Lớp 12 · Toán
Bài 6
Vectơ Và Các Phép Toán Vectơ Trong Không Gian
Định nghĩa · Tổng – Hiệu · Quy tắc hình hộp · Tích vô hướng
1
Vectơ trong không gian – Định nghĩa
▼
Định nghĩa
Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.
Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
Các kí hiệu và khái niệm hoàn toàn giống vectơ trong mặt phẳng:
• Vectơ có điểm đầu $A$, điểm cuối $B$: $\overrightarrow{AB}$.
• Khi không cần chỉ rõ điểm đầu, điểm cuối: $\vec{a}, \vec{b}, \vec{x}, \ldots$
• Độ dài: $|\overrightarrow{AB}|$ hoặc $|\vec{a}|$.
• Giá của vectơ: đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối.
Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
Các kí hiệu và khái niệm hoàn toàn giống vectơ trong mặt phẳng:
• Vectơ có điểm đầu $A$, điểm cuối $B$: $\overrightarrow{AB}$.
• Khi không cần chỉ rõ điểm đầu, điểm cuối: $\vec{a}, \vec{b}, \vec{x}, \ldots$
• Độ dài: $|\overrightarrow{AB}|$ hoặc $|\vec{a}|$.
• Giá của vectơ: đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối.
Hình 1: Đường thẳng $d$ là giá của vectơ $\vec{a}$
Cùng phương – Cùng hướng – Bằng nhau
• Hai vectơ cùng phương ⟺ giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
• Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng hoặc ngược hướng.
• Hai vectơ bằng nhau ($\vec{a} = \vec{b}$) ⟺ cùng hướng và cùng độ dài.
• Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng hoặc ngược hướng.
• Hai vectơ bằng nhau ($\vec{a} = \vec{b}$) ⟺ cùng hướng và cùng độ dài.
Vectơ-không và tính chất quan trọng
• Với điểm $O$ và vectơ $\vec{a}$ cho trước, tồn tại duy nhất điểm $M$ sao cho $\overrightarrow{OM} = \vec{a}$.
• Vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối ($\overrightarrow{AA}$) gọi là vectơ-không, kí hiệu $\vec{0}$.
• Vectơ-không có độ dài bằng $0$, cùng hướng với mọi vectơ.
• Vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối ($\overrightarrow{AA}$) gọi là vectơ-không, kí hiệu $\vec{0}$.
• Vectơ-không có độ dài bằng $0$, cùng hướng với mọi vectơ.
💡 Ví dụ 1 – Vectơ trong tứ diện
Tứ diện $ABCD$ có mọi cạnh bằng $1$. Tìm các vectơ có điểm đầu $A$, điểm cuối là đỉnh còn lại. Vectơ nào có giá thuộc mặt phẳng $(ABC)$?
Hình 2: Tứ diện $ABCD$ có cạnh bằng $1$
B1.Có $3$ vectơ điểm đầu $A$, điểm cuối thuộc $\{B, C, D\}$: $\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC},\,\overrightarrow{AD}$.
B2.Giá của $\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC}$ là đường thẳng $AB,\,AC$ — đều nằm trong $(ABC)$.
B3.Giá của $\overrightarrow{AD}$ là đường thẳng $AD$ — không nằm trong $(ABC)$ vì $D \notin (ABC)$.
B4.Độ dài: $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AD}| = 1$.
Vậy hai vectơ $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$ có giá thuộc $(ABC)$.
💡 Ví dụ 2 – Vectơ bằng nhau trong lăng trụ
Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$. Trong $\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{CC'}, \overrightarrow{B'B}$, vectơ nào bằng $\overrightarrow{AA'}$?
Hình 3: Hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$
→$\overrightarrow{AA'}$ và $\overrightarrow{BC}$: $AA' \parallel BC$? Không (hai đường này chéo nhau) → loại.
→$\overrightarrow{AA'}$ và $\overrightarrow{CC'}$: tứ giác $ACC'A'$ là hình bình hành (mặt bên lăng trụ) → $AA' \parallel CC'$, $AA' = CC'$, cùng hướng. Bằng nhau. ✓
→$\overrightarrow{AA'}$ và $\overrightarrow{B'B}$: cùng độ dài nhưng ngược hướng → không bằng.
