Lớp 12 · Toán
Bài 5
Ứng Dụng Đạo Hàm Để Giải Quyết Một Số Vấn Đề Liên Quan Đến Thực Tiễn
Tốc độ thay đổi · Chuyển động · Chi phí biên · Tối ưu hoá
1
Tốc độ thay đổi – Ý nghĩa của đạo hàm
▼
Định nghĩa – Tốc độ thay đổi
Cho hàm số $y = f(x)$. Nếu $x$ thay đổi từ $x_1$ đến $x_2$ thì:
• $\Delta x = x_2 - x_1$: sự thay đổi của $x$.
• $\Delta y = f(x_2) - f(x_1)$: sự thay đổi tương ứng của $y$.
Tốc độ thay đổi trung bình của $y$ đối với $x$ trên đoạn $[x_1;x_2]$:
• $\Delta x = x_2 - x_1$: sự thay đổi của $x$.
• $\Delta y = f(x_2) - f(x_1)$: sự thay đổi tương ứng của $y$.
Tốc độ thay đổi trung bình của $y$ đối với $x$ trên đoạn $[x_1;x_2]$:
$\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$
Tốc độ thay đổi tức thời
Tốc độ thay đổi tức thời của $y$ đối với $x$ tại điểm $x = x_1$ là:
$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x_1)$
Các ứng dụng của đạo hàm
• Vật lí: $s = s(t)$ là toạ độ ⟹ $v(t) = s'(t)$ là vận tốc tức thời; $a(t) = v'(t) = s''(t)$ là gia tốc tức thời.
• Hoá học: $C = C(t)$ là nồng độ ⟹ $C'(t)$ là tốc độ phản ứng tức thời.
• Sinh học: $P = P(t)$ là số cá thể ⟹ $P'(t)$ là tốc độ tăng trưởng tức thời.
• Kinh tế: $C = C(x)$ là chi phí khi sản xuất $x$ đơn vị ⟹ $C'(x)$ là chi phí biên.
• Hoá học: $C = C(t)$ là nồng độ ⟹ $C'(t)$ là tốc độ phản ứng tức thời.
• Sinh học: $P = P(t)$ là số cá thể ⟹ $P'(t)$ là tốc độ tăng trưởng tức thời.
• Kinh tế: $C = C(x)$ là chi phí khi sản xuất $x$ đơn vị ⟹ $C'(x)$ là chi phí biên.
Chi phí biên – Doanh thu biên – Lợi nhuận biên
• $C(x)$: chi phí sản xuất $x$ đơn vị ⟹ chi phí biên $C'(x)$ ≈ chi phí sản xuất đơn vị thứ $(x+1)$.
• $p(x)$: giá bán mỗi đơn vị khi bán được $x$ đơn vị (hàm cầu).
• $R(x) = x \cdot p(x)$: hàm doanh thu; $R'(x)$: doanh thu biên.
• $P(x) = R(x) - C(x)$: hàm lợi nhuận; $P'(x)$: lợi nhuận biên.
• $p(x)$: giá bán mỗi đơn vị khi bán được $x$ đơn vị (hàm cầu).
• $R(x) = x \cdot p(x)$: hàm doanh thu; $R'(x)$: doanh thu biên.
• $P(x) = R(x) - C(x)$: hàm lợi nhuận; $P'(x)$: lợi nhuận biên.
💡 Ví dụ 1 – Vật ném thẳng đứng
Một vật phóng thẳng đứng lên từ độ cao $3$ m với vận tốc đầu $19{,}6$ m/s. Độ cao $h(t) = 3 + 19{,}6t - 4{,}9t^2$ (m). Tính vận tốc sau $1$ giây và độ cao lớn nhất.
B1.Vận tốc: $v(t) = h'(t) = 19{,}6 - 9{,}8t$ (m/s)
B2.Vận tốc sau $1$ giây: $v(1) = 19{,}6 - 9{,}8 = 9{,}8$ (m/s)
B3.Vật đạt độ cao max khi $v(t) = 0 \Leftrightarrow t = 2$ (giây)
B4.$h_{\max} = h(2) = 3 + 39{,}2 - 19{,}6 = 22{,}6$ (m)
Vận tốc sau $1$ giây là $9{,}8$ m/s. Độ cao lớn nhất là $22{,}6$ m, đạt được sau $2$ giây.
💡 Ví dụ 2 – Chi phí biên
Chi phí sản xuất $x$ đơn vị: $C(x) = 25000 + 250x - 2x^2 + 0{,}1x^3$ (nghìn đồng). Tính $C'(150)$ và ý nghĩa.
B1.Chi phí biên: $C'(x) = 250 - 4x + 0{,}3x^2$
B2.$C'(150) = 250 - 600 + 0{,}3 \cdot 22500 = 250 - 600 + 6750 = 6400$ (nghìn đồng)
Ý nghĩa: chi phí để sản xuất thêm đơn vị thứ $151$ xấp xỉ $6400$ nghìn đồng.
2
Bài toán chuyển động
▼
Công thức cơ bản
Cho vật chuyển động trên một trục thẳng có toạ độ $y = y(t)$ (hoặc $s = s(t)$):
• Vận tốc tức thời: $v(t) = y'(t)$.
• Gia tốc tức thời: $a(t) = v'(t) = y''(t)$.
• Vận tốc tức thời: $v(t) = y'(t)$.
• Gia tốc tức thời: $a(t) = v'(t) = y''(t)$.
Các trạng thái chuyển động
• Vật chuyển động theo chiều dương ⟺ $v(t) > 0$.
• Vật chuyển động theo chiều âm ⟺ $v(t) < 0$.
• Vật tăng tốc ⟺ $v(t)$ tăng ⟺ $v'(t) > 0$ (tức $a(t) > 0$).
• Vật giảm tốc ⟺ $v(t)$ giảm ⟺ $v'(t) < 0$ (tức $a(t) < 0$).
• Vật đứng yên (đổi chiều) ⟺ $v(t) = 0$.
• Vật chuyển động theo chiều âm ⟺ $v(t) < 0$.
• Vật tăng tốc ⟺ $v(t)$ tăng ⟺ $v'(t) > 0$ (tức $a(t) > 0$).
• Vật giảm tốc ⟺ $v(t)$ giảm ⟺ $v'(t) < 0$ (tức $a(t) < 0$).
• Vật đứng yên (đổi chiều) ⟺ $v(t) = 0$.
⚠ Quãng đường vs. độ dịch chuyển
• Độ dịch chuyển trên $[t_1;t_2]$ = $y(t_2) - y(t_1)$ (có dấu).
• Quãng đường trên $[t_1;t_2]$: nếu vật không đổi chiều thì bằng $|y(t_2) - y(t_1)|$.
• Nếu vật đổi chiều tại các điểm trong $(t_1;t_2)$ (tức $v$ đổi dấu), phải tách thành các đoạn vật đi cùng chiều rồi cộng các giá trị tuyệt đối lại.
• Quãng đường trên $[t_1;t_2]$: nếu vật không đổi chiều thì bằng $|y(t_2) - y(t_1)|$.
• Nếu vật đổi chiều tại các điểm trong $(t_1;t_2)$ (tức $v$ đổi dấu), phải tách thành các đoạn vật đi cùng chiều rồi cộng các giá trị tuyệt đối lại.
💡 Ví dụ 3 – Chuyển động đổi chiều
Vật chuyển động trên trục có toạ độ $y(t) = t^3 - 12t + 3$ (m), $t \geq 0$. Tính quãng đường vật đi trong $[0;\,3]$.
B1.$v(t) = 3t^2 - 12$. $v(t) = 0 \Leftrightarrow t = 2$ (vì $t \geq 0$)
B2.Vật đổi chiều tại $t = 2$, nên tách $[0;3]$ thành $[0;2]$ và $[2;3]$
B3.$y(0) = 3$; $y(2) = 8 - 24 + 3 = -13$; $y(3) = 27 - 36 + 3 = -6$
B4.Quãng đường trong $[0;2]$: $|y(2) - y(0)| = |-13 - 3| = 16$ (m)
B5.Quãng đường trong $[2;3]$: $|y(3) - y(2)| = |-6 - (-13)| = 7$ (m)
Tổng quãng đường: $16 + 7 = 23$ (m). Lưu ý: nếu chỉ tính $|y(3) - y(0)| = 9$ thì đó là độ dịch chuyển, không phải quãng đường!
3
Bài toán tối ưu hoá
▼
Bản chất bài toán tối ưu
Một trong những ứng dụng phổ biến nhất của đạo hàm là giải các bài toán tối ưu hoá: tối đa/tối thiểu hoá diện tích, thể tích, doanh thu, lợi nhuận, chi phí, thời gian, … Khó khăn lớn nhất thường là bước chuyển bài toán thực tế thành hàm số một biến.
🔧 Quy trình 3 bước
Bước 1: Xác định đại lượng $Q$ cần tối đa/tối thiểu. Biểu diễn $Q$ qua các đại lượng khác.
Bước 2: Chọn một biến $x$ thích hợp. Đưa $Q$ về hàm một biến $Q = Q(x)$. Xác định điều kiện (tập xác định) của $x$ theo bối cảnh thực tế.
Bước 3: Tìm GTLN (hoặc GTNN) của $Q(x)$ trên miền điều kiện (lập BBT, dùng đạo hàm), rồi kết luận theo đơn vị thực tế.
Bước 2: Chọn một biến $x$ thích hợp. Đưa $Q$ về hàm một biến $Q = Q(x)$. Xác định điều kiện (tập xác định) của $x$ theo bối cảnh thực tế.
Bước 3: Tìm GTLN (hoặc GTNN) của $Q(x)$ trên miền điều kiện (lập BBT, dùng đạo hàm), rồi kết luận theo đơn vị thực tế.
💡 Ví dụ 4 – Tối ưu doanh thu vé sân vận động
Sân $55\,000$ chỗ. Với vé $100$ nghìn đồng, có $27\,000$ khán giả. Mỗi lần giảm vé $10$ nghìn đồng, có thêm $3\,000$ khán giả. Tìm giá vé tối ưu.
B1.Lập hàm cầu (tuyến tính): hệ số góc $\dfrac{-10}{3000} = -\dfrac{1}{300}$ ⟹ $x = -300p + 57\,000$
B2.Doanh thu: $R(p) = p \cdot x = p(-300p + 57\,000) = -300p^2 + 57\,000p$
B3.$R'(p) = -600p + 57\,000 = 0 \Leftrightarrow p = 95$
B4.$R(95) = -300 \cdot 95^2 + 57\,000 \cdot 95 = 2\,707\,500$ (nghìn đồng)
Giá vé tối ưu là $95$ nghìn đồng/vé, doanh thu lớn nhất khoảng $2{,}7$ tỉ đồng.
💡 Ví dụ 5 – Tối ưu doanh thu chung cư
Chung cư $100$ căn, giá $8$ triệu/tháng thì đầy. Cứ tăng giá $100$ nghìn đồng/căn thì có 1 căn bỏ trống. Tìm giá thuê tối ưu.
B1.Gọi $x$ là số lần tăng giá ($0 \leq x \leq 100$).
B2.Giá: $(8 + 0{,}1x)$ triệu đồng; số căn cho thuê: $(100 - x)$
B3.Doanh thu: $y(x) = (8 + 0{,}1x)(100 - x) = -0{,}1x^2 + 2x + 800$ (triệu)
B4.$y'(x) = -0{,}2x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 10$; $y(10) = 810$ (triệu)
Giá thuê tối ưu: $8 + 0{,}1 \cdot 10 = 9$ triệu đồng/căn. Doanh thu max $810$ triệu/tháng ($90$ căn được thuê).
4
Tổng kết
▼
📋 Bảng tổng hợp ý nghĩa đạo hàm
| Lĩnh vực | Hàm số | Đạo hàm – Ý nghĩa |
|---|---|---|
| Vật lí | $s(t)$ – toạ độ | $s'(t) = v(t)$ – vận tốc; $s''(t) = a(t)$ – gia tốc |
| Hoá học | $C(t)$ – nồng độ | $C'(t)$ – tốc độ phản ứng |
| Sinh học | $P(t)$ – số cá thể | $P'(t)$ – tốc độ tăng trưởng |
| Kinh tế (chi phí) | $C(x)$ – chi phí | $C'(x)$ – chi phí biên (≈ chi phí đv thứ $x+1$) |
| Kinh tế (doanh thu) | $R(x) = x \cdot p(x)$ | $R'(x)$ – doanh thu biên |
| Kinh tế (lợi nhuận) | $P(x) = R(x) - C(x)$ | $P'(x)$ – lợi nhuận biên |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
⚠ Sai lầm thường gặp
• Nhầm quãng đường với độ dịch chuyển khi vật đổi chiều — phải tách đoạn.
• Hiểu sai chi phí biên $C'(x_0)$ — đây là chi phí sản xuất thêm đơn vị tiếp theo, KHÔNG phải tổng chi phí.
• Trong bài toán tối ưu, quên đặt điều kiện cho biến ($r > 0$, $0 \leq x \leq 100$, …).
• Thiết lập sai hàm doanh thu khi có giảm giá — phải biểu diễn cả giá và số lượng theo cùng một biến.
• Trên khoảng mở, quên xét giới hạn tại biên ⟹ kết luận sai về có/không có GTLN.
• Hiểu sai chi phí biên $C'(x_0)$ — đây là chi phí sản xuất thêm đơn vị tiếp theo, KHÔNG phải tổng chi phí.
• Trong bài toán tối ưu, quên đặt điều kiện cho biến ($r > 0$, $0 \leq x \leq 100$, …).
• Thiết lập sai hàm doanh thu khi có giảm giá — phải biểu diễn cả giá và số lượng theo cùng một biến.
• Trên khoảng mở, quên xét giới hạn tại biên ⟹ kết luận sai về có/không có GTLN.
1
—
Điểm: 0/25
🎯
Luyện tập Ứng dụng đạo hàm vào thực tiễn!
25 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh