Menu Học Tập

Bài tập Toán 12 Bài 10: Phương sai và độ lệch chuẩn (25 bài tập)

Lớp 12 · Toán Bài 10

Phương Sai Và Độ Lệch Chuẩn

Mẫu số liệu ghép nhóm · Đo mức độ phân tán quanh số trung bình

1
Phương sai & độ lệch chuẩn
▼
Định nghĩa
Cho mẫu số liệu ghép nhóm gồm các nhóm $[a_1;a_2), \ldots, [a_k;a_{k+1})$ với tần số $m_1, \ldots, m_k$, cỡ mẫu $n = m_1 + \ldots + m_k$. Gọi $x_i = \dfrac{a_i + a_{i+1}}{2}$ là giá trị đại diện (trung điểm) của nhóm thứ $i$ và $\bar{x} = \dfrac{m_1 x_1 + \ldots + m_k x_k}{n}$ là số trung bình. Khi đó phương sai $s^2$ là:
$s^2 = \dfrac{m_1(x_1-\bar{x})^2 + m_2(x_2-\bar{x})^2 + \ldots + m_k(x_k-\bar{x})^2}{n}$
Độ lệch chuẩn $s$ là căn bậc hai số học của phương sai: $s = \sqrt{s^2}$.
⚡ Công thức tính nhanh (nên dùng)
$s^2 = \dfrac{m_1 x_1^2 + m_2 x_2^2 + \ldots + m_k x_k^2}{n} - \bar{x}^2$
Chỉ cần tính tổng bình phương có trọng số $\big(\sum m_i x_i^2\big)$ rồi trừ đi $\bar{x}^2$ — nhanh và ít sai số hơn việc tính từng $(x_i - \bar{x})^2$.
Ý nghĩa
• $s^2$ và $s$ đo mức độ phân tán của các giá trị quanh số trung bình $\bar{x}$: càng lớn thì mẫu càng phân tán.
• $s$ có cùng đơn vị với mẫu số liệu (rất tiện diễn giải), còn $s^2$ có đơn vị là bình phương.
• Trên mẫu ghép nhóm, $s^2$ và $s$ chỉ là giá trị xấp xỉ cho phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu gốc.
2
Các bước tính & ví dụ mẫu
▼
Bước 1 — Giá trị đại diện
Tính trung điểm mỗi nhóm: $x_i = \dfrac{a_i + a_{i+1}}{2}$.
Bước 2 — Cỡ mẫu & số trung bình
$n = m_1 + \ldots + m_k$;   $\bar{x} = \dfrac{\sum m_i x_i}{n}$ (tổng của tích tần số × giá trị đại diện).
Bước 3 — Phương sai (công thức nhanh)
$s^2 = \dfrac{\sum m_i x_i^2}{n} - \bar{x}^2$. Nhớ bình phương $x_i$ và trừ $\bar{x}^2$ ở cuối.
Bước 4 — Độ lệch chuẩn
$s = \sqrt{s^2}$ (cùng đơn vị với mẫu số liệu).
💡 Ví dụ 1 – Tính đầy đủ
Số giờ học thêm mỗi tuần của $20$ học sinh trường A:
Số giờ$[0;2)$$[2;4)$$[4;6)$$[6;8)$$[8;10)$
Giá trị đại diện $x_i$$1$$3$$5$$7$$9$
Tần số $m_i$$2$$4$$8$$4$$2$
↔ Vuốt ngang để xem đầy đủ bảng
Tính $\bar{x}$, $s^2$ và $s$.
x̄)$\bar{x} = \dfrac{2\cdot1 + 4\cdot3 + 8\cdot5 + 4\cdot7 + 2\cdot9}{20} = \dfrac{100}{20} = 5$ (giờ). s²)$\sum m_i x_i^2 = 2\cdot1^2 + 4\cdot3^2 + 8\cdot5^2 + 4\cdot7^2 + 2\cdot9^2 = 2 + 36 + 200 + 196 + 162 = 596$. →$s^2 = \dfrac{596}{20} - 5^2 = 29{,}8 - 25 = 4{,}8$. s)$s = \sqrt{4{,}8} \approx 2{,}19$ (giờ). Đơn vị của $s$ là "giờ" (cùng đơn vị mẫu); đơn vị của $s^2$ là "giờ²".
3
So sánh độ phân tán, độ ổn định
▼
Quy tắc so sánh
Tính độ lệch chuẩn của cả hai mẫu, rồi so sánh:
• Mẫu có $s$ nhỏ hơn ⟹ ổn định / đồng đều hơn, ít phân tán hơn.
• Mẫu có $s$ lớn hơn ⟹ phân tán hơn.
Lưu ý: chỉ dùng cách này khi số trung bình hai mẫu không quá khác biệt.
💡 Ví dụ 2 – So sánh hai trường
Cũng số giờ học thêm như Ví dụ 1, trường B ($20$ học sinh) có bảng:
Số giờ$[0;2)$$[2;4)$$[4;6)$$[6;8)$$[8;10)$
HS trường B$1$$6$$6$$6$$1$
↔ Vuốt ngang để xem đầy đủ bảng
B)$\bar{x}_B = \dfrac{1 + 18 + 30 + 42 + 9}{20} = 5$;   $s_B^2 = \dfrac{1 + 54 + 150 + 294 + 81}{20} - 25 = 4$, nên $s_B = 2$. →Hai trường có cùng số giờ trung bình ($5$ giờ), nhưng $s_A \approx 2{,}19 > s_B = 2$. KL)Số giờ học thêm của trường A biến động nhiều hơn; học sinh trường B học thêm đồng đều hơn. Vì hai trung bình bằng nhau nên việc so sánh bằng $s$ là hợp lý.
4
Đo độ rủi ro & khi nào không nên dùng s
▼
Ứng dụng – đo rủi ro đầu tư
Một cách đo độ rủi ro của phương án đầu tư là xét độ lệch chuẩn của lợi nhuận: $s$ càng lớn thì càng rủi ro (lợi nhuận biến động mạnh — có thể rất cao nhưng cũng có thể rất thấp).
💡 Ví dụ 3 – Đầu tư lĩnh vực nào rủi ro hơn?
Số tiền thu về mỗi tháng (triệu đồng) trong $30$ tháng ở hai lĩnh vực X, Y:
Số tiền (triệu)$[2;6)$$[6;10)$$[10;14)$$[14;18)$$[18;22)$
Lĩnh vực X$3$$6$$12$$6$$3$
Lĩnh vực Y$9$$3$$6$$3$$9$
↔ Vuốt ngang để xem đầy đủ bảng
→Giá trị đại diện: $4; 8; 12; 16; 20$. Cả hai có $\bar{x} = 12$ triệu. X)$s_X = \sqrt{\dfrac{4896}{30} - 12^2} = \sqrt{19{,}2} \approx 4{,}38$. Y)$s_Y = \sqrt{\dfrac{5568}{30} - 144} = \sqrt{41{,}6} \approx 6{,}45$. KL)Trung bình như nhau nhưng $s_Y > s_X$, nên đầu tư vào lĩnh vực Y rủi ro hơn.
⚠ Khi nào KHÔNG nên dùng s để so sánh?
Không nên dùng $s$ (hay $s^2$) để so sánh độ phân tán hai mẫu khi đơn vị đo khác nhau hoặc số trung bình chênh lệch quá lớn. Ví dụ: doanh thu trung bình $35$ triệu so với $535$ triệu — chênh hơn $15$ lần. Khi đó dùng hệ số biến thiên $CV = \dfrac{s}{\bar{x}}$ (thường tính theo %) để so sánh công bằng.
5
Tổng kết & sai lầm thường gặp
▼
Bảng công thức cần nhớ
Đại lượngCông thức
Giá trị đại diện$x_i = \dfrac{a_i + a_{i+1}}{2}$
Số trung bình$\bar{x} = \dfrac{\sum m_i x_i}{n}$
Phương sai (nhanh)$s^2 = \dfrac{\sum m_i x_i^2}{n} - \bar{x}^2$
Độ lệch chuẩn$s = \sqrt{s^2}$
↔ Vuốt ngang để xem đầy đủ bảng
⚠ Sai lầm thường gặp
• Dùng đầu mút nhóm thay vì trung điểm $x_i$ để tính phương sai.
• Quên trừ $\bar{x}^2$ trong công thức nhanh (kết quả sẽ lớn vô lý).
• Quên bình phương $x_i$: viết nhầm $\sum m_i x_i$ thay vì $\sum m_i x_i^2$.
• Nhầm phương sai với độ lệch chuẩn (quên lấy căn).
• Tính $\bar{x}$ sai do cộng tần số rồi chia, quên nhân với $x_i$.
• So sánh $s$ của hai mẫu có trung bình chênh lệch quá lớn (phải dùng $CV$).
📚 Xem thêm: Công thức tính phương sai và độ lệch chuẩn – đầy đủ và dễ hiểu nhất trên edus.vn →
1
—
Điểm: 0/25
🎯

Luyện tập Phương sai & Độ lệch chuẩn!

25 câu · 4 dạng từ dễ đến khó

💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh

Bài tập Toán 12 Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes (25 bài tập) ( 21/05 )

Bài tập Toán 12 Bài 18: Xác suất có điều kiện (26 bài tập) ( 21/05 )

Bài tập Toán 12 Bài 17: Phương trình mặt cầu (26 bài tập) ( 21/05 )

Bài tập Toán 12 Bài 16: Công thức tính góc trong không gian (25 bài tập) ( 21/05 )

Bài tập Toán 12 Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian (27 bài tập) ( 21/05 )