Vậy $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{CC'}$.
2
Tổng của hai vectơ – Quy tắc cộng
▼
Định nghĩa phép cộng
Cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ trong không gian. Lấy điểm $A$ bất kì và các điểm $B, C$ sao cho $\overrightarrow{AB} = \vec{a},\ \overrightarrow{BC} = \vec{b}$. Khi đó vectơ $\overrightarrow{AC}$ gọi là tổng của $\vec{a}$ và $\vec{b}$, kí hiệu $\vec{a} + \vec{b}$.
Hình 4: Minh hoạ phép cộng vectơ $\vec{a} + \vec{b}$
📐 Hai quy tắc cộng vectơ
Quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$
Quy tắc hình bình hành: Nếu $ABCD$ là HBH thì $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$
Quy tắc hình bình hành: Nếu $ABCD$ là HBH thì $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$
Tính chất phép cộng
Với các vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ bất kì:
• Giao hoán: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$.
• Kết hợp: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$.
• Cộng với $\vec{0}$: $\vec{a} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{a} = \vec{a}$.
Nhờ tính kết hợp, viết tổng nhiều vectơ không cần dấu ngoặc.
• Giao hoán: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$.
• Kết hợp: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$.
• Cộng với $\vec{0}$: $\vec{a} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{a} = \vec{a}$.
Nhờ tính kết hợp, viết tổng nhiều vectơ không cần dấu ngoặc.
💡 Ví dụ 3 – Hình lập phương
Hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $1$. Tính độ dài $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DD'}$.
Hình 5: Hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $1$
B1.Vì $ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$ (hai cạnh đối song song, cùng độ dài, cùng hướng).
B2.$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{AD'}$ (quy tắc 3 điểm).
B3.Tứ giác $ADD'A'$ là hình vuông cạnh $1$, đường chéo $AD' = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
Vậy $|\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DD'}| = \sqrt{2}$.
💡 Ví dụ 4 – Đẳng thức vectơ trong tứ diện
Cho tứ diện $ABCD$. Chứng minh $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}$.
B1.Chèn điểm $D$ vào $\overrightarrow{AC}$: $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}$.
B2.$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} + (\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DC})$.
B3.$\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{BC}$ (quy tắc 3 điểm).
Vậy $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}$. (đpcm)
3
Quy tắc hình hộp – Hiệu của hai vectơ
▼
Quy tắc hình hộp (chỉ có trong không gian!)
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Khi đó:
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$
Ý nghĩa: Tổng ba vectơ là ba cạnh xuất phát từ $A$ của hình hộp = vectơ đường chéo chính xuất phát từ $A$.
Hình 6: Quy tắc hình hộp – đường chéo chính $AC'$
💡 Ví dụ 5 – Áp dụng quy tắc hình hộp
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Chứng minh $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$.
B1.$ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$.
B2.$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'}$.
B3.Áp dụng quy tắc hình hộp: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$.
Vậy $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$. (đpcm)
Vectơ đối và hiệu của hai vectơ
Vectơ đối của $\vec{a}$: vectơ cùng độ dài, ngược hướng với $\vec{a}$, kí hiệu $-\vec{a}$.
• $\vec{a}$ và $-\vec{a}$ là đối nhau ⟺ $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$.
• $\overrightarrow{BA}$ là vectơ đối của $\overrightarrow{AB}$.
Hiệu: $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$.
• $\vec{a}$ và $-\vec{a}$ là đối nhau ⟺ $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$.
• $\overrightarrow{BA}$ là vectơ đối của $\overrightarrow{AB}$.
Hiệu: $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$.
Quy tắc hiệu: $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AB}$
💡 Ví dụ 6 – Hình chóp S.ABCD
Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành, $M, N$ là trung điểm $AB, CD$. Chứng minh $\overrightarrow{SC} - \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{SA}$.
Hình 7: Hình chóp $S.ABCD$ với $M, N$ là trung điểm $AB, CD$
B1.$ABCD$ là hbh, $M$ là trung điểm $AB$, $N$ là trung điểm $CD$ ⟹ $\overrightarrow{AM} = -\overrightarrow{CN}$ (đối nhau), tức $\overrightarrow{CN} = -\overrightarrow{AM}$.
B2.$\overrightarrow{SC} - \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{SN}$ (quy tắc 3 điểm).
B3.$\overrightarrow{SN} - \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{SN} + \overrightarrow{NA} = \overrightarrow{SA}$.
Vậy $\overrightarrow{SC} - \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{SA}$. (đpcm)
4
Tích của một số với vectơ – Trung điểm & Trọng tâm
▼
Định nghĩa tích số với vectơ
Tích của số thực $k \neq 0$ với vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$ là vectơ $k\vec{a}$ xác định bởi:
• Cùng hướng với $\vec{a}$ nếu $k > 0$; ngược hướng nếu $k < 0$.
• Độ dài: $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$.
Quy ước: $0 \cdot \vec{a} = \vec{0}$ và $k \cdot \vec{0} = \vec{0}$.
• Cùng hướng với $\vec{a}$ nếu $k > 0$; ngược hướng nếu $k < 0$.
• Độ dài: $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$.
Quy ước: $0 \cdot \vec{a} = \vec{0}$ và $k \cdot \vec{0} = \vec{0}$.
Điều kiện cùng phương
Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ (với $\vec{b} \neq \vec{0}$) cùng phương ⟺ tồn tại số thực $k$ sao cho $\vec{a} = k\vec{b}$.
📐 Tính chất
• $h(k\vec{a}) = (hk)\vec{a}$
• $(h + k)\vec{a} = h\vec{a} + k\vec{a}$
• $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$
• $1 \cdot \vec{a} = \vec{a};\ (-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$
• $(h + k)\vec{a} = h\vec{a} + k\vec{a}$
• $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$
• $1 \cdot \vec{a} = \vec{a};\ (-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$
Các điểm đặc biệt & đẳng thức vectơ (tiến trình $2 \to 3 \to 4$ điểm)
① Trung điểm đoạn thẳng (2 điểm)
$I$ là trung điểm của $AB$ ⟺ $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$.
Với điểm $M$ bất kì: $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}$
Chọn $M$ trùng một đầu mút (ví dụ $A$): $\;\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.
② Trọng tâm tam giác (3 điểm)
$G$ là trọng tâm $\triangle ABC$. Khi đó:
$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$
• Với điểm $M$ bất kì: $\;\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG}$.
• Chọn $M$ trùng một đỉnh (ví dụ $A$): $\;\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{3}\big(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\big)$.
• Trên trung tuyến: $G$ chia trung tuyến kẻ từ đỉnh theo tỉ số $\mathbf{2:1}$ (tính từ đỉnh). Nếu $M$ là trung điểm $BC$ thì:
• Chọn $M$ trùng một đỉnh (ví dụ $A$): $\;\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{3}\big(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\big)$.
• Trên trung tuyến: $G$ chia trung tuyến kẻ từ đỉnh theo tỉ số $\mathbf{2:1}$ (tính từ đỉnh). Nếu $M$ là trung điểm $BC$ thì:
$\overrightarrow{AG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM} \quad\Leftrightarrow\quad \overrightarrow{AG} = 2\overrightarrow{GM}$
③ Trọng tâm tứ diện (4 điểm)
$G$ là trọng tâm tứ diện $ABCD$. Khi đó:
$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \vec{0}$
• Với điểm $M$ bất kì: $\;\overrightarrow{MG} = \dfrac{1}{4}\big(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}\big)$.
• Chọn $M$ trùng một đỉnh (ví dụ $A$): $\;\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{4}\big(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}\big)$.
• Chọn $M$ trùng một đỉnh (ví dụ $A$): $\;\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{4}\big(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}\big)$.
Quy luật chung dễ nhớ
Với "tâm" $G$ của $n$ điểm ($n = 2$: trung điểm; $n = 3$: trọng tâm tam giác; $n = 4$: trọng tâm tứ diện):
$\sum \overrightarrow{GA_i} = \vec{0}$ và $\sum \overrightarrow{MA_i} = n\,\overrightarrow{MG}$ (với $M$ bất kì)
→ "Cộng các vectơ từ $G$ tới mọi đỉnh thì bằng $\vec0$; đổi gốc về $M$ thì nhân thêm $n$."
🎯 Kĩ thuật biểu diễn một vectơ qua các vectơ cạnh
B1. Chọn điểm gốc trùng một đỉnh để dùng công thức $\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{n}\sum \overrightarrow{A A_i}$ (lưu ý $\overrightarrow{AA} = \vec0$).
B2. Nếu hình là hình hộp, đổi tổng các cạnh thành đường chéo bằng quy tắc hình hộp (Card 3):
B2. Nếu hình là hình hộp, đổi tổng các cạnh thành đường chéo bằng quy tắc hình hộp (Card 3):
$\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$ (và $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$)
B3. Rút gọn để đưa về dạng $\overrightarrow{AG} = k\,\overrightarrow{(\text{đường chéo})}$.
💡 Ví dụ 7 – Trọng tâm tứ diện
Cho tứ diện $ABCD$, $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$. Chứng minh $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG}$.
Hình 8: Tứ diện $ABCD$ với $G$ là trọng tâm $\triangle BCD$
B1.$G$ là trọng tâm $\triangle BCD$ ⟹ $\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \vec{0}$.
B2.Chèn điểm $G$: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GB}$, tương tự với $\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}$.
B3.Cộng ba đẳng thức: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG} + (\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD}) = 3\overrightarrow{AG} + \vec{0}$.
Vậy $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG}$. (đpcm)
💡 Ví dụ 7b – Tỉ số $2:1$ trên trung tuyến
Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$, $M$ là trung điểm $BC$. Chứng minh $\overrightarrow{AG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}$.
B1.Chọn gốc tại đỉnh $A$: $\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{3}\big(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\big)$ (vì $\overrightarrow{AA} = \vec0$).
B2.$M$ là trung điểm $BC$ ⟹ $\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}\big(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\big)$, tức $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AM}$.
B3.Thay vào: $\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{3} \cdot 2\overrightarrow{AM} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}$.
Vậy $\overrightarrow{AG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}$ ⟹ $G$ chia trung tuyến $AM$ theo tỉ số $AG : GM = 2 : 1$. (đpcm)
5
Góc giữa hai vectơ – Tích vô hướng
▼
Định nghĩa góc giữa hai vectơ
Cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ khác $\vec{0}$. Lấy điểm $O$ bất kì và $A, B$ sao cho $\overrightarrow{OA} = \vec{a},\ \overrightarrow{OB} = \vec{b}$. Khi đó góc $\widehat{AOB}$ (với $0° \leq \widehat{AOB} \leq 180°$) gọi là góc giữa hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$, kí hiệu $(\vec{a}, \vec{b})$.
Các trường hợp đặc biệt
• Hai vectơ cùng hướng ⟹ $(\vec{a}, \vec{b}) = 0°$.
• Hai vectơ ngược hướng ⟹ $(\vec{a}, \vec{b}) = 180°$.
• Khi $(\vec{a}, \vec{b}) = 90°$ ⟹ hai vectơ vuông góc, kí hiệu $\vec{a} \perp \vec{b}$.
Cách xác định góc: để tìm góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$, lấy $E$ sao cho $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CD}$, khi đó $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) = \widehat{BAE}$.
• Hai vectơ ngược hướng ⟹ $(\vec{a}, \vec{b}) = 180°$.
• Khi $(\vec{a}, \vec{b}) = 90°$ ⟹ hai vectơ vuông góc, kí hiệu $\vec{a} \perp \vec{b}$.
Cách xác định góc: để tìm góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$, lấy $E$ sao cho $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CD}$, khi đó $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) = \widehat{BAE}$.
Tích vô hướng – Định nghĩa
Với $\vec{a}, \vec{b}$ đều khác $\vec{0}$, tích vô hướng là số thực:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b})$
Quy ước: nếu $\vec{a} = \vec{0}$ hoặc $\vec{b} = \vec{0}$ thì $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
📐 Hệ quả quan trọng
• Vuông góc: $\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ (với $\vec{a}, \vec{b} \neq \vec{0}$).
• Bình phương vô hướng: $\vec{a}^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$.
• Công thức tính góc: $\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$.
• Bình phương vô hướng: $\vec{a}^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$.
• Công thức tính góc: $\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$.
Tính chất tích vô hướng
• Giao hoán: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$.
• Số nhân: $k(\vec{a} \cdot \vec{b}) = (k\vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (k\vec{b})$.
• Phân phối: $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$.
• Số nhân: $k(\vec{a} \cdot \vec{b}) = (k\vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (k\vec{b})$.
• Phân phối: $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$.
💡 Ví dụ 8 – Tích vô hướng trong hình chóp đều
Hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Tính $\overrightarrow{AS} \cdot \overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AS} \cdot \overrightarrow{AC}$.
Hình 9: Hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ cạnh $a$
a)Vì $ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$. Do đó $(\overrightarrow{AS}, \overrightarrow{BC}) = (\overrightarrow{AS}, \overrightarrow{AD}) = \widehat{SAD}$.
→$\triangle SAD$ có $SA = SD = AD = a$ nên là tam giác đều ⟹ $\widehat{SAD} = 60°$.
→$\overrightarrow{AS} \cdot \overrightarrow{BC} = a \cdot a \cdot \cos 60° = \dfrac{a^2}{2}$.
b)$(\overrightarrow{AS}, \overrightarrow{AC}) = \widehat{SAC}$. Xét $\triangle SAC$: $SA = SC = a$, $AC = a\sqrt{2}$.
→$SA^2 + SC^2 = 2a^2 = AC^2$ ⟹ $\triangle SAC$ vuông cân tại $S$ ⟹ $\widehat{SAC} = 45°$.
→$\overrightarrow{AS} \cdot \overrightarrow{AC} = a \cdot a\sqrt{2} \cdot \cos 45° = a \cdot a\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = a^2$.
Vậy $\overrightarrow{AS} \cdot \overrightarrow{BC} = \dfrac{a^2}{2}$; $\overrightarrow{AS} \cdot \overrightarrow{AC} = a^2$.
6
Tổng kết
▼
📋 Bảng công thức trọng tâm
| Quy tắc/Công thức | Biểu thức |
|---|---|
| Quy tắc 3 điểm | $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ |
| Quy tắc hình bình hành | $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$ (nếu $ABCD$ là HBH) |
| Quy tắc hình hộp | $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$ |
| Quy tắc hiệu | $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AB}$ |
| Trung điểm $I$ của $AB$ | $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}$ |
| Trọng tâm $G$ của $\triangle ABC$ | $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$ |
| Trọng tâm $G$ tứ diện $ABCD$ | $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \vec{0}$ |
| Cùng phương | $\vec{a} = k\vec{b}$ với $k \in \mathbb{R}$, $\vec{b} \neq \vec{0}$ |
| Tích vô hướng | $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b})$ |
| Điều kiện vuông góc | $\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ |
| Bình phương vô hướng | $\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2$ |
← Cuộn ngang để xem đầy đủ →
⚠ Sai lầm thường gặp
• Nhầm cùng phương với cùng hướng: cùng phương = giá song song/trùng nhau (có thể cùng hướng hoặc ngược hướng).
• Khi xác định góc giữa hai vectơ, quên dời về cùng điểm đầu trước khi đo.
• Áp dụng quy tắc hình hộp không đúng đỉnh: ba vectơ phải xuất phát từ cùng một đỉnh và là ba cạnh hình hộp.
• Khai triển $(\vec{a} + \vec{b})^2$ quên nhân đôi: phải là $|\vec{a}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2$.
• Cộng hai vectơ bằng cách cộng độ dài — sai. Phải dùng quy tắc 3 điểm hoặc hình bình hành.
• Trong hình hộp/lăng trụ, nhầm $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{B'B}$ — thực ra chúng ngược hướng.
• Khi xác định góc giữa hai vectơ, quên dời về cùng điểm đầu trước khi đo.
• Áp dụng quy tắc hình hộp không đúng đỉnh: ba vectơ phải xuất phát từ cùng một đỉnh và là ba cạnh hình hộp.
• Khai triển $(\vec{a} + \vec{b})^2$ quên nhân đôi: phải là $|\vec{a}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2$.
• Cộng hai vectơ bằng cách cộng độ dài — sai. Phải dùng quy tắc 3 điểm hoặc hình bình hành.
• Trong hình hộp/lăng trụ, nhầm $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{B'B}$ — thực ra chúng ngược hướng.
1
—
Điểm: 0/30
🎯
Luyện tập Vectơ trong không gian!
30 câu · 6 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/30
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh