tục trên khoảng $(a;b)$ và điểm $x_0 \in (a;b)$.
• Nếu tồn tại số $h > 0$ sao cho $f(x) < f(x_0)$ với mọi $x \in (x_0 - h; x_0 + h)$ và $x \neq x_0$ thì $f(x)$ đạt cực đại tại $x_0$.
• Nếu tồn tại số $h > 0$ sao cho $f(x) > f(x_0)$ với mọi $x \in (x_0 - h; x_0 + h)$ và $x \neq x_0$ thì $f(x)$ đạt cực tiểu tại $x_0$.
• Nếu tồn tại số $h > 0$ sao cho $f(x) < f(x_0)$ với mọi $x \in (x_0 - h; x_0 + h)$ và $x \neq x_0$ thì $f(x)$ đạt cực đại tại $x_0$.
• Nếu tồn tại số $h > 0$ sao cho $f(x) > f(x_0)$ với mọi $x \in (x_0 - h; x_0 + h)$ và $x \neq x_0$ thì $f(x)$ đạt cực tiểu tại $x_0$.
⚠ Phân biệt 3 khái niệm dễ nhầm
Giả sử hàm số đạt cực đại tại $x_0$. Khi đó:
• Điểm cực đại của hàm số = $x_0$ (một số thực).
• Giá trị cực đại = $f(x_0)$, ký hiệu $y_{CĐ}$ hoặc $f_{CĐ}$ (một số thực).
• Điểm cực đại của đồ thị = $M_0(x_0;\, f(x_0))$ (một điểm trong mặt phẳng).
(Tương tự cho cực tiểu.)
• Điểm cực đại của hàm số = $x_0$ (một số thực).
• Giá trị cực đại = $f(x_0)$, ký hiệu $y_{CĐ}$ hoặc $f_{CĐ}$ (một số thực).
• Điểm cực đại của đồ thị = $M_0(x_0;\, f(x_0))$ (một điểm trong mặt phẳng).
(Tương tự cho cực tiểu.)
Điều kiện đủ để có cực trị
Giả sử $y = f(x)$ liên tục trên $(a;b)$ chứa $x_0$ và có đạo hàm trên $(a;x_0)$ và $(x_0;b)$:
• Nếu $f'(x)$ đổi dấu từ "–" sang "+" khi $x$ đi qua $x_0$ thì $x_0$ là điểm cực tiểu.
• Nếu $f'(x)$ đổi dấu từ "+" sang "–" khi $x$ đi qua $x_0$ thì $x_0$ là điểm cực đại.
• Nếu $f'(x)$ đổi dấu từ "–" sang "+" khi $x$ đi qua $x_0$ thì $x_0$ là điểm cực tiểu.
• Nếu $f'(x)$ đổi dấu từ "+" sang "–" khi $x$ đi qua $x_0$ thì $x_0$ là điểm cực đại.
⚠ Sai lầm thường gặp
Nếu $f'(x_0) = 0$ nhưng $f'(x)$ không đổi dấu khi $x$ đi qua $x_0$ thì $x_0$ không phải điểm cực trị.
Ví dụ điển hình: hàm $y = x^3$ có $y' = 3x^2$, $y'(0) = 0$ nhưng $y' \geq 0$ với mọi $x$ (không đổi dấu) nên $x = 0$ không là điểm cực trị.
Ví dụ điển hình: hàm $y = x^3$ có $y' = 3x^2$, $y'(0) = 0$ nhưng $y' \geq 0$ với mọi $x$ (không đổi dấu) nên $x = 0$ không là điểm cực trị.
🔧 Các bước tìm cực trị
Bước 1: Tìm tập xác định.
Bước 2: Tính $f'(x)$. Tìm các điểm mà $f'(x) = 0$ hoặc $f'(x)$ không xác định.
Bước 3: Lập bảng biến thiên.
Bước 4: Từ bảng biến thiên, kết luận các điểm cực trị và giá trị cực trị.
Bước 2: Tính $f'(x)$. Tìm các điểm mà $f'(x) = 0$ hoặc $f'(x)$ không xác định.
Bước 3: Lập bảng biến thiên.
Bước 4: Từ bảng biến thiên, kết luận các điểm cực trị và giá trị cực trị.
💡 Ví dụ 3 – Hàm bậc ba
Tìm cực trị của hàm số $y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5$
B1.Tập xác định: $D = \mathbb{R}$
B2.$y' = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2)$
B3.$y' = 0 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = 2$
B4.$y(-1) = -2 - 3 + 12 + 5 = 12$; $y(2) = 16 - 12 - 24 + 5 = -15$
B5.Dấu $y'$: $+$ trên $(-\infty;-1)$, $-$ trên $(-1;2)$, $+$ trên $(2;+\infty)$
Vậy hàm số đạt cực đại tại $x = -1$, $y_{CĐ} = 12$; đạt cực tiểu tại $x = 2$, $y_{CT} = -15$.
💡 Ví dụ 4 – Hàm bậc bốn trùng phương
Tìm cực trị của hàm số $y = x^4 - 2x^2 + 3$
B1.Tập xác định: $D = \mathbb{R}$
B2.$y' = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x-1)(x+1)$
B3.$y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \pm 1$
B4.$y(0) = 3$; $y(\pm 1) = 1 - 2 + 3 = 2$
B5.Dấu $y'$: $-$, $+$, $-$, $+$ khi đi qua $-1, 0, 1$
Vậy hàm đạt cực tiểu tại $x = \pm 1$, $y_{CT} = 2$; đạt cực đại tại $x = 0$, $y_{CĐ} = 3$.
3
Đọc đồ thị và bảng biến thiên
▼
Đọc trực tiếp từ đồ thị $y = f(x)$
• Khoảng đồ thị đi lên ⟺ hàm số đồng biến.
• Khoảng đồ thị đi xuống ⟺ hàm số nghịch biến.
• Điểm có hoành độ $x_0$ mà đồ thị đạt "đỉnh cao tại chỗ" ⟺ điểm cực đại.
• Điểm có hoành độ $x_0$ mà đồ thị đạt "đáy thấp tại chỗ" ⟺ điểm cực tiểu.
• Khoảng đồ thị đi xuống ⟺ hàm số nghịch biến.
• Điểm có hoành độ $x_0$ mà đồ thị đạt "đỉnh cao tại chỗ" ⟺ điểm cực đại.
• Điểm có hoành độ $x_0$ mà đồ thị đạt "đáy thấp tại chỗ" ⟺ điểm cực tiểu.
Đọc từ đồ thị $y = f'(x)$ (rất quan trọng!)
Khi cho đồ thị của đạo hàm $y = f'(x)$, để khảo sát hàm $f(x)$:
• Khoảng $f'(x) > 0$ (đồ thị $f'$ nằm trên trục $Ox$) ⟹ $f(x)$ đồng biến.
• Khoảng $f'(x) < 0$ (đồ thị $f'$ nằm dưới trục $Ox$) ⟹ $f(x)$ nghịch biến.
• $f'(x)$ đổi dấu tại $x_0$ ⟺ đồ thị $f'$ cắt trục $Ox$ tại $x_0$ ⟹ $x_0$ là điểm cực trị của $f$.
• Đồ thị $f'$ đi từ dưới lên trên trục $Ox$ tại $x_0$ ⟹ $x_0$ là cực tiểu.
• Đồ thị $f'$ đi từ trên xuống dưới trục $Ox$ tại $x_0$ ⟹ $x_0$ là cực đại.
• Khoảng $f'(x) > 0$ (đồ thị $f'$ nằm trên trục $Ox$) ⟹ $f(x)$ đồng biến.
• Khoảng $f'(x) < 0$ (đồ thị $f'$ nằm dưới trục $Ox$) ⟹ $f(x)$ nghịch biến.
• $f'(x)$ đổi dấu tại $x_0$ ⟺ đồ thị $f'$ cắt trục $Ox$ tại $x_0$ ⟹ $x_0$ là điểm cực trị của $f$.
• Đồ thị $f'$ đi từ dưới lên trên trục $Ox$ tại $x_0$ ⟹ $x_0$ là cực tiểu.
• Đồ thị $f'$ đi từ trên xuống dưới trục $Ox$ tại $x_0$ ⟹ $x_0$ là cực đại.
💡 Ví dụ 5 – Đọc bảng biến thiên
Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau. Tìm các điểm cực trị.
| $x$ | $-\infty$ | $0$ | $3$ | $+\infty$ | |
|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $+$ $0$ $-$ | $-$ $0$ $+$ | |||
| $f(x)$ | $-\infty$ ↗ | $2$ | ↘ | $-5$ | ↗ $+\infty$ |
→$f'(x)$ đổi dấu từ "+" sang "–" khi $x$ qua $0$ ⟹ $x = 0$ là điểm cực đại, $y_{CĐ} = 2$
→$f'(x)$ đổi dấu từ "–" sang "+" khi $x$ qua $3$ ⟹ $x = 3$ là điểm cực tiểu, $y_{CT} = -5$
Hình 3: Đồ thị đạo hàm $y = f'(x)$ – dấu của $f'$ quyết định tính đơn điệu của $f$
4
Bài toán tham số $m$
▼
Hàm bậc ba đơn điệu trên $\mathbb{R}$
Cho hàm số $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \neq 0$). Ta có $y' = 3ax^2 + 2bx + c$.
• Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow y' \geq 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \begin{cases} a > 0 \\ \Delta_{y'} \leq 0 \end{cases}$
• Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow y' \leq 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \begin{cases} a < 0 \\ \Delta_{y'} \leq 0 \end{cases}$
• Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow y' \geq 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \begin{cases} a > 0 \\ \Delta_{y'} \leq 0 \end{cases}$
• Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow y' \leq 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \begin{cases} a < 0 \\ \Delta_{y'} \leq 0 \end{cases}$
⚠ Lưu ý
• Dùng $\Delta \leq 0$ chứ không phải $\Delta < 0$. Vì khi $\Delta = 0$, $y'$ chỉ bằng $0$ tại đúng một điểm (hữu hạn) nên vẫn đơn điệu.
• Nếu hệ số $a$ chứa tham số, phải xét riêng trường hợp $a = 0$ trước.
• Nếu hệ số $a$ chứa tham số, phải xét riêng trường hợp $a = 0$ trước.
Hàm phân thức $y = \dfrac{ax+b}{cx+d}$
Tập xác định $D = \mathbb{R} \setminus \left\{-\dfrac{d}{c}\right\}$. Đạo hàm $y' = \dfrac{ad - bc}{(cx+d)^2}$.
• Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định $\Leftrightarrow ad - bc > 0$.
• Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định $\Leftrightarrow ad - bc < 0$.
• Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định $\Leftrightarrow ad - bc > 0$.
• Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định $\Leftrightarrow ad - bc < 0$.
🔧 Tìm $m$ để hàm số đạt cực trị tại $x_0$
Bước 1: Tính $y'$ và $y''$.
Bước 2: Giải $y'(x_0) = 0$ để tìm $m$ (điều kiện cần).
Bước 3 (bắt buộc!): Thử lại với mỗi $m$ tìm được:
• $y''(x_0) > 0 \Rightarrow x_0$ là điểm cực tiểu.
• $y''(x_0) < 0 \Rightarrow x_0$ là điểm cực đại.
Bước 2: Giải $y'(x_0) = 0$ để tìm $m$ (điều kiện cần).
Bước 3 (bắt buộc!): Thử lại với mỗi $m$ tìm được:
• $y''(x_0) > 0 \Rightarrow x_0$ là điểm cực tiểu.
• $y''(x_0) < 0 \Rightarrow x_0$ là điểm cực đại.
💡 Ví dụ 6 – Đồng biến trên $\mathbb{R}$
Tìm $m$ để hàm số $y = x^3 + (m+1)x^2 + 3x + 2$ đồng biến trên $\mathbb{R}$
B1.Tập xác định $D = \mathbb{R}$. Tính $y' = 3x^2 + 2(m+1)x + 3$
B2.Hệ số $a = 3 > 0$, đã thoả mãn.
B3.Hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow y' \geq 0, \forall x \Leftrightarrow \Delta'_{y'} \leq 0$
B4.$\Delta'_{y'} = (m+1)^2 - 9 \leq 0 \Leftrightarrow -3 \leq m+1 \leq 3 \Leftrightarrow -4 \leq m \leq 2$
Vậy $m \in [-4;\,2]$.
💡 Ví dụ 7 – Cực trị tại điểm $x_0$
Tìm $m$ để hàm số $y = x^3 - 2mx^2 + mx + 1$ đạt cực tiểu tại $x = 1$
B1.$y' = 3x^2 - 4mx + m$; $y'' = 6x - 4m$
B2.Điều kiện cần: $y'(1) = 0 \Leftrightarrow 3 - 4m + m = 0 \Leftrightarrow m = 1$
B3.Thử lại: $y''(1) = 6 - 4 \cdot 1 = 2 > 0$ ⟹ $x = 1$ là cực tiểu ✓
Vậy $m = 1$.
5
Bài toán thực tế
▼
Ý nghĩa thực tế của đạo hàm
Trong các mô hình thực tế (dân số, doanh thu, nồng độ…), đạo hàm $f'(t)$ biểu thị tốc độ thay đổi của đại lượng theo thời gian $t$.
• $f'(t) > 0$: đại lượng đang tăng.
• $f'(t) < 0$: đại lượng đang giảm.
• $f'(t)$ đạt lớn nhất tại $t_0$: tốc độ thay đổi nhanh nhất tại $t_0$.
• $\lim\limits_{t \to +\infty} f(t) = L$: đại lượng có ngưỡng giới hạn $L$ (không thể vượt qua).
• $f'(t) > 0$: đại lượng đang tăng.
• $f'(t) < 0$: đại lượng đang giảm.
• $f'(t)$ đạt lớn nhất tại $t_0$: tốc độ thay đổi nhanh nhất tại $t_0$.
• $\lim\limits_{t \to +\infty} f(t) = L$: đại lượng có ngưỡng giới hạn $L$ (không thể vượt qua).
🔧 Các bước giải bài toán thực tế
Bước 1: Xác định hàm số mô tả tình huống (thường đã cho sẵn).
Bước 2: Tính đạo hàm; xét dấu để biết tăng / giảm; tính giới hạn nếu cần ngưỡng.
Bước 3: Tính giá trị tại các thời điểm cụ thể; trả lời câu hỏi thực tế bằng đơn vị ban đầu.
Bước 2: Tính đạo hàm; xét dấu để biết tăng / giảm; tính giới hạn nếu cần ngưỡng.
Bước 3: Tính giá trị tại các thời điểm cụ thể; trả lời câu hỏi thực tế bằng đơn vị ban đầu.
💡 Ví dụ 8 – Dân số
Số dân của một thị trấn sau $t$ năm kể từ năm 2000 là $N(t) = \dfrac{25t + 10}{t + 5}$ (nghìn người). Tính dân số năm 2015 và giải thích vì sao dân số không vượt quá một ngưỡng.
B1.Năm 2015 ứng $t = 15$: $N(15) = \dfrac{25 \cdot 15 + 10}{15 + 5} = \dfrac{385}{20} = 19{,}25$ (nghìn người)
B2.$N'(t) = \dfrac{25(t+5) - (25t+10)}{(t+5)^2} = \dfrac{115}{(t+5)^2} > 0$ với mọi $t \geq 0$
B3.Vì $N'(t) > 0$ nên $N(t)$ đồng biến, dân số luôn tăng.
B4.$\lim\limits_{t \to +\infty} N(t) = \lim\limits_{t \to +\infty} \dfrac{25 + \dfrac{10}{t}}{1 + \dfrac{5}{t}} = 25$
Vậy dân số tăng dần và không bao giờ vượt quá 25 nghìn người (ngưỡng giới hạn).
6
Tổng kết
▼
📋 Bảng tổng hợp công thức
| Khái niệm | Điều kiện | Kết luận |
|---|---|---|
| Đồng biến trên $K$ | $f'(x) > 0, \forall x \in K$ | $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$ |
| Nghịch biến trên $K$ | $f'(x) < 0, \forall x \in K$ | $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$ |
| Cực đại tại $x_0$ | $f'$ đổi dấu $+ \to -$ | $y_{CĐ} = f(x_0)$ |
| Cực tiểu tại $x_0$ | $f'$ đổi dấu $- \to +$ | $y_{CT} = f(x_0)$ |
| Bậc 3 ĐB trên $\mathbb{R}$ | $a > 0$ và $\Delta_{y'} \leq 0$ | $y' \geq 0, \forall x$ |
| Phân thức ĐB từng khoảng | $ad - bc > 0$ | $y' > 0$ trên $D$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
⚠ Sai lầm thường gặp
• Viết hàm phân thức "đồng biến/nghịch biến trên $(-\infty;a) \cup (a;+\infty)$" — sai. Phải viết "trên từng khoảng".
• Thấy $f'(x_0) = 0$ là kết luận ngay $x_0$ là cực trị — sai. Phải kiểm tra $f'$ đổi dấu.
• Tìm $m$ để hàm đạt cực trị tại $x_0$ rồi không thử lại — sai. Phải dùng $y''(x_0)$ hoặc bảng biến thiên.
• Quên xét trường hợp hệ số $a = 0$ khi $a$ chứa tham số $m$.
• Nhầm điểm cực đại của hàm số ($x_0$) với điểm cực đại của đồ thị ($M_0(x_0;y_0)$).
• Thấy $f'(x_0) = 0$ là kết luận ngay $x_0$ là cực trị — sai. Phải kiểm tra $f'$ đổi dấu.
• Tìm $m$ để hàm đạt cực trị tại $x_0$ rồi không thử lại — sai. Phải dùng $y''(x_0)$ hoặc bảng biến thiên.
• Quên xét trường hợp hệ số $a = 0$ khi $a$ chứa tham số $m$.
• Nhầm điểm cực đại của hàm số ($x_0$) với điểm cực đại của đồ thị ($M_0(x_0;y_0)$).
1
—
Điểm: 0/28
🎯
Luyện tập Tính đơn điệu và cực trị!
28 câu · 6 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/28
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh