Lớp 12 · Toán
Bài 9
Khoảng Biến Thiên Và Khoảng Tứ Phân Vị
Mẫu số liệu ghép nhóm · Đo mức độ phân tán của số liệu
1
Khoảng biến thiên
▼
Định nghĩa
Cho mẫu số liệu ghép nhóm gồm các nhóm $[a_1; a_2), [a_2; a_3), \ldots, [a_k; a_{k+1})$ với các tần số tương ứng $m_1, m_2, \ldots, m_k$ (trong đó nhóm đầu và nhóm cuối đều có tần số khác $0$). Khoảng biến thiên $R$ là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối và đầu mút trái của nhóm đầu:
$R = a_{k+1} - a_1$
⚠ Lưu ý quan trọng – nhóm có tần số 0
Định nghĩa yêu cầu nhóm đầu và nhóm cuối phải có tần số khác $0$. Vì vậy, nếu bảng có nhóm ở hai đầu mang tần số $0$ thì ta bỏ qua các nhóm đó: lấy đầu mút trái của nhóm đầu tiên có tần số khác $0$ và đầu mút phải của nhóm cuối cùng có tần số khác $0$.
Ý nghĩa
• $R$ dùng để đo mức độ phân tán: khoảng biến thiên càng lớn thì số liệu càng phân tán, các giá trị trải càng rộng.
• $R$ tính trên mẫu ghép nhóm chỉ là giá trị xấp xỉ cho khoảng biến thiên của mẫu gốc, và thường lớn hơn khoảng biến thiên thật một chút (vì giá trị gốc luôn nằm trong lòng nhóm, không chạm tới đầu mút).
• $R$ tính trên mẫu ghép nhóm chỉ là giá trị xấp xỉ cho khoảng biến thiên của mẫu gốc, và thường lớn hơn khoảng biến thiên thật một chút (vì giá trị gốc luôn nằm trong lòng nhóm, không chạm tới đầu mút).
💡 Ví dụ 1 – Có nhóm tần số 0
Thời gian tự học mỗi ngày (phút) của học sinh hai lớp 12B và 12D:
| Thời gian (phút) | $[0; 15)$ | $[15; 30)$ | $[30; 60)$ | $[60; 120)$ |
|---|---|---|---|---|
| Số HS lớp 12B | $3$ | $5$ | $4$ | $2$ |
| Số HS lớp 12D | $6$ | $2$ | $4$ | $0$ |
↔ Vuốt ngang để xem đầy đủ bảng
Tính khoảng biến thiên cho mỗi lớp và so sánh độ phân tán.
12B)Nhóm đầu $[0;15)$ có tần số $3 > 0$, nhóm cuối $[60;120)$ có tần số $2 > 0$. Vậy $R_B = 120 - 0 = 120$ (phút).
12D)Nhóm cuối $[60;120)$ có tần số $0$ nên bỏ qua; nhóm cuối có tần số khác $0$ là $[30;60)$. Vậy $R_D = 60 - 0 = 60$ (phút).
→Vì $R_B = 120 > R_D = 60$ nên thời gian tự học của lớp 12B phân tán hơn lớp 12D.
Khi gặp tần số $0$ ở đầu/cuối bảng, luôn nhớ loại bỏ trước khi lấy đầu mút.
2
Tứ phân vị của mẫu ghép nhóm
▼
Công thức tứ phân vị
Với mẫu ghép nhóm có cỡ mẫu $n$, tứ phân vị thứ $r$ (với $r = 1, 2, 3$) được tính bởi:
$Q_r = a_p + \dfrac{\dfrac{rn}{4} - \big(m_1 + m_2 + \ldots + m_{p-1}\big)}{m_p} \cdot (a_{p+1} - a_p)$
trong đó $[a_p; a_{p+1})$ là nhóm chứa tứ phân vị thứ $r$, $m_p$ là tần số của nhóm đó, còn $m_1 + \ldots + m_{p-1}$ là tần số tích lũy của các nhóm đứng trước nó.
Bước 1 — Tính giá trị mốc
Tính $\dfrac{rn}{4}$. Với $Q_1$ dùng $\dfrac{n}{4}$, với $Q_3$ dùng $\dfrac{3n}{4}$. Giá trị này có thể là số thập phân — cứ giữ nguyên, không làm tròn.
Bước 2 — Lập bảng tần số tích lũy
Cộng dồn các tần số từ trái sang phải để được tần số tích lũy của từng nhóm.
Bước 3 — Tìm nhóm chứa tứ phân vị
Nhóm chứa $Q_r$ là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy $\geq \dfrac{rn}{4}$. Sau đó thay số vào công thức.
💡 Ví dụ 2 – Tìm Q₁ và Q₃
Thời gian chờ thanh toán (phút) của khách hàng tại siêu thị A:
| Thời gian (phút) | $[0; 5)$ | $[5; 10)$ | $[10; 15)$ | $[15; 20)$ |
|---|---|---|---|---|
| Số khách hàng | $2$ | $8$ | $10$ | $4$ |
↔ Vuốt ngang để xem đầy đủ bảng
Tìm $Q_1$ và $Q_3$.
B1)Cỡ mẫu $n = 2 + 8 + 10 + 4 = 24$.
B2)Tần số tích lũy lần lượt là: $2;\ 10;\ 20;\ 24$.
Q₁)$\dfrac{n}{4} = 6$. Vì $2 < 6 \leq 10$ nên nhóm chứa $Q_1$ là $[5; 10)$ (tích lũy trước đó là $2$, tần số nhóm là $8$).
→$Q_1 = 5 + \dfrac{6 - 2}{8} \cdot (10 - 5) = 5 + \dfrac{4}{8} \cdot 5 = 7{,}5$.
Q₃)$\dfrac{3n}{4} = 18$. Vì $10 < 18 \leq 20$ nên nhóm chứa $Q_3$ là $[10; 15)$ (tích lũy trước đó là $10$, tần số nhóm là $10$).
→$Q_3 = 10 + \dfrac{18 - 10}{10} \cdot (15 - 10) = 10 + \dfrac{8}{10} \cdot 5 = 14$.
Tần số tích lũy "trước đó" chỉ tính các nhóm ĐỨNG TRƯỚC nhóm chứa tứ phân vị, không gồm chính nhóm đó.
3
Khoảng tứ phân vị
▼
Định nghĩa
Khoảng tứ phân vị của mẫu ghép nhóm, ký hiệu $\Delta_Q$, là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất:
$\Delta_Q = Q_3 - Q_1$
Vì luôn có $Q_3 \geq Q_1$ nên $\Delta_Q \geq 0$ (không cần dấu trị tuyệt đối).
Ý nghĩa & ưu điểm
• $\Delta_Q$ cũng đo mức độ phân tán: $\Delta_Q$ càng lớn thì số liệu càng phân tán.
• $\Delta_Q$ chỉ phụ thuộc nửa giữa ($50\%$ giá trị ở giữa) của mẫu, nên không bị ảnh hưởng bởi các giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ bất thường. Vì vậy $\Delta_Q$ thường được dùng để phát hiện giá trị bất thường.
• $\Delta_Q$ chỉ phụ thuộc nửa giữa ($50\%$ giá trị ở giữa) của mẫu, nên không bị ảnh hưởng bởi các giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ bất thường. Vì vậy $\Delta_Q$ thường được dùng để phát hiện giá trị bất thường.
💡 Ví dụ 3 – Tính ΔQ và so sánh
Từ Ví dụ 2 (siêu thị A), tính $\Delta_Q$. Một siêu thị B khác có $\Delta_Q = 8{,}75$. Tại siêu thị nào thời gian chờ phân tán hơn?
→Ở Ví dụ 2 ta đã có $Q_1 = 7{,}5$ và $Q_3 = 14$.
A)$\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 14 - 7{,}5 = 6{,}5$.
→Vì $\Delta_Q^{(A)} = 6{,}5 < \Delta_Q^{(B)} = 8{,}75$ nên thời gian chờ thanh toán ở siêu thị B phân tán hơn siêu thị A.
4
So sánh độ phân tán bằng R và ΔQ
▼
Khi nào dùng R, khi nào dùng ΔQ?
• Khoảng biến thiên $R$: dễ tính nhưng bị ảnh hưởng mạnh bởi các giá trị cực đoan (quá lớn hoặc quá nhỏ).
• Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$: chỉ xét nửa giữa mẫu nên không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường, đánh giá độ phân tán "cốt lõi" ổn định hơn.
• Khi hai mẫu có giá trị bất thường, nên ưu tiên so sánh bằng $\Delta_Q$.
• Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$: chỉ xét nửa giữa mẫu nên không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường, đánh giá độ phân tán "cốt lõi" ổn định hơn.
• Khi hai mẫu có giá trị bất thường, nên ưu tiên so sánh bằng $\Delta_Q$.
💡 Ví dụ 4 – Hai đại lượng cho kết luận trái ngược
Nhiệt độ cao nhất trong ngày (°C) của tháng Sáu hai năm tại một thành phố:
| Nhiệt độ (°C) | $[28;30)$ | $[30;32)$ | $[32;34)$ | $[34;36)$ | $[36;38)$ | $[38;40)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Số ngày năm I | $0$ | $2$ | $8$ | $5$ | $6$ | $9$ |
| Số ngày năm II | $2$ | $3$ | $4$ | $11$ | $8$ | $2$ |
↔ Vuốt ngang để xem đầy đủ bảng
R)Năm I: nhóm $[28;30)$ tần số $0$ nên $R_1 = 40 - 30 = 10$. Năm II: $R_2 = 40 - 28 = 12$. ⟹ Theo $R$, năm II biến đổi nhiều hơn.
ΔQ)Tính được $\Delta_Q^{(I)} = \dfrac{119}{24} \approx 4{,}96$ và $\Delta_Q^{(II)} = 3{,}375$. ⟹ Theo $\Delta_Q$, năm I biến đổi nhiều hơn.
→Hai đại lượng cho kết luận trái ngược: năm II có ngày lạnh và ngày nóng bất thường kéo $R$ lên cao, nhưng nửa giữa của năm I lại trải rộng hơn. Khi đó $\Delta_Q$ phản ánh độ phân tán cốt lõi đáng tin hơn.
Đây là lý do không nên kết luận vội chỉ dựa vào một trong hai đại lượng.
5
Tổng kết & sai lầm thường gặp
▼
Bảng công thức cần nhớ
| Đại lượng | Công thức |
|---|---|
| Khoảng biến thiên | $R = a_{k+1} - a_1$ |
| Tứ phân vị $Q_r$ | $Q_r = a_p + \dfrac{\frac{rn}{4} - C}{m_p}(a_{p+1}-a_p)$ |
| Khoảng tứ phân vị | $\Delta_Q = Q_3 - Q_1$ |
↔ Vuốt ngang để xem đầy đủ bảng
($C$ là tần số tích lũy của các nhóm đứng trước nhóm chứa $Q_r$.)
⚠ Sai lầm thường gặp
• Vẫn lấy nhóm tần số $0$ ở hai đầu khi tính $R$ → phải bỏ qua chúng.
• So sánh tần số từng nhóm với $\frac{rn}{4}$ mà quên lập bảng tần số tích lũy.
• Nhầm $C$ thành tần số tích lũy của chính nhóm chứa $Q_r$ (đúng phải là tích lũy các nhóm trước nó).
• Dùng sai độ rộng $a_{p+1}-a_p$ (phải là độ rộng của nhóm chứa tứ phân vị).
• Làm tròn $\frac{rn}{4}$ thành số nguyên — phải giữ nguyên số thập phân.
• Kết luận vội chỉ dựa vào $R$ hoặc $\Delta_Q$ khi so sánh hai mẫu.
• So sánh tần số từng nhóm với $\frac{rn}{4}$ mà quên lập bảng tần số tích lũy.
• Nhầm $C$ thành tần số tích lũy của chính nhóm chứa $Q_r$ (đúng phải là tích lũy các nhóm trước nó).
• Dùng sai độ rộng $a_{p+1}-a_p$ (phải là độ rộng của nhóm chứa tứ phân vị).
• Làm tròn $\frac{rn}{4}$ thành số nguyên — phải giữ nguyên số thập phân.
• Kết luận vội chỉ dựa vào $R$ hoặc $\Delta_Q$ khi so sánh hai mẫu.
1
—
Điểm: 0/25
🎯
Luyện tập Khoảng biến thiên & Khoảng tứ phân vị!
25 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